2015数学建模D题—众筹筑屋—国二优秀获奖论文

众筹筑屋规划方案设计

摘要

本文研究了众筹筑屋的规划方案设计问题。先对已有的方案进行核算，再设计出符合民意的房屋规划设计方案，并进行核算，看是否能执行。

在第一问中，首先通过众筹筑屋项目方案1中的已知数据，对项目的成本、收益、容积率和增值税等信息进行计算，并对结果进行公布，针对方案1所得出的容积率符合国家的要求。

在第二问中，要解决的是尽可能满足购房者购买意愿的规划设计方案与核算。首先，对各房型满意比例做归一化处理；其次，建立以总收益最大化及满足民众对各房型套数期望偏差最小化的双目标优化模型；再通过赋予权重系数的办法将双目标模型转化成单目标优化模型；最后，利用Lingo编程得各房型的房型套数并计算出投资回报率为18%<25%，此方案不能被采纳。

在第三问中，针对市场售房同档次价格一致，将11种房型分为三个档位，重新对价格、成本、出售率进行正态分布模型分析，建立一个兼顾收益、购买需求、风险三者的多目标规划模型。

本文思路清晰，优化模型简便，具有很强的推广价值。 关键词：多目标规划、Lingo、归一化

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一、问题重述

1.1问题的背景

众筹筑屋是互联网时代一种新型的房地产形式。由中国最具影响力的众筹平台众筹网与国内首个类型化社区互联网定制平台万通自由筑屋合作共建的房地产互联网金融平台。现有占地面积为102077.6平方米的众筹筑屋项目。项目推出后，有上万户购房者登记参筹。项目规定参筹者每户只能认购一套住房。致力于通过多元化互联网金融工具的整合，为整个房地产行业与全天下的购房者创造价值。在建房规划中，需考虑诸多因素，如容积率、开发成本、税率、预期收益等。下面给出的是问题的基本情况，相关的信息及需要解决的问题。

1.2问题的提出

为了更好的解决众筹筑屋规划方案设计，本文依次提出以下问题：

1、为了信息公开及民主决策，需要将这个众筹筑屋项目原方案（称作方案I）的成本与收益，容积率和增值税等信息进行公布。

2、通过对参筹者进行抽样调查，得到了参筹者对11种房型购买意愿的比例。为了尽量满足参筹者的购买意愿设计规划方案，并对此方案进行核算。

3、一般而言，投资回报达到25%以上的众筹项目才会被成功执行。你们所给出的众筹屋方案II能否被成功执行？如果能，请说明理由。如果不能，应怎么调整才能使此众筹筑屋项目能被成功执行。

二、问题分析

本文研究了众筹筑屋规划方案设计问题，结合题目的具体要求对方案I给予全面核算，并设计满足购买意愿的规划设计方案II并核算。最后分析说明方案II是否能执行。不能将如何调整。

对方案I核算时，逐一核算收益、总开发成本、容积率、土地增值税、静态投资回报率。在设计满足网民的满意度的规划设计方案时，由于房型混合，并有追求利润和满足民意两个不同方向的需求，并受到开发套数和容积率的限制，需构造一个双目标规划模型，将其转化为单目标规划模型求解，并利用方案I的核算公式进行核算。由于方案II的投资回报率低于25%，故不能被成功执行。本方案II是过分强调用户需求，忽略了市场价格的变化，房地产开发的风险因素，因而需重新对11种房型分三档，将每档的售价和单位面积成本进行平均，考虑住宅的出售率因素，重新构造一个多目标线性规划模型来讨论。

三、基本假设

1、假设题目中所给的数据准确无误。 2、价格、售价不是市场波动而变化。

3、楼房开发设计时，每种户型独立成单元，并设群楼的楼高层数统一为25层，故每种户型套数应为25的整数倍。

4、网民登记的购买意愿信息比例能真实地反映买房者的实际需求信息。

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四、符号说明

序号 符号 Pi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Si mi 符号说明 表示房型i的单位平方米的售价 表示房型i的面积 表示房型i的套数 表示总开发成本 表示土地费用 表示税金 表示土地总建面积 表示积的系数 表示增值额 表示利润 表示总收益 表示土地增值税 表示增值额占扣除项目比例 表示权重系数 ZK TF KFi 表示子项目房型i的开发成本的单价 SJ SDZ wi Z LR ZS P p ?.?

五、模型建立与求解

5.1.方案一的成本利润测算模型

根据众筹筑屋项目方案Ⅰ，需要建模对方案Ⅰ进行全面的核算，对其成本、收益、容积率和增值税等信息进行公布。

5.1.1 收益预测

收益是所有房型的面积，单位销售价格及套数的积之和，故有：

ZS??si?pi?mi

i?111其中pi表示房型i单位平米的售价（万元/m2）；si表示房型i的面积；mi表示房型i的套数。各房型下的收益预算表具体数据见表1.

表1 各房型下的收益预算表

子项目 房型1 房型2 房型3 房型4 房型5 房型6

房型面积si（m） 77 98 117 145 156 167 2建房套数mi 250 250 150 250 250 250 3 售价（万元/m） 1.2 1.08 1.12 1.28 1.28 1.36 2房型各种收益 23100 26460 19656 46400 49920 56780 房型7 房型8 房型9 房型10 房型11 合计 178 126 103 129 133 250 75 150 150 75 1.4 1.04 0.64 0.68 0.72 62300 9828 9888 13158 7182 ZS=324672

5.1.2总开发成本测算

总开发成本包括土地费用，子项目的开发成本及税金，故有：

ZK?TF??KFi?mi?si?SJ

i?111其中：ZK表示房地产总开发成本；TF表示土地费用；KFi表示子项目房型i开发成本的单价（元/m2）；子项目房型i的建房套数为mi（i=1,2,?,11）；SJ表示税金，按税收标准以与转让房地产有关的税金，土地契税，其征收税分别为：5.65%?计具体数据见表2。

表2 总开发成本测算表 面积序号 费用名称 分类单项名称 （m） 77 98 117 145 156 167 178 126 103 129 133 2?KF?ms、3%?TF、两个方面统

iiii?111费用标准 （万元/m） 0.4263 0.4323 0.4532 0.5288 0.5268 0.5533 0.5685 0.4323 0.2663 0.2791 0.2982 5.65% 3% 218914.4987 2建房套数 费用总额 （万元） 77717.9627 8206.275 10591.35 7953.66 19169 20545.2 23100.275 25298.25 4085.235 4114.335 5400.585 2974.545 7426.287 2331.539 小计（万元） 一 土地费用 土地使用出让金 房型1 房型2 房型3 子项目房型开发成房型4 房型5 房型6 房型7 房型8 房型9 房型10 房型11 与转让房地产有 250 250 150 250 250 250 250 75 150 150 75 77717.9627 二 本（i=1,2,131438.71 ?,11） 三 税金 关的税金 土地契税 9757.826 总开发成本合计

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5.1.3 容积率核算测算 ①地上总建筑面积SDZ

地上总建筑面积SDZ是各房型面积与套数的积之和，但房型9,10,11三种户型不列入容积率的计算，故设置0-1变量wi作为积的系数，当wi?1时，可进行有效累计；当wi?0时，则不将该房型的建筑面积计算入内。

SDZ??si?mi?wi

i?111其中：si表示房型i?i?1,2,3,?,11?的房型面积，mi表示房型i的建房套数。

?0 不列入容积率wi?? ,见表3。

?1 列入容积率表3 各房型下地上建筑面积表

子项目 容积率 房型面积si?m? 2建房套数 250 250 150 250 250 250 250 75 150 150 75 2100 子项目总建筑面积?m? 2房型1 w1?1 w2?1 w3?1 w4?1 w5?1 w6?1 w7?1 w8?1 w9?0 w10?0 w11?0 77 98 117 145 156 167 178 126 103 129 133 1429 s1m1?19250 s2m2?24500 房型2 房型3 s3m3?17550 s4m4?36250 s5m5?39000 房型4 房型5 房型6 s6m6?41750 s7m7?44500 s8m8?9450 s9m9?15450 s10m10?19350 s11mi?9975 sD???si?mi?wi?232250 i?111房型7 房型8 房型9 房型10 房型11 合计

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②容积率核算

2由于用地总面积S?102077.6m，容积率公式为：

??容积率=地上总建筑面积sD?=?2.2752298252 用地总面积syd

由于国家最大容积率要求为2.28，而现有容积率为2.275<2.28，故可以通过审核。

5.1.4土地增值税核算

①增值额Z

增值额=总收益—扣除项目金额

由国税函（2010）220号第三条规定：扣除项目金额=土地出让金+房地产开发成本+专门开发该项目支付的贷款利息+应缴纳营业税+城市维护建设税+教育费附加+营业税等税金。这里忽略专门开发该项目支付的贷款利息+应缴纳营业税+城市维护建设税+教育费附加，将总开发成本预算值视为扣除项目金额，由于房型3、8、11在计征土地增值税时开发成本是不允许扣除的，所以有：

Z?ZS?ZK?KF3?m3?s3?KF8?m8?s8?KF11?m11?s11

②增值额占扣除项目比例P

增值额占扣除项目比例定义：p?增值额扣除金额=ZZK

③土地增值税核算

由表1.2土地增值税四级超率累进税率知，应缴纳税额P是一个关于增值税Z的分段函数，如图1所示：

图1

若Z??0,50%ZK?,则：

P???30%?0.3?

若???50%ZK,K?,则：

P??K?50%?30%????ZK?50%??40%??K?5%?0.4??0.1?K

若????K,2ZK?时，则：

P??K?50%?30%??K?50%?40%????ZK??50%??K?15%?0.5??0.3?K

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若???2?K,???时，则：

P??K?50%?30%???K??K?50%??40%??2?K?ZK??50%????2?K??60%??K?35%?0.6??0.7?K；

?0.3Z, p<50%ZK?0.4Z?0.1ZK, 50%ZK?p?100%ZK?从而： P??

?0.5Z?0.3ZK, 100%ZK200%ZK

计算具体值：

P?0.4Z?0.1ZK?0.4?120770.9413?0.1?218914.4987?26416.92665。

5.1.5方案1成本利润测算：

利润=总收益-总开发成本-土地增值税

即： LR?ZS?ZK?P

LR?324672?218914.4987?26416.92665?79340.578635

定义：静态投资回报率 V?利润LR=总造价ZS?P

V?

现将所有的核算信息公布于表4.

LR79340.578635??0.22598ZS?P324672?26416.92665

表4 众筹筑屋规划方案I的核算信息公布表 房型 1 2 3 方案 I 4 5 6 7 8 9 10 11 合

房型子项目收益（万元） 23100 26460 19656 46400 49920 56780 62300 9828 9888 13158 7182 324672 房型子项目开发成本（万元） 8206.275 10591.35 7953.66 19169 20545.2 23100.275 25298.25 4085.235 4114.335 5400.585 2974.545 131438.71 7 77717.96 9758 土地费用（万元） 税金 （万元） 地上总建筑面积（m） 19250 24500 17550 36250 39000 41750 44500 9450 15450 19350 9975 232250 静态投资回报率：22.6% 2.275 120770.94 79340.579 2容积率 土地增值税（万元） 利润（万元） 计

5.2满足购房意愿的规划设计方案与核算 5.2.1规划方案设计

1网民对各房型满意比例做归一化处理 ○

先将参筹登记网民对各种房型的满意比例做归一化处理。把（0,1）之间的满意比例数映射在0～1范围之内处理，为后期混合型房地产开发项目的建筑设计提供归一性后的满意度数据。

由归一化公式：

ei*?ei?ei?111

i其中ei，e分别表示数据归一化前后的数值，一化公式可得表5。

*?e表示11种房型的满意比例之和。由归

ii?111表5 归一化后的网民对各种房型的满意比例值

满意比例 归一代处理 1/15 1/10 1/12 1/10 7/60 2/15 3/20 1/10 1/30 1/20 1/15 房型1 房型2 房型3 房型4 房型5 房型6 房型7 房型8 房型9 房型10 房型11 0.4 0.6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.6 0.2 0.3 0.4

2混合型房地产开发项目的建筑设计双目标优化模型 ○

依题意，要设计满足购房意愿的房屋规划方案，可采取线性规划方法来解决，结合房地产开发混合型房地产的实际需求，建立该决策问题的优化模型如下：

设该项目共有11种建筑房型，户型的建房套数户型i的建筑面积

xi,(i?1,2,?,11)，单

位面积的售价分别为：si,pi，f为总收益，故其目标一为总收益最大化，有：

maxf??si?pi?xi

i?111?MIi?xi?MAi (i?1,2,?,11)?sxsx?11?22???s11x11?Mn11r11?nrn2r2s..t?11 ?xi?整数, (i?1,2,?,11) ?x?i?整数 (i?1,2,?,11) ?25其中：目标函数是使开发商获得利益的最大化。

约束条件1是各户型建筑套数的套数约束，式中MIi和MAi分别为第i种户型的套数约束的上，

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下限。

约束条件2是基底面积约束，式中ni为第i种建筑材料类型的层高，M为基底面积，ri为第i种户型的土地使用率。

约束条件3是取整约束。

约束条件4是考虑到每种户型的群楼整体问题，依假设，统一规定群楼层高为25层，故所有户型的套数必须是25的整数倍。

由于规划设计要考虑民意，参筹者的购买意愿要尽量满足，故期待规划设计的混合房型设计套数离民意偏爱的套数比例尽量接近，故有目标二为追求偏差d的最小化，有：

mind??(di??di?)

i?111尽量满足民意的约束条件为，

xi?xi?111?di??di??ei* (i?1,2,?,11)

idi?,di??0, di??di??0从而有双目标规划模型：

11maxf??sipixii?1mind??(di??di?)i?111

?MIi?xi?MAi (i?1,2,?,11)?sx?ii?s2x2???s11x11?M?nirin2r2n11r11??xi?d??d??e* (i?1,2,?,11)iii?11s..t??xi?i?1?di??di??0, di??di??0??xi是整数 (i?1,2,?,11)?x?i是整数 (i?1,2,?,11)?25

现将双目标模型转化为单位目标模型，其目标函数可表达为：

1111maxF??f??(?d)????si?pi?xi????(di??di?)

i?1i?1其中?,?是权重系数，且????1。

又因于f的数量值达到亿（元），而d仅有百套，两者不可纲化，因而需要做数据处理，令

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f??f10f, d??d，将两者不同级别的数转化到了?0,1?上，故有：

10dmaxF??f???(?d?)????s?p?xiii?11111i???i?(di?11111?i?di?)?i10?s?p?xiii?110??(di?1?di?) 5.2.2规划方案与核算

利用Lingo软件编程（见附录1），得各类型下所需的房型套数表（见表6）。

表6 符合民意比例的各房型套数表 满意比例 需求套数 房型 1 0.4 房型 2 0.6 房型 3 0.5 房型 4 0.6 房型 5 0.7 房型 6 0.8 房型 7 0.9 房型 8 0.6 房型 9 0.2 房型10 0.3 房型11 0.4 50 50 50 200 125 350 450 100 50 50 50 得到符合民意比例的各房型套数后，方案1中的所有核算数据中，仅建房套数发生了变更，其核算公式不变，只须再将更新数据代入到方案1的所有公式中重新计算一遍，得到方案2的相关信息，见表7。

表7 满足民意的众筹筑屋规划方案II的核算信息公布表

房型 1 2 3 4 方案 II 5 6 7 8 9 10 11 合计 房型子项目收益房型子项目开发成土地费用（万元） 税金 （万元） 地上总建筑面积（m） 3850 4900 5850 29000 19500 9140 58450 80100 12600 5150 6450 6650 232500 静态投资回报率：18% 2.277679 99276.1935 58612.11 2 容积率 土地增值税(万元) 利润 （万元） （万元） 本（万元） 4620 5292 6552 37120 24960 79492 112140 13104 3296 4386 4788 295750 1641.255 2118.27 2651.22 15335.2 10272.6 32340.385 77717.9627 45536.85 5446.98 1371.445 1800.195 1983.03 120497.43

5.3投资回报率的讨论

因为方案II的静态投资回报率只有18%，小于规定的回报率25%，因此众筹项目方案II不能被成功执行。不能成功执行的原因是过分追求网民的购房意愿，而消弱了开发商对利益追求的最大化，而且房子的开发不是一锤子买卖行为，不可能在短期内将房建好，并迅速实现房屋脱手，市场的价格会随着供需变化而发生动态变化，因而在核算其成本收益，增值税等相关信息时，要检测其未来

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售价和成本，并将11套住房房型划分成低，中，高档三种来讨论。

由题意，单位平方米售价6400～7200间的定位为高档住宅，经模拟可得它们符合大数定律，并满足一定的正态分布，则其售价和单位面积的成本从概率角度有表8。

表8 三种住宅套型建筑售价与成本的分布表

房型i 售价p 单位面积成本c 低档住宅套型 9,10,11 P1?N(2778,13717) C1?N(6720,89840) 中档住宅套型 1,2,3,8 P2?N(4346,9784) C2?N(11255,339493) P3?N(5443,30359) C3?N(13300,270270) 高档住宅套型 4,5,6,7 假定三种类型的住宅的出售率分别为：低档住宅套型q1?0.95，中档住宅套型q2?0.9，高档住宅套型q3?0.8。

如果单纯考虑现在的不同房型的开发成本各售价，只能适合当前时局，但随时间推移，无论是售价和成本都会发生变更，价格偏离正常轨迹，成本过低会带来工作隐患，可能出现住宅套型卖不出去或者发生工程事故的可能。所以房地产开发决策者在预测价格和成本基础上采用可行的措施进行适当的调整，从而得到一种开发策略：

低档住宅套型的销售价格P1?8000元/平方米，成本控制在C1?3000元/平方米。 中档住宅套型的销售价格P2?12000元/平方米，成本控制在C2?5000元/平方米。 高档住宅套型的销售价格P3?14000元/平方米，成本控制在C3?6000元/平方米。 三种住宅套型的售价和成本的理论分布均近似符合正态分布，所以定义风险度

RD?E(R)?E0，其中：RD为风险度；SD为方案标准差；E(R)?E0为方案的收益期望值；E0SD属于项目预期收益值，再乘以各自的面积后，就可以得到各住宅套型所承担的风险大小，再根据前面的模型，可建立一个关于三种住宅套型设计的多目标线性规划数学模型：

maxf??si?pi?xi?qi

i?13mind??(di??di?)

i?133pi?E(pi)c?E(pi)minR???xi??i

SD(p)SD(p)i?1i?1ii311

??x2??x3??2.28?Syd?x1??MIi??xi??MAi? (i?1,2,3)?xi??3?di??di??ei* (i?1,2,3) s..t????xi?i?1?xi???整数 (i?1,2,3)?50

对上述表达式做如下的解释说明：

（1） 其目标有3点，应该满足收益最大，尽量满足民意且风险最小；

（2） 为计算简便，将各种土地购置和经营所涉及的费用等全都推入单位建筑面积的成本中；

?表示低档住宅套型（房型9,10,11）的总建筑套数和； （3） x1?表示中档住宅套型（房型1,2,3,8）的总建筑套数和； x2?表示高档住宅套型（房型4,5,6,7）的总建筑套数和； x3MIi?,MAi?表示某档住房的总套数和的最低值，最高值约束； eii*是相应档次下住房的需求比例；

由于三个目标函数的量纲不一致，需要对系数做无量纲化处理。第一个系数均除以10，第二个目标函数系数均除以1000，第三个系数均除以10，得到三个无量纲的目标函数，即：

39maxf??1109?si?pi?xi?qi?i?13??3(d?d)?R ?ii3310i?110?23?其中?1??2??3?1,权重?i有高层决策者和专家共同参与，并根据利益，民情，风险三者之间的重要程度来制定，最终得到单目标线性规划模型：

maxf??1109?si?pi?xi?qi?i?13??3(d?d)?R ?ii3310i?110?23???x2??x3??2.28?Syd?x1??MIi??xi??MAi? (i?1,2,3)?xi??3?di??di??ei* (i?1,2,3)s..t???xi??i?1?xi???整数 (i?1,2,3)?50

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六、模型评价与推广

6.1模型的优点：

（1） 科学分析数据，并运用这些数据建立了大量的表格，使题中要点可以一目了然。 （2） 针对问题二，提出线性优化模型，将双目标模型最终转化为单目标线性规划模型，并利用Lingo软件求解。具有一定的实用性。

（3） 本模型的建立对研究众筹筑屋规划方案设计具有重要意义。

6.2模型的缺点：

(1)模型复杂因素较多，不能对其进行全面的考虑，造成与实际有一定的不相符之处。

（2）影响房型价格因素较多，由于时间问题不能一一列出，所以选出几个主要影响价格的因素建立模型。

6.3模型的推广：

该模型中分析，解决问题的一些独特方法，对其他数学问题及一般模型仍可使用，也可以为房地产决策者在预测价格和成本基础上提供参考。

七、参考文献

[1]严金海，中国的房价与地价：理论、实证与政策分析[J]，技术经济数量经济研究，2006(1)：17-26

[2]王学发，我国城市房价上涨的需求动因与调控对策研究[J]，价格理论与实践，2007(3)：41-42

[3]张岑尧，地方政府的介入对城市房地产价格的影响:双重压力假说[J]，东北财经大学学报，2005(6)：40-43

[4]樊丽明，李文.房地产税收制度改革研究[J].税务研究，2004，(9).

[5]马树根.我国房地产发展存在问题与政府管理对策[J].华东经济管理，2007，21(2).

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qnro.html