高一数学函数的奇偶性例题分析教案 (1)

函数的奇偶性例题分析

例1 )证明

f(x) x

1x

在（0,1）上是减函数

证明：(1)设0

x1 x2 1,

11111) (x2 ) (x1 x2) ( ) (1 )(x1 x2) x1x2x1x2x1x2

1

x) 0 f(x0,f1(x )f2(1) f(x2) 即

x1x2

则

f(x1) f(x2) (x1

0 x1 x2 1 x1 x2 0,1

f(x)在（0,1）上是减函数

例 判断下列函数是否具有奇偶性 (1)(5)

f(x) x3 2x (2)f(x) 2x4 3x2 (3)f(x) x3 x2 (4)f(x) 0

f(x) (6)f(x) xn x n(n Z)

f(x) (x (8)

(7)

f(x) (1 x)3 3(1 x2) 2

(9)

1 x2,x 0 f(x) 0

x2 1,x 0

:(1)

函

数

的

定

义

域

3

解为R，关

3x 2

于原点对称。当

x R

时，

f( x) (3 x) 2x (

)x

x( ，所以x2 f(x))f x3x (2x是奇函数)

(2).定义域R关于原点对称，且x R时，

f( x) 2( x)4 3( x)2 2x4 3x2 f(x)

f(x) 2x4 3x2是偶函数.

(3)定义域R关于原点对称，所以(4).

f( x) ( x)3 ( x)2 x3 x2,与f(x)、 f(x)都不相等

f(x)非奇非偶。 f(x)的定义域为

R,

f( x) 0,f(x) 0,f( x) f(x),f( x) f(x)同时成立，所以,

f(x) 0即使奇函数又是偶函数

(5)

f(x)的定义域为{1},不关于原点对称，所以f(x)不是奇函数也不是偶函数.

(6)n=0时，

f(x) 0,

既是奇函数又是偶函数.n是不为0的偶数时，

f( x) ( x)n ( x) n xn x n f(x),f(x)是偶函数；n是奇数时，f(x)为奇函数.

(7).函数的定义域是[-1,1），不关于原定对称，所以既不是奇函数又不是偶函数. (8).

f(x) (1 x)3 3(1 x2) 2 1 3x 3x2 x3 3 3x2 2 x3 3x

.

f( x) ( x)3 3( x) (x3 x) f(x),所以f(x)是奇函数

(9).函数的定义域为

R,当

x 0

时，

f(x)

0;

当

x 0x 0

时，时，

x 0 x 0

，，

f( x) ( x)2 1 x2 1 (1 x2) f(x)

；当当

f( x) 1 ( x)2 1 x2 (x2 1) f(x).综上f(x)是奇函数.

例 判断

f(x) (x .

错解

:

f(x) (x f( x) f(x), f(x)为偶函数

正解：函数的定义域是[-1,1），不关于原定对称，所以既不是奇函数又不是偶函数 例 已知

f(x)是奇函数，它在(0,+ )上是增函数，且f(x) 0,试问F(x)

1

在（- ，0)上是增f(x)

函数还是减函数？证明你的结论. 解：取x1

x2 0，则 x1 x2 0，

f( x2) f( x1) 0,f( x2) f( x1) 0,f( x1)f( x2) 0

F(x1) F(x2)

f(x2) f(x1)f( x1) f( x2)11

0， f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f( x1)f( x2)

F(x)在（- ，0)上是减函数.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qnj4.html