【8】安培环路定理10-3,4

安培环路定理

四、运动电荷的磁场

0 0 I dL r dB 4 r2

S

v

我们把IdL中的电流当作电荷量 为q的正电荷作定向运动形成的。 dL 设S为电流元截面积，v 为定向运动的速度，电流 元每单位体积的运动电荷数为n,则单位时间内通 过电流元一截面的电荷量为 I nqvS dN 0 0 0 (nq vS ) dL r 0 qnSdLv r dB 2 4 r 4 r2

I

dB 0 q v r 0 B dN 4 r 2

安培环路定理

例题：设半径为R的带电薄圆盘的电荷面密度为 , 并以角速率 绕通过盘心垂直盘面的轴转动，求圆盘中 心处的磁感强度。 解： dq 2 rdr 0 dq v er r R dB 4 r2 o r R dr dr 0 R 0 B dB 0 2 2 2 方向：垂直于板面向外。 T

dq rdr [方法二] dI T 0 dI 0 dr dB 2 r 2

B

0 R2

安培环路定理

10-3 磁高斯定理 一、磁感线 仿效引入电场线描述电场的方法，引入磁感线来 描述磁场。 I

I

I

I

I

安培环路定理

磁感线的性质： (1) 在任何磁场中，每一条磁感线都是环绕电流的 闭合曲线，没有起点，也没有终点。

(2) 磁场中的磁感线不会相交。说明 (1) 规定：通过磁场中某点处垂直于B的单位面积 磁感线的条数等于该点的B矢量的量值。 磁场较强处，磁感线较密；磁场较弱处，磁感线较疏。 (2) 电流方向与磁感线的 回转方向之间的关系可用右 手螺旋法则确定。磁感线 电流

安培环路定理

电流方向与磁感 线右手螺旋关系I

IS

N

圆 电 流

I S N

导线电流

长螺线管

安培环路定理

二、磁通量 磁场的高斯定理 通过磁场中某一曲面的磁感线的条数称为通过该 n 曲面的磁通量。

通过面元dS的磁通量为： BdS cos 对于一个曲面，通过它的磁通量为： Φm B cos dS S B dS S 说明 dS2

dS

B

BS

dS1

(1) 磁通量的单位：韦伯(Wb)。 (2) 对闭合曲面，取向外法线方向为正，则穿出闭 合曲面的磁通量为正，穿入的磁通量为负。 0 S B dS ? 磁场中的高斯定理 无源场 磁感应线闭合

安培环路定理

例1. 如图载流长直导线的电流为I ,试求通过矩 形面积的磁通量. 解:

先求 B ,对变磁场给出 dΦ , 后积分求 Φ 0 I B B B // S

2π x

2π x x 0 Il d2 dx d1 Φ S B dS d1 d2 2π x o 0 Il d 2 Φ ln 2π d1I

dΦ BdS

0 I

ldx

dx

l

x

安培环路定理

10-4 安 培 环 路 定 理 一、安培环路定理 静电场中： l E dl 0 在真空的稳恒磁场中，磁感 强度沿任意闭合路径的线积分 磁场中： l B dl 0 ? ( 即B的环流 ) 等于以该闭合路 径所包围的各电流强度代数和 的 0倍。 dl lB dl 0 I B

规定：当穿过环路的电流方向与环路的绕行方向 服从右手螺旋定则时，电流为正，反之为负。 I1 I2 I3 I I1 2I 2

L

安培环路定理

安培环路定理证明：( 取一特殊情形 ) 电流是长直导线，闭合曲线在垂直于直导线的平面上 (1) 闭合曲线包围长直电流： 0 I B I B 2 R 0 I 0 I dl l B dl 2πR dl 2πR l dl o

B dl 0 Il

R

lI

B

若电流反向时，则： 0 I l B dl 2πR l dl 0 I

安培环路定理

对任意形状的回路

0 I B 2 r B dl B dl cos Brd 0 I 0 I d B dl rd 2π 2π r 2 I 0 B dl d l 0 2 B dl 0 Il

I

ld

dl

B

I

r

l

安培环路定理

(2) 闭合曲线不包围长直电流：

B1dφ

B2 dl 2 dl1

I

r1

r2

μ0 I B1 dl1 dφ 2π μ0 I B2 dl2 dφ 2π B dl B1 dl1 B2 dl2l l1 l2

0 I B1 2π r1

0 I B2 2π r2

l

I 0 I d 0 d 0 0 2 2 B dl 0 l

安培环路定理

(3) 多电流情况

B dl ( B1 B2 B3 ) dll l

I1

I2

I3

B1 dl B2 dl B3 dll l l

l

0 ( I 2 I 3 ) B dl 0 Il

注意

闭合路径 所包围电 流代数和

电流 I 正负的规定 ：I 与 L 成右螺旋时， I为正； 反之为负。

安培环路定理

1.环流 B dl 由闭合曲线所包围的电流决定， L与回路外的电流及回路大小形状无关。

对安培环路定理的几点讨论

2.安培环路定理表达式中的磁感应强度B是闭合曲 线内外所有电流产生的磁感应强度。 3.稳恒磁场和静电场环路定理的比较

LB dl o I — 非保守场(有旋场) — 保守场 (有源场) E dl 0L

4.利用环路定理可求电流对称分布情况的磁感强度。 B dl 0 Il

对比

S

1 E dS

0

qi 1

n

i

安培环路定理

二、安培环路定理的应用举例 1、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体 半径为R,面上均匀分布的总电流为I。 I R 解：沿圆周L的B环流为 P B dl B 2 r 0 I内( L)

当r R时, I内 I 0 I B 2 r

B 2 r 0 IdIdI

dB dB dB dB

P

I 当r R时, I内 r2 R2 0 I r2 r B 2 r 0 2 I B 2 2 R R

B

L

R

r

安培环路定理

讨论：

无限长载流圆柱面的磁场L1

rR

B

IL2

r

o R rB 0 0 I B 2π r

解： 0 r R, B d l 0 r R, B d l 0 Il

l

安培环路定理

2、求无限长螺线管内的磁感应

强度。设螺线管长 为L,共有N匝线圈，通有电流I。 解：管内中部磁场均匀，方 向与管平行；管外中部贴近管 P b a 壁处磁场很弱，B=0。 c 作一长方形环路abcda d B dl B dl B dl B dl B dlabcda ab bc cd da

B ab

0

0

0

N )B dl 0 ab L I 0 abn I (L

B 0 n I

安培环路定理

例题 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：(1) 环内距轴线为r 远处的磁感应强度； (2)通过螺线管截面的磁通量。 I 解：与螺线管共轴的圆周上各点 B大小相等，方向沿圆周切线。 r B dl B 2 r 0 N I( L)

0 N I B 2 r

dr

r

B o nI当11

d2 d1

h

2r d 时，螺绕环内可视为均匀场 .22

d 0 N I h d2 dr 0 N I h ln d1 Φm B dS d2 Bhdr d2 r 2 d2 2 (S) 2

安培环路定理

例. 无限大薄导体板均匀通过电流的磁场分布。 解 1)对称性分析 2)选取回路 dB d 设：电流密度为jdB1

PdB2

c

B dl o IL

2BL o j L B

o2

j

o L a b

两侧为均匀磁场，与离板的距离无关 讨论： 两无限大平行载流平面，电流密度为j, 求两平面之间和之外空间的磁感强度 1 1 B内 0 j 0 j 0 j × 2 2 × × × 1 1 B外 0 j 0 j 0 2 2

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