2015-2016广东中考每日三道压轴1
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量变引起质变,努力让目标实现。
2015-2016中考强化压轴题(第一版)
1.如图是由从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答. (1)表中第9行第2个数字是 _________ ; (2)求第12行所有数字之和?
(3)求第n行的第一个数字和最后一个数字.(用含有“n”的式子表示)
2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是BC的中点,AD=5,BC=12,梯形的高DF=4,∠C=45°,点P是BC边上一动点,设PB的长为x.
(1)当x的值为 _________ 时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形; (2)当x的值为 _________ 时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形;
(3)点P在BC边上运动的过程中,以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由.
3.(2012?阜宁县三模)如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,﹣2)三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
量变引起质变,努力让目标实现。
参考答案与试题解析(希望你能找到更有效,更规范的方法与大家分享)
1: 解:(1)∵每行的数字个数等于行数, ∴前8行共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个数, ∴第9排第一个数为37,第二个数为38; (2)∵第11行共有1+2+3+…+11=
=66个数,
= 870;
(3)前n﹣1行共有数字:1+2+3+…+(n﹣1)=所以,第n行的第一个数字为最后一个数字为
+n=
+1=.
,
,
∴第12行所有数字之和为:67+68+69+70+71+72+73+74+75+76+77+78=
2: 解:(1)如图,分别过A、D作AM⊥BC于M,DN⊥CB于N, ∴AM=DN,AD=MN=5, 而CD=4,∠C=45°,
∴DN=CN=4=AM,∴BM=CB﹣CN﹣MN=3, 若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形, 则∠APC=90°或∠DEP=90°, 当∠APC=90°时,
∴P与M重合, ∴BP=BM=3; 当∠DPB=90°时,
∴P与N重合, ∴BP=BN=8;
故当x的值为3或8时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形;
(2)若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形,那么AD=PE,有两种情况: ①当P在E的左边,
∵E是BC的中点,∴BE=6, ∴BP=BE﹣PE=6﹣5=1; ②当P在E的右边, BP=BE+PE=6+5=11;
故当x的值为1或11时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形; (3)由(2)知:x=11时四边形AEPD是平行四边形,此时P在E的右边, 在Rt△CND中,∵∠C=45°,∴CN=DN=4, 又CP=BC﹣BP=12﹣11=1, PN=CN﹣CP=4﹣1=3, 在Rt△PND中,…(8分) ∴PD=AD=5,
∴平行四边形AEPD是菱形.…(10分) 3. ★★. 解:(1)∵该抛物线过点C(0,﹣2),
2
∴可设该抛物线的解析式为y=ax+bx﹣2. 将A(4,0),B(1,0)代入,
得, 解得,∴此抛物线的解析式为
(2)存在.如图,设P点的横坐标为m, 则P点的纵坐标为
,
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量变引起质变,努力让目标实现。 当1<m<4时,AM=4﹣m,又∵∠COA=∠PMA=90°, ∴①当即
解得m1=2,m2=4(舍去), ∴P(2,1). ②当
时,△APM∽△CAO,即
.
=
.
2时,△APM∽△ACO, 1.
解得m1=4,m2=5(均不合题意,舍去) ∴当1<m<4时,P(2,1), 当m>4时,AM=m﹣4,PM=m﹣m+2, ①
=
=或②
=
2
2
=2,
AM=m-4, PM=m﹣m+2 同理可得:
2(m﹣m+2)=m﹣4;解得:m=﹣2﹣2
2
2
<4(舍去)m=﹣2+2<4(舍去),
2(m﹣4)=m﹣m+2,解得m=5,m=4(舍去) 求出m=5,﹣m+m﹣2=﹣2, 则P(5,﹣2),
当m<1时,AM=4﹣m,PM=m﹣m+2.
同理可得:2(m﹣m+2)=4﹣m,解得: m=0(舍去),m=4(舍去), 2(4﹣m)=m﹣m+2, 解得:m=4(舍去),m=﹣3, m=﹣3时,﹣m+m﹣2=﹣14,
则P(﹣3,﹣14),
综上所述,符合条件的点P为(2,1)或(5,﹣2)或(﹣3,﹣14), (3)如图,设D点的横坐标为t(0<t<4),则D点的纵坐标为|过D作y轴的平行线交AC于E. 由题意可求得直线AC的解析式为∴E点的坐标为∴
.
, .
|.
22
2
2
2
∴S△DAC=S△DCE+S△DEA=DE?h+DE?(4﹣h)=DE?4, ∴
∴当t=2时,△DAC面积最大, ∴D(2,1).
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,
量变引起质变,努力让目标实现。 4.(2010?东莞)阅读下列材料: 1×2=(1×2×3﹣0×1×2), 2×3=(2×3×4﹣1×2×3), 3×4=(3×4×5﹣2×3×4), 由以上三个等式相加,可得: 1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20.
读完以上材料,请你计算下列各题:
(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11(写出过程);
(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)= _________ ; (3)1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9= _________ . 5.(2011?咸宁)(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.
(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°,将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由. (3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的长.
6.(2009?广州)如图,二次函数y=x+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,﹣1),△ABC的面积为.
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ACBD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
2
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量变引起质变,努力让目标实现。
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4 .解:(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11
=(1×2×3﹣0×1×2)+(2×3×4﹣1×2×3)+(3×4×5﹣2×3×4)+…+(10×11×12﹣9×10×11) =(10×11×12)=440;
(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)
=(1×2×3﹣0×1×2)+(2×3×4﹣1×2×3)+(3×4×5﹣2×3×4)+…+[n×(n+1)×(n+2)﹣(n﹣1)×n×(n+1)]
=[n×(n+1)×(n+2)]; (3)1×2×3=(1×2×3×4﹣0×1×2×3); 2×3×4=(2×3×4×5﹣1×2×3×4); 3×4×5=(3×4×5×6﹣2×3×4×5);… 7×8×9=(7×8×9×10﹣6×7×8×9); ∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
=(1×2×3×4﹣0×1×2×3)+(2×3×4×5﹣1×2×3×4)+(3×4×5×6﹣2×3×4×5)+…+(7×8×9×10﹣6×7×8×9); =(7×8×9×10)=1260.
5.解:(1)在Rt△ABE和Rt△AGE中,AB=AG,AE=AE, ∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL). ∴∠BAE=∠GAE.(1分) 同理,∠GAF=∠DAF. ∴
2
2
2
.(2分)
(2)MN=ND+DH.(3分)
∵∠BAM=∠DAH,∠BAM+∠DAN=45°, ∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°. ∴∠HAN=∠MAN.
又∵AM=AH,AN=AN, ∴△AMN≌△AHN. ∴MN=HN.(5分)
∵∠BAD=90°,AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB=45°.
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°.
222222
∴NH=ND+DH. ∴MN=ND+DH.(6分) (3)由(1)知,BE=EG,DF=FG. 设AG=x,则CE=x﹣4,CF=x﹣6. 在Rt△CEF中,
222∵CE+CF=EF,
222
∴(x﹣4)+(x﹣6)=10.
解这个方程,得x1=12,x2=﹣2(舍去负根). 即AG=12.(8分) 在Rt△ABD中, ∴
.
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量变引起质变,努力让目标实现。
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10.解:根据分析(1)83×87可写成100×8×(8+1)+21; (2)(10n+3)(10n+7)可写成100n(n+1)+21;
(3)1993×1997=100×199(199+1)+21=3980000+21=3980021. 11.解:(1)由题意得②﹣①得k=2
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)由,解得,.
∵点A在第一象限, ∴点A的坐标为(1,1) (3)
,OA与x轴所夹锐角为45°,
①当OA为腰时,由OA=OP1得P1(,0), 由OA=OP2得P2(﹣,0); 由OA=AP3得P3(2,0).
②当OA为底时,OP4=AP4得P4(1,0). ∴符合条件的点有4个,分别是(,0),(﹣,0),(2,0),(1,0).
2
12.解:(1)∵抛物线y=ax+bx﹣3与y轴交点为(0,﹣3), 又∵OB=OC=3OA, ∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣3).
2
将A(﹣1,0),B(3,0)分别代入y=ax+bx﹣3得,
, 解得
2
,
故函数解析式为y=x﹣2x﹣3,
2
配方得y=(x﹣1)﹣4, 可得,E(1,﹣4).
(2)如图1,作EG⊥CO于G,连CE,易知△OBC、△CEG都是等腰直角三角形, 则△CBE是直角三角形.
分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义, 即有tanα=
=;tanβ=
=
=;
则α=β,从而可得∠DBC﹣∠CBE=45°.
2
(3)作FH⊥x轴于H,FK⊥y轴于K,设F点坐标为(x,x﹣2x﹣3), S四边形OCFB=S△OCF+S△OBF=×3x+×3x[﹣(x﹣2x﹣3)]=﹣(x﹣)+面积最大值为
2
2
2
,
.
,
此时,x﹣2x﹣3=﹣2×﹣3=﹣故F(,﹣
).
13.(2007?淄博)根据以下10个乘积,回答问题:
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量变引起质变,努力让目标实现。
11×29; 12×28; 13×27; 14×26; 15×25; 16×24; 17×23; 18×22; 19×21; 20×20.
22
(1)试将以上各乘积分别写成一个“□﹣○”(两数平方差)的形式,并写出其中一个的思考过程; (2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来; (3)试由(1)、(2)猜测一个一般性的结论.(不要求证明)
14.(2008?广州)如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是
上异于A、B的动点,过点C作
CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连接DE,点G、H在线段DE上,且DG=GH=HE (1)求证:四边形OGCH是平行四边形; (2)当点C在
2
上运动时,在CD、CG、DG中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;
2
(3)求证:CD+3CH是定值.
15.如图,抛物线y=
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标; (3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
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参考答案与试题解析(希望你能找到更有效,更规范的方法与大家分享)
13.解:(1)11×29=20﹣9;12×28=20﹣8;13×27=20﹣7;
222222
14×26=20﹣6;15×25=20﹣5;16×24=20﹣4;
222222
17×23=20﹣3;18×22=20﹣2;19×21=20﹣1;
22
20×20=20﹣0 …(4分)
22
例如,11×29;假设11×29=□﹣○,
22
因为□﹣○=(□+○)(□﹣○); 所以,可以令□﹣○=11,□+○=29.
解得,□=20,○=9.故11×29=20﹣9.
22
(或11×29=(20﹣9)(20+9)=20﹣9
(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是:
11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20
22
(3)①若a+b=40,a,b是自然数,则ab≤20=400. ②若a+b=40,则ab≤20=400. …(8分) ③若a+b=m,a,b是自然数,则ab≤⑤若a,b的和为定值,则ab的最大值为
.④若a+b=m,则ab≤
.
.
2
2
2
2
2
2
2
2
⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40.且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|,则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn. …(10分) ⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m.且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|,则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn. ⑧a+b=m,a,b差的绝对值越大,则它们的积就越小. 说明:给出结论①或②之一的得(1分);给出结论③、④或⑤之一的得(2分); 给出结论⑥、⑦或⑧之一的得(3分). 14.(1)证明:连接OC交DE于M. 由矩形得OM=CM,EM=DM. ∵DG=HE.
∴EM﹣EH=DM﹣DG. ∴HM=GM.
∴四边形OGCH是平行四边形. (2)解:DG不变.
在矩形ODCE中,∵DE=OC=3. ∴DG=1.
(3)证明:设CD=x,则CE=.过C作CN⊥DE于N. 由DE?CN=CD?EC得CN=
.
∴
∴HN=3﹣1﹣∴3CH=3[(
2
2
2
2
2
.
. )+(
2
)]=12﹣x.
22
∴CD+3CH=x+12﹣x=12. 15.解:(1)令y=0,即
=0, 解得x1=﹣4,x2=2,
∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0). (2)抛物线y=
的对称轴是直线x=﹣
=﹣1,
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量变引起质变,努力让目标实现。
即D点的横坐标是﹣1, S△ACB=AB?OC=9, 在Rt△AOC中,AC=
=
=5,
.
,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与
设△ACD中AC边上的高为h,则有AC?h=9,解得h=
如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D. 设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=
,
∴CE==.
设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(﹣4,0),C(0,3)坐标代入, 得到
,解得
,
∴直线AC解析式为y=x+3.
直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的, ∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣. 则D1的纵坐标为×(﹣1)﹣=
,∴D1(﹣1,
).
)
同理,直线AC向上平移个长度单位得到l2,可求得D2(﹣1,综上所述,D点坐标为:D1(﹣1,
),D2(﹣1,
).
(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条. 连接FM,过M作MN⊥x轴于点N. ∵A(﹣4,0),B(2,0), ∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3. 又FE=5,则在Rt△MEF中, ME=
=4,sin∠MFE=,cos∠MFE=.
,
在Rt△FMN中,MN=MF?sin∠MFE=3×=FN=MF?cos∠MFE=3×=,则ON=, ∴M点坐标为(,直线l过M(,
,解得
)
),E(4,0),设直线l的解析式为y=kx+b,则有
, 所以直线l的解析式为y=
x+3.
同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3. 综上所述,直线l的解析式为y=16.(2011?益阳)观察下列算式:
2
①1×3﹣2=3﹣4=﹣1
2
②2×4﹣3=8﹣9=﹣1
2
③3×5﹣4=15﹣16=﹣1
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x+3或y=x﹣3.
量变引起质变,努力让目标实现。 ④ _________ …
(1)请你按以上规律写出第4个算式; (2)把这个规律用含字母的式子表示出来;
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗?并说明理由. 17.(2009?丰台区一模)如图1,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF. (1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为 _________ ,线段CF、BD的数量关系为 _________ ;
②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是锐角,点D在线段BC上,当∠ACB满足什么条件时,CF⊥BC(点C、F不重合),并说明理由.
18.(2007?龙岩)如图,抛物线y=ax﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.
2
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16.解:(1)第4个算式为:4×6﹣5=24﹣25=﹣1;(2分)
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2
量变引起质变,努力让目标实现。
(2)答案不唯一.如n(n+2)﹣(n+1)=﹣1;(5分) (3)一定成立.
理由:n(n+2)﹣(n+1)=n+2n﹣(n+2n+1)(7分) =n+2n﹣n﹣2n﹣1=﹣1.(8分) 故n(n+2)﹣(n+1)=﹣1成立. 故答案为:4×6﹣5=24﹣25=﹣1.
17. 证明:(1)①结合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.即CF⊥BD.当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD. ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立. 由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90度. ∵∠BAC=90°, ∴∠DAF=∠BAC, ∴∠DAB=∠FAC, 又∵AB=AC, ∴△DAB≌△FAC, ∴CF=BD,∠ACF=∠ABD. ∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°, ∴∠ACF=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度. 即CF⊥BD.
(2)当∠ACB=45°时,CF⊥BD(如图). 理由:过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G, 则∠GAC=90°,
∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB, ∴∠AGC=90°﹣45°=45°, ∴∠ACB=∠AGC=45°, ∴AC=AG,
∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等),AD=AF, ∴△GAD≌△CAF, ∴∠ACF=∠AGC=45°,
∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即CF⊥BC.
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2
2
2
2
2
2
22
量变引起质变,努力让目标实现。 18.解:(1)抛物线的对称轴x=﹣
2
=;(2分)
=,
(2)由抛物线y=ax﹣5ax+4可知C(0,4),对称轴x=﹣∴BC=5,B(5,4),又AC=BC=5,OC=4, 在Rt△AOC中,由勾股定理,得AO=3, ∴A(﹣3,0)B(5,4)C(0,4)(5分) 把点A坐标代入y=ax﹣5ax+4中, 解得a=﹣,(6) ∴y=
x+x+4.(7分)
2
2
(3)存在符合条件的点P共有3个.以下分三类情形探索. 设抛物线对称轴与x轴交于N,与CB交于M. 过点B作BQ⊥x轴于Q,
易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,BM=.
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个:△P1AB.
22222
∴AB=AQ+BQ=8+4=80(8分) 在Rt△ANP1中,P1N=∴P1(,﹣
).(9分)
=
=
=
,
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个:△P2AB. 在Rt△BMP2中MP2=∴P2=(,
).(11分)
=
=
=
,(10分)
③以AB为底,顶角为角P的△PAB有1个,即△P3AB.
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3,此时平分线必过等腰△ABC的顶点C. 过点P3作P3K垂直y轴,垂足为K, ∵∠CP3K=∠ABQ,∠CKP3=∠AQB, ∴Rt△P3CK∽Rt△BAQ. ∴
=
=.
∵P3K=2.5
∴CK=5于是OK=1,(13分) ∴P3(2.5,﹣1).(14分)
19.(2012?天水)为奖励在演讲比赛中获奖的同学,班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品,要求每人一件.小
明到文具店看了商品后,决定奖品在钢笔和笔记本中选择.如果买4个笔记本和2支钢笔,则需86元;如果买3个笔记本和1支钢笔,则需57元.
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量变引起质变,努力让目标实现。
(1)求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元?
(2)售货员提示,买钢笔有优惠,具体方法是:如果买钢笔超过10支,那么超出部分可以享受8折优惠,若买x(x>0)支钢笔需要花y元,请你求出y与x的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,小明决定买同一种奖品,数量超过10个,请帮小明判断买哪种奖品省钱. 20.(2011?岳阳)如图1,将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开,得到△ABD和△ECF,固定△ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一
起.
(1)操作:如图2,将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处,△ECF绕点F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合),FE交DA于点G(G点不与D点重合). 求证:BH?GD=BF
(2)操作:如图3,△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合),且CF始终经过点A,过点A作AG∥CE,交FE于点G,连接DG. 探究:FD+DG= _________ .请予证明. 21.(2007?金华)如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点B在x正半轴上,且∠ABO=30度.动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动,设运动时间为t秒.在x轴上取两点M,N作等边△PMN.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求等边△PMN的边长(用t的代数式表示),并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值; (3)如果取OB的中点D,以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE,点C在线段AB上.设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值.
2
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19.解:(1)设每个笔记本x元,每支钢笔y元.(1分)
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量变引起质变,努力让目标实现。
解得
答:每个笔记本14元,每支钢笔15元.(5分) (2)
(3)当14x<12x+30时,x<15; 当14x=12x+30时,x=15; 当14x>12x+30时,x>15.(8分)
综上,当买超过10件但少于15件商品时,买笔记本省钱; 当买15件奖品时,买笔记本和钢笔一样; 当买奖品超过15件时,买钢笔省钱.(10分) 20.证明:(1)∵将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开, ∴∠B=∠D,
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处,△ECF绕点F在BD边上方左右旋转, ∴BF=DF,
∵∠HFG=∠B,
又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF ∴∠GFD=∠BHF, ∴△BFH∽△DGF, ∴
,
2
∴BH?GD=BF; (2)∵AG∥CE, ∴∠FAG=∠C, ∵∠CFE=∠CEF, ∴∠AGF=∠CFE, ∴AF=AG,
∵∠BAD=∠C, ∴∠BAF=∠DAG, 又∵AB=AD,
∴△ABF≌△ADG, ∴FB=DG, ∴FD+DG=BD, 故答案为:BD. 21.解:(1)由OA=4,∠ABO=30°,得到OB=12, ∴B(12,0),设直线AB解析式为y=kx+b, 把A和B坐标代入得:则直线AB的解析式为:y=﹣
,解得:x+4
.
,
(2)∵∠AOB=90°,∠ABO=30°, ∴AB=2OA=8, ∵AP=t, ∴BP=AB﹣AP=8t, ∵△PMN是等边三角形, ∴∠MPB=90°, ∵tan∠PBM=
,
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量变引起质变,努力让目标实现。 ∴PM=(8
﹣
t)×
=8﹣t.
如图1,过P分别作PQ⊥y轴于Q,PS⊥x轴于S, 可求得AQ=AP=∴PM=(4
﹣
t,PS=QO=4)÷
=8﹣t,
﹣
t,
当点M与点O重合时, ∵∠BAO=60°, ∴AO=2AP.
∴4=2t,∴t=2.
(3)①当0≤t≤1时,见图2.
设PN交EC于点G,重叠部分为直角梯形EONG,作GH⊥OB于H. ∵∠GNH=60°,,∴HN=2, ∵PM=8﹣t,∴BM=16﹣2t,
∵OB=12,∴ON=(8﹣t)﹣(16﹣2t﹣12)=4+t, ∴OH=ON﹣HN=4+t﹣2=2+t=EG, ∴S=(2+t+4+t)×2
=2
t+6
.
∵S随t的增大而增大,∴当t=1时,Smax=8. ②当1<t<2时,见图3.
设PM交EC于点I,交EO于点F,PN交EC于点G,重叠部分为五边形OFIGN. 作GH⊥OB于H, ∵FO=4﹣2t,
∴EF=2﹣(4﹣2t)=2t﹣2, ∴EI=2t﹣2.
∴S=S梯形ONGE﹣S△FEI=2
2
t+6﹣(2t﹣2)(2
,PC=4
t﹣2﹣
)=﹣2t+6
2
t+4
由题意可得MO=4﹣2t,OF=(4﹣2t)×再计算S△FMO=(4﹣2t)×S△PMN=
(8﹣t),S△PIG=
2
t,PI=4﹣t,
(4﹣t), (8﹣t)﹣
22
∴S=S△PMN﹣S△PIG﹣S△FMO==﹣2t+6t+4
∵﹣2<0, ∴当
2
(4﹣t)﹣(4﹣2t)×
22
.
时,S有最大值,Smax=
③当t=2时,MP=MN=6,即N与D重合, 设PM交EC于点I,PD交EC于点G,重叠部 分为等腰梯形IMNG,见图4.S=综上所述:当0≤t≤1时,S=2
2
当1<t<2时,S=﹣2t+6当t=2时,S=8. ∵
∴S的最大值是
,
.
t+6t+4
×6﹣; ;
2
×2=8
2
,
22.(2005?南京)某洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示:根据图象解答下列问题: (1)洗衣机的进水时间是多少分钟清洗时洗衣机中的水量是多少升?
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量变引起质变,努力让目标实现。
(2)已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.
①如果排水时间为2分钟,求排水结束时洗衣机中剩下的水量. ②求排水时y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
23.(2009?延庆县二模)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=12厘米,点P从点A出发沿线路AB﹣BC作匀速运动,点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC﹣CB作匀速运动逐步靠近点P,设P,Q两点运动的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒(a>1),它们在t秒后于BC边上的某一点相遇. (1)求出AC与BC的长度;
(2)试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗?为什么?
(3)若以D,E,C为顶点的三角形与△ABC相似,试分别求出a与t的值.(=1.732,结果精确到0.1)
24.(2006?湛江)已知抛物线y=ax+bx+2与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),且x1,x2是方程x﹣2x﹣3=0的两个实数根,点C为抛物线与y轴的交点. (1)求a,b的值;
(2)分别求出直线AC和BC的解析式;
(3)若动直线y=m(0<m<2)与线段AC,BC分别相交于D,E两点,则在x轴上是否存在点P,使得△DEP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
2
2
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22.解:(1)由图可知洗衣机的进水时间是4分钟
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量变引起质变,努力让目标实现。 清洗时洗衣机中的水量是40升
(2)①∵排水的时间是2分钟,排水速度为每分钟19升 ∴排水结束时洗衣机中剩下的水量是40﹣2×19=2(升) ②∵B(15,40),M(17,2) 设BM的函数表达式为y=kx+b 则
解得,
∴y=﹣19x+325(15≤x≤17). 23.解:(1)在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=12厘米, ∴AC=2AB=24(厘米). BC=AB=12(厘米). (2)E点不会是BC的中点.
在t秒后,点Q运动的路程为at,点P运动的路程为t,那么 BE=t﹣12,CE=at﹣12, ∵a>1,
∴at﹣12>t﹣12.
∴E点不会是BC的中点.
(3)若以D,E,C为顶点的三角形与△ABC相似, 当过D点作DE1∥AB,交CB于E1 则△DCE1∽△ACB时,
=
=
∴E点是BC的中点.
但CE1=at﹣12,BE1=t﹣12, ∵a>1,故at﹣12>t﹣12,
即CE1>BE1,与E点是BC的中点矛盾, 当过D点作DE2⊥AC,交CB于E2 则△DCE2∽△ABC∴CE2=24×
=8
,
=
=
=
,
依题意得,
∴t=18.9秒,a=1.4厘米/秒.
,解得.
24.解:(1)由x﹣2x﹣3=0,得x1=﹣1,x2=3. ∴A(﹣1,0),B(3,0),(1分) 把A,B两点的坐标分别代入
2
y=ax+bx+2联立求解, 得a=﹣,b=.(2分)
(2)由(1)可得y=﹣x+x+2,
∵当x=0时,y=2, ∴C(0,2).
设AC:y=kx+b,把A,C两点坐标分别代入y=kx+b,联立求得k=2,b=2. ∴直线AC的解析式为y=2x+2.(3分)
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2
2
量变引起质变,努力让目标实现。
同理可求得直线BC的解析式是y=﹣x+2.(4分)
(3)假设存在满足条件的点P,并设直线y=m与y轴的交点为F(0,m). ①当DE为腰时,分别过点D,E作DP1⊥x轴于P1,作EP2⊥x轴于P2,如图, 则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形,DE=DP1=FO=EP2=m,AB=x2﹣x1=4. ∵DE∥AB,
∴△CDE∽△CAB, ∴
,即
.
解得m=.(6分) ∴点D的纵坐标是, ∵点D在直线AC上, ∴2x+2=,解得x=﹣, ∴D(﹣,).
∴P1(﹣,0),同理可求P2(1,0).(8分) ②当DE为底边时,
过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3,如图,
则DG=EG=GP3=m, 由△CDE∽△CAB, 得
,即
,
解得m=1.(9分)
同1方法.求得D(﹣,1),E(,1), ∴DG=EG=GP3=1 ∴OP3=FG=FE﹣EG=, ∴P3(,0).(11分)
结合图形可知,P3D=P3E=2,ED=4,
222
∴ED=P3D+P3E, ∴△DEP3是Rt△, ∴P3(,0)也满足条件.
综上所述,满足条件的点P共有3个,即P1(﹣,0),P2(1,0),P3(,0).(12分)
25.已知x+ax+a﹣2=0.
(1)求证:不论a为何实数,此方程总有两个不相等的实数根;
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2
2
2
2
量变引起质变,努力让目标实现。
2
(2)设a<0,当y=x+ax+a﹣2的图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式. 26.全国第十届数学教育方法论暨MM课题实施20周年纪念活动于9月27在无锡市一中拉开帷幕.与会期间全国数十位老师上了精彩纷呈的展示课,其中青岛一位老师的“折纸”课,武汉的裴光亚教授评价是:“栩栩如生,五彩缤纷”.课堂上老师提出这样一个问题:你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗?有两位同学很快折出了各自不同的菱形,如下图:
(1)如果该矩形纸片的长为4,宽为3,则图1、图2两图中的菱形面积分别为: _________ .
(2)这时老师说,这两位同学折出的菱形都不是最大的,聪明的你能够想出最大的菱形应该怎样折出来吗?如图3所示:在矩形ABCD中,设AB=3,AD=4,请你在图中画出面积最大的菱形的示意图,标注上适当的字母,并求出这个菱形的面积.
(3)借题发挥:如图4,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,若折叠该矩形,使得点D与AB边的中点E重合,折痕交AD于点F,交BC于点G,边DC折叠后与BC交于点M.试求:△EBM的面积. 27.(2012?泰兴市一模)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=8,CD=6,BC=4,AB边上有一动点P(不与A、B重合),连接DP,作PQ⊥DP,使得PQ交射线BC于点E,设AP=x. (1)当x为何值时,△APD是等腰三角形; (2)若设BE=y,求y关于x的函数关系式;
(3)若BC的长可以变化,是否存在点P,使得PQ经过点C?若不存在,请说明理由,若存在并直接写出当BC的长在什么范围内时,可以存在这样的点P,使得PQ经过点C.
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量变引起质变,努力让目标实现。
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25.解:(1)∵△=a﹣4(a﹣2)=(a﹣2)+4>0, ∴不论a为何实数,此方程总有两个不相等的实数根. (2)根据两点间距离公式:
解得a=﹣1或a=(不符合题意,舍去). 所以函数解析式为:y=x﹣x﹣3.
26.解:(1)第一个菱形的面积=3×4÷2=6,
第二个菱形也是正方形,边长为3,则其面积=3×3=9;
(2)如图:(以BD或AC为对角线,E、F在AD,BC上,且EF垂直平分BD或AC) 注意:只要画出图形,不必写画法,E、F略有位置误差视情况给分(4分) 解:如图设线段ED的长为x. ∵四边形BFDE是菱形∴ED=BE=x 又∵矩形ABCD中AB=3,AD=4 ∴AE=4﹣x
222
在Rt△ABE中AE+AB=BE
222
∴(4﹣x)+3=x(5分) 解之得:x=
∴ED=
(6分) (7分)
2
=,(自己要用求根公式,或根与系数关系推导出来再使用)
∴S菱形EAFD=DE?AB=
(3)如图:∵对折 ∴DF=EF
设线段DF的长为x,则EF=x ∵AD=3 ∴AF=3﹣x
∵点E是AB的中点,且AB=2 ∴AE=BE=1
222
在Rt△AEF中有AE+AF=EF ∴1+(3﹣x)=x 解之得:x= ∴AF=3﹣x=(8分)
在矩形ABCD中由于对折
∴∠D=∠FEM=90°∴∠1+∠2=90° 又∵∠A=∠B=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3
∴△AEF∽△BME, ∴
=
, ∴BM=(9分)
2
2
2
∴S△EBM=BE?BM=(10分)
27.解:(1)过D点作DH⊥AB于H,则四边形DHBC为矩形, ∴DH=BC=4,HB=CD=6.
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量变引起质变,努力让目标实现。 ∴AH=2,AD=2. ∵AP=x, ∴PH=x﹣2,
情况①:当AP=AD时,即x=2. 情况②:当AD=PD时,则AH=PH. ∴2=x﹣2,解得x=4. 情况③:当AP=PD时,
222
则Rt△DPH中,x=4+(x﹣2),解得x=5. ∵2<x<8,
∴当x为2、4、5时,△APD是等腰三角形. (2)∵∠DPE=∠DHP=90°,
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°. ∴∠HDP=∠EPB. 又∵∠DHP=∠B=90°, ∴△DPH∽△PEB. ∴
,∴
.
2
整理得:y=(x﹣2)(8﹣x)=﹣x+x﹣4. (3)存在.
设BC=a,则由(2)得△DPH∽△PEB, ∴∴y=当y=a时,
(8﹣x)(x﹣2)=a 22
x﹣10x+(16+a)=0,
2
∴△=100﹣4(16+a), ∵△≥0,
2
∴100﹣64﹣4a≥0, 2
4a≤36, 又∵a>0, ∴a≤3, ∴0<a≤3,
∴满足0<BC≤3时,存在点P,使得PQ经过C. 28.(2014?射阳县一模)已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,直线EF与直线BC交于H.
2
(1)如图①,当点D在边BC上时,试说明:AD=DH?AC;
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2
=,
,
量变引起质变,努力让目标实现。
2
(2)如图②,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AD=DH?AC;是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出AD、DH、AC之间存在的数量关系;
(3)如图③,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AD、DH、AC之间存在的数量关系.
29.(2014?射阳县一模)如图,抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3. (1)写出抛物线对应的函数解析式: _________ ;△AOD的面积是 _________ . (2)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.
(3)设G(4,﹣5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH垂直于直线EF并交于H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?如果有,求点P的坐标;如果没有,请说明理由.
2
30.(2014?葫芦岛一模)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量为250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大; (3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方案: 方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元. 请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
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28.(1)证明:∵四边形ADEF是菱形,∠DAF=60°
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量变引起质变,努力让目标实现。
∴AD∥EF,∠DAF=∠E=60°,AD=DE, ∴∠1=∠2.
∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACD=60°,∠ACD=∠E, ∴△ACD∽△DEH, ∴
2
,即=,
∴AD=DH?AC;
2
(2)结论是:图(2)中,AD=DH?AC仍然成立.
理由如下:如图2,∵在菱形ADEF中,AD∥EF,∠DAF=∠E=60°,AD=DE, ∴∠ADC=∠DHE,∠DEF=120°. 又∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°, ∴∠ACD=120°, ∴∠ACD=∠DEH, ∴△ACD∽△DEH, ∴
,即
=
,则AD2
=DH?AC;
(3)补全图形是如图3.数量关系AD2
=DH?AC.理由同(2). 29.解:(1)如图1,∵四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3, ∴C点坐标为:(0,3),E点坐标为:(2,3), 将C,E代入y=﹣x2
+bx+c得:
,解得:
,
∴抛物线对应的函数解析式为:y=﹣x2
+2x+3,
∵y=﹣x2+2x+3 =﹣(x﹣1)2
+4, ∴D点坐标为;(1,4),
当y=0,则0=﹣(x﹣1)2
+4, 解得:x1=﹣1,x2=3, ∴AO=1,BO=3,
∴△AOD的面积是:×AO×4=2, 故答案为:y=﹣x2
+2x+3,2; (2)如图1,∵AO=1,CO=3, ∴AC=, ∵CO=BO=3,
∴∠OBC=∠OCB=45°, ∴FM=BF=1, ∵RO∥MF,
∴△ARO∽△AMF, ∴
=
,∴
=,
解得:RO=, ∴CR=3﹣=, AR==
, ∴△ACR的周长为:
++
=;
(3)如图2,取OF中点A′,连结A′G交直线EF于点H, 过H作HP′⊥y轴于P′,连结AP′,
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量变引起质变,努力让目标实现。
则当P在P′处时,使AP+PH+HG最小, 设直线A′G的解析式为y=kx+b 将A′(1,0),G(4,﹣5)代入 得
, 解得:
,
∴直线A′G的解析式为:,
令x=2,得,
∴点H的坐标为:
,
∴适合题意的点P的坐标为:
.
30.解:(1)由题意得,销售量=250﹣10(x﹣25)=﹣10x+500, 则w=(x﹣20)(﹣10x+500) =﹣10x2
+700x﹣10000; (2)w=﹣10x2
+700x﹣10000 =﹣10(x﹣35)2+2250,
所以,当x=35时,w有最大值2250,
即销售单价为35元时,该文具每天的销售利润最大; (3)方案A:由题可得20<x≤30, 因为a=﹣10<0,对称轴为x=35,
抛物线开口向下,在对称轴左侧,w随x的增大而增大, 所以,当x=30时,w取最大值为2000元, 方案B:由题意得,
解得:45≤x≤49,
在对称轴右侧,w随x的增大而减小, 所以,当x=45时,w取最大值为1250元, 因为2000元>1250元, 所以选择方案A.
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