2017年电大工程数学形成性考核册答案 - 带题目
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【工程数学】形成性考核册答案
工程数学作业(一)答案(满分100分)
第2章 矩阵
(一)单项选择题(每小题2分,共20分)
a1 ⒈设b1a2b2a3a1b3?2,则2a1?3b1a22a2?3b2a32a3?3b3?(D ).
c1c2c3c1c2c3 A. 4 B. -4 C. 6 D. -6
0001 ⒉若
00a00200?1,则a?(A ). 100a A. 12 B. -1 C. ?12 D. 1
⒊乘积矩阵?1?1????103??24????521?中元素c?23?(C ).
A. 1 B. 7 C. 10 D. 8
⒋设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是( B). A. A?B?1?A?1?B?1 B. (AB)?1?BA?1
C. (A?B)?1?A?1?B?1 D. (AB)?1?A?1B?1
⒌设A,B均为n阶方阵,k?0且k?1,则下列等式正确的是(D A. A?B?A?B B. AB?nAB
C. kA?kA D. ?kA?(?k)nA ⒍下列结论正确的是( A).
A. 若A是正交矩阵,则A?1也是正交矩阵
B. 若A,B均为n阶对称矩阵,则AB也是对称矩阵 C. 若A,B均为n阶非零矩阵,则AB也是非零矩阵 D. 若A,B均为n阶非零矩阵,则AB?0
⒎矩阵?13???25?的伴随矩阵为( C).
? A. ?1?3????25?? B. ??13???2?5??
C. ?5?3????53??21?? D. ???2?1??
⒏方阵A可逆的充分必要条件是(B ).
A.A?0 B.A?0 C. A*?0 D. A*?0
⒐设A,B,C均为n阶可逆矩阵,则(ACB?)?1?(D ).
A. (B?)?1A?1C?1 B. B?C?1A?1
1
). C. A?1C?1(B?1)? D. (B?1)?C?1A?1
⒑设A,B,C均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A ). A. (A?B)2?A2?2AB?B2 B. (A?B)B?BA?B2 C. (2ABC)?1?2C?1B?1A?1 D. (2ABC)??2C?B?A? (二)填空题(每小题2分,共20分)
2?10 ⒈1?40? 7 .
00?1?1 ⒉1111?1x是关于x的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是 2 . 1?15 ⒊若A为3?4矩阵,B为2?5矩阵,切乘积AC?B?有意义,则C为 5×4 矩阵.
?11??15?A?? ⒋二阶矩阵?01??01?.
?????12???120? ⒌设A??40?,B??,则(A?B?)??????3?14????34??⒍设A,B均为3阶矩阵,且A?B??3,则?2AB?06?3??5?18? ??? 72 .
?12 ⒎设A,B均为3阶矩阵,且A??1,B??3,则?3(A?B)? -3 .
?1a? ⒏若A???为正交矩阵,则a? 0 .
01???2?12??? ⒐矩阵402的秩为 2 . ????0?33???A1 ⒑设A1,A2是两个可逆矩阵,则??O(三)解答题(每小题8分,共48分)
O?A2???1?A1?1???OO?. ?1?A2??12???11??54? ⒈设A??求⑴A?B;⑵A?C;⑶2A?3C;⑷A?5B;⑸AB;?,B??43?,C??3?1?,
?35??????⑹(AB)?C.
?03??6答案:A?B?? A?C???0?18???2622??7 A?5B??AB???23120???
6??1716? 2A?3C??37? 4????7??5621?? (AB)C??15180?
12??????114???121??103??,求AC?BC.
⒉设A??,B?,C??3?21??????0?12??21?1???002??
2
??114?024??????6?410? 解:AC?BC?(A?B)C??3?21?????2210?201???0??02????310??102? ⒊已知A???121?,B???111?,求满足方程3A?2X?B中的X.
??????342????211??解:?3A?2X?B
?3?8?42?1?? ? X?12(3A?B)?1?3?2?2??252?????15???1? ?7115???2?7115????222?? ⒋写出4阶行列式
1020?143602?53 3110中元素a41,a42的代数余子式,并求其值.
020120答案:a41?(?1)4?1436?0 a42?(?1)4?2?136?45
2?530?53 ⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:
?122???1234???1000? ⑴ ?312??21?2?; 2?1100???2?21?⑵ ?????111?1??; ⑶
??10?2?6???1110??. ?1111??解:(1)
?122100???2r?r?122100?2?r2?r1?0?2?1A|I????21?2010??????2r11???r23???0?3?6?210?31????2r2???r3???0?3?6?32?2?21001????0?6?3?201????0092???13r2??120???122??1?10?23??2r0999?3?r1?10??9?r3???01223?10????2r3???r210212??0013?231???0???001929?9???9?299????9?21?99???122???999??A?1??21?9?2?? ?29?219????999?? 230??10???21???3
(2)A?100?22?6?2617??1??175???1120?130?1?(过程略) (3) A??????1?0?1102?1????4?1?530?1???00?0?? 0??1??1?1 ⒍求矩阵??1??2?1010110111123011210001?0??的秩. 1??1?1??1011011?01101011011??1???1101100???rr1?r21?r3?1?101?1?1???12101????2r1???r4??00???r2??r4??01?10??1???00011?10??0001解:
?2113201??01?112?2?1????0001??1011011????r3??r4??01?101?1?1????00011?10??0000000??R(A)?3
(四)证明题(每小题4分,共12分) ⒎对任意方阵A,试证A?A?是对称矩阵. 证明:(A?A')'?A'?(A')'?A'?A?A?A'
? A?A?是对称矩阵
⒏若A是n阶方阵,且AA??I,试证A?1或?1. 证明:? A是n阶方阵,且AA??I
? AA??AA??A2?I?1
?
A?1或A??1
⒐若A是正交矩阵,试证A?也是正交矩阵. 证明:? A是正交矩阵
? A?1?A?
? (A?)?1?(A?1)?1?A?(A?)?
即A?是正交矩阵
工程数学作业(第二次)(满分100分)
第3章 线性方程组
(一)单项选择题(每小题2分,共16分)
?x1?2 ⒈用消元法得?x2?4x3?1?x1??x??2?x3?0的解?x为(C ).
??x?23?2???x3?? A. [1,0,?2]? B. [?7,2,?2]?
C. [?11,2,?2]? D. [?11,?2,?2]?
?1?1???10??10???4
111
?x1?2x2?3x3?2? ⒉线性方程组?x1?x3?6(B ).
??3x?3x?423? A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解
?1??0??0??1??3? ⒊向量组?0?,?1?,?0?,?2?,?0?的秩为( A).
????????????0????0????1????1????4?? A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
?1??0??1??1??1??0??0??1? ⒋设向量组为?1???,?2???,?3???,?4???,则(B )是极大无关组.
?0??1??1??1?????????010???????1? A. ?1,?2 B. ?1,?2,?3 C. ?1,?2,?4 D. ?1
⒌A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(D). A. 秩(A)?秩(A) B. 秩(A)?秩(A) C. 秩(A)?秩(A) D. 秩(A)?秩(A)?1
⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ). A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是(D ).
A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解
⒏若向量组?1,?2,?,?s线性相关,则向量组内(A )可被该向量组内其余向量线性表出. A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量
9.设A,B为n阶矩阵,?既是A又是B的特征值,x既是A又是B的属于?的特征向量,则结论( )成立.
A.?是AB的特征值 B.?是A+B的特征值
C.?是A-B的特征值 D.x是A+B的属于?的特征向量
10.设A,B,P为n阶矩阵,若等式(C )成立,则称A和B相似. A.AB?BA B.(AB)??AB C.PAP?1?B D.PAP??B (二)填空题(每小题2分,共16分) ⒈当?? 1 时,齐次线性方程组?? ⒊向量组?1,2,3?,?1,2,0?,?1,0,0?,?0,0,0?的秩是 3 .
⒉向量组?1?0,0,0,?2?1,1,1线性 相关 .
⒋设齐次线性方程组?1x1??2x2??3x3?0的系数行列式?1?2解,且系数列向量?1,?2,?3是线性 相关 的.
5
????x1?x2?0有非零解.
?x?x?02?1?3?0,则这个方程组有 无穷多
⒌向量组?1?1,0,?2?0,1,?3?0,0的极大线性无关组是?1,?2. ⒍向量组?1,?2,?,?s的秩与矩阵个.
⒏设线性方程组AX?b有解,X0是它的一个特解,且AX?0的基础解系为X1,X2,则AX?b的通????????1,?2,?,?s?的秩 相同 .
⒎设线性方程组AX?0中有5个未知量,且秩(A)?3,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 解为X0?k1X1?k2X2.
9.若?是A的特征值,则?是方程?I?A?0 的根. 10.若矩阵A满足A?1?A? ,则称A为正交矩阵. (三)解答题(第1小题9分,其余每小题11分) 1.用消元法解线性方程组
??x1?3x2?2x3?x4?6??3x1?8x2?x3?5x4?0??2x1?x2?4x3?x4??12 ???x1?4x2?x3?3x4?2解:
??1?3?2?16??3r?r?1?3?2?16?3r?r?101923?48?A??3?8150?121178?18???2r1?r3??r?1?r4????0178?18??5r22?r3????r1??r4??0??21?41?12?02739?90????14?1?32????0?5?8?10??01?3?48????0?00?10?1226??3r4?r3??101923?48??101923?48??19r?r?10042?124???12?r4??0178?18??1r3?0178?18???003?312????3????001?14??7r31?3?r2?????5r3???r?4??01015?46?001?1??0056?13????0056?13???4??00011?33???10042?124?0002?1??42r?r??11??r4??01015?46?1?15r414?r2?0100?1??x1?2??001?14???r?4?r?3????00101?? ?方程组解为???x2??1
?x3?1?0001?3????0001?3????x4??32.设有线性方程组
???11??x??1??1?1?????y??????? ?11?????z?????2???? 为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?
??111??2A???1?1???r?1??r3??11??2??1?1??????r??1r?r?211???1???r3???0??11?????2???解:
?11??2??????111????01??1??21??3???11?2?]
?r?2??r3????0??11???(1??)????00(2??)(1??)(1??)(1??)2??? 当??1且???2时,R(A)?R(A)?3,方程组有唯一解
当??1时,R(A)?R(A)?1,方程组有无穷多解
6
3.判断向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出,若能,写出一种表出方式.其中
???8?????2??3???5?????37???5???6???,?1???,?2???,?3??? ?7???10????1??3????0???2????3??1?? 解:向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出,当且仅当方程组?1x1??2x2??3x3??有解
???23?5?8??1037?这里 A????7?5?6?3?1?341?1,?2,3,??????????????????0??1037??0010?117? ?3?21?10????000571??R(A)?R(A)
? 方程组无解
? ?不能由向量?1,?2,?3线性表出
4.计算下列向量组的秩,并且(1)判断该向量组是否线性相关
??1????3???1??1??1?7???3??9?????2??,????????12??8??3???,?3???0??,?4???6?
???9???3???4????13????3??3?????6????13?11??13?11???1?7?39???0112??解:??1,?2,?3,?4????2806?????????????00018? ?39?33?000?????0??413?36????0000???该向量组线性相关
5.求齐次线性方程组
??x1?3x2?x3?2x4?0???5x1?x2?2x3?3x4?0??x1?11x 2?2x3?5x4?0??3x1?5x2?4x4?0的一个基础解系. 解:
??1?31?2?5r?r?1?31?2??3r52?1?A???51?23?12?r1?r3????3r1?r40?143?7??r?11????14?014?rr2?r32?27???1?112?5??????0?143?7?????r4????0?143?3504????014?3??0000? ?10???0003?? 7
?0505?1?05?1r?114?1??2??114?1140???r?142?3??r4??12?r?r??12311?01?31?12???3??r3?01?32????2r3??r2?1?30?? ?000143?1????????00014??0?000141???0000????0000????0000????x51??x3??14??5?14?? 方程组的一般解为??x3?3??2?14x3 令x3?1,得基础解系 ????14?? ??x4?0?0????1?? 6.求下列线性方程组的全部解.
??x1?5x2?2x3?3x4?11???3x1?x2?4x3?2x4??5??x1?9x2?4x?17
4??5x1?3x2?6x3?x4??1解:
?9?1?52?311?3r?r?1?52?311??5r?2?rA???31?42?5?r121?r3?0?142?728???141r?102?r37?1??2?27??1?90?417????5r1???r4???28??2?r2??r4????0?14?7?536?1?1???0?142?028?4???000014?56??0000??1097?11????1r?12x??71??14?2???01?12?2????19x3?2x4?1?000700? ?方程组一般解为?????x2??11
?00000??7x3?2x4?2?令x3?k1,x4?k2,这里k1,k2为任意常数,得方程组通解
??x?1???7k1?1k2?1?????7??1??x?2?1929??2??1???1??????k?1k1???2?12?2??k???k???x12????
3??7?x??k2???7????2?0????0?4??11?k??0??0??2?????1??7.试证:任一4维向量???a?1,a2,a3,a4?都可由向量组
??1????1???1??1?01?1??1??1?????0?,?2????0?,?3????1?,?4????1?
?0????0????0????1??线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式.
??1??0??0????0???0???? ??1??00?证明:?12?1??? ?3??2???0??? ?4??3???1??
?0??0????0????0???0??1??1??28?0??0??8
任一4维向量可唯一表示为
?a1??1??0??0??0??a??0??1??0??0?2?????a1???a2???a3???a4???a1?1?a2(?2??1)?a3(?3??2)?a4(?4??3)
?a3??0??0??1??0???????????a000???????1??4??(a1?a2)?1?(a2?a3)?2?(a3?a4)?3?a4?4
⒏试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解. 证明:设AX?B为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解,即R(A)?R(A)?n
从而AX?B有唯一解当且仅当R(A)?n
而相应齐次线性方程组AX?0只有零解的充分必要条件是R(A)?n
? AX?B有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组AX?0只有零解
9.设?是可逆矩阵A的特征值,且??0,试证:1是矩阵A?1?的特征值.
证明:??是可逆矩阵A的特征值
? 存在向量?,使A????
?
I??(A?1A)??A?1(A?)?A?1(??)??A?1???
?A?1??1??
即1?是矩阵A?1的特征值 10.用配方法将二次型f?x22221?x2?x3?x4?2x1x2?2x2x4?2x2x3?2x3x4化为标准型.
解:
f?(x222x221?x2)?x3?x4?2x2x4?2x2x3?2x34?(x1?x2)2?x3?2x3(?x2?x4)?x4?2x2x4 ?(x221?x2)2?(x3?x2?x4)?x2 ? 令y1?x1?x2,y2?x3?x2?x4,y3?x2,x4?y4
??x1?y1?y3即??x2?y3?x3?y
2?y3?y4??x4?y4则将二次型化为标准型 f?y2?y2212?y3 工程数学作业(第三次)(满分100分)
第4章 随机事件与概率
(一)单项选择题
⒈A,B为两个事件,则( B)成立.
A. (A?B)?B?A B. (A?B)?B?A C. (A?B)?B?A D. (A?B)?B?A ⒉如果( C)成立,则事件A与B互为对立事件. A. AB?? B. AB?U
C. AB??且AB?U D. A与B互为对立事件
⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为(D A. C3210?0.7?0.3 B. 03. C. 0.72?0.3 D. 3?0.72?0.3 4. 对于事件A,B,命题(C )是正确的.
9
).
A. 如果A,B互不相容,则A,B互不相容 B. 如果A?B,则A?B
C. 如果A,B对立,则A,B对立
D. 如果A,B相容,则A,B相容
⒌某随机试验的成功率为p(0?p?1),则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(D ). A.(1?p)3 B. 1?p3 C. 3(1?p) D. (1?p)3?p(1?p)2?p2(1?p)
6.设随机变量X~B(n,p),且E(X)?4.8,D(X)?0.96,则参数n与p分别是(A ). A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2
7.设f(x)为连续型随机变量X的密度函数,则对任意的a,b(a?b),E(X)?(A ). A. C.
??????bxf(x)dx B.
?baxf(x)dx f(x)dx
af(x)dx D.
?????8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B ).
?3????sinx,??x?sinx,0?x??? A. f(x)??22 B. f(x)??2
??其它其它?0,?0,3???sinx,0?x???sinx,0?x? C. f(x)?? 2 D. f(x)??0,其它??其它?0,9.设连续型随机变量X的密度函数为f(x),分布函数为F(x),则对任意的区间(a,b),则P(a?X?b)?( D).
A. F(a)?F(b) B. C. f(a)?f(b) D.
?baF(x)dx
?baf(x)dx
10.设X为随机变量,E(X)??,D(X)??2,当(C )时,有E(Y)?0,D(Y)?1. A. Y??X?? B. Y??X?? C. Y?X??? D. Y?X???2
(二)填空题
⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为
2. 5.,则当事件A,B互不相容时,P(A?B)? 0.8 ,P(AB)? 2.已知P(A)?0.3,P(B)?050.3 .
3.A,B为两个事件,且B?A,则P(A?B)?P?A?.
4. 已知P(AB)?P(AB),P(A)?p,则P(B)?1?P.
5. 若事件A,B相互独立,且P(A)?p,P(B)?q,则P(A?B)?p?q?pq.
.,则当事件A,B相互独立时,P(A?B)? 0.65 ,P(AB)? 6. 已知P(A)?0.3,P(B)?050.3 .
x?0?0?0?x?1. 7.设随机变量X~U(0,1),则X的分布函数F(x)??x?1x?1?8.若X~B(20,0.3),则E(X)? 6 .
10
9.若X~N(?,?2),则P(X???3?)?2?(3).
10.E[(X?E(X))(Y?E(Y))]称为二维随机变量(X,Y)的 协方差 . (三)解答题
1.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算分别表示下列事件: ⑴ A,B,C中至少有一个发生; ⑵ A,B,C中只有一个发生; ⑶ A,B,C中至多有一个发生; ⑷ A,B,C中至少有两个发生; ⑸ A,B,C中不多于两个发生; ⑹ A,B,C中只有C发生.
解:(1)A?B?C (2)ABC?ABC?ABC (3) ABC?ABC?ABC?ABC (4)AB?AC?BC (5)A?B?C (6)ABC
2. 袋中有3个红球,2个白球,现从中随机抽取2个球,求下列事件的概率: ⑴ 2球恰好同色;
⑵ 2球中至少有1红球.
解:设A=“2球恰好同色”,B=“2球中至少有1红球”
22112C3?C2C3C2?C33?126?39 P(A)???P(B)??? 221051010C5C53. 加工某种零件需要两道工序,第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果
第一道工序出正品,则由第二道工序加工,第二道工序的次品率是3%,求加工出来的零件是正品的概率. 解:设Ai?“第i道工序出正品”(i=1,2)
P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?(1?0.02)(1?0.03)?0.9506
4. 市场供应的热水瓶中,甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率. 解:设A1?\产品由甲厂生产\ A2?\产品由乙厂生产\ A3?\产品由丙厂生产\ B?\产品合格\
P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ?0.5?0.9?0.3?0.85?0.2?0.80?0.865
5. 某射手连续向一目标射击,直到命中为止.已知他每发命中的概率是p,求所需设计次数X的概率分布. 解:P(X?1)?P
P(X?2)?(1?P)P
P(X?3)?(1?P)2P ????
P(X?k)?(1?P)k?1P ????
故X的概率分布是
23??k????1?p(1?p)p(1?p)2p??(1?p)k?1p??? ??6.设随机变量X的概率分布为
123456??0?01? .015.0.20.3012.01.0.03??试求P(X?4),P(2?X?5),P(X?3).
解:
P(X?4)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?0.1?0.15?0.2?0.3?0.12?0.87 P(2?X?5)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?0.2?0.3?0.12?0.1?0.72 P(X?3)?1?P(X?3)?1?0.3?0.7
11
7.设随机变量X具有概率密度
?2x,0?x?1 f(x)??其它?0,试求P(X?11),P(?X?2). 241解:P(X?)?2?12??f(x)dx??1202xdx?12x20?1141 41P(?X?2)?48. 设X~f(x)??解:E(X)??214f(x)dx??1142xdx?x2?15 16?2x,0?x?1?0,其它,求E(X),D(X).
?????xf(x)dx?x?2xdx?0?123x310?2 32411x0?
??042121D(X)?E(X2)?[E(x)]2??()2?
2318.);⑵P(X?0). 9. 设X~N(1,0.62),计算⑴P(0.2?X?18E(X2)????x2f(x)dx??1x2?2xdx?解:
P(0.2?X?1.8)?P(?1.33?P(X?0)?P(X?1?1.33)??(1.33)??(?1.33)?2?(1.33)?1?2?0.9082?1?0.8164 0.2X?1?1.67)?1??(1.67)?1?0.9525?0.0475 0.621n10.设X1,X2,?,Xn是独立同分布的随机变量,已知E(X1)??,D(X1)??,设X??Xi,求
ni?1E(X),D(X).
1解:E(X)?E(n ??i?1nXi)?11E(X1?X2????Xn)?[E(X1)?E(X2)????E(Xn)] nn1n??? n1n11D(X)?D(?Xi)?2D(X1?X2????Xn)?2[D(X1)?D(X2)????D(Xn)]
ni?1nn11 ?2?n?2??2
nn
工程数学作业(第四次)
第6章 统计推断
(一)单项选择题
22 ⒈设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(?,?)(?,?均未知)的样本,则(A)是统计量.
x12 A. x1 B. x1?? C. 2 D. ?x1
?22 ⒉设x1,x2,x3是来自正态总体N(?,?)(?,?均未知)的样本,则统计量(D)不是?的无偏估计.
12
1(x1?x2) 2 C. 2x1?x2 D. x1?x2?x3
A. max{x1,x2,x3} B.
(二)填空题
1.统计量就是 不含未知参数的样本函数 .
2.参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 .常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法.
3.比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 , 有效性 .
4.设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(?,?2)(?已知)的样本值,按给定的显著性水平?检验
2?/n 5.假设检验中的显著性水平?为事件|x??0|?u(u为临界值)发生的概率.
(三)解答题
1.设对总体X得到一个容量为10的样本值
4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0
试分别计算样本均值x和样本方差s.
2H0:???0;H1:???0,需选取统计量U?x??0.
1101解: x?x??36?3.6 ?i10i?110
11012 s? (x?x)??25.9?2.878?i10?1i?192
2.设总体X的概率密度函数为
?(??1)x?,0?x?1f(x;?)??
其它?0,试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数?. 解:提示教材第214页例3
2x?11??1n矩估计:E(X)??x(??1)xdx? ?x??xi,???01?x2??ni?11?最大似然估计:
L(x1,x2,?,xn;?)??(??1)xi??(1??)n(x1x2?xn)?
ndlnLnlnL?nln(??1)???lnxi,???lnxi?0,????d???1i?1i?1i?1nnn?lnxi?1n?1
i 3.测两点之间的直线距离5次,测得距离的值为(单位:m):
108.5 109.0 110.0 110.5 112.0
2222测量值可以认为是服从正态分布N(?,?)的,求?与?的估计值.并在⑴??2.5;⑵?未知的情况下,
13
分别求?的置信度为0.95的置信区间.
151522??x??xi?110 ???s?解: ?(xi?x)?1.875 ?5i?15?1i?1?2 (1)当??2.5时,由1-α=0.95,?(?)?1??0.975 查表得:??1.96
2 故所求置信区间为:[x???ns,x???ns]?[108.6,111.4]
222 (2)当?未知时,用s替代?,查t (4, 0.05 ) ,得 ??2.776
故所求置信区间为:[x??nn4.设某产品的性能指标服从正态分布N(?,?2),从历史资料已知??4,抽查10个样品,求得均值为17,取显著性水平??0.05,问原假设H0:??20是否成立.
x??017?203 解:|U|?||?||??0.237,
?/n4/104?3.162?由?(?)?1??0.975 ,查表得:??1.96
2因为 |U|?0.237 > 1.96 ,所以拒绝H0
5.某零件长度服从正态分布,过去的均值为20.0,现换了新材料,从产品中随机抽取8个样品,测得的长度为(单位:cm):
20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5
问用新材料做的零件平均长度是否起了变化(??0.05).
解:由已知条件可求得:x?20.0125 s?0.067 12,x??]?[108.3,111.7]
|T|?|0.035?0.1365 0.259s/n0.259/8??t(n?1,0.05)?t(9,0.05)?2.62
|?||?x??020.0125?20∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H0
即用新材料做的零件平均长度没有变化。
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精
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