一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练

对于一元二次方程

，当判别式△＝

时，其求根

公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：

；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，

即当，时，那么则是的两根。一元

二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，

也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程在的三种情况，以及应用求根公式求出方程而分解因式，即

根的判别式

的两个根

存，进

。下面就对应用韦达定理可能出现的问题

举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）关于的方程（2）

有两个不相等的实数根，且

没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整

数解？

分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，

∴

解得；

∵方程（2）没有实数根，

∴

解得

；

于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是

其中，的整数值有 当 当

解得：

所以，使方程（1）有整数根的的整数值是

。

时，方程（1）为

，有整数根。

时，方程（1）为

，无整数根；

或

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程

分析：对于

来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为

两根的符号。

，这也正是解答本

已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定确定

解：∵

，∴△＝

—4×2×(—7)＝65＞0

或 或

的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要的正负情况。

∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为

，

∵＜0

∴原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中虑

三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

例2：已知方程

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把

代入原方程，先求出

的一个根为2，求另一个根及

的值。

＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若

＞0，仍需考

的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解法一：把 即 解得 当

时，原方程均可化为：

代入原方程，得：

解得：

∴方程

解法二：设方程的另一个根为

根据题意，利用韦达定理得：

，

∵ ∴把

，

即 解得 ∴方程

的另一个根为4，

的值为3或—1。

代入

，可得：

，∴把

代入

，可得：

，

的另一个根为4，

的值为3或—1。

，

说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。

例3：已知方程

有两个实数根，且两个根的平方和比两根

的积大21，求的值。

分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。

解

：

∵

方

程

解

设

，这

个方

不程

等

式两

，根

得

为

≤

0

有

两

个

实

数

根

，

∴△ 则 ∵ ∴ ∴

整理得：

解得： 又∵

说明：当求出。

，∴

后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的

四、运用判别式及根与系数的关系解题。 例5：已知根，问由，

解：因为关于的一元二次方程

有两个非零实数根，

和

、

是关于的一元二次方程

的两个非零实数

的取值范围；若不能同号，请说明理

能否同号？若能同号，请求出相应的

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