陕西省西北大学附中2022-2022学年高二上学期期中考试

2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学试

卷（理科）

一．选择题（每小题3分，共12个小题）．

1．设命题p：?x0＞0，cosx0+sinx0＞1，则￢p为（）

A．?x＞0，cosx+sinx＞1 B．?x0≤0，cosx0+sinx0≤1

C．?x＞0，cosx+sinx≤1 D．?x0＞0，cosx0+sinx0≤1

2．已知空间向量a=（0，1，1），b=（1，0，1），则向量a与b的夹角为（）

A．60°B．120°C．30°D．150°

3．点P（x，2，1）到Q（1，1，2），R（2，1，1）的距离相等，则x的值为（）A．B．1 C．D．2

4．在y=2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（）

A．（﹣2，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，2）

5．下列命题正确的是（）

A．已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件

B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”

C．函数的零点在区间内

D．设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β6．点M（3，﹣2，1）关于面yoz对称的点的坐标是（）

A．（﹣3，﹣2，1）B．（﹣3，2，﹣1）C．（﹣3，2，1） D．（﹣3，﹣2，﹣1）7．若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）

A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=，y=﹣ D．x=﹣，y=

8．在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（）

A． B． C．D．

9．已知向量，，且与互相垂直，则k=（）A．B．C．D．

10．两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则抛物线y2=的焦点坐标是（）

A．（）B．C．D．

11．已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若，则x+y+z的值为（）

A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3

二．填空题（每小题4分，共4个小题）．

13．（4分）命题“x∈R，若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是．

14．（4分）已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量+与﹣的夹角是．15．（4分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2经过椭圆Γ：（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B，则椭圆Γ的离心率为．

16．（4分）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos＜，

＞=，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E

的坐标为．

三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）

17．（9分）求满足下列条件的椭圆方程：

（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；

（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；

（3）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4．

18．（9分）已知p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R；q：a≥1．如果命题“p

∨q为真，p∧q为假”，求实数a的取值范围．

19．（9分）求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．

20．（10分）如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．

（1）求CE的长；

（2）求证：A1C⊥平面BED；

（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．

21．（11分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，

且过点D（2，0）．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

[附加题]（共2小题，每小题4分，满分8分）

22．（4分）设命题p：，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．

23．（4分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M（），

=0，满足．则椭圆的方程是．

[附加题]

24．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；

（Ⅱ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？试证明你的结论；

（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．

2016-2017学年陕西省西北大学附中高二（上）期中数学

试卷（理科）

参考答案与试题解析

一．选择题（每小题3分，共12个小题）．

1．设命题p：?x0＞0，cosx0+sinx0＞1，则￢p为（）

A．?x＞0，cosx+sinx＞1 B．?x0≤0，cosx0+sinx0≤1

C．?x＞0，cosx+sinx≤1 D．?x0＞0，cosx0+sinx0≤1

【考点】命题的否定．

【专题】计算题；简易逻辑．

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：?x0＞0，cosx0+sinx0＞1，则￢p为：?x＞0，cosx+sinx≤1．

故选：C．

【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．

2．已知空间向量a=（0，1，1），b=（1，0，1），则向量a与b的夹角为（）

A．60°B．120°C．30°D．150°

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．

【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．

【分析】根据两向量的夹角余弦公式，即可求出两向量的夹角．

【解答】解：∵a=（0，1，1），b=（1，0，1），

∴?=1，

∵||=，||=，

∴cos＜，＞===，

向量a与b的夹角为60°．

故选：A．

【点评】本题考查了求空间两向量的夹角大小的应用问题，是基础题目．

3．点P（x，2，1）到Q（1，1，2），R（2，1，1）的距离相等，则x的值为（）A．B．1 C．D．2

【考点】空间两点间的距离公式．

【专题】计算题．

【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．

【解答】解：因为点P（x，2，1）到Q（1，1，2），R（2，1，1）的距离相等，

所以：（x﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣2）2=（x﹣2）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2．

解得x=1．

故选B．

【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．

4．在y=2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（）

A．（﹣2，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（﹣1，2）

【考点】抛物线的应用．

【专题】计算题．

【分析】把抛物线y=2x2中，准线方程为L：y=﹣=﹣．过点A作准线的垂线，垂足为

B，设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1．点M的坐标为（1，2）．在抛物线y=2x2上任取一点P，过P作准线的垂线，垂足为Q，过P作AB的垂线，垂足为H，|PA|+|PF|＞|AB|．抛物线上任意一点P到A 的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|．此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）．

【解答】解：把抛物线的解析式y=2x2变为x2=y，

与标准形式x2=2py 对照，知：2p=．∴p=．

∴抛物线x2=y的准线方程为L：y=﹣=﹣．

由抛物线定义知：抛物线上任意一点到准线距离等于到焦点距离．

∴点P到焦点的距离等于点P到准线的距离．

分析点A与已知抛物线y=2x2的位置关系：

在y=2x2中，当x=1时，y=2，而点A（1，3）在抛物线内．

过点A作准线的垂线，垂足为B，

设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，

∵AB⊥准线y=﹣，而点A的纵坐标为3，

∴AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1．

把x=1代入y=2x2得y=2，

∴点M的纵坐标为2．

∴点M的坐标为（1，2）．

下面分析“距离之和最小”问题：

在抛物线y=2x2上任取一点P，过P作准线的垂线，垂足为Q，

过P作AB的垂线，垂足为H，

在Rt△PAH中，斜边大于直角边，则|PA|＞|AH|．

在矩形PQBH中，|PQ|=|HB|，

∴|PA|+|PF|（这里设抛物线的焦点为F）

=|PA|+|PQ|＞|AH|+|HB|=|AB|．

即：抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|．

此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）．

故选：B．

【点评】本题主要考查了抛物线的应用．作为选择题，可以用数形结合的方法，对明显不符合的选项进行排除，可不用按部就班的计算出每一步骤，节省时间．

5．下列命题正确的是（）

A．已知实数a，b，则“a＞b”是“a2＞b2”的必要不充分条件

B．“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1＞0”

C．函数的零点在区间内

D．设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】综合题；对应思想；综合法．

【分析】由充分必要条件的判定方法判断A；写出特称命题的否定判断B；由函数零点判定定理判断C；利用空间中的线面关系判断D．

【解答】解：已知实数a，b，由a＞b，不一定有a2＞b2，反之由a2＞b2，不一定有a＞b，则“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故A错误；

“存在x0∈R，使得”的否定是“对任意x∈R，均有x2﹣1≥0”，故B错误；

∵函数与y=均为实数集上的增函数，∴函数为实数集上的真数，

又，，∴函数的零

点在区间内，故C正确；

设m，n是两条直线，α，β是空间中两个平面，若m?α，n?β，m⊥n，则α与β相交或α∥β，故D错误．

故选：C．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了函数零点判定定理，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

6．（2014?海淀区校级模拟）点M（3，﹣2，1）关于面yoz对称的点的坐标是（）A．（﹣3，﹣2，1）B．（﹣3，2，﹣1）C．（﹣3，2，1） D．（﹣3，﹣2，﹣1）

【考点】空间中的点的坐标．

【专题】计算题．

【分析】根据空间直角坐标系，点点对称性，直接求解对称点的坐标即可．

【解答】解：根据点的对称性，点M（3，﹣2，1）关于平面yOz的对称点是：（﹣3，﹣2，1）；

故选A．

【点评】本题是基础题，考查空间直角坐标系，对称点的坐标的求法，考查空间想象能力，计算能力．

7．（2012秋?顺德区期末）若=（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）

A．x=1，y=1 B．x=，y=﹣ C．x=，y=﹣ D．x=﹣，y=

【考点】共线向量与共面向量．

【专题】计算题．

【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．

【解答】解：∵=（2x，1，3）与=（1，﹣2y，9）共线，

故有==．

∴x=，y=﹣．

故选C．

【点评】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．

8．（2015秋?邵阳校级期末）在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（）

A． B． C．D．

【考点】空间直角坐标系；空间两点间的距离公式．

【专题】计算题．

【分析】根据点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，得到点B的坐标，点B是A在yoz 上的射影，所以A与B的纵标和竖标相同，横标为0，得到B的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果．

【解答】解：∵点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影

∴B点的坐标是（0，2，3）

∴|OB|等于，

故选B．

【点评】本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系．

9．（2015秋?福建期末）已知向量，，且与互相垂直，则k=（）

A．B．C．D．

【考点】空间向量的数量积运算．

【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用．

【分析】根据与互相垂直，（k+）?=0，列出方程求出k的值．

【解答】解：∵向量，，

∴k+=（k﹣1，k，1）；

又与互相垂直，

∴（k+）?=0，

即（k﹣1）×1+k=0，

解得k=．

故选：B．

【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．10．（2013?黄州区校级模拟）两个正数a，b的等差中项是，一个等比中项是，且a

＞b，则抛物线y2=的焦点坐标是（）

A．（）B．C．D．

【考点】数列与解析几何的综合．

【专题】计算题．

【分析】根据题意，由等差中项、等比中项的性质，可得a+b=9，ab=20，解可得a、b的值，代入抛物线方程，抛物线的焦点坐标公式，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，可得a+b=9，ab=20，

又由a＞b，

解可得，a=5，b=4，

代入抛物线方程得：

y2=，

则其焦点坐标是为，

故选C．

【点评】本题考查数列与解析几何的综合、等差数列等比数列、抛物线的焦点坐标的计算，注意结合题意，准确求得a、b的值．

11．（2016?延安校级二模）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p是￢q的（）

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【专题】计算题；转化思想；直线与圆；简易逻辑．

【分析】条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k．即可判断

出p是q的充分不必要条件．进而得出答案．

【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．

∴p是q的充分不必要条件．

则￢p是￢q的必要不充分条件．

故选：B．

【点评】本题考查了直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．（2012秋?湖州期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若，则x+y+z的值为（）

A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3

【考点】向量的加法及其几何意义．

【专题】平面向量及应用．

【分析】由题意可得=，再由，求

出x、y、z的值，从而求得

x+y+z的值．

【解答】解：由题意可得==，

又∵，故有x=1，y=﹣1，z=1．

故x+y+z=1，

故选B．

【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．

二．填空题（每小题4分，共4个小题）．

13．（4分）（2016秋?碑林区校级期中）命题“x∈R，若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是2．

【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．

【专题】探究型；定义法；简易逻辑．

【分析】分别判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案．

【解答】解：命题“x∈R，若x2＞0，则x＞0”为假命题，

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