第三讲 三角函数与平面向量

2013级假期辅导讲义 罗荣恒

第七讲 三角函数与平面向量

1、角的定义：

?正角:按逆时针方向旋转形成的角??任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角???零角:不作任何旋转形成的角

2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角。

第一象限角的集合为??2k????2k??,k???

?2????第二象限角的集合为??2k?????2k???,k???

?2????第三象限角的集合为??2k??????2k????3??,k??? 2?第四象限角的集合为??2k????3?????2k??2?,k??? 2?终边在x轴上的角的集合为????k?,k??? 终边在y轴上的角的集合为????k??,k???

?2????终边在坐标轴上的角的集合为??????k??,k??? 2?3、与角?终边相同的角的集合为????2k???,k???4、已知?是第几象限角，确定

?*

n???所在象限的方法： ?n先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，

则?原来是第几象限对应的标号即为

?n终边所落在的区域。

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。

1

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6、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??。

lr?180?1?，1??7、弧度制与角度制的换算公式：2??360，??57.3

180???8、若扇形的圆心角为???为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，

则l?r?，C?2r?l，S?lr??r2。

9、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点P的坐标是?x,y?，它与原点的距离是OP=rr?x2?y2?0，则sin??， cos??，

tan??y?x?0?。 x1212???yrxr10、三角函数在各象限的符号：口诀：

第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正。

11、三角函数线：sin????，cos????，tan????。（如图）

12、同角三角函数的基本关系：

(1)sin2??cos2??1 ?sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??

OyPTMAx(2)sin?sin????tan? ?sin??tan?cos?,cos???cos?tan?? ?13、1、三角函数的诱导公式：

2

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?? ??? ??? 2??? 2k??? sin cos tan ?tan? ?tan? ?tan? ?tan? ?tan? cot ?sin? ?sin? ?sin? ?sin? ?sin? ?cos? ?cos? ?cos? ?cos? ?cos? ?cot? ?cot??cot??cot??cot?2、三角函数值等于?的同名三角函数值，前面加上一个把?看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限

?2?? sin cos ?sin? ?sin? ?sin? ?sin? tan ?cot??cot??cot?cot ?cos? ?cos? ?cos? ?cos? ?tan? ?tan??? 23??? 23??? 2? ?tan? ?cot??tan? 三角函数值等于?的异名三角函数值，前面加上一个把?看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限 口诀: 纵变横不变，符号看象限

14、(1)由函数y?sinx的图象如何得到函数y?Asin??x???的图象。 (2)函数y?Asin??x????A?0,??0?的性质： ①振幅：A；②周期：T?2??；③频率：f?1??；④相位：?x??； T2?⑤初相：?。(4)函数y?Asin??x????B

3

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15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 值域 最当x?2k???2R R ???xx?k??,k???? 2????1,1? ??1,1? R ?k???当x?2k??k???时， ymax?1时，ymax?1；当x?2k??；当既无最大值也无最小值 ?2 x?2k??? ?k???时，ymin??1．时，． y??1k????值 min 周期2? 性 奇奇函数 偶

4

2? ? 偶函数 奇函数 2013级假期辅导讲义 罗荣恒

性 在?2k??单调性 ???2,2k?????k???上是增函数；在 ?3???2k??,2k???22??? 在?2??2k???,2k???k???上是增函数；在在?k?????2,k????? 2??2k?,2k???? ?k???上是减函数． ???k??,0??k????2?? x?k??k????k???上是增函数． ?k???上是减函数． 对称中心 对称 轴?k?,0??k??? x?k???k??,0??k??? ??2??2?k??? 无对称轴 第八讲 三角恒等变换问题

知识要点： 1、

基本公式

（1） 两角和与差的公式

sin(???)?sin??cos??cos??sin? cos(???)?cos??cos??sin??sin?

tan(???)?tan??tan?

1?tan??tan? （2）二倍角公式

sin2??2sin?cos?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2? tan2??2tan?

1?tan2?（3）另常用的一些重要公式（变形公式） 1°升降幂公式：1?cos??2cos2,1?cos??2sin22??2

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2°辅助角公式：asin??bcos??a2?b2sin(???)（其中?角是由

tan??b， ?所在象限与点（a，b）所在象限相同来确定。或由acos??aa?b22?sin??ba?b22来确定。）

2、三角变换中，常用的技巧与方法

公式的应用要做到“三会”，公式由左到右会用，由右到左会用，公式变形后也会用，变换常采用的方法有以下几种。

（1） 弦切互化。即把题目中出现的切函数都化为弦函数。 （2） 变角：一般是变为单角的三角函数，或用已知角表示未知

角，或用未知角表示已知角，角的常见变形有

2??(???)?(???),??(???)??,?????2????2

（3） 注意“1”的代换应用：

1?sin2??cos2??tan??cot??tan?4?sin?2

（4） 注意公式的逆用或变形运用。

1?tan??1?tan???tan(??),?tan(??)

1?tan?41?tan?4tan??tan??tan(???)(1?tan??tan?) tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)

3、三角恒等变换中，常采用的变换策略是：从“角”、“形”、“名”、“幂”四方面着手，进行局部突破，逐步化简。

1°变角：常采用“异角化同角”、“复角化单角”，用已知角表示未知角。

2°变形：若三角函数式结构形式较复杂，就要从结构形成上考虑化繁为简.

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3°变名：从函数名称上化简，常采用“异名化同名”、 弦切互化等。

4°化幂：常采用“异次化同次，高低次的互化”。注意升降幂公式的应用.

5°三看：一看名称、二看角、三看结构特征。 4、典型例题选讲 例1、填空 （1）

sin(2???)?2cos(???)? sin?2cos5??sin25?? （2）

cos25??1（3）若?为锐角且sin(??)?，则cos?= 。

63（4）(1?tan1?)(1?tan2?)(1?tan3?)???(1?tan44?)= （5）已知

2sin??cos???5，则3cos2??4sin2?=

sin??3cos?例2：化简下列各式

3?4cos2??cos4?1、

3?4cos2??cos4?1?cos??sin?2、

1?sin??cos?cos15?sin9??sin6?3、

sin15?sin9??cos6?例3.

cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70?1?cos40?12

例4：已知tan(???)?,tan???，且?,??(0,?)，求2???的值。 例5：若

?3???3????5????,0???，且sin?????,cos?????， 4444?5??4?1317求sin(???)的值。

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例6、已知：sin??cos??，且tan??1，则cos?= 。

三角函数的图像与性质问题

例1. （1）y?2sinx(sinx?cosx)的单调递减区间是

（2）函数f(x)?3cos(3x??)?sin(3x??)是奇函数，则?等于

（3）、将函数y?f(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换得到函数y?1?2sin2x，则f(x)=

例2.已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1，x?R． （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

?（Ⅱ）求函数f(x)在区间?上的最小值和最大值． ，???84?π3π75 。

。

?4 。

例3.已知函数f(x)?cos(2x?)?2sin(x?)sin(x?)

344???（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）若不等式f(x)?m?2在[?

第九讲 三角形中的三角函数问题

8

,]上恒成立，求实数m的取值范围．

122??2013级假期辅导讲义 罗荣恒

（一）.知识要点： 1、正弦定理

abc???2R sinAsinBsinC（R为△ABC外接圆半径）

a2?b2?c2?2bccosA2、余弦定理：b2?a2?c2?2accosB,

c2?a2?b2?2abcosC3、三角形面积公式

S?ABC?S?ABC111absinC?acsinB?bcsinA 222abca?b?c??r? 其中，R、r分别为△ABC的外接圆，内4R2切圆半径。

4、正、余弦定理适用的题型。

（1） 余弦定理适用的题型。1°已知三边求三个角。2°已知两

边和它们的夹角，求第三边和其它两角。

（2） 正弦定理适用的题型：1°已知两角和任一边，求其它两边

和一角。2°已知两边和一边的对角，其余两角和一边。

5、三角形中常见的结论，设三角形ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C。

（1）A?B?C??,sinC?sin(A?B),

cosC??cos(A?B),sin2C??sin2(A?B)

cos2C?cos2(A?B),A?BCA?BC sin?cos,cos?sin2222tanCA?BCA?B?cot,cot?tan 2222（2）

A?B?a?b

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（二）例题选讲

例1.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若

a?2,C?πB25，cos?，求△ABC的面积S． 425

例2：在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边a=c,

cosBc?,判定三角形的形状。 cosCb

例3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37． （1）求cosC；（2）若CBCA?5，且a?b?9，求c． 2四、平面向量

第五专题——平面向量

平面向量相关知识关系表

一、向量的有关概念

1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).

2.向量的表示方法: ⑴字母表示法:如a,b,c,等.

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向量的 概念及运算

⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.

⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为?x,y?,则?x,y?称为OA的坐标,记为OA=?x,y?.

注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.

3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为a?b.

注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.

4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.

5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个, 其方向是任意的.

6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.

注:共线向量又称为平行向量.

7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算 (一)运算定义

①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.

其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.

刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下： 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与???????????????OA+OB=OC 记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2) 减法

向量的 概

OB?OA=AB

?????????则OA?OB=(x1+x2,y1+y2)

OB?OA=（x2-x1,y2-y1）

OA+AB=OB

实数与向量的乘积

?????????????

AB=λa 记a=(x,y) 则λa=(λx,λy)

??λ∈R

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念及运算

两个向量的数量积 (二)运算律

a?b?a?bcosa,b 记a?(x1,y1),b?(x2,y2)

则a2b=x1x2+y1y2

??加法：①a?b?b?a(交换律); ②(a?b)?c?a?(b?c)(结合律) 实数与向量的乘积：①?(a?b)??a??b; ②(???)a??a??a;③?(?a)?(??)a

c+b2c 两个向量的数量积: ①a2b=b2a; ②(λa)2b=a2(λb)=λ(a2b);③(a+b)2c=a·

注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的

运算性质可以简化向量的运算， 例如(a±b)2=a?2a?b?b (三)运算性质及重要结论

⑴平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对实数?1,?2,使a??1e1??2e2，称?1e1??2e2为e1,e2的线性组合。 ①其中e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的基底;

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e1,e2的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.

'这说明如果a??1e1??2e2且a??1'e1??2e2,那么?1??1???2??2?.

????????????????????2???2③当基底e1,e2是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上 向量的 概念及运算

是平面向量坐标表示的基础.

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1) ⑵两个向量平行的充要条件

符号语言：a//b?a??b(b?0)

坐标语言为：设非零向量a??x1,y1?,b??x2,y2?,则a∥b?(x1,y1)=λ(x2,y2)，

?????x1??x2即?,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数λ是唯一存在的,当a与b同向时,λ>0；当a与b异向时,λ?y1??y2????????????????? 12

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?<0。|λ|=

|a||b|?,λ的大小由a及b的大小确定。因此,当a,b确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是

????实数乘向量中λ的几何意义。 ⑶两个向量垂直的充要条件 符号语言：a?b?a?b?0

坐标语言：设非零向量a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0 ⑷两个向量数量积的重要性质： ①a?|a| 即 |a|????????????2?2??2a(求线段的长度);

②a?b?a?b?0(垂直的判断); ③cos??a?ba?b (求角度)。

以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.

注:①两向量a,b的数量积运算结果是一个数a?bcos?(其中??a,b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.

②bcos?叫做向量b在a方向上的投影（如图）.

数量积的几何意义是数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影的积. ③如果P1(x1,y1),P2(x2,y2),则PP12=(x2?x1,y2?y1), ∴PP12?向量的 概念及运算

??(x2?x1)2?(y2?y1)2,这就是平面内两点间的距离公式.

ABCD中，BC?CD?BA?（ ）

例1．在

(A)BC (B)DA (C)AB (D)AC

例2.平面内三点A(0,?3),B(3,3),C(x,?1),若AB∥BC，则x的值为( ) (A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5

?????????例3. 设a，b， c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则： ①(a2b)c?(c2a)b=0

????????????

?

②|a|-|b|<|a?b|

④(3a+2b)2(3a?2b)=9|a|- 4b|2中，

?????????③(b2c)a?(c2a)b不与c垂直

2

?13

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向量的 概念及运算

真命题是( )(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④ 例4. △OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(??????????????a?|a||b|(A)∠AOB平分线所在直线上 (B)线段AB中垂线上 (C)AB边所在直线上 (D)AB边的中线上

例5. 正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且OP=（0，3），OS=（4，0），则RM=( ) (A)（??????b?)，t∈R，则点P在( )

??????717177,?） (B)（,） (C)（7，4） (D)（,） 222222例6.已知a??x,3?,b???2,4?,a?b,则实数x=_______.

例7.已知a?b??2,?8?,a?b???6,?4?,则a?_____, b?______,a与b的夹角的余弦值是_____. 例8. 已知?ABC的三个顶点分别为A?3,?3?,B?6,0?,C?5,?3?,求?ACB的大小.

???例9. 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD坐标。

线段的定比分点

1.定义:设P1、P2是直线上的两点,点P是上不同于

定比分点

?使PPP1、P2的任意一点,则存在一个实数1??PP2,?叫

做点P分有向线段PP12所成的比.(如图)

例11.点A(m,n)关于点B(a,b)对称点的坐

标是( )

(A)（－m，－n） (B)（a－m，b－n） (C)（a－2m，b－2n） (D)（2a－m，2b－n）

例12．设A(5,6),B(3,4)，直线AB交x

轴于C点，则点C分AB所成的比为（）

??0; ①P在线段PP12上,P为内分点时,

②P在线段PP12或P2P1的延长线上, P为外分点时,??0. ③???PP1PP2,内分取 “+”, 外分取 “一”.

53(A)? (B)?

4242(C)? (D)?

532. PP12定比分点坐标公式:

14

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设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)，PP1??PP2

?x?1??x2则：?x??1?? ?y??y????1?,

??y?121???x1?x特殊地，当??1时得中点坐标公式：??x?2?2 ?y?y1?y?2?2 3. 三角形重心公式及推导（见课本例2）： 三角形重心G公式：(x1?x2?x33,y1?y2?y33)

平

移

解

解斜三角形：

三常用的主要结论有：

角(1)A+B+C=1800 ⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 形

⑶等边对等角:a?b?A?B; 大边对大角:a?b?A?B.

⑷S?11ABC2底×高=2r(a?b?c)?12absinC? (其中r是内切圆半径) ⑸

asinA?bsinB?csinC?2R(正弦定理) (其中R是外接圆半径)

⑹a2?b2?c2?2bccosA,b2?(余弦定理)

解三例16.在VABC中,B?45,c?52,b?5,则a等于( )

角形

(A)52 (B)53 (C)5 (D)10

例17.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )

(A)4003米 (B)40033米 (C)20033米 (D)2003米

例18．在ABC中，a?x,b?2,，B?45,若这个三角形有两解，则x的取值范围是（(A)x?2 (B)x?2 (C)2?x?22 (D)2?x?23

15

）

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例1.（1）△ABC中，已知BC?3BD，则AD等于（ ） A、(AC?2AB) B、(AB?2AC) C、(AC?3AB) D、(AC?2AB)

（2）已知□ABCD的两条对角线交于点E，设AB??1,AD??2，用?1,?2表示ED的表达式为（ ）

A、??1??2 B、??1??2 C、?1??2

12121212121213131414D、?1??2

1212（3）在△ABC中，若|AB?AC|?|AB?AC|，且|AB|?|AC|，则△ABC的形状是

。

例2. 已知向量a?2?1?3?2,b?2?1?3?2，其中?1与?2不共线，向量 c?2?1?9?2，问实数?，?满足什么条件能使向量d??a??b与c共线。

例3、（1） 已知a?(1,2),b?(?3,2)， 若ka?2b与2a?4b共线，则k= ， 若ka?2b与2a?4b垂直，则k= ， 则3a?2b与2a?4b的夹角的余弦值 。

第十讲 数 列

一、数列的概念及其通项公式

1、求通项

（一）给定数列的前几项，求通项。

1.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1) 3, 5, 9, 17, 33,??； (2) ,

2346810, , , , ??； 15356399 (3) 2, －6, 12, －20, 30, －42,??.

16

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（二）给定数列前n项和公式，求通项公式：Sn与an之间的

关系：

由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-Sn?1，

?S1(n?1)即an=?S?S(n?2).

n?1?n例1. 已知数列?an?的前n项和，求数列的通项公式：

⑴ Sn=n2+2n； (2) Sn＝3n－2.

例2.已知数列{an}前n项和为Sn,且对任意正整数n都有

2Sn?(n?2)an?1 ，求通项an

二、等差数列

1.定义：an－an?1=d

例3.已知数列{an}中，a1?,an?2?bn?1 an?1351(n?2,n?N?) ，数列{bn}满足an?1（1）求证数列{bn}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式。

2.等差中项：A是a,b的等差中项 ? A=a?b?a,A,b成等差数列

23．等差数列的通项公式：an?a1?(n?1)d an?am?(n?m)d

d=

am?an an=pn+q m?nn(a1?an)n(n?1)d Sn?na1?

224.等差数列的前n项和公式1：Sn? 17

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公式二又可化成式子：

Sn?d2dn?(a1?)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 22例4 .已知等差数列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.

注：对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1） 利用an:当an>0，d<0，前n项和有最大值可由an≥0，且an?1≤0，

求得n的值 当an<0，d>0，前n项和有最小值可由an≤0，且an?1≥0，求得n的值

d2d2（2） 利用Sn：由Sn?n2?(a1?)n利用二次函数配方法求得最值时n

的值 5. 等差数列的性质

（1）若m+n=p+q，则，若m+n=2k，则，am?an?2ak am?an?ap?aq特别地，(2) 等差数列中，Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,K也成等差数列

(3) 等差数列中，am，am＋k，am＋2k，am＋3k，?仍是等差数列，公差为kd. n(4)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.

2若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)

Sn

(5)若数列{an}是等差数列， 则{}也是等差数列.

n

(6)数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn和Tn，则

anS2n?1?bnT2n?1

练习：

18

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1.在等差数列?an?中，若a1?a4?a8?a12?a15?2 求a8． 2．在等差数列{an}中，a1＝－2 007，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 009等于

A．－2 009 B．－2 008 C．2 008 D．2 009

3.在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )

A．20 B．30 C．40 D．50

4、数列{an}是等差数列，a1?a2?a3?24,a18?a19?a20?78，则数列

－

2 0082 006

S2 008S2 006

{an}前20项和为（ ）

A、160

B、180

2C、200 D、340

15、在等差数列{an}中，已知公差d?，且a1?a3?a5?????a99?60，

则a1?a2?a3?a4?????a100等于（ ）

A、170

B、150

C、145

D、120

6．(2011年安徽)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋?＋a10＝( )

A．15 B．12 C．－12 D．－15

7．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋?＋a7＝( )

A．14 B．21 C．28 D．35

8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( )

19

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A．8 B．7 C．6 D．5

9.(2011年江西)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若

S10＝S11，则a1＝( )

A．18 B．20 C．22 D．24

10.已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，

则S10的值为________．

11.设等差数列?an?的前n项和为Sn,a2、a4是方程x2?x?2?0的两个根，

S5?

A. B.5 C.? D.-5

5252n?12.数列?an?的通项公式an?ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于

2 A．1006

B．2012 C．503

D．0

（ ）

Sn13．数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn和Tn，若＝

Tn2na100

，则＝( ) 3n＋1b100

2199200

A．1 B. C. D. 329930114.在等差数列{an}中，a2?a3?7,a4?a5?a6?18. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求

20

11??S3S6?1.S3n

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第十一讲、等 比 数 列

an?11. 等 比 数 列定义：a?q(q?0)

n2.等比中项: 若a，G，b成等比数列，则G是a与b的等比中项。且

G2?ab

3.等比数列的通项公式:

an?a1qn?1 an?amqn?m qn?man? amna1,(q?1)??Sn??a1(1?qn)a1(1?qn)4.等比数列的前n项和： ?,(q?1)?1?q1?q?5.等比数列的性质:

（1）对于等比数列?an?，若n+m=u+v，则anam=auav 12

(2) 若数列{an}是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an}，{a}也是等

n

比数列;若{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列． (3) 若数列{an}是等比数列，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，?仍成 等比 数列．

（4）若数列?an?是等比数列，Sn是其前n项的和，k?N*，那么Sk，

S2k?Sk，S3k?S2k???成等比数列。

n（5）若Sn?a?q?b，则数列?an?是等比数列的充要条件是

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a??b?0,且q?0,q?1.

练习 1．(2011年辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为( )

A．2 B．4 C．8

n-1

D．16

1

2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3－，则x的值为( )

6

1A. 3

11B．－ C.

32

1

D．－

2

3. 在正项数列{an}中，a1＝2，点(an，an－1)(n≥2)在直线x－2y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

4．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.

5．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为( ) A.15或5

B.31或5 C.31

D.15

6．已知等比数列{an}的公比q<0，其前n项的和为Sn，则a9S8与a8S9的大小关系是( )

A．a9S8>a8S9 B．a9S8

A. n(2n?1) B. (n?1)2 C. n2 D. (n?1)2 8.设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ，若

73SS6=3 ，则 9 =（ ） S3S683（A） 2 （B） （C） （D）3 9.等比数列?an?的前n项和为sn，且4a1，2a2，若a1=1，a3成等差数列。

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则s4=（ ）

（A）7 （B）8 （C）15 （D）16

3110.已知等比数列{an}中，a3=2,S3=42,则a1＝

11.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=1,则a1a2+a2a3+?+anan+1= .

412.在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且

1a1+

1a2+

1a3+

1a4+

1a5=2,求a3.

13.设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2 （I）设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列 （II）求数列{an}的通项公式。

第十二讲、数列求和

1、

公式求和法

利用等差数列、等比数列前n项和公式求和。

例1.设f(n)＝2＋24＋27＋210＋?＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于( ) 2n2n＋12n＋22n＋3

A.(8－1) B.(8－1) C.(8－1) D.(8－1) 7777例2.数列{an}满足递推关系：an?an?1?2,且a1?1， （1）求an （2）求sn 2、

裂项相消法求和。

将数列中的每一项都分拆成两项的差的形式，便有一些项相互抵消，只剩下有限的几项。裂项时可直接从通项入手，且要判断消项后

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余下哪些项。

常见的拆项公式有： 111(1)＝－； n?n＋1?nn＋11111(2)＝k(n－)； n?n＋k?n＋k

1111(3)＝(－)； ?2n－1??2n＋1?22n－12n＋11111

(4)＝[－]； n?n＋1??n＋2?2n?n＋1??n＋1??n＋2?(5)

1n＋n＋1

1

＝n＋1－n；

1

(6)＝(n＋k－n)．

n＋n＋kk例3：（1）求数列?（2）．数列项和为( )

nA. 3n＋2

3.分组求和法

某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和。

例4：求数列an?2?4n?n2的前n项和

3nn

B. C. 6n＋46n＋4

n＋1

D. n＋2

(2n)2(2n?1)(2n?1)? 的前n项的和。

1111，，，??，，??的前n2·55·88·11?3n－1?·?3n＋2?

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4．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例5．已知数列{an}中，an＝(－1)n＋1(4n－3)，其前n项和为Sn，则S22－S11＝________. 5.错位相减法求和

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的新数列求和,称为差比数列。

例6：已知数列{an}是等差数列，且a1?2,a1?a2?a3?12，求数列

?bn?anxn的前n项和Tn（其中x?R）

?例7.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．

(1)求r的值；

n＋1(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

4an

第十三讲 基本不等式求最值

一、分项拆项

1(x?0)的最小值． x216 例2 求函数y＝x＋(x＞0)的最小值．

x1 例3 若0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．

3 例1 求函数y?3x?二、使用均值不等式失效时，用单调性

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例4 求函数y??2x2?5x?42 (x?R)的最小值．

2的最小值． 1?sinx例5 已知x?[0,)，求函数y?1?sinx?例6 若x，y是正实数，满足?

4x16＝1，求 x＋y的最小值． y 26

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