几何画板实例教程

上篇 用几何画板做数理实验

图1-0.1

我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。

案例一 四人分饼

有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平均分给四个人，应该如何分？

图1-1.1

思路：这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。

方案一：画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部分面积相等，（其实四个三角形全等）。如图1-1.2。

图1-1.2

1

方案二：四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形面积相等，可以得出四部分面积相等，如图1-1.3。

图1-1.3

用几何画板验证：

第一步：打开几何画板程序，这时出现一个新绘图文件。

说明：如果几何画板程序已经打开，只要由菜单“文件”?“新绘图”，也可以新建一个绘图文件。

第二步：(1)在工具箱中选取“画线段”工具；

(2)在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段。如图

1-1.4。

注意：在几何画板中，点用一个空心的圈表示。

第三步：(1)选取“文本”工具；(2)在画好的点上单击左键，可以标出两点的标签，如图1-1.5：

注意：如果再点一次，又可以隐藏标签，如果想改标签为其它字母，可以这样做： 用“文本”工具双击显示的标签，在弹出的对话框中进行修改，(本例中我们不做修改)。如图1-1.6

图1-1.6

在后面的操作中，请观察图形，根据需要标出点或线的标签，不再一一说明

第四步：(1)再次选取“画线段”工具，移动鼠标与点A重合，按左键拖动画出线段AC；(2)画线段BC，标出标签C，如图1-1.7。

注意：在熟悉后，可以先画好首尾相接的三条线段后再标上标签更方便。

第五步：(1) 用“选择”工具单击线段AB，这时线段上出现两个正方形的黑块，表示线段处于被选取状态；(2) 由菜单“作图”?“中点”，画出线段AB的中点，标上标签。得如图1-1.8。

注意：如果被选取的是点，点的外面会有一个粗黑圆圈。在几何画板中，选取线段是不包括它的两个端点的，以后的问题都是这样，如果不小心多选了某个对象，可以

2

图1-1.4

AB图1-1.5

CAB图1-1.7

CADB图1-1.8

按Shift键后用左键再次单击该对象取消选取。

第六步：用同样的方法画出其它两边的中点。得如图1-1.9。

技巧：最快的方法是：按住Shift不放，用“选择”工具分别点击三条线段，可以同时选取这三条线段，再由“作图”?“画中点”(或按快捷键Ctrl+M)，就可以同时画好三条边的中点。

CFEADB图1-1.9

第七步：用“画线段”工具连结DE、EF、FD，得如图1-1.10：

技巧：画线段的另一方法，在保证画线工具出现的是“画线段”按钮(不必选取)的前提下。

选取两点后，由菜单“作图”?“画线段”，(或按快捷键Ctrl+L),可以画出连结两点的线段。 本例最快的做法：

1、选取“画点”工具，按住Shift键不放在工作区中画三个点，这时三个顶点都保持选取状态

2、按Ctrl+L,可以同时画出三条边并且三边同时被选取； 3、按Ctrl+M，可以同时画出三边中点且三中点同时被选取；

4、按Ctrl+L,可以同时画出小三角形三条边，标上标签即可。

第八步：(1) 按住Shift键不放，用“选择“工具选取点A、D、F；(2) 由菜单“作图”?“多边形内部”填充多边形内部；(3) 保持内部的选取状态，由菜单“度量”?“面积”，可以量出ADF的面积，如图1-1.11。

C

FEADB图1-1.10

C面积 ADF = 0.77 cm2FEADB图1-1.11

第九步：(1) 用同样的方法，填充并度量三角形2面积 ADF =0.77 cm BDE、ECF、DEF；(2) 选取DEF的内部，由菜

0.77 cm2单“显示”?“颜色”，选择其它颜色，如蓝色，面积 DBE = 2得到如图1-1.12。 面积 ECF =0.77 cm 2面积 DEF =0.77 cm

CFEADB图1-1.2

注意：在制作过程中，要经常保存文件，以免因意外原因造成文件丢失，以下每一个例子都是这样，不再加以说明。 归纳结论：

拖动顶点A、B、C中的任一个，可以改变三角形的大小和形状，请观察不同情况下，四部分的面积是否总是相等？这样做可以完成分饼的任务吗？

说明：这是通过实验来验证数学规律，不能保证结论一定是正确，一般来说，有一些结果经过了人

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类的长期实践，大家都公认了它的正确性，这时会把这个结论作为公理直接使用；而大多数情况下，实验得到的结果仍然需要进行推理证明。那么，实验有什么用呢？实验可以帮助我们认识规律，更容易接受知识，并且常常可以让我们找到解决问题的方向。 练习：

1、对于方案二，四等分面积的问题就转化为四等分线段的问题，四等分线段可以用哪些方法？

2、为了方便在改变等分的份数（例如要分成五份）时方法仍然能用，这里介绍利用平行线等分线段的方法把一条线段四等分。

C第一步：(1) 选取“画射线”工具；(2)移动鼠标到与点A

重合，按住左键拖动，画出一条以点A为端点的射线AD，得如图1-1.13。

第二步：(1) 选取“画点”工具，移动鼠标到射线AD上，在靠近点A处单击画出一个点E，得如图1-1.14；

(2) 按住Shift键不放，用“选择”工具，依次选取点A、E，由菜单“变换”?“标记向量A-E”。

说明：标记了一个向量后，可以在后面的平移变换中按这个向量来平移，保证出现若干段相等的线段， 标记向量时，一定要注意选选择点的先后顺序。

第三步：(1) 用“选择”工具选取点E，由菜单“变换”?“平移…”，在弹出的对话框中点“确定”即可得一点Ｅ’；(2) 选取Ｅ’，做同样的操作可以得Ｅ’’，……，这样做下去，直到得到你想要的若干段相等的线段，这里是四段，如图1-1.15。

4

ABD图1-1.13

CABED图1-1.14

CABEE'E''E'''D图1-1.15

第四步：(1) 连结BＥ’’’；（2）同时选取线段BＥ’’’、点E、Ｅ’、Ｅ’’，由菜单“作图”?“平行线”，画出了一组平行线，如图1-1.16。

CAEE'E''E'''DB图1-1.16

C第五步：(1) 用“选择”工具单击平行线和AB相交处，

得到三个四等分点；

(2) 选取所有平行线、射线AD及AD上的点(除A外)，由菜单“显示”?“隐藏 对象”，可以隐藏制作过程中的辅助线。得如图1-1.17。

以下只要连结点C和三个四等分点就行了，……

B注意：在最后结果中不需要看到的对象，一般是把它隐A

藏，如果你选取后删去了它，你会发现你要的四等分点图1-1.17 也会消失，这是因为这些点是受辅助线控制的，隐藏的对象只是看不到，但它仍然起作用。隐藏和删除是不同的。

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例一的练习供参考。 ３、自己比较一下这两种方法，在只需要四等分的情况下，哪种方法方便？，在需要其它等分的情况下，哪种方法更具有一般性？

案例二 三角形的内角和

现有一块三角形的木板，用来制作一个半圆形的木盖，请设计一个浪费比较小并且便于施工的方案。

图1-2.1

思路：以三角形较短一边的一半为半径，以三个顶点为圆心画弧，得到三个扇形后拼成半圆，如图1-2.2：

图1-2.2

那么，如何知道拼成的一定是一个半圆呢？下面用几何画板做一个实验来说明。

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方案：画一个三角形；量三个内角的度数；用几何画板的计算功能计算三个内角的和。如果对于任意的三角形，总有内角和是1800，那么说明拼成的一定是一个半圆形。 用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板绘图文件。画出三角形ABC 第二步：(1) 选取“选择”工具，按住Shift不放，B依次选取点B、A、C；(2) 由菜单中的“度量”?

BAC = 45.0?“角度”，量出∠BAC的度数，

ABC = 74.6?用同样的方法度量其它两个角。如图1-2.3

ACB = 60.4?说明：由于每个人画的图不同，度数不一定和图

1-2.3一样）。

AC图1-2.3

注意：选一个角的关键是角的顶点要第二个选。

第三步：由菜单“度量”?“计算”弹出一个计算B器，依次点击“∠BAC=…”、“+”、“∠

BAC = 45.0?ABC=…”“+”、“∠ACB=…”、“确定”，

ABC = 74.6?如图1-2.4。

ACB = 60.4?说明：“∠BAC=…”在本例中是“∠

BAC=45.00”，这里用省略号表示，是因为每个人

AC画的图不同，量出的度数有可能不同，以后类似的

BAC + ABC + ACB = 180.0?问题都这样来表示。

技巧：弹出计算器的方法有：(1) 由菜单“度量”图1-2.4 ?“计算”；(2) 双击工作区中的任一度量值，如“∠BAC=…”；(3) 在工作区中击鼠标右键，由“度量”?“计算”。 归纳结论：

请按要求操作后填写下表： 序号 操 作 现象 三个角的和等于 ∠BAC=______ 1 观察 ∠ABC=______ ∠ACB=______ ∠BAC=______ 用鼠标拖动其中一个顶点改变三2 ∠ABC=______ 角形变成钝角三角形 ∠ACB=______ ∠BAC=______ 用鼠标拖动其中一个顶点改变三3 ∠ABC=______ 角形变成直角三角形 ∠ACB=______ 用鼠标拖动其中一个顶点任意改4 三个内角的和总是 变三角形的形状 结论 三角形的内角和总是________ 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例二供参考。

练习：

1、自己画一个凸四边形，度量它的内角，计算内角和，验证凸四边形的内角和是3600。 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例二练习1供参考。 2、用“选择”工具同时选取点A、B，由菜单“度量”?“距离”，可以度量出线段AB的长度，请你用上面所学的知识验证“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”。 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例二练习2供参考。

案例三 最佳行走路线

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如图1-3.1：你身在草原上，现在要走到公路边去等车，请设计一个最佳行走路线。

图1-3.1

思路：把人所处位置看作一个点，公路看作一条直线，行走的路线看作线段，由垂线段最短可以找到最佳行走路线。

方案：画一条直线，过直线外一点引直线的垂线段和斜线段，度量线段的长，动态验证垂线段最短。 用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板绘图文件。

第二步：(1) 按住工具箱中的画线工具不放，在弹出的C工具条中选取“画直线”工具，按住鼠标左键拖动画出一条直线；(2) 用“画点”工具在直线外画一点，如图1-3.2。

AB

图1-3.2

第三步：(1) 按Shift键，用鼠标选取点C和直线AB，(不要选取点A和B)；(2) 由菜单“作图”?“垂线”，画出了过点C垂直于AB的直线，如图1-3.3

说明：虽然点A、B在直线AB上，但选取直线时并没有选取直线上的点，在后面的学习中，如果要求选取直线、A线段、圆等对象，这时不要把对象上的点也选取，除非特别指明要选取这些点。

第四步：(1) 用“选择”工具单击垂足处，定义出垂足，标上标签D；

(2) 选取垂线CD(不要选取点C、D)、点A、B，由“显示”?“隐藏”，把选取的对象隐藏，用“文本”工具在直线上点一下，标出直线的标签j；(3) 选“画线段”工具，连结线段CD，如图1-3.4。

说明：点A、B是控制直线AB的点，通过拖动这两点，可以改变直线的方向和位置，一般情况下，如果不想再改变直线的位置，或不再画其它线经过这两个点，可以在制作完成后把它隐藏。

CC

B图1-3.3 jD1-3.4

E 7

第五步：(1) 选取“画线段”工具；(2) 移动鼠标到点C处，按下左键拖动，当鼠标位于直线j上时松开，如图1-3.5。 技巧：CE是直线j的斜线段，所以要保证一个端点是C，另一个端点E只能在直线j上移动，怎样才能保证呢？，在画图的过程中，移动鼠标到点C时，注意观察状态栏中有“从点C”，这时按下左键可以保证一个端点为C，移动鼠标到直线j时，状态栏中有“到点位于直线j”时松开，这样点E一定在直线上，不能拖到直线外。在几何画板中，状态栏的作用非常重要。

第六步：同时选取点C、D，由“度量”?“距离”，量出CD，同理量出CE，如图1-3.6。

CjD图1-3.5

E

CD = 1.68 cmCE = 2.16 cmCjD图1-3.6

E

归纳结论：

拖动点E在直线j上移动，观察CD与CE的大小，什么时候CE=CD？，除了这个位置外的其它位置CD与CE哪一个比较大？

以上操作说明：从直线处一点引直线的所有线段中，_________最短，因而最佳行走路线是走点到直线的垂线段。

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载实例三供参考。 练习：

1、在图1-3.6的基础上，增加一个点F，通过度量∠CDF、∠CEF，如图1-3.7，拖动点E，观察什么情况下两个角相等，除了CD外，CE在其它位置能和直线j垂直吗？

CD = 1.68 cmCE = 2.16 cmCCDF = 90?CEF = 51?FjDE图1-3.7

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例三练习供参考。

案例四 横梁有多长

如图1-4.1，一个三角形屋架，屋面的宽度是13米，立柱长5米，那么横梁有多长？

图1-4.1

思路：这是直角三角形中应用勾股定理的问题，那么，是不是任意的直角三角形三边都有这种关系？ 方案：大家都已经证明过勾股定理，但现在我们用不同的方法来重新认识一下这个老朋友。用几何画板画一个直角三角形，度量三条边，计算两直角边的平方和，计算斜边的平方，不断改变图形的大小形状(但保持直角不变)，验证定理是否总是成立。

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用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板绘图文件。

第二步：在工作区中画一条线段AB，如图1-4.2。

第三步：(1) 按住Shift，用“选择”工具选取点A和线段AB；(2) 由菜单“作图”?“垂线”，作出点A垂直于线段AB的直线。如图1-4.3

注意：不要选另外一个端点B，那样过B点也会有一条直线与AB垂直，本例中我们不需要同时画两条垂线。 技巧：只有这样画的图才能在你拖动点改变图形的大小和形状时总是保持垂直的关系，如果只是画出一条自己看上去“垂直”的直线，就不能在改变形状时保持垂直关系。

第三步：(1) 选“画点”工具；(2) 移动鼠标到垂线上单击，如图图1-4.4

注意：观察状态栏中出现“点位于直线上”时单击，这样画的点永远位于直线上，不会拖到外面。

AB图1-4.2

AB图1-4.3

CAB图1-4.4

第三步：(1) 选取垂线CD，由“显示”?“隐藏直线”，C把垂线隐藏； (2) 用画线段工具画出线段AC、线段BC，如图1-4.5。 技巧：最后的图中应该是线段，但为了保证变化过程中A保持垂直关系，必须先画辅助垂线，最后在不需要时把

图1-4.5

它隐藏。

第四步：用“文本”工具单击三角形的三边，得到如图Cm1-4.6所示，

A

B

njB图1-4.6

第五步：用“文本”工具双击标签n，在弹出的对话框中作如下改动：如图1-4.7。

CbAaBc图1-4.8

9

图1-4.7

用同样的方法改j为c，改m为b，如图1-4.8。 说明：这样做是为了照顾我们的数学习惯，或者是题目本身的要求，这种改点或线的标签的方法，在操作过程中会经常用到。

第七步：同时选取线段a、b、c，由菜单“度量”?“长度”，可以同时量出三条边的长度，如图1-4.9

CbAaBa = 3.03 cmcc = 2.70 cmb = 1.39 cm图1-4.9

第八步：弹出计算器，依次点击“b=…”、“^”、“2”、“+”、“c=…”、“^”、“2”，然后按“确定”，可以计算出b2+c2的值；同样可以算出a2的值， 得到如图1-4.10，

说明：这里“^”表示乘方运算。

CbAaBa = 3.03 cm

cc = 2.70 cmb = 1.39 cmb2 + c2 = 9.20 cm2a2 = 9.20 cm2图1-4.10

归纳结论： 序号 操 作

现象 b2+c2与a2相等吗？ b2+c2=____ 1 观察 a2=_____ b2+c2=____ 2 用鼠标拖动点B到另一位置。 a2=_____ b2+c2=____ 3 用鼠标拖动点B到另一位置。 a2=_____ 4 任意拖动三角形顶点改变直角三角形的形状， 结论 b2+c2____a2 可以看到，总是有两直角边的平方和等于斜边的平方，本例中的横梁用勾股定理算得一半为12米，

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全长为24米。

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载实例四供参考。 练习：

1、量出直角三角形的两锐角的度数，验证直角三角形的两锐角互余。

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例四练习1供参考。

2、学画一个矩形，先完成本例到第三步得图1-4.11，这里只是把原来的点C改成了D。

DAB图1-4.11

（1）选取点D和线段AB，由“作图”?“平行线”，画出过D平行AB的直线；（2）选取点B和直线AD，同样画出过点B平行于AD的直线；（3）用“选择”工具定义出第四个顶点，标记标签为C；如图1-4.12 CDA图1-4.12

（4）隐藏三条直线，画出线段AD、DC、CB，即得矩形ABCD，如图1-4.13。

说明：拖动点A、B可以改变矩形的大小和位置并可以旋转一定的角度；拖动点D只能改变矩形在纵向上的大小，拖动点C不会改变矩形的大小，但可以改变矩形的位置，但无论如何改变，这个图形一定是矩形，你可以通过度量角和边来证实这一点。

DB CAB图1-4-13

3、先画出如图1-4-14的图形，然后用类似于第2题的方法画一个平行四边形，

CA

B图1-4-14

案例五 三角形的高

三角形的高可能出现在哪些位置？

思路：应该对于直角、锐角、钝角三种不同类形的三角作不同的回答。

方案：如果用笔在纸上画图，只能三种类型中各画一个图来说明，现在借助几何画板，我们可以动态地改变三角形的形状，使不同类形的三角形的高可以动态改变。

用几何画板验证：

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第一步：(1) 选取“画点”工具画三个点；(2) 选取“画直线”工具后，什么都不用做；(3) 选取“选择”工具，在屏幕上拉一个虚线框框住画好的三点；(4) 由菜单“作图”?“画直线” (快捷键是Ctrl+L) ，可以画出过这三点的三条直线，标上标签，如图1-5.1。

技巧：(1) 如果要选取的对象比较多，可以用“选择”工具在工作区中拉一个虚线框框住这些对象，这时可能会多选了一些你并不想选的，可以按Shift键后，单击该对象取消选择状态；(2) 上面第二步选“画直线”工具的操作会影响菜单中会不会出出“画直线”的选项，AB1-5.1 C 如果你没有做这一步，菜单中通常出现“画线段”，也就是说，几何画板中的有些菜单命令和按钮的显示状态是相关的。

第二步：过点A作直线BC的垂线，并单击垂足，定义出垂足D，用同样的方法作出垂线BE和CF，如图1-5.2，

第三步：按住Shift键，用“选择”工具选取所有的直线，注意不要选到点；由菜单“显示”?“隐藏直线”，可以隐藏所有直线，得到如图1-5.3

第四步：(1) 同时选取点A、B，(2) 选取“画线段”工具，然后按Ctrl+L，画出线段AB;(3) 用同样的方法画

出线段BC、AC、AD、BE、CF，得到如图1-5.4。

技巧：上面说Ctrl+L是画直线，但当你先画了“画线段”的工具后，它的功能会自动变边画线段。 注意：为什么不一开始就画三条线段组成三角形呢？这是本例的要点，因为如果一开始画的是线段，点D、E、F被定义为垂线和线段的交点，如果你拖动三角形变为钝角三角形，垂线和线段没有交点，这样会导致有两条高消失。现在的点D、E、F分别是垂线和直线的交点，再拉动三角形成钝角三角形时，高不会消失。

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AFEBDC图1-5.2 AFEBDC图1-5.3

AFEBDC1-5.4

图 第五步：(1) 拖动点A，使∠ACB变成钝角，（如图1-5.5）；(2) 选取点C和D，按Ctrl+L，画出线段CD；(3) 保持线段CD的选取状态，由菜单“显示”?“线型”?“虚线”，改CD为虚线，符合通常的习惯， 用同样的方法画线虚线段CE，

AFBE图1-5.5

AFCDBECD

第六步：拖动点A使使∠ABC变成钝角后用同样的方法作出虚线段BF。最后完成图1-5.6

AED图1-5.6

BFC

归纳结论； 序号 1 观察 操 作 三角形三条高的位置 三条高（或高的延长线）交于一点吗？ 用鼠标拖动点C到另一位置。 2 使△ABC仍为锐角三角形，再观察， 用鼠标拖动点A到另一位置。 3 使△ABC变为直角三角形，再观察， 用鼠标拖动点A到另一位置。使4 ∠ABC为钝角，再观察 结论 三角形的三条高或高的延长线___________. 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例五供参考。 练习：

观察三角形的三条中线，三条角平分线的位置关系。

其中画中点的方法：选取线段，由菜单“作图”?“中点”（或按Ctrl+M）可以作出线段的中点，接着就可以画中线了；

画角平分线的方法：如按Shift，依次点选点B、A、C，可以作出∠BAC的平分线，确定角平分线和对边的交点后，隐藏角平分线，再连出线段就行了。

1、请自己画一个三角形作出它的三条中线，然后按要求填写实验报告。 三角形三条中线三条中线交于一点序号 操 作 的位置 吗？ 1 观察 用鼠标拖动点C到另一位置。 2 使△ABC仍为锐角三角形，再观察， 3 用鼠标拖动点A到另一位置。

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使△ABC变为直角三角形，再观察， 用鼠标拖动点A到另一位置。使4 ∠ABC为钝角，再观察 结论 三角形的三条中线___________. 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例五练习1供参考。 2、请自己画一个三角形，作出它的三条角平分线，然后按要求填写实验报告。 三角形三条角平三条角平分线交于一序号 操 作 分线的位置 点吗？ 1 观察 用鼠标拖动点C到另一位置。 2 使△ABC仍为锐角三角形，再观察， 用鼠标拖动点A到另一位置。 3 使△ABC变为直角三角形，再观察， 用鼠标拖动点A到另一位置。使4 ∠ABC为钝角，再观察 结论 三角形的三条角平分线___________. 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例五练习2供参考。

案例六 挂画的学问

要把一幅画挂在墙上，画的上下边框要和横梁平行，左右与立柱的距离相等，应该如何钉上

挂钉？

图1-6.1

思路： 这个问题可以转化为和线段的垂直平分线有关的问题。

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方案：挂绳拉紧后，挂点到像框边框两端的距离应该相等，考虑到平行和等距的条件，只要横梁的中垂线与边框中垂线二线合一就行了，所以只要画横梁的中垂线，把挂绳的中点定位在横梁中垂线上即可。下面验证“线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等”。 用几何画板验证：

第一步：画一条线段AB。如图1-6.2 AB

图1-6.2

第二步：(1) 用选择工具选取线段AB，(2) 由菜单“作 图”?“中点”（快捷键是Ctrl+M），画出线段AB的

AB中点C，如图1-6.3 C 注意：不要多选其他对象，如果你多选了其他对象，“中

如图1-6.3

点”这个选项是灰色的不可用，一般来说，只要选择的对象不符合要求的条件，就不可能使用相应的菜单项。

第三步：(1) 用“选择”工具按住左键拉一个框经过点C和线段AB（但不要框住A、B两点），这样可以同时选取点C和线段AB，(2) 由菜单“作图”?“垂线”，

B画出过点C垂直于线段AB的垂线，即是线段AB的垂AC直平分线。如图1-6.4 注意：如果你画的图不是这样，过点A或B也有了垂线，

那是因为你多选了点A或点B。 图1-6.4

第四步：选取“画点”工具，在中垂线上画一点，标记为P，如图1-6.5

PACB图1-6.5

第五步：(1) 画出线段PA、PB；(2) 选取点P、A，由菜单“度量”?“距离”，量得PA，同样量出PB。

第六步：(1) 同时选取点P和中垂线；(2) 由菜单“编辑”?“操作类按钮”?“动画”，在弹出的对话框中，设置如图1-6.6

动画PPA = 2.59 cmPB = 2.59 cmACB

图1-6.7

图1-6.6

这样在屏幕上会出出一个“动画”按钮，当双击这个按钮时，点P会在直线上双向地移动。便于我们动态地观察。

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最后结果如图1-6.7。 注意：不要多选其它对象，这里只需要点P在中垂线上运动。

归纳结论： 序号 操 作 现象 结论(是否相等) 这时PA=____ 1 PA____PB 拖动点P到另一位置， PB=____ 这时PA=____ 2 PA____PB 拖动点P到第二个位置 PB=____ 这时PA=____ 3 PA____PB 拖动点P到第三个位置 PB=____ 点P在AB的中垂4 PA____PB 双击“动画”按钮， 线上不停的运动， 结论 只要点P在线段AB的中垂线上，实验过程中PA______PB. 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例六供参考。 练习:

1、我们将在前面作图的基础上，进一步验证等腰三角形、等边三角形的一些性质。 第七步：(1) 选取垂直平分线，将它隐藏；(2) 画出线动画段PC。得到如图1-6.8。 PPA = 2.59 cmPB = 2.59 cmA图1-6.8

第八步：用量距离的方法量AC、BC，量∠PAB、∠PBA、∠APB、∠PCB、∠APC、∠BPC的度数，得到如图1-6.9。

CB

P动画PA = 3.17 cmPB = 3.17 cmAC = 1.47 cmBC = 1.47 cmAPC = 27.53?BPC = 27.53?BPA = 55.06?APAB = 62.47?PBA = 62.47?CBPCB = 90.00?图1-6.9

归纳结论： 序号 操 作 1 2 3 4

用鼠标拖动（或双击动画按钮）不断地改变点P位置。 现象 PA和PB总是相等吗？ ____________________ ∠PAB和∠PBA总是相等吗？ ∠PCB总是等于90度吗？______________ AC和CB的长总是相等吗？______ 16

结论 △PAB是______三角形。 等腰三角形的两底角__________ PC是等腰三角底边上的________ PC是等腰三角形底边上的_________. 5 结论 ∠APC和∠BPC总是相等吗？__________ PC是等腰三角形顶角的_______________. 等腰三角形的两底角_______，底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线__________. 也可以拖动使∠APB=600，再观察边角的变化。 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例六练习1供参考。

2、学画一个菱形，接第1题，先画出如图1-6.10的图形，由于点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA=PB。

PA

CB图1-6.10

（1）选择线段AB，由“变换”?“标记镜面…”，标记AB为镜面，线段上出现闪烁后消失的两个方框。

说明：标记镜面后，一个对象如果关于这个镜面反射，这时就好象人照镜子一样，人离镜面近，人像离镜面也近，用数学的说法，镜面就是对称轴，反射可以得到对称点或对称图形。 技巧：标记镜面的另两种方法：（1）直接双击直线（线段、射线）；（2）选取直线（线段、射线）后用快捷键Ctrl+G.

（2）同时选取点P、线段PA、PC、PB；（3）由“变换”?“反射”，得到如图1-6.11。

（4）用“文本”工具改各点标签为你想要的，例如得图1-6.12。

说明：在几何画板中，画特殊四边形的方法不只一种，A但不管用哪种方法，都要符合图形的几何关系，也就是当改变大小了位置时，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。

PDCBAOCB图1-6.11 图1-6.12

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例六练习2供参考。

案例七 抽水房的位置

17

在一条河的同一旁有两个村庄A和B，现在要在河边建一个抽水房，应该建在什么位置，

才能使所用的水管的钱最少?

图1-7.1

思路：用钱最少，一般要求所用的水管最短，转化为数学问题，即是在表示河流的直线上找一个点C，使AC+BC最小。

方案：作点A关于河流的对称点A’，连A’B交河流于C，计算AC+CB；在河流上另取一点D，计算AD+DB，通过拖动点D在直线上移动，验证AC+CB最小，从而说明C为最佳点。 用几何画板验证： 第一步：（1）画出表示村庄的点A、B；（2）画一条直B线表示河流，隐藏直线上的两个点，设置直线的标签为

A“河流”，如图1-7.2。 说明：标签可以用中文表示，这种技巧常用来标注点或线等对象的功能，例如：给某一点标上“拖动我改变图河流 形”。

图1-7.2

第二步：（1）选取表示河流的直线；（2）由菜单“变换”?“标记镜面…”，直线上出现闪烁后消失的两个方框。

B第三步：（1）选取点A，由菜单“变换”?“反射”，

得点A关于直线（河流）的对称点；（2）用文本工具A标出标签，默认的是字母A’，得到如图1-7.3

河流A'图1-7.3

18

第四步：（1）用“画线段”工具连结A’B；（2）用“选择”工具在线段和河流相交处单击，作出线段和河流的交点，标出交点的标签C，如图1-7.4。

BACA'河流图1-7.4

第五步：（1）用“画点”工具在河流上画一个点，标记为D；（2）用“画线段”工具连结AC、AD、BD、A’D，

A如图1-7.5。

CA'DB

河流图1-7.5

第六步：（1）同时选取点A、点C；（2）A'C 0.= 45 cmAD =AC 0.= 45 cm0. 89 cmA'D =0. 89 cm由菜单“度量?“距离”，量出AC；（3）DB =0. 63 cmCB 0.= 92 cm用同样的方法量出A’C、CB、AD、A’D、BDB，如图1-7.6。 A说明：量出点A、C的距离，由数学定义可知，这就是线段的长；量线段的长还可以

C直接选取线段AC，（不要选取点A、C），D河流“度量”?“长度”，但这样的方法无法直

A'接量出图1-7.6中CB的长，还要进一步作

图。 图1-7.6

第七步：（1）调出计算A'C 0.= 45 cmAD =AC =0. 45 cm0. 89 cmA'D =0. 89 cm器；（2）依次点击DB =0. 63 cmCB =0. 92 cm“AC=…”、“+”、B“CB=…”、“确定”，可A以计算出AC+CB的值；（3）同样去计算

CA’C+CB、AD+DB、D河流A’D+DB，拖动到适当位

A'置得到如图1-7.8。

AC + CB1. =3 7 cmAD + DB1. =5 2 cm1. 5=2 cmA'C + CB1. =3 7 cmA'D + DB图1-7.8

归纳结论：

(一) 序号 1 2 3

操 作 观察 拖动点D远离点C， 拖动点D靠近点C， 现象 D点是否是最佳点 AC+CB=____ AD+DB=____ 上面的两个和差距 变______（大或小） 上面的两个和差距19 4 结论 （二） 序号 变______（大或小） 上面的两个和 拖动点D与点C重合， _____ 以上现象说明，只有取点____处，才能使所用的水管最短， 操 作 现象 有无相等的关系 AC+CB=____ A’C+CB=____ 1 观察 AD+DB=____ A’D+DB=____ AC+CB=____ A’C+CB=____ 2 拖动点D远离点C， AD+DB=____ A’D+DB=____ AC+CB=____ A’C+CB=____ 3 拖动点D靠近点C， AD+DB=____ A’D+DB=____ AC+CB=____ A’C+CB=____ 4 拖动点D与点C重合， AD+DB=____ A’D+DB=____ 以上现象说明，研究AC+CB、AD+DB的关系，可以转为研究A’C+CB和结论 A’D+DB的关系，而这个关系可以简单地用三角形的两边之和____第三边来说明。 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例七供参考。 练习：

画一条直线，在直线的一旁画一个三角形，标记直线为“镜面”（即对称轴），选取三角形的全部（包括顶点和边），“反射”出它关于直线对称的图形，

1、 用鼠标拖动改变三角形的形状，体会“对称的图形是全等形”，

2、 连结对称点，通过过量角和量线段，体会“对称点的连线被对称轴垂直平分”。 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例七练习供参考。

案例八 选择厂址

如图，河南区新建一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥的距离为300米，在图上标出工厂的位置，并说明理由。比例尺是1：20000

20

图1-8.1

思路：这里可以把桥看作是一个角的顶点，河岸和公路分别是角的两边，问题转化为：在角平分线上找一点，使它到顶点的距离是300米。 方案：（1）画出角的平分线，以顶点为圆心；（2）1.5cm为半径画圆，定义圆与角平分线的交点即为所求。

用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板文件。

第二步：选“画射线”工具，画一个角，如图1-8.2。 ABC图1-8.2

第三步：（1）用“选择”工具依次选取点B、A、C；（2）由菜单“作图”?“角平分线”，画出了∠BAC的平分线，如图1-8.3。

CA B图1-8.3

第四步：用“画点工具”在角平分线上画一个点，标出标签。得到如图1-8.4。

A BCD图1-8.4

21

第五步：（1）用“选择”工具同时选取点D和射线AB；A（2）由“作图”?“垂线”，画出过点D垂直于射线AB的直线；（3）用“选择”工具单击垂足处，定义表示垂足的点，并用“文本”工具标上标签；（4）选取画好的垂线，把它隐藏，并用“画线段”工具画出垂线段DE，用同样的方法画出垂线段DF，得到如图1-8.5

第六步：（1）选取点D和射线AD，（2）由“编辑”?“操作类按钮”?“动画”，在弹出的对话框中设置点D在射线AD上双向慢速运动。得到如图1-8.6。

第七步：度量出∠AED、∠AFD，线段DE、DF，最后的结果如图1-8.7。

操作验证：双击“动画”按钮或用鼠标拖动点D移动，可以发现DE、DF总是分别垂直于角的两边，并且DE=DF，这说明了我们要找的点可以定位于角平分线上。

第八步：在工作区中画一条线段GH，量出距离，通过调整G、H的位置，使GH=1.5cm。如图1-8.8 说明：取GH=1.5cm是因为比例尺是1：20000。

第九步：（1）同时选取点A和线段GH（不要选点G和H）；（2）由“作图”?“以圆心和半径画圆”，得到一个以点A为圆心，半径是1.5cm的圆；（3）用“选择”工具单击圆与角平分线的相交处，定义出的交点I即为所求。如图1-8.9

22

FEBCD图1-8.5 A动画FEBCD图1-8.6

AED 9=0. 00?A动画AFD =90. 00?DF =1. 27 cmFEDE =1. 27 cmBCD图1-8.7

GH 1.= 50 cmGHAED 9=0. 00?A动画AFD =90. 00?DF =1. 27 cmFEDE =1. 27 cmBCD

图1-8.8

GH 1.= 50 cmGHAED 9=0. 00?A动画AFD =90. 00?DF =1. 43 cmEDE =1. 43 cmFIBCD

如图1-8.9

第十步：（1）选取圆把它隐藏；（2）度量AI；（3）选取点I和射线AB，由“度量”?“距离”，可以量出点I到射线的距离，同理量出点到角的另一边的距离，如图1-8.10 由图可知，点I为所求的点。 说明：本例是为了帮助学习角平分线的有关作图，复习角平分线的性质，所以设计了较多的步骤，如果只是为了解决问题本身，可以在画好角平分线后转入第八步，可以快速确定出点I。

AI = 1.50 cmGH = 1.50 cmGAED = 90.00?AFD = 90.00?DF = 1.43 cmFDE = 1.43 cmCDA距离(IA到B) = 0.98 cmH距离(IA到C) = 0.98 cm动画EIB图1-8.10

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例八供参考。 练习：

1、如图1-8.11是两个互为邻补角的角，分别画出它们的角平分线，验证所画角平分线的关系。

C

AOB

图1-8.11

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例八练习1供参考。 2、验证平行线的性质 第一步：（1）画一条直线；（2）在直线外画一点。如C图1-8.12。

AB图1-8.12

第二步：（1）选取点C和直线AB；（2）由“作图”?“平行线”，得如图1-8.13

C

AB图1-8.13

第三步：画第三条直线和这两条平行线相交，最后完成如图1-8.14

CED

A

23

FB 图1-8.14

请自己度量同位角、内错角，同旁内角，计算同旁内角的和，拖动点改变图形，验证平行线的性质。 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例八练习2供参考。

案例九 古建筑的窗格

在古建筑中，常可以看到这样的窗格，如图1-9.1，这其中有什么数学知识呢？

图1-9.1

思路：外圈是一个矩形，相当于连结矩形四边的中点，得到一个四边形，再连结它的四边的中点。 方案：（1）先画一个平行四边形，顺次连结四边中点，再顺次连结所得四边形四边中点，度量三个四边形的四边和一个内角，此步可以用来说明“顺次连结平行四边形四边中点得到什么样的图形”；

（2）通过拖动点的位置，使最大的四边形的一个内角的度数为900，这时可以观察里面的两个四边形，此步可以说明：“顺次连结矩形四边中点得到什么样的图形”、“顺次连结菱形四边中点得到什么样的图形”；

（3）继续拖动点的位置，保持最大四边形的内角是900的前提下，使它的邻边相等，这时最大的四边形是正方形，此步可以说明：“顺次连结正方形四边中点得到什么样的图形”。 用几何画板验证：

第一步：画一个平行四边形， CD（1） 先画好线段AB、BC；

（2） 分别过点C作线段AB的平行线，过点A作线

段BC的平行线；

（3） 用“选择”工具定义得交点D，如图1-9.2。 BA 图1-9.2

第二步：（1）隐藏直线AD、DC；（2）连结线段AD、DCDC，得如图1-9.3。

注意：隐藏直线时不要误选点A、D、C，这三点不能隐藏。

AB

图1-9.3

第三步：（1）选取平行四边形的四边，由“作图”?“中点”，画出四边中点，用线段顺次连结；

（2）再选取所连四条线段，同样定义中点，顺次连结，如图1-9.4。

DKHLAE

GJFIBC图1-9.4

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第四步：（1）同时选点A、B，由“度量”?“距离”，量出AB的长，用同样的方法量出每个四边形的四条边；

（2）按住Shift，依次选点D、A、B，量出∠DAB，同样量∠HEF、∠KLI；得如图1-9.5。

DKHLAEGJFIBCLI = 1.23 cmIJ = 1.02 cm1.02 cmKJ = 1.23 cmLK = KLI = 64.91?AB = 2.46 cmBC = 2.04 cmHE = 1.22 cmEF = 1.90 cmDC = 2.46 cmAD = 2.04 cmGF = 1.22 cmHG = 1.90 cmDAB = 64.91?HEF = 101.76?图1-9.5

归纳结论：

（1） 拖动点C改变平行四边形ABCD的大小和位置，可以看到ABCD总是平行四边形，四边形EFGH

是_______________,四边形I JKL是____________，说明顺次连结平行四边形的四边中点，所得的图形是________________.

（2） 拖动点C，使∠DAB=900，这时ABCD是______形，四边形EFGH是_______，四边形IJKL是

________。说明顺次连结矩形四边中点得_______，顺次连结菱形四边中点得______.

（3） 拖动点C，保持∠DAB=900，同时使AB=AD，这时ABCD是______形，四边形EFGH是_______，

四边形I JKL是________。说明顺次连结正方形四边中点得_______。

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例九供参考。 练习： 1、（1）画一个四边形，顺次连结四边中点，如图1-9.6，看得到的GFEH什么样的图形，请度量GFEH的边长来说明；

（2）拖动点A成图1-9.7位置，GFEH还是平行四边形吗？ （3）拖动点A成图1-9.8位置，GFEH还是平行四边形吗？

以上操作说明：四条线段首尾相接(不一定是凸四边形)，顺次连结各线段中点所得的图形是_______

DGAFBHCEHDGAFCAGHCDEFE图1-9.6

B图1-9.8

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例八练习1供参考。

2、更深入的探究：顺次连结什么样的四边形的四边中点可以得到矩形、菱形、正方形？ （1）连结得正方形。

第一步：画一条线段，AB，在AB上画一点C，如图AC1-9.9

图1-9.9

第二步：用“选择”工具双击点C，标记点C为中心，

下面将要进行的旋转是绕点C进行的， 技巧：标记一点为中心的另两种方法是

25

图1-9.7

B

B

（1） 选取一个点，由“变换”?“标记中心”； （2） 选取一个点，按快捷键Ctrl+F。

第三步：选取点A、B，由“变换”?“旋转”，在弹出的对话框中设置如图1-9.10：得到如图1-9.11。

A图1-9.10

说明：这样做的目的是保证两条线段垂直且相等。

第四步：选取点A'、B'，由“变换”?“平移”，在弹出的对话框中做如图1-9.12设置，得图1-9.13。

图1-9.12 说明：如果我们直接由刚才的四个点连结得四边形，会得到一个梯形，平移的目的在于，平移后A''B''仍垂直且等于AB，但四边形不再是梯形，这时可以得到一个比较一般的四边形。

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B'CBA'图1-9.11

B''B'ACBA''A'图1-9.13

第五步：隐藏A'、B'，连结AA''、A''B、AB''、BB''，如图1-9.14。

B''ACA''B图1-9.14

第六步：作四边形各边中点，连结如图1-9.15。

以下请自己度量DEFG的四边和一个内角，通过拖动点C改变图形，

只要四边形的对角线垂且相等，顺次连结四边中点所得图形是_______。

ADA''EB''GCBF

图1-9.15

（2）自己画两条垂直但不相等的相交线段，以它们为对角线画出四边形，看看顺次连结四边中点得什么样的图形。

（3）画两条相等但不垂直的相交直线，以它们为对角线画出四边形，看看顺次连结四边中点得什么样的图形。

提示：在第（1）小题中旋转时不要转900，改为其它度数即可。

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例八练习2供参考。

案例十 成功之路不只一条

以几何画板为工具，你会用多少种方法来画一个正方形？

思路：无论你用什么方法，你必须保证这样的结果，画好的正方形在改变大小和位置时，仍然是一个正方形，也就是说，“四边相等”、“四个角是直角”、“对角线互相垂直平分且相等”这些性质仍然保持。 下面给出一些方案，如果你能看懂，自己完成，否则请参考后面的详细步骤： 方案一：（1）画一条线段；（2）作出线段的中点；（3）标记中点为“中心”；（4）选取线段和它的两个端点，由“变换”?“旋转”，在弹出的对话框中设置“按90度旋转”；（5）连结旋转后两条线段的端点。 方案二：（1）画一条线段；（2）标记线段的一个左端点为“中心”；（3）选取线段和右端点，按上面介绍的方法把它们旋转90度；（4）标记右端点为“中心”；（5）选取线段和左端点，按上面的方法旋转-90度；（6）连出第四条边。 方案三：（1）画一条直线，在这条直线上画一点；（2）过这一点画已知直线的垂线；（3）以垂足为圆心画一个圆；（4）定义出圆和两条直线的交点；（5）顺次连结四个交点，隐藏不需要的对象。 方案四：（1）画一个圆，标记圆心为中心；（2）；在圆上画一点，选取这个点，由“变换”?“旋转”，设置旋转90度，这时得到另一个点；（3）保持新得到的点的选取状态，把它又旋转90度，得到第三个顶点；（4）连结四个顶点，隐藏不需要的对象。 …………在这里提出你的新方案：

以上四种虽然都能画出正方形，但画好的四边形在控制大小和位置时有的比较方便，有的不是很方便，请自己比较哪些方案比较方便。

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用几何画板验证： 方案一的验证

第一步：画一条线段AB，作出它的中点C，用“选择”工具双击点C，点C被标记为中心，如图1-10.1。

第二步：选取点A、B和线段AB，由“变换”?“旋转”，在弹出的对话框中设置“按90度旋转”，如图1-10.2。

ACB图1-10-1

B'

ACBA'图1-10.2

第三步：改标签为我们常用的，如图1-10.2。

D

AOCB图1-10.2

第四步：最后连结得如图1-10.3。

说明：拖动点C或A可以把正方形“摆正”。

D

AOCB图1-10.3

方案二的验证：

用几何画板学习到现在，相信大家会有一个感觉，几何画板中为什么不能直接画出矩形、正方形等特殊图形，其实是可以的，但是这个功能需要自己把画图的过程保存为一个记录文件，然后在“对象参数设置”面板中设置好使用记录文件的路径，这时工具箱中会多出一个按钮，可以通过这个按钮调用记录文件，这时可以快速画好一个特殊的图形。 如何制作一个记录文件：

第一步：（1）新建一个几何画板文件；（2）选取“文件”?“新记录”，这时窗口变成如图1-10.4。左边是绘图窗口，右边是记录窗口，

注意：绘图文件是扩展名是.gsp，记录文件的扩展名是 .gss。

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图1-10.4

第二步：点一下记录窗口中的“记录”，按钮，记录窗口变成如图1-10.5。

图1-10.5

第三步：点击“绘图”窗口，在窗口中画一个线段，如图1-10.6。

第四步：（1）用“选择”工具双击左边端点，标记此点为“中心”；（2）选取右边的端点和线段，由“变换”?“旋转”，在弹出的对话框中设置“按90度旋转”，得如图1-10.7。

图1-10.6

图1-10.7

第五步：（1）用“选择”工具双击右边端点，标记此点为“中心”；（2）选取左边的端点和线段，由“变换”?“旋转”，在弹出的对话框中设置“按－90度旋转”，得如图1-10.8。

图1-10.8

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第六步：（1）连出最后一边；得图1-10.9；

（2）单击“记录窗口”中的停止按钮，结束记录的录制；

（3）在保持“记录窗口”是活动窗口的前提下，由“文件”?“存盘”，弹出“文件另存为”窗口，默认的文件名是“记录01.gss”，可以改为“正方形.gss”，默认

的位置是几何画板的安装目录，不用修改直接点“确

图1-10.9

定”。

以上的工作已经录制好一个记录并保存，下面学习如何从工作箱中调用这个记录。 如何设置记录工具所在目录：

第七步：（1）由“显示”?“参数选择…”，弹出一个对话框； （2）在对话框中点“R其他”按钮，又弹出一个“高级参数选择”对话框，请注意“记录工具目录”这一部分，如图1-10.10。

图1-10.10

第八步：（1）单击“设置”按钮，弹出选择目录对话框，选择目录为你刚才存放记录“正方形.gss”的文件夹；（2）点“确定”按钮关掉第三个对话框，再点“继续”按钮关掉第二个对话框，最后点“确定”关闭第一个对话框，完成记录工具目录的设置。

说明：这个操作只需设置一次，以后制作好的目录都存在已设置好的文件夹中，就可以方便的调用了。

如何使用记录工具： 第九步：当你正确设置好后，工具箱中会多出一个按钮，点击这个按钮，出现图1-10.11。 点取正方形这一项，然后在窗口中按鼠标左键拖动，可以快速画出一个正方形。

图1-10.11

练习：

1、 自己录制一个画矩形的记录，存放在正方形记录所在文件夹。 2、 录制一个画正三角形的记录。 3、 录制一个画平行四边形的记录。 4、 录制你常用的其它图形的记录。

案例十一 圆周角与圆心角

方案：画一个圆，画出一段弧所对的圆心角和圆周角，验证同弧所对的圆周角是圆心角的一半。 用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板文件。

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第二步：（1）选取“圆画”工具；（2）按住鼠标左键在工作区中拖动，可以画一个圆；（3）标出标签并改为所要的，如图1-11.1。 这时同时会出现两个点，一个是圆心，一个是圆上的点，这两个点可以用来控制圆的大小和位置，在下面的作图过程中，一般不要用到圆上的这一点，以免在拖动的过程中改变了圆的大小。

第三步：用“画点”工具，在圆上画出三个点，标上标签并改为点P、A、B，得到如图1-11.2。

OG图1-11.1

P

OGAB图1-11.2

第四步：连结PA、PB、OA、OB，度量∠AOB、∠APB，得到如图1-11.3。

AOB 8=3. 18?APB =41. 59?

POGAB图1-11.3

第五步：由菜单“度量”?“计算”，弹出几何画板的计算器，依次点取“∠APB”、“/”、“∠AOB”、“确定”，可以计算出两个角的比。得到如图1-11-4。

PAOB 8=3. 18?APB =41. 59?APB =0. 50AOB

OGAB图1-11-4

归纳结论： 序号 1

操 作 拖动点P，在弧AGB上移动， 现象 ∠APB=_____ ∠AOB=_____ 结论 同弧所对的圆周角_________; 同弧所对的圆周角是圆心角的____ ?APB?___ ?AOB31

2 拖动点B，把弧AB变长， ∠APB=_____ ∠AOB=_____ ?APB?___ ?AOB同弧所对的圆周角是圆心角的____ 结论 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例十一供参考。 练习：

1、 自己画一个圆，在圆上画四点，画出一个圆内接四边形，验证圆内接四边对角互补。 2、 画三角形的外接圆，画法要点：（1）先画好一个三角形；（2）画两边的垂直平分线，用“选

择工具”单击两条垂直平分线的交点处，确定出外心；（3）按住Shift，用“选择工具”先选取外心，再选取三角形的一个顶点，由菜单“作图”?“以圆心和圆周上的点画圆”，画出三角形的外接圆，隐藏两条中垂线，得到最后的图形。 3、 画三角形的内切圆，画法要点：（1）先画好一个三角形，画出三角形的两条角平分线，并确

定对角线的交点，即是内心；（2）过内心作一条边的垂线，确定出垂足；（3）按住Shift，用“选择工具”先选取内心，再选取刚才作的垂足，由菜单“作图”?“以圆心和圆周上的点画圆”，画出三角形的内切圆，隐藏两条角平分线和垂线，得到最后的图形。

案例十二 与圆有关的比例线段

思路：相交弦定理，切割线定理及其推论，形式上有类似之处，那么三者之间到底是什么样的关系呢？

方案：设计一个满足以下条件的小课件，（1）可以动态地变化出弦相交于圆内或它们的延长线相交于圆外；（2）割线和圆的两交点可以变成一个交点，从而变成切线，方便研究关系。

用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板文件。

第二步：在工作区画一个圆，并在圆上画四点，标上标CA签并改为A、B、C、D，如图1-12.1。

BD图1-12.1

第三步：（1）选取“画直线”工具，移动鼠标到点A按下，拖动到点B放开，画出直线AB，同理画直线CD；（2）用“选择”工具单击两条直线的交点处确定出交点。标记标签为P，得到图1-12.2。 注意：此步一定选画直线相交，如果一开始画的是线段，就不能让它们在圆外相交了。

CPB

AD图1-12.2

32

第四步：（1）选取刚才画的两条直线AB、CD，由菜单“显示”?“隐藏直线”，把直线AB、CD隐藏；（2）选取“画线段”工具分别画出线段PA、PB、PC、PD。得到图1-12.3。

BCPAD图1-12.3

第五步：（1）按Shift键不放，选取点P、A，由菜单“度量”?“距离”，量出PA，用同样的方法量出PB、PC、PD；（2）由菜单“度量”?“计算”，弹出几何画板的计算器，依次点击“PA=…”、“*”、“PB=…”、“确定”，可以计算出PA与PB的积，同理可以计算出PC与PD的积，得到如图1-12.4。 注意：由于每个人画的图不同，度量的数据和计算的结果都不会相同，但只要完成同样的操作就行了。

PA =0. 31 cmPB =0. 78 cm

PC =0. 37 cmCPPD =0. 67 cmAB2PAPB =0. 25 cmD2PCPD =0. 25 cm图1-12.4

归纳结论： 序号

结论 圆的两条弦AB与CD点P在圆的___部； 1 拖动点C在弧ACB上移动， 相交于点P， PA·PB_____PC·PD PA·PB_____PC·PD 圆的两条弦AB与CD点P在圆的___部； 的延长线相交于圆外2 拖动点C移到弧ABD上运动， PA·PB_____PC·PD 一点P， PA·PB_____PC·PD 从圆外一点引圆的切线段CD与圆的两个交线段和割线，切线和点变为___个，此时PC3 拖动点C移动到与点D重合。 是这点到割线与圆交（PD）就是圆的__线段 点的两条线段长的PA·PB_____PC2 __________。 从实验可以看出，如果考虑弦相交或弦的延长线相交，或者当两个交点变为一个结论 时，割线变成了切线，三个定理在本质_____（是或不是）统一的。 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例十二供参考。 练习： 1、 验证直线与圆的位置关系，操作要点：（1）画一个圆，画出它的一条半径，量出半径的

长；（2）画一条垂线，作出圆心到直线的垂线段，量出垂线段的长；（3）通过拖动直线和圆的相对位置，比较半径和垂线段的长的大小，找出相互关系的数量表示方法；

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例十二练习1供参考。 2、 验证圆与圆的位置关系：操作要点：（1），画大小不同的两个圆；（2）画出各自的半径和

连心线；（3）度量它们的半径和圆心距，并用计算器计算出半径之和、半径之差；（4）通过拖动圆（不要只拖圆心），改变两个圆的相对位置，找到不同位置关系下的数量表示方法。

如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例十二练习2供参考。

操 作 现象 33

案例十三 一次函数的图象

思路：

画出一次函数y=kx+b的图象，研究k、b对一次函数的位置关系的影响。 方案：

在横轴和纵轴上各画一个点，用横轴上的点的横坐标表示k，用纵轴上的点的纵坐标表示b，计算出函数值，画出函数的图象，通过拖动坐标轴上的点改变k和b的值，从而观察函数图象的变化。 用几何画板验证：

第一步：新建一个几何画板文件。

2第二步：由菜单“图表”?“建立坐标系”，这样可以在平面内建立一个平面直角坐标系；得到如图1-13.1。 1-2-1-112 2图1-13.1 第三步：（1） 选取“画点工具”，分别在x轴画两个点、y轴上画一个点；

（2） 用“文本”工具标出它们的标签，并x改轴上的为k，改y轴上的为b,，得到如图1-13.2 注意：这样不符合常规的表示方法，一般的点是用大写字母表示的，但这里为了能更清楚的观察，我们例外地这样表示。

1b-2-2-1-1图1-13.2 k12 第四步：（1） 选取b点和点k，由菜单“度量”?“坐标”，可以量出这两点的坐标；

（2） 由菜单“度量”?“计算”，弹出计算器。用鼠标在点b的坐标处单击。在弹出的一个灰色板中选y，然后按“确定”，这样可以计算出点b的纵坐标yb；用同样的方法，可以计算出点k的横坐标xk；

（3） 可以用“文本”工具双击xk，在弹出的对话框（图1-13.3）中选文本格式，并改等式的左边为k，同样可以改变yb的显示格式。

在x轴上再画一个点，度量它的坐标，分离出横坐标x=…，最后得到如图1-13.4。

-2X: (0.22, 0.00)b:(0.0 0, 0.67)k:(0.6 4, 0.00)b = 0.67 k = 0.64 2x= 0.22 1b-2图1-13.4 -1-1Xk12 34 -2

图1-13.3

第五步：(1) 由菜单“度量”?“计算”弹出计算器，然后顺次点取“k=…”、“*”、“x=…” “+”、“b=…”、“确定”，这样可以计算kx+b的值；

（2） 用“选择工具”按顺序选“x=…”、“kx+b=…”，由菜单“图表”?“P绘出点(x,y),可以绘出以“x=…”的值为横坐标，以“kx+b=…”为纵坐标的一个点，标记为点A。

（如果看不到这个点，请调整k、b-4的位-3置靠近原点，直到看到这个点）。

（3） 用“选择工具”选取点X和点A，然后由菜单“作图”?“轨迹”，可以画出一次函数y=kx+b的图象。得如图1-16.5。

归纳结论： （一） 序号 1 3X: (0.22, 0.00)b:(0.0 0, 0.67)k:(0.6 4, 0.00)b = 0.67 k = 0.64 x= 0.22 kx + b =0. 8121bA-2-1-1Xk1234图1-13.5 -2 操 作 现象 b____0 拖动点b在y轴的正半轴上移动， 2 拖动点b和原点重合， b____0 3 结论 拖动点b在y轴的负半轴上移动， b____0 结论 当b>0时，图象与y轴的交点在x轴的______方。 当b=0时，图象与y轴的交点在______。 当b<0时，图象与y轴的交点在x轴的______方。 b的数值决定了直线和_____轴交点的位置。

（二） 序号 操 作 1 拖动点k在x轴的正半轴上移动， 2 拖动点k和原点重合， 现象 k____0 k____0 3 k____0 拖动点k在x轴的正半轴上移动， 结论 k的数值决定了直线相对于_____轴倾斜的方向。 说明：当k=0时，函数已经不是一次函数，但仍然和一次函数有一定的联系。

35

结论 直线向____方倾斜 直线变成和___轴平行。 直线向____方倾斜

（三）

拖动点k和b，使它们的值满足下面的表格，观察函数图象经过的象限。 k>0 k=0 k<0 b>0 经过一、二、三象限 一、二 b=0 就是x轴 b<0 三、四 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例十三供参考。

练习：

用类似的方法画出反比例函数y?

k的图象，研究当k>0和k<0时函数图象的位置。 x案例十四 二函数的图象

思路：

画出函数y?a?x?h??k的图象，要求能动态地控制图象的开口方向、形状、位置。

2用几何画板验证：

第一步：建立一个新的几何画板文件， 第二步：（1）由菜单“图表”?“建立坐标系”，这样可以在平面内建立一个平面直角坐标系； （2）选取“画点”工具在x轴上画四个点，其中一个画得比较靠近原点，标记为x，另外三个尽量靠近工作区的最右边，不用标出标签； （3） 按住Shift不放，用“选择”工具选取刚才画的右边三点和x轴，由“作图”?“垂线”，画出分别过这三点垂直于x轴的三条直线； （4）选取“画点”工具，在画好的三条垂线上-2各画一个点，分别标标签为，a、h、k。 得到如图1-14.1。

2 1ahk-1x12-1图1-14.1

-2 36

第三步：（1）度量点x、a、h、k的坐标，再用计算器分离出点x的横坐标、点a、h、k的纵坐标； （2）用“文本工具”修改显示格式，最后得x=…、a=…、h=…、k=…的形式， （3）调出计算器，依次点击“a=…”、“*”、“（”、“x=…”、“－”、“h=…”、“）”、“^”、“2”、“+”、“k=…”、“确定”，这样可以计算函数值，供后面画点用。 如图1-14.2。 k:(1.5 5, 0.58)h:(1.3 0, 0.56)a:(1.1 1, 0.51)x: (0.28, 0.00)2a = 0.51h = 0.56 k= 0.58 x = 0.28 a(x - h)2 + k = 0.621ahk-2图1-14.2 -1x12 第四步：（1）按住Shift不放，用“选择”工具按顺序先选取“x=…”，再选“a??x?h??k=…”；（2）由菜单“图表”?“P绘出（x,y）”，可以绘出图象上的一个点，标记为P； （3）按住Shift不放，用“选择”工具按顺序先选取点x，再选取点P，然后由菜单“作图”?“轨2-1迹”，这样就画出了二次函数y?a?x?h??k的图象； -24（4）按住Shift不放，用“选择工具”按顺序先选取“h=…”，再选“k=…”，然后由菜单“图表”?“P绘出（x,y）”，可以绘出抛物线的顶点； （5）选取画好的顶点和x轴，由“作图”?“垂线”，这样实际上画出了二次函数图象的对称轴；（6）选取对称轴，由“显示”?“线型”?“虚线”，这样改变对称轴为虚线，便于区别。得到如图1-14.3。 32k:(1.5 5, 0.39)h:(1.3 2, 0.43)a:(1.1 1, 0.34)x: (0.28, 0.00)2a = 0.34h = 0.43 k= 0.39 x = 0.28 a(x - h)2 + k = 0.401Phka-3-2-1x123 图1-14.3 归纳结论： （一）由a值引起的变化 序号 操作 -1现象 结论 -237 1 2 3 结论 （二） h的值引起的变化 序号 操作 1 函数的图象开口向____ 当a>0时，图象开口向a的值越来越___ ____; 拖动点a在x轴的上方向上移动， a的值越大，图象a越大，图象越靠近________ 越____（靠近，离开）对称轴。 这时函数不是二次函a=___ 拖动点a到x轴上 数，它的图象变为_____________- 函数的图象开口向____ 当a<0时，图象开口向a的值越来越___ ____; 拖动点a在x轴的下方向下移动， a的值越小，图象a越小，图象越靠近________ 越____（靠近，离开）对称轴。 a的值影响函数图象的____方向，当a>0时，开口向___，当a<0时，开口向____. 2 结论 （三）k值引起的变化 序号 操作 1 现象 结论 h的值越来越___ 当h>0时，对称轴在y拖动点h向上移动， 函数对称轴向轴的___侧，h越大，对____移动 称轴越靠___. h的值越来越___ 当h<0时，对称轴在y拖动点h向下移动， 函数对称轴向轴的___侧，h越大，对____移动 称轴越靠___. h的值影响图象______的位置，实际上它控制了图象的左右移动。 拖动点k向上移动， 2 拖动点k向下移动， 现象 结论 k的值越来越___ 当k>0时，顶点在x轴函数图象向__移的____方 动 k的值越来越___ 当k<0时，顶点在x轴函数图象向__移的____方 动 结论 k的值控制了图象的______移动。 如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例十四供参考。 练习： 画函数y?3x?4x?1的图象，观察图象，说出x取哪些值时，函数值为0。

2 案例十五 多久能追上

甲与乙同向跑步，乙在甲前面的3米处。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4.5米/秒，两人同时起跑，问甲几秒钟追上乙？

思路：利用几何画板的计算功能，让甲乙两个对象在时间的控制下，根据自己的速度移动，当甲追上乙时，显示的时间即为所求。 用几何画验证：

第一步：新建一个几何画板文件，由菜单“图表”?“建立坐标系”，在工作区中出现了一个平面直角坐标系。

38

第二步：(1) 在Y轴的正半轴上画一点C，选取点C和Y轴；(2) 由“作图”?“垂线”，画出过点C垂直于Y轴的直线；(3) 在垂线位于第一象限内的部分上画一点D，5如图1-15.1。

-5

第三步：(1) 选取垂线CD，由“显示”?“隐藏”，把垂线隐藏；(2) 选取“画射线”工具，从点C按鼠标拖动到点D，画出射线CD；(3) 用画点工具在射线CD上画一个点E；(4) 把D点隐藏，得到如图1-15.2。 说明：这样反复操作的目的在于，由于我们要用点E的横坐标来代表时间，点E的横坐标只能取正值，为保证点E不会拖动到第二象限，所以画好的垂线要变成射线，同时隐藏点D，使这条射线不能再拖到其它象限。 -5第四步：(1) 选取点E，由菜单“度量”?“坐标”，得到点E的坐标；(2) 由“度量”?“计算”，调出计算器；(3) 在点E的坐标上单击，在出现的面板中选x，按确定，即可分离出点E的横坐标，操作如图1-15.3，结果如图1-15.4。

-5图1-15.3

39

CD55图1-15.1 CE-55图1-15.2 5E: (1.62, 2.99)xE = 1.62CE-5图1-15.4 5-5第五步：(1) 用“文本”工具双击分离出来的横坐标，在弹出的对话框中做如下改动(图1-3-5)；(2) 隐藏点E的坐标，得如图1-3-6。

5t = 1.62 CE-5图1-15.5 5图1-15.6 5

第六步：(1) 调出计算器，依次点“5”、“*”、“t=…”、“确定”，计算出5t的值；(2) 调出计算器，依次点击“3”、“+”、“4”、“.”、“5”、“*”、“t=…”,计算出3+4.5t的值，如图1-3-7。

说明：乘号用“*”表示，“t=…”指的是工作区中的“t=1.62”，但由于每个人画点的位置不同，数值可以不同，所以这里用省略号表示。 Ct = 1.62 E5t = 8.12-53 + 4.5t = 10.315-5

第七步：(1) 选择“5t=…”，由菜单“图表”?“绘制度量值…”，在弹出的“绘制度量值”对话框中直接确定；(2) 选择“3+4.5t=…”，同样绘制度量值，得如图1-3-8。

说明：这样得到的两条虚线，受度量值的控制，度量值又受到时间t的控制，当两条虚线重合时，说明甲追上了乙，这时的t就是所求。 5图1-15.7 Ct = 0.76 E5t = 3.80-53 + 4.5t = 6.42-555图1-15.8

第八步：(1) 由菜单“图表”?“绘制点”，在弹出的对话框中输入0、1，按步骤操作画出固定点(0,1)(图1-15.9)，(2) 同样画出(0，2)，得如图1-15-10。 CHGt = 0.76 E5t = 3.80-5-53 + 4.5t = 6.42图1-15.10 5 40 图1-15-9

10

第九步：(1) 选取点G和Y轴，由“作图”?“垂线”，过点G画出Y轴的垂线；(2) 用“选择”工具单击刚画好的垂线与根据“3+4.5t=…”所画虚线的相交处，确定出交点，并标记交点为“乙”；(3) 同样，过点H画Y轴的垂线后确定它与另一条虚线交点，标记为“甲”，如图1-3-11。 说明：为了便于区分，可以改虚线和下两条Y轴的-10垂线为不同颜色。

t = 1.05 CE5t = 5.25甲HG乙103 + 4.5t = 7.73图1-15.11 归纳结论：

拖动点E在CE上移动，注意观察两个度量值的变化和红、蓝虚线的位置，当两条虚线重合时，两个度量值有什么关系？这时的t是多少？，你知道问题的答案吗？ -10如有问题，请到http://wq.sdedu.net几何画板分版，下载案例十五供参考。 练习：

对于同类的问题，只需要改变度量值，并跟据新的度量值绘制虚线，然后确定甲、乙两点，就可以使它来求新的解，就象做好了一个“解题机”。(不过有时得到的只能是近似数，这是受到电脑显示的数的精确度的影响)

1、对于上例，改为乙在甲前面2米，问几秒后甲追上乙？(精确到十分位)。 2、对于上例，相距距离不变，乙的速度不变，改甲的速度为5.5米/秒，问几秒后甲追上乙？(精确到十分位)。 -20下面介绍几个国内非常好的几何画板网站，供大家学习参考： 物理课件园地：http://www.nrcce.com/zhangxichun/index.htm 几何画板教程：http://www.21maths.com/jihehuaban/index.htm CAI辅导站：http://www.hongzhong.com/hzcai/hzcai.htm 几何画板天地：http://www.mathsedu.com/gsketchp/gsketchp.html 数学教育教学资源：http://liyistudio.home.chinaren.com/jhhb/jhhb.htm 不学无数：http://gzsx.51.net/jhhb/cai/index.htm 台州教师信息港：http://tzth.51.net/6.htm

几何画板介绍：http://ez.sm.fj.cninfo.net/xdjy/cai/sketch-forum.htm 软件教程：http://go7.163.com/losir/jc-index.htm

几何画板课件下载：http://202.101.104.46/stuff/jihe.htm 中学数学教与学：http://shuxue.fsjy.net/jhhb.htm

数学课件积件库：http://go4.163.com/zjycy/kjzc/sxkjml1.htm

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qo76.html