工程力学课后习题答案第9章题解g

工程力学课后习题答案

第9章 弯曲应力

思考题

9-1 最大弯曲正应力是否一定发生在弯矩值最大的横截面上?

答 不一定。最大弯曲正应力发生在弯矩与弯曲截面系数比值最大的横截面上。

9-2 矩形截面简支梁承受均布载荷q作用，若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的几倍？若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的几倍？

答 若梁的长度增加一倍，则其最大正应力是原来的4倍；

若截面宽度缩小一倍，高度增加一倍，则最大正应力是原来的1/2倍。

9-3 由钢和木胶合而成的组合梁，处于纯弯状态，如图。设钢木之间胶合牢固不会错动，已知弹性模量Es

>Ew，则该梁沿高度方向正应力分布为图a，b，c，d中哪一种。

思考题9-3图

答 (b)

9-4 受力相同的两根梁，截面分别如图，图a中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接），图b中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。从弯曲正应力角度考虑哪种截面形式更合理？

思考题9-4图

答 (a)

9-5 受力相同的梁，其横截面可能有图示4种形式。若各图中阴影部分面积相同，中空

部分的面积也相同，则哪种截面形式更合理？

思考题9-5图

答 (b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些）

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*FSSz

9-6 弯曲切应力公式τ=的右段各项数值如何确定？

Izb

答 FS为整个横截面上剪力；Iz为整个横截面对中性轴的惯性矩；b为所求切应力所

在位置横截面的宽度；Sz为横截面上距中性轴为y（所求切应力所在位置）的横线以下面

积（或以上面积）对中性轴静矩的绝对值。

*

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习 题

9-1 钢丝的弹性模量E=200GPa。比例极限σp=200MPa，将钢丝绕在直径为2 m的卷筒上如图，要求钢丝中的最大正应力不超过材料的比例极限，则钢丝的最大直径为多大？

解 由卷筒直径得钢丝曲率半径 ρ=1m

d

Edy

≤σp σ=Eε=E =E=

ρρ2ρ

2ρσp2×1×200×106

d≤==2×10 3m=2mm 9

E200×10

dmax=2mm

9-2 两根简支梁受力相同，横截面分别采用实心和空心圆截面如图。若已知两横截面面积相等，且

d23

=。试计算它们的最大正应力之比。

D25

解

σ1max=

MmaxMmaxMmax

，σ===2max3

3W2W1πD1

πD2

3232

Mmax

4

d

2

1 D 2

43 d2 πD2

1 32 D2 σ1max （a）

=3

σ2maxπD1

32

3

由 A1=A2，d2D2=得

5

πD12π22

=D2 d2 44

d 2 4 2

22222

D1=D2 d2=D2 1 D = 5D2

2

()

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D1=

4D2 5

代入式（a）得

σ1maxD12+d2217

== σ2maxD1+D210

9-3 某圆轴的外伸部分系空心圆截面，载荷情况如图所示。试作该轴的弯矩图，并求轴内的最大正应力。

(a）

(b)

解 ∑MA=0，FB=7.64kN↑ ∑Fy=0，FA

作弯矩图（b），危险截面分别为C，B，且 MC=1344N m，MB=900N m

()=3.36kN(↑)

MC32MC32×1344

==63.4MPa =

WCπ×603×10-9πD3

32MBMB32×900===62.0MPa σB=4

WBπD31 α4 45

π×603×10-9 1

60

故轴内最大正应力位于上、下边缘，其值为63.4MPa。

σC=

9-4 由两根28a号槽钢组成的简支梁受3个集中力作用，如图(a)所示。已知该梁材料为

Q235钢，其许用弯曲正应力[σ]=170 MPa。求梁的许可载荷F。

2

3

(a) (b)

解 由已知结构载荷对称，得图(b)。

33

F×2=3F，MC=F×4 F×2=4F 22

Mmax=4F

M4Fσ=max=≤[σ]=170×106 6

W2×340.328×10MB=

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F≤28.9×103N=28.9kN

9-5 一重量为P的均质钢条，长度为l，截面宽为b，厚为t，放置在刚性平面上如图。当在钢条一端用力F=

P

提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离a及钢条内的最大正应力。

3

12PPqa=0，F=，q= 23l

Pa1P22

即 a=0，a=l

32l3

1PP2

（2）M(x)=Fx qx2=x x

232lPP2

M′(x)=0， x=0，x=

3l3

解（1）∑MC=0,Fa

Pl l Pl1P l

M = =18 3 332l 3

l

M Pl

3 ==Pl

σmax=

Wbt236t2

6

2

9-6 ⊥型截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。若材料的拉伸许用应力[σt]=40MPa，压缩许用应力[σc]=160MPa，截面对形心轴zC的惯性矩

IzC=10180cm4，h1

=9.64 cm，求该梁的许可载荷F。

(a)

(b)

解 MA=0.8F

σAc=

MAh20.8Fh2

=≤[σc] IzCIzC

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IzC[σc]10180×10 8×160×106

F≤==132.6kN 3

0.8h20.8×153.6×10MAh10.8Fh1

σAt==≤[σt]

IzCIzCIzC[σt]10180×10 8×40×106

F≤==52.8kN 3

0.8h10.8×96.4×10Mh0.6Fh2

σCt=C2=≤[σt]

IzCIzCIzC[σt]10180×10 8×40×106

F≤==44.3kN 3

0.6h20.8×153.6×10

比较以上结果得

[F]=44.3kN

9-7 当载荷F直接作用在跨长为l=6 m的简支梁AB之中点时，梁内最大正应力超过许可值30%。为了消除过载现象，配置了如图所示的辅助梁

CD，求辅助梁的最小跨长a。

解 未配辅助梁时，梁AB的危险截面在跨中点，其最大弯矩 M1=

梁上的最大正应力

Fl 4

σ1=

M1Fl/4

= WzWz

当配置辅助梁后，由于结构与荷载对称，梁AB在C，D处分别承受集中荷载AB的CD段是处于纯弯曲状态，最大弯矩

M2=对应的最大正应力

F

，梁2

F1F

(l u)=(l a) 224

σ2=

据题意有σ2=[σ]，及

M2F(l a)/4= WzWz

σ1 σ2

×100%=30% σ2

将σ1,σ2的值代入，得

Fl/4F(l a)/4

WzWz

=0.3

Wz

整理得

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a=

0.3

l=0.231l=0.231×6=1.39m 1.3

因此，辅助梁应有的最小跨长为：1.39m。

9-8 一桥式起重机梁跨l=10.5m，横截面为36a工字钢。已知梁的许用应力

[σ]=140MPa，电葫芦自重12 kN，当起吊重量为50 kN时，梁的强度不够。为满足正应力强度要求，在梁中段的上、下各焊一快钢板，如图。求加固钢板的最小长度

l0

。

(a)

(b)

解（1）不计梁重时，梁的受力如图（b）

P=(12+50)kN FA=

P

(l x) ，MC=FAx=Plx x2 ll

查型钢表 WC=875×10 6m3

()

MCPlx x2

σC===[σ]

WClWC

10.5x x2=10.5×140×106×875×10 662×103)=20.75 x2 10.5x+20.75=0 x1=2.59m，x2=7.91m l0=x2 x1=5.22m

（2）校核加固部分强度

()

lx x2=l[σ]WCP

l Pl

Mmax=M ==62×103×10.5=162.75kN m

2 4 bh32 + Aa Iz=Iz1+2× 12

=1.58×10 4+2×(100×163×10 12+100×16×1882×10 12)=2.71×10 4m4 Mmax162.75×103×(180+16)×10 3

σmax=ymax==118MPa<[σ]，安全。

Iz2.71×10 4

9-9 由4块木板粘接而成的箱型截面梁，其横截面尺寸如图a。若已知某截面上沿铅

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垂方向的剪力

FS=3.56kN，求粘接接缝A

，B两处的切应力。

(a) (b) (c)

1

(25+127)(25+229)3 (127 25)(229 25)3=1.354×108mm4 12127229*

SzA=( 12.5)×25×=1.460×105mm3

22*

FQSzA3.56×103×1.46×10 9

τA===0.154MPa

δIz25×1.354×10 7

解 Iz=

*

SzB=76×25×114.5=2.176×105mm3

**FSSzASzB

=0.154×*=0.229MPa τB=δIzSzA

[]

横截面上切应力流走向如图c。

9-10 工字钢截面外伸梁AC承受载荷如图所示，Me=40kN m，q=20kN/m。材料的许用弯曲正应力[σ

]=170MPa，许用切应力[τ]=100MPa。试选择工字钢的型号。

40

A

解 支座约束力

∑MA=0

A

FB=

20×2×1 40

=0

3

∑Fy=0，FA=40kN

M绘剪力图，弯矩图如右图所示。

FSmax=40kN，Mmax=40kN m

σmax=

Wz≥

Mmax

≤[σ] Wz

Mmax

σ40×103 43

==2.35×10m6

170×10

20a号工字钢的弯曲截面系数

Wz=2.37×10 4m3>2.35×10 4m3，满足正应力强度条件。

进而校核它是否满足切应力强度条件，其

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τmax

*

Iz/Sz=0.172m,d=1.14×10 2m。 FSmax40×10362===20.4×10N/m=20.4MPa<100MPa * 2

Iz/Sz d0.172×1.14×10

满足切应力强度条件。

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