中考圆知识点总结复习

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初中圆复习

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 d r 点C在圆内； A

2、点在圆上 d r 点B在圆上； 3、点在圆外 d r 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点 d R r； 外切（图2） 有一个交点 d R r；

相交（图3） 有两个交点 R r d R r； 内切（图4） 有一个交点 d R r； 内含（图5） 无交点 d R r；

图1

图2

图4

图5

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五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径 ②AB CD ③CE DE ④ 弧BC 弧BD ⑤ 弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD D ∴弧AC 弧BD

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的

弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：① AOB DOE；②AB DE；

③OC OF；④ 弧BA 弧BD

七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵ AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角

B∴ AOB 2 ACB

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆

周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O中，∵ C、 D都是所对的圆周角 ∴ C D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直

角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵ C 90 ∴ C 90 ∴AB是直径 BA

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OC OA OB

BA

∴△ABC是直角三角形或 C 90

注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

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八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中， ∵四边ABCD是内接四边形

∴ C BAD 180 B D 180

DAE C

九、切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长

相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA PB；PO平分 BPA

十一、圆幂定理

1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

D

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， B

∴PA PB PC PD 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径

所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O中，∵直径AB CD， A

∴CE2 AE BE

2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线

段长的比例中项。

即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ PA2 PC PB

3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PC PB PD PE

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十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点

∴O1O2垂直平分AB

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：Rt

O1O2C中，AB CO

2

21

（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和

十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt

BOD中进行：OD:BD:OB 2；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt

OAE中进行，OE:AE:OA ： （3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt

OAB中进行，AB:OB:OA 2.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

n R

1、扇形：（1）弧长公式：l ；

180

n R21

lR （2）扇形面积公式： S

3602

O

l

n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图 D1 S表 S侧 2S底=2 rh 2 r2

C1

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（2）圆柱的体积：V r2h

3、圆锥侧面展开图

（1）S表 S侧 S底= Rr r2

1

（2）圆锥的体积：V r2h

3

十六、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

a b c

（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 。

2

1

（3）S△ABC=r(a b c)，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。

2

（4

如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。

练习题

1．若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )

A．点A在圆内 B．点A在圆上 c．点A在圆外 D．不能确定 2．已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是

3．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则求PA+PB的最小值

__ N

D

图2

_

4如图2，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为 5．与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是______．

6．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径R=______，内切圆半径r=______． 7．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为63，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是． 8．PA、 PB是⊙O的切线，切点是A 、B，∠APB=50°，过A作⊙O直径AC，连接CB，则∠PBC=______．

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9．如图4，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P，则CD∶AB等于

A．sinBPC

B．cosBPC

C．tanBPC

D．cotBPC

图4 图5

10．如图5，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4， PB=2，则PC的长是

A．2

B．2

C．22

D．3

11．圆的最大的弦长为12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么

A．d<6 cm C．d≥6 cm

B．6 cm<d<12 cm D．d>12 cm

12．如图6，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为______．

图6 图7

13．如图7，PE是⊙O的切线，E为切点，PAB、PCD是割线，AB=35，CD=50，AC∶DB=1∶2，则PA=______． 14．如图8，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线．

图8

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15.如图，AB既是⊙C的切线也是⊙D的切线，⊙C与⊙D相外切，⊙C的半径r=2，⊙D的半径R=6，求四边形ABCD的面积。

16．如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：

(1) AC是⊙O的切线．(2)若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径．(12分)

图10

17．如图11，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE·PO．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA=1∶2， PA=6，求⊙O的半径；(3)求sinPCA的值．(12分)

图11

18．如图，⊙O的两条割线AB、AC分别交圆O于 D、B、E、C，弦DF//AC交 BC于C． （1）求证：AC FG BC CG；

（2）若CF＝AE．求证：△ABC为等腰三角形．

B

· O

A

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19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sinP=

20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC＝∠B． （l）求证：PA是⊙O的切线；

（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交 PA于F，AC＝8，CE：ED＝6：5，AE：EB＝2：3，

求AB的长和∠ECB的正切值．

FA

EO

P

3

，求⊙O的直径。 5

B

21．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，

求证：（l）AC是⊙D的切线；

（2）AB＋EB＝AC．

B

D

AE

22．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1；与⊙O的弦AC相交于D， DE⊥OC，垂足为E． （l）求证： AD＝DC；

（2）求证： DE是⊙O1的切线；

（3）如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．

考点一：与圆相关概念的应用

A

O1

B

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利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系.

1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题

【例1】 已知：如图所示，在△ABO中，∠AOB=90°，∠B=25°，以O为圆心，OA长为半径的圆交AB于D，求弧AD的度数.

【例2】 如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（ ）. Ａ. 30° Ｂ. 45° Ｃ. 50° Ｄ. 60°

2.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系

【例3】 已知⊙O的半径为3cm，A为线段OM的中点，当OA满足： （1）当OA=1cm时，点M与⊙O的位置关系是 .

（2）当OA=1.5cm时，点M与⊙O的位置关系是 . （3）当OA=3cm时，点M与⊙O的位置关系是 .

【例4】 ⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）. Ａ. 相交 Ｂ. 相切 Ｃ. 相离 Ｄ. 无法确定

【例5】 两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm，那么两圆的位置关系是______________.

3.正多边形和圆的有关计算

【例6】 已知正六边形的周长为72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.

4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算

【例7】 如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 （结果保留）.

5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算

【例8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 .

考点二：圆中计算与证明的常见类型 1.利用垂径定理解题

垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算.

【例1】 在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，夹角为30°，且分直径为1∶5两部分，AB=6，则弦CD的长为 . Ａ. 2

Ｂ. 4

Ｃ. 4

Ｄ. 2

2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题

“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添加

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辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.

【例2】 如图，在⊙O的内接△ABC中，CD是AB边上的高，求证：∠ACD=∠OCB.

3.利用圆内接四边形的对角关系解题

圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法.

【例3】 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C＝45°，AB＝2，则点B到AE的距离为________.

4. 判断圆的切线的方法及应用 判断圆的切线的方法有三种：

（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；

（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线； （3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【例4】 如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4，D是线段BC的中点.

（ 1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.

【例5】 如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.

【例6】 如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.

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【课堂巩固练习】

一. 选择题：

1. ⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点 ［ ］ A.在⊙O内或圆周上 B.在⊙O外

C.在圆周上 D.在⊙O外或圆周上

2. 由一已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为［ ］ A、2或3 B、3 C、4 D、2 或4 3.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是［ ］

A.110° B.70° C.55° D.125°

4.在⊙O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧AB的度数等于［ ］ A.30° B.120° C.150° D.60°

5.直线ａ上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线ａ与⊙O的位置关系是［ ］ Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6、如图，ＰＡ切⊙O于Ａ，ＰＣ交⊙O于点Ｂ、Ｃ ，若PA＝5，PB＝BＣ，则ＰＣ的长是［ ］ Ａ、10 Ｂ、5 Ｃ、52 Ｄ、53

7．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为［ ］ A．

2 33 2 23 2

B. C. D. 2222

2

8、已知两圆的圆心距是9，两圆的半径是方程2x－17x+35=0的两根，则两圆有［ ］条切线。

A、 1条 B、2条 C、3条 D、4条

9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm，则梯形的腰长为［ ］

Ａ、１０ｃｍ Ｂ、１２ｃｍ Ｃ、１４ｃｍ Ｄ、１６ｃｍ

10、如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且A O1、A O2分别是两圆的切线，A是切点，若⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径R=4，则公共弦AB的长为［ ］ A、2 B、4.8 C、3 D、2.4

11、水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是1cm，水面宽也是1cm，则截面有水部分（弓形）的面积是［ ］ A、

B、

C

、

D、

或

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二. 填空题：

12.6cm长的一条弦所对的圆周角为90°，则此圆的直径为 。 13.在⊙O中，AB是直径，弦CD与AB相交于点E，若 ，则CE=DE（只需填一个适合的条件）。 14.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1，则∠D= 。 15.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是 。

16.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于E点，AB=120°，CD=70°则∠AEB= 。

17．已知两个圆的半径分别为8 cm和3 cm，两个圆的圆心距为7 cm，则这两个圆的外公切线长为 。 18.如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE=8cm，EB=4cm，则OG= cm。

19. 已知圆锥的母线长为5厘米，底面半径为3厘米，则它的侧面积为 。 四.解答题

20.如图在△ABC中，∠C=90°，点O为AB上一点，以O为圆心的半圆切AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的长。

21.如图在⊙O中，C为ACB为直径，弦AB交CD于点P，又PE⊥CB于E，若BC=10，且CE∶EB=3∶2，求AB的长．

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22.已知：如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线

交半圆于点K， 求证：AE EB EK

23.已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，CD是△ABC中AB边上的高， 求证：AC·BC=AE·CD

2

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