2017年山东省高考数学试卷题(理科)word版试题及答案详细解析

2017年山东省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）

A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）

2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若

z=a+i ，z?=4，

则a=（）

A．1或﹣1 B ．或﹣C ．﹣D ．

3．（5分）已知命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a ＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）

A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q

4．（5分）已知x，y 满足约束条件，则z=x+2y的

最大值是（）

A．0 B．2 C．5 D．6

5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回

归直线方程为=x+，已知x

i =225，y

i

=1600，=4，该

班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A．160 B．163 C．166 D．170

6．（5分）执行两次如图所

示的程序框图，若第一次

输入的x值为7，第二次输

入的x值为9，则第一次，

第二次输出的a值分别为

（）

A．0，0 B．1，1

C．0，1 D．1，0

7．（5分）若a＞b＞0，且

ab=1，则下列不等式成立

的是（）

A．a+＜＜log

2（a+b））B ．＜log

2

（a+b）＜a+

C．a+＜log

2（a+b ）＜D．log

2

（a+b））＜a+＜

8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）

A ．

B ．

C ．

D ．9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）

A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A

10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）

A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= ．

12．（5分）已知，是互相垂直的单位向量，

若﹣

与+

λ的夹角为60°，则实数λ的值是．13．（5分）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．

14．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a

＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为．

15．（5分）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．

①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx ﹣）+sin（ωx ﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．

（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G

第1页（共8页）

是的中点．

（Ⅰ）设P 是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．

18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两

种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A

1，A

2

，A

3

，A

4

，A

5

，A

6

和4名女志愿者B

1，B

2

，B

3

，B

4

，从中随机抽取5人接受甲种

心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A

1但不包含B

1

的

概率．

（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．

19．（12分）已知{x

n }是各项均为正数的等比数列，且x

1

+x

2

=3，

x 3﹣x

2

=2．

（Ⅰ）求数列{x

n

}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P

1（x

1

，

1），P

2（x

2

，2）…P

n+1

（x

n+1

，n+1）得到折线P

1

P

2

…P

n+1

，求由

该折线与直线y=0，x=x

1，x=x

n+1

所围成的区域的面积T

n

．

20．（13分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E ：=1（a ＞b＞0）的离心率为，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）如图，该直线l：y=k

1

x ﹣交椭圆E于A，B两点，C

是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k

2，且看k

1

k

2=

，M是

线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点

分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的

斜率．

第2页（共8页）

2017年山东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.

1．（5分）（2017?山东）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）

A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）

【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=

的定义域[﹣2，2]，

由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln （1﹣x）的定义域（﹣∞，1），

则A∩B=[﹣2，1），

故选D．

2．

（5分）

（2017?山东）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z?=4，则a=（）

A．1或﹣1 B ．或﹣C ．﹣D ．

【解答】解：由z=a+i，则z 的共轭复数=a ﹣i，

由z?=（a+i）（a ﹣i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，∴a的值为1或﹣1，

故选A．

3．（5分）（2017?山东）已知命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q

【解答】解：命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；

取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．

∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p ∧￢q是假命题．

故选B．

4．（5分）（2017?山东）已知x，y 满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）

A．0 B．2 C．5 D．6

【解答】

解：画出约束条件表示的平面区域，如

图所示；

由解得A（﹣3，4），

此时直线y=﹣x+z在y 轴上的截距最大，

所以目标函数z=x+2y的最

大值为z

max

=﹣3+2×4=5．

故选：C．

5．（5分）（2017?山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10

名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相

关关系，设其回归直线方程为

=

x+

，已知x

i

=225

，

y

i

=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）

A．160 B．163 C．166 D．170

【解答】解：由线性回归方程为=4x+，

则

=x

i

=22.5，

=y

i

=160，

则数据的样本中心点（22.5，160），

由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，

∴回归直线方程为=4x+70，

当x=24时，=4×24+70=166，

则估计其身高为166，

故选C．

6．（5分）（2017?山东）执行两次如图所示的程序框图，若第

一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第

二次输出的a值分别为（）

A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0

【解答】解：当输入的x值为7时，

第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；

第二次，满足b2＞x，故输出a=1；

当输入的x值为9时，

第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；

第二次，不满足b2＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；

故选：D

第3页（共8页）

7．（5分）（2017?山东）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）

A．a+＜＜log

2（a+b））B ．＜log

2

（a+b）＜a+

C．a+＜log

2（a+b ）＜D．log

2

（a+b））＜a+＜

【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．

则=4

，

=

=，log

2

（a+b）

=

=∈

（1，2），

∴＜log

2

（a+b）＜a+．

故选：B．

8．（5分）（2017?山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，

且这些情况是等可能发生的，

抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，

故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P==，

故选：C．

9．（5分）（2017?山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）

A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A

【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin （A+C）=sinAcosC+sinB，

可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，

由正弦定理可得：2b=a．

故选：A．

10．（5分）（2017?山东）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx ﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（）

A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞）

【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=+m为增函数，

分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，

在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2为减函数，且其值域为[（m ﹣1）2，1]，

函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，

此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；

②、当m＞1时，有＜1，

y=（mx﹣1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，

若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，

解可得m≤0或m≥3，

又由m为正数，则m≥3；

综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；

故选：B．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2017?山东）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n= 4 ．

【解答】解：

（1+3x）n的展开式中通项公式：T

r+1

=（3x）r=3r x r．∵含有x2的系数是54，∴r=2．

∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．

解得n=4．

故答案为：4．

12．（5分）（2017?山东）已知，是互相垂直的单位向量，

若﹣与+

λ的夹角为60°，则实数λ的值是

．

【解答】解：，是互相垂直的单位向量，

∴||=||=1，且?=0；

又﹣与+

λ的夹角为60°，

∴（

﹣

）?（+

λ）

=|

﹣|×

|+

λ|×cos60°，

即+

（﹣1

）

?﹣

λ

=

×

×，

化简得﹣λ=××，

即﹣λ=，

解得λ=．

故答案为：．

13．（5分）（2017?山东）由一个长方体和两个圆柱体构成

第4页（共8页）

的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为2+．

【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V

1

=2×1×1=2，

圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V

2

=×π×12×1=，

则该几何体的体积V=V

1+2V

1

=2+，

故答案为：2+．

14．（5分）（2017?山东）在平面直角坐标系xOy

中，双曲线

=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py

（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x ．

【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，

b＞0），

可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，

∴y

A +y

B

=，

∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y

A +y

B

+2×=4×，

∴=p，

∴=．

∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．

故答案为：y=±x．

15．（5分）（2017?山东）若函数e x f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f （x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．

①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．

【解答】解：对于①，f（x）=2﹣x，则g（x）=e x f（x）

=

为实数集上的增函数；

对于②，f（x）=3﹣x，则g（x）=e x f（x）=为实数集上的减函数；

对于③，f（x）=x3，则g（x）=e x f（x）=e x?x3，g′（x）=e x?x3+3e x?x2=e x（x3+3x2）=e x?x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，

∴g（x）=e x f（x）在定义域R上先减后增；

对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=e x f（x）=e x（x2+2），

g′（x）=e x（x2+2）+2xe x=e x（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，

∴g（x）=e x f（x）在定义域R上是增函数．

∴具有M性质的函数的序号为①④．

故答案为：①④．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）（2017?山东）设函数f（x）=sin（ωx ﹣）+sin （ωx ﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．

（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx

﹣）+sin（ωx ﹣）

=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin （﹣ωx）

=sinωx ﹣cosωx

=sin（ωx ﹣），

又f （）=sin （ω﹣）=0，

∴ω﹣=kπ，k∈Z，

解得ω=6k+2，

又0＜ω＜3，

∴ω=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x ﹣），

将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x ﹣）的图象；

再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+

﹣）的图象，

∴函数y=g（x）=sin（x ﹣）；

当x∈[﹣，]时，x ﹣∈[﹣，]，

∴sin（x ﹣）∈[﹣，1]，

∴当x=﹣时，g（x ）取得最小值是﹣×=﹣．17．（12分）（2017?山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是的中点．

第5页（共8页）

页（共8页）

（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；

（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．

【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，

AB∩AP=A，

∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP，

∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，

因此∠CBP=30°；

（Ⅱ）解法一、

取的中点H，连接EH，GH，CH，

∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，

∴AE=GE=AC=GC=．

取AG中点M，连接EM，CM，EC，

则EM⊥AG，CM⊥AG，

∴∠EMC为所求二面角的平面角．

又AM=1，∴EM=CM=．

在△BEC中，由于∠EBC=120°，

由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，

∴，因此△EMC为等边三角形，

故所求的角为60°．

解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，

y，z轴建立空间直角坐标系．

由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣

1，，0），

故，，．

设为平面AEG的一个法向量，

由，得，取z

1

=2，得；

设为平面ACG的一个法向量，

由，可得，取z

2

=﹣2，得

．

∴cos＜＞=．

∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．

18．（12分）（2017?山东）在心理学研究中，常采用对比试验

的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加

试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组

接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的

结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A

1

，A

2

，

A

3

，A

4

，A

5

，A

6

和4名女志愿者B

1

，B

2

，B

3

，B

4

，从中随机抽取5

人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A

1

但不包含B

1

的

概率．

（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分

布列与数学期望EX．

【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A

1

但不

包含B

1

的事件为M，

则P（M）==．

（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，

∴P（X=0）==，

P（X=1）==，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

P（X=4）==．

∴X的分布列为

X 0 1 2 3 4

P

第6

X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×=2．

19．（12分）（2017?山东）已知{x

n

}是各项均为正数的等比数

列，且x

1+x

2

=3，x

3

﹣x

2

=2．

（Ⅰ）求数列{x

n

}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P

1（x

1

，

1），P

2（x

2

，2）…P

n+1

（x

n+1

，n+1）得到折线P

1

P

2

…P

n+1

，求由

该折线与直线y=0，x=x

1，x=x

n+1

所围成的区域的面积T

n

．

【解答】解：（I）设数列{x

n

}的公比为q，则q＞0，由题意得，

两式相比得：，解得q=2或q=﹣（舍），

∴x

1

=1，

∴x

n

=2n﹣1．

（II）过P

1，P

2

，P

3

，…，P

n

向x轴作垂线，垂足为Q

1

，Q

2

，Q

3

，…，

Q

n ，

即梯形P

n P

n+1

Q

n+1

Q

n

的面积为b

n

，

则b

n

==（2n+1）×2n﹣2，

∴T

n

=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①

∴2T

n

=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②

①﹣②得：﹣T

n

=+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1

=+﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣+（1﹣2n）×2n﹣1．

∴T

n

=．

20．（13分）（2017?山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．

∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．

化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．

（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）

h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a （2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．

令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．

∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h （x）在（0，+∞）单调递增；

x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．

（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．

解得x

1

=lna，x

2

=0．

①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；

x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；

x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．

∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．

当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．

③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；

x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；

x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．

∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．

当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x ＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．

x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．

0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h （x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．

a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．

第7页（共8页）

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21．（14分）（2017?山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E

：

=1（a ＞b ＞0）的离心率为

，焦距为2．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程． （Ⅱ）如图，该直线l ：y=k 1x ﹣

交椭圆E 于A ，B 两点，C

是椭圆E 上的一点，直线OC 的斜率为k 2，且看k 1k 2=

，M 是

线段OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．

【解答】解：

（Ⅰ）由题意知，

，解得a=，b=1．

∴椭圆E 的方程为；

（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），

联

立，得

．

由题意得△=

＞0．

，

．

∴|AB|=

．

由题意可知圆M 的半径r 为 r=

．

由题意设知，，∴．

因此直线OC 的方程为．

联立，得．

因此，|OC|=．

由题意可知，sin

=

．

而

=

．

令t=，则t ＞1，∈（0，1），

因此，

=

≥

1． 当且仅当，即t=2时等式成立，此时．

∴

，因此

．

∴∠SOT 的最大值为

．

综上所述：∠SOT 的最大值为，取得最大值时直线l 的斜率

为

．

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