随机过程 方兆本1.3 收敛性

随机过程 方兆本

§1.3 收敛性定义1.7 设{Xn, n ≥1}是一列随机变量,若存在随机 定义 变量X,使对 ε>0,有n →∞

lim P (| X n X |≥ ε ) = 0

则称随机变量序列{Xn, n ≥1}依概率收敛 依概率收敛于X, 依概率收敛 记为 X n p X . → 如果{ω : lim ( X n (ω ) X (ω )) = 0} 的概率为1,即:n→∞

P( lim ( X n X ) = 0) = 1n →∞

则称随机变量序列{Xn, n ≥1}几乎必然收敛 几乎必然收敛于 几乎必然收敛 X,记为 X n → X , a.s. .

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定义1.8 设随机变量X和Xn, n ≥1, 都有有限的二阶 定义 矩,如果n →∞

lim E ( X n X ) 2 = 0

则称随机变量序列{Xn, n ≥1}均方收敛 均方收敛于X, 均方收敛 记为X n L X . →2

三种收敛的关系 三种收敛的关系: ① 几乎必然收敛 ② 均方收敛 ③ 几乎必然收敛 依概率收敛 依概率收敛 均方收敛

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例1.11 在Bernoulli试验中, 设每次试验成功的概率 为p, 若以Sn表示n次试验中成功的次数, 则Sn p → p n

证: 由于Sn~B(n,p), 由Chebyshev不等式, ε>0有Sn E ( S n np ) 2 P(| p |≥ ε ) = P(| S n np |≥ nε ) ≤ n n 2ε 2 p (1 p ) = → 0 (n → ∞) 证毕. 2 nε

进一步,p (1 p ) Sn E p = , n n 2

X n L2 X . → 故

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