2011年《高等数学》补充习题（老师用）

《高等数学》（Ⅱ）上

习题册

第二版（修定版）

教 师 用 书

省级精品课程《高等数学》课题组编

第一章补充习题

一、填空题

若f(x)在x0处连续，g(x)在x0处不连续，则f(x)?g(x)在x0处 连续。

?1sin,x?0 f(x)?g(x)在解：不一定，举例①f(x)?x，g(x)??x?0处连续 ?x?x?0?0,?sinx?,x?0f(x)?g(x)在x?0处不连续。 ② f(x)?x，g(x)??x2

?x?0?0,二、选择题

|x|sin(x?2)（2004数学三、四） 函数f(x)?在下列哪个区间内有界？

x(x?1)(x?2)2（A）(－1, 0). （C）(1, 2).

（B）(0, 1). （D）(2, 3).

x??1解：当x≠0, 1, 2时，f (x)连续，而lim?f(x)?? limf(x)??sin3sin2， ,limf(x)??18x?0?4sin2,limf(x)??,limf(x)??，

x?2x?04x?1 所以，函数f (x)在(－1, 0)内有界，故选（A）

?x2?1?lim?(ax?b)??0，求常数a，b。 三．已知?x???x?1???解：原式=lim(1?a)x2?(a?b)x?1?b

x??x?1∴ 1?a?0?a?1

a?b?0?b??1

x2n四、求lim1?x?()n??2nn(x?0)

解：① 当0?x?1时 x2nn1?1?x?()?3

2nn

xnn∴ lim1?x?()?1

n??2nn② 当1?x?2时

x2nnx?1?x?()?3x

2nnx2n∴ lim1?x?()?x

n??2nn

1

③ 当x?2时

12nx2nnx2n x?1?x?()?3?222x2nx2∴ lim1?x?()?

n??22nn??1,0?x?1?综上得原式=?x,1?x?2

?x2x?2?,?2五、求f(x)?1x1?1?ex的连续区间、间断点并判别其类型。

解：∵ 1?x?0x和1?e1?x?0时f(x)无定义

∴ x?1和x?0是间断点 又 ∵ limf(x)??

x?0∴x?0点无穷间断点（第二类）

而

x?1?limf(x)?1

x?1?limf(x)?0

∴ x?1是跳跃间断点

六、设f(x)在[a,b]上连续，a?c?d?b，试证明：对任意的正数p和q，至少存在一点

??[c,d]，使pf(c)?qf(d)?(p?q)f(?).

证：∵ ∴ ∴

f(x)在[a,b]连续，∴ f(x)在[c,d]也连续 pm?pf(c)?pM且qm?qf(d)?qM

由最值定理：m?f(c)?M 且m?f(d)?M

pf(c)?qf(d)?M

p?qm?由介值定理得存在一个??[c,d]，使得f(?)?故pf(c)?qf(d)?(p?q)f(?)成立。

pf(x)?qf(d)

p?q

2

第二章补充习题

一、填空题

1．设方程x?y?arctany?0确定函数为y?f(x)，则f??(x)? 。

解：y??1?12y2 y????y3(1?1y2)

2．设函数f(x)二阶可导，且y?f(lnx)，则y??? 。

解：y??1xf?(lnx) y???1x2?f??(lnx)?f?(lnx)?

二、若f(x)可导，求?ab?nlim??n??f(x?n)?f(x?n)??

(a,b?0)

??f(x?a解：原式=lima?n)?f(x)???f(x?b)?f(x)?a?a??limb?n?n?0????b??b? ?n??n?0?????n???af?(x)?bf?(x)?(a?b)f?(x)

三、设f(x)?a1sinx?a2sin2x???ansinnx，且|f(x)|?|six|n，|a1?2a2???nan|?1

证：∵

f?(x)?a1cosx?2a2cos2x???nancosnx ∴ f?(0)?a1?2a2???nan 而 f(0)?0

∴ f?(0)?limf(x)?f(0)x?0x?limf(x)x?0x 又 ∵

|f(x)|?|sinx| ∴

f(x)sinx?xx ∴ |f?(0)|?limf(x)x?0x?limf(x)sinx?0x?limxx?0x?1 ∴

|f?(0)|?1得证

四、试从dxdy?1y?导出d2xy??dy2??(y?)3 证：

d2xd1ddy2?dy(y?)?dx(1y?)?dxdy??y??1y??(y?)2?y???(y?)3 五、设f(x)满足f(x)?2f(13x)?x，求f?(x)。

3

求证

解：∵

∴

13f(x)?2f()?

xx1f()?2f(x)?3x x3 x

（1） （2）

（2）×2－①得3f(x)?6x?∴ ∴

f(x)?2x?1 xf?(x)?2?1x2

?x?ln(1?t2)d3y六、求由参数方程?以确定的函数的三阶导数3

dx?y?t?arctanttd()t12d()2dy1?t2dt22???? 2dx2tdx4tdxdt1?t2dydydtt?? 解：

dxdx2dtdd2y11()(??1)d3ydtdx2t4?14t2??? 33dx2tdx8t2dt1?t第三章补充习题

一、填空题 1．曲线y?e?1x2arctan(x?1)(x?2)的渐近线为

(x?3)(x?4) 。

解：间断点为x?0,x?3,x?4

∵

limy?0

x?0 e?116

x?3?limy??limy????2ee?19

x?3?limy??2e?19

x?4limy???2?2?116x?4x??limy??4

∴

渐近线为y??42．设f(x)与g(x)可求任意阶导数，且f??(x)?f?(x)g(x)?f(x)x?ex?1，f(0)?1，

4

x??xd?tan?1?tan2112?2d?tanx? ?? ?????x4tanxcos2x42??tan2221x1x ?tan2?lntan?C

8242（2）（1998数学二）

?sinxdx? . 2lnsixn解：当a?0，b?0时，

1x??a2sin2x?b2co2sdx?a212ta?nxd(tanx?)b21?1arc?tanab???tanC. ?xb?

当a?0,b?0时，

11dx??a2sin2x?b2co2sx?2b11dx?ta2nx?. Cco2sxb 当a?0,b?0时，

11dx??a2sin2x?b2co2sx?2a11dx??cotx?. Csi2nxa2第五章补充习题

一、填空题

1．曲线9y2?4x3点从x?3到x?8的一段弧的长度为 2解：曲线化为y?x2，弧长元素dS?1?xdx

33 。

∴ 弧长S??831?xdx?38 32．过原点作曲线y?lnx的切线，则此切线与y?lnx及X轴所围图形的面积为 。

11x 则过原点的切线方程为y?x0x1x0?1，x0?e，y0?1，所求面积x0解：设切点为(x0,lnx0)，y??又 (x0,lnx0)在切线上，所以lnx0?

10

S??10[ey?ey]dy?e?1 2二、求由曲线x?y2与直线y?x?2所围的图形的面积；并求由此图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积。

解：面积??2?1[(y?2)?y2]dy?9，体积=?2?40xdx???42(x?2)2dx?16?。 3三、某闸门以y轴为对称轴，闸门上部为矩形，下部为抛物线y?x2与y?1（米）围成的抛物弓形，当水与闸门上部相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4，求矩形部分的高h应为多少？

解：这种题应作图（读者自作），矩形上边y?h?1，矩形部分所受水压力

p1?2?h?11?g(h?1?y)1dy??gh2

抛物线形部分所受水压力

P2?2?10?g(h?1?y)xdy?2?10?g(h?1?y)ydy?4?g?h??1?32?? 15?1由题意知，P1:P2?5:4，解得h?2,h??（舍去），故h?2（米）。

3四、（2003数学二） 设曲线的极坐标方程为p?ea?(a?0)，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧及极轴所围成的图形的面积为 . 12?12?12a?e 解： 所求面积为 S???2(?)d???e2a??20204a2??014?a(e?1) 4a五、设直线y?ax与抛物线y?x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x?1所围成的图形面积为S2，并且a?1

（1）确定a的值，使s1?s2达到最小，并求最小值；

（2）求该最小值所对应的平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积。 解：（1）0?a?1

s?s1?s2?a01a?(ax?x)dx?2?a3a1(x?ax)dx???

3232令s??a2?12111又s??()?2?0 ?0得a?222则s()是极小值也是最小值，且s(12)?2?2 6

11

当a?0时S?s1?s2??0a(ax?x)dx?2?10a3a1(x?ax)dx????

62321S???(a2?1)?0所以S单调递减

2最小值为S(0)?1211 3综上知当a?时，s(12)?2?2为最小值。 6112（2）Vx???201(x2?x4)dx??2?(x4?12x)dx?22?1? 30

12

第六章补充习题

一、选择题

1．(1987年数学三)反常积分收敛的是（ （A）（C）

）。

??e??e??lnxdx xdxx(lnx)2

（B）（D）

???e??e1dx xlnxdxxlnx?

解：经计算知选C 2．反常积分发散的是（ （A）（C）

）。

（B）（D）

1?1??1?11dx sinxdx 21?x

???0xe?xdx

2???0e?xdx

解：选A

二、求下列广义积分（反常积分） 1．求

??1?dx

x(x?1)解：原式=limb???1?b11x??(?)dx?lim?ln||

b????xx?1x?1??1b1?ln)?ln2 b?12bb???lim(ln2．求

???arctanxx21dx

解：原式=????1??11dx?? arctanxd??arctanx/1??1xxx(1?x2)????4??1x??1?1?dx??ln2 ?x1?x2?42??3．求

?10201(1?x)210dx 1dx?解：原式?由于

?(1?x)2?21(1?x)21dx

?dx(1?x)2?? 故原积分发散

13

三、利用递推公式计算广义积分In?解：当n?0时

???0xne?xdx(n?0,1,?)

In?????0xden?x??xen?x/??0????0e?xnxn?1dx

?0?nIn?1?nIn?1

所以In?nIn?1?n(n?1)In?2?n!I0 而I0????0e?xdx?1

因此In?n!

四．（2000数学四） 计算I????1dxe1?x?e3?x

??I????1exdx1??dex1ex??arctane1?2x?e3e?1(ex)2?e2e2e?1?4e2

14

《高等数学》（上）期末考试模拟试题（四）参考答案

一、 1．

1?yxy?1(1?x2)(1?xlnx)(1?x)y2；

2．?2x3x2ln(x4?1)； 3．

5 64．2?(x) 二、

1．原式=lim(1?x?01x)x[11x?(1?x)ln(1?x) ?2ln(1?x)]?elimx?0x(1?x)xx2(1?x)?elim?xe??

x?0x(2?3x)212en1(en?elimx?0?ln(1?x)2x?3x212(2?)2．原式=limn2en[enn??12?1)?e2limn?e2

n??112?1?]?e2limn??n2n2三、 1．

dy112??? dudududx3x2?x(2x?1)(2y?1)?dydxdyf(x??2．?(x)?lim{?x[t??x)?f(x)sintt]}??xf?(x) ??xttf?(x)?f?(0) ∴a?f?(0)时g(x)连续。 1??(x)??[f?(x)?xf??(x)]

四、（1）∵limg(x)?limx?0x?0（2）当x?0时g?(x)?xf?(x)?f(x)x2

f(x)?f?(0)f?(x)?f?(0)f??(x)f??(0)?lim?lim?当x?0时g?(0)?limx

x?0x?0x?0x2x2230

（3）∵limg?(x)?limx?0x?0xf?(x)?f(x)x2?limx?0f??(x)f??(0)??g?(0),∴在x?0处22g?(x)是连续的。

1?e?x0五、∵f?(x0)?0，∴f??(x0)?。当x0?0时，当x0?01?e?x0?0，f??(x0)?0，

x0时，1?e?x0?0，f??(x0)?0，故f(x)在x?x0处有极小值。

六、 11．原式?2?1d(1?2sin2x)1????1?2sin2x?C。

421?2sin2x1?2sin2xd(sin2x)?2．原式=(arctanx)2d(1?x)?(1?x)(arctanx)2?2arctanxdx

?(1?x)(arctanx)2?[2xarctanx????dx] 1?x?(1?x)(arctanx)2?2xarctanx?ln(1?x)?C

七、

111．原式t?1?x121?2?22dt1?t221??2arctan1??2?2arctan12012

2．原式??|ln(1?x)|dx??0?120?12ln(1?x)dx??ln(1?x)dx

120

=?xln(1?x)?x?ln(1?x)?3311=ln?ln 2222??xln(1?x)?x?ln(1?x)?八、

c?0，

?10(ax2?bx)dx?224ab443，??，a??b 932932V??10a21b21432143b2?(ax?bx)dx??(?ab?)??[(?b)?(?b)b?]

5235322323V?(b)??b?2?，令V?(b)?0，得b?2，V??(2)??0 15155故当a??，b?2，c?0时V有最小值。

3?九、∵

?20cosx?sinxdx?1?sinxcosx??20cosxdx?1?sinxcosx??20sinxdx

1?sinxcosx31

而

?

?20sinx?dx令x??t?1?sinxcosx2??0?2costdt?1?sintcost??20cosxdx；

1?sinxcosx∴

1x?20cosx?sinxdx?0

1?sinxcosx1h1h?f(x)?xh??f(x?xh)?f(x)?∞

?lim1?十、e?lim?（属1型极限）. ???h?0h?0f(x)?f(x)???因为limh?0f(x?xh)?f(x)1f(x?xh)?f(x)xx??lim??f?(x)?，

f(x)hh?0xhf(x)f(x)f?(x)?xf(x)1?f?(x)1?2，两边积分得：f(x)?Cex， ，则

f(x)x所以e?e1x又limf(x)?1，将上式代入左边的极限式可求出C = 1.

x???1x故 f(x)?e.

32

《高等数学》（上）中期考试模拟试题（一）答案

一、填空题：（1—16题每小题3分，17小题2分，共50分）

1．y??(0)??3； 2

2．y?(0)? 1 ；

d2y1?t2??3； 3．

4tdx25． 7．

等价 1 ； 3 4．

dy? 3 ； dxt?0无穷小；

x16． ? ；

8 8．

1； 29． 1 ； 10．a= 1 2，b= －6 ；

131e?(??n?1)n?1nx?x； 11．n阶麦克劳林公式：xe?x?x?x???2!(n?1)!(n?1)!12．极大值是f(1)??1；极小值是f(3)??5，拐点是(2,?3)。 13．渐近线方程为x?0,y?14． ln3 ； 0

?4； 15．a= 2 n??；

e－1

16．f?(0)? ；

17．limf(?n)?

。

二、选择题（18—33题每小题3分，34小题2分，共50分，请将所选的字母填在“选项”栏内）

题号 18 19 20 21 22 23

选项 B D C B D B 题号 24 25 26 27 28 29 选项 B D A B A C 题号 30 31 32 33 34 选项 C B B B B 20

《高等数学》（上）中期考试模拟试题（二）答案

一、填空题（1—13题每小题4分，共52分）

1． 3．x= 4． 6． 0 ；

2． 2 ；

－2，－1，0 y=0 x=0 ，其中点x= －1 是可去间断点； ； 5．

1 ；

1， –4 ；

xy?yexy?y或7．； x?xyx?exy8．

sint?tcost4t3；

9．1??4；

3?10．；

2

311．(ab)2；

12．在x= 13．

－h－1 处取得极小值 ?1en?1；

1dx

x(1?lny)二、选择题（14—25题每小题4分，共48分，请将所选的字母填在“选项”栏内）

题号 14 15 16 17

选项 C B B B 题号 18 19 20 21 选项 B B C C 题号 22 23 24 25 选项 D C C A

21

《高等数学》（上）期末考试模拟试题（一）参考答案

一、判断题

1．√ 二、填空题

6．

2.×

3.×

4. √

5.×

?2 7．0

8．1 13119．f[(x1?x2)]?(f(x1)?f(x2))

22]

10．2xsinx4

111．[?,3

x3x5x2m?1m?1????(?1)??o(x2m) 12．sinx?x?3!5!(2m?1)!113．y?8??(x?5)

314．e2

15．45

三、

16．解：∵8?n8n?n2n?3n?5n?8n?8n4 又limn4?1，故由迫剑性limn2n?3n?5n?8n?8。

n??n??17．解：f?(x)?2x2x?121??2x2x2?12=

xx?12?1x?12?x?1x?12

x?x?118．解：lim(x?111x?1?lnxx?1 ?)?lim()?lim?limx?1x?1x?1x?1?xlnxlnxx?1x?1lnx(x?1)?lnxx1x?1 21?1x?limx?111?lnx?x?19．解：求一阶导数和二阶导数 y??(1?x)e?x,y???(x?2)e?x

1令y??0得y?xe?x在（0，2）内的唯一驻点x?1，且y??(1)???0

e因此y(1)?1是极大值，从而是最大值。 e

22

另外y(0)?0，y(2)?2e2，因此y?xe?x在[0，2]上的最小值为y(0)?0

dy(acos3t)?3asin2tcost20．解：????tant

dx(acos3t)??3acos2tsintdy?sec2tsec2t ??dx(acos3t)?3acos2tsint21．原式?4ln4?2?4dxx21?4(2ln2?1)

sin3x?c 四、22原式?(1?sinx)dsinx?sinx?3?23．A?2?12???0a2(1?cos?)2d??3?(?x)2dx?2?32?a 224．解：V?25．

1?3?1?3x4272??dx??

45??0f(x)dx?f(x)x0????0xf?(x)dx????0sinxdx???x??0xsinxdx ??x??0sinxdx??cosx|?0?2 sinx?,x?(0,] x2g(0)?0

26．证明：设g(x)?则

g?(x)?cosx(x?tanx)x2，令f(x)?x?tanx，

f?(x)?1?sec2x?0，f(x)在[0,?2]上严格递减，f(x)?f(0)?0，??x?(0,?2)，

有g?(x)?cosx(x?tanx)x2?0，g(x)在[0,?2]上严格递减??x?(0,?2)，有g(x)?sinx? x?22x?g()?，从而?sinx,x?(0,) 2??2

23

《高等数学》（上）期末考试模拟试题（二）参考答案

一、 1．2二、

6．解：k?limx??1 22．2 3．0 4．是 5．2

?1

x2斜渐近线方程为：y?x

x2?12)7．解：原式lim(1?x??2x?12x?11?22=e

e8．解：

?e11?lnxdx?xx0?e11?lnx3? (1?lnx)d(1?lnx)?212sin2x3x21 3?9．解：limx?0sin2tdtx3h?0?limx?0?10．解：原式?lim[三、

11．解：y??4x?f(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)?]?2f?(x0)

h?h11

?0，得x? x2

1(0,)上，y??0，单调下降 21(,??)上，y??0单调上升 212．解：

dytlnt1?2?? dx?tlntt2d2ydx?1/t2?tlnt2??1tlnt4

1lnxxnx?lim??lim?0 13．解：原式?limx?0?x?nx?0??nx?n?1x?0?n14．解：原式??e?xsinx??0????0e?xcosxdx??e?xcosx??0????0(?sinx)dx

24

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