中考二次函数经典习题课

中考二次函数经 典习题课

二次函数考点 1、二次函数的定义 2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a,b,c符号的确定 5、抛物线的平移法则 6二次函数与一元二次方程的关系 7二次函数的综合运用

1、二次函数的定义 定义： y=ax² + bx + c ( a 、 b 、 c 是常数， a≠0) 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 练习：1、y=-x² ,y=2x² -2/x,y=100-5 x² ,y=3 x² -2x³ +5,其中是二次函数的有____个。 2.当m_______时,函数y=(m+1)χ 是二次函数？m2 m

- 2χ+1

2、二次函数的图像及性质y 0(0,c)

(0,c)

y

b 4ac b 2 2a , 4a

x b 4ac b 2 2a , 4a

0

x

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a

y=ax2+bx+c(a<0) b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

a>0,开口向上在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

a<0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

b 4ac b 2 当x 时, y最小值为 2a 4a

b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a

例2: 已知二次函数

1 2 3 y x x 2 2

(1)求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 (2)设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，求C,A,B的坐标。 (3)x为何值时，y随的增大而减少，x为 何值时，y有最大(小)值，这个最大(小) 值是多少？ (4)求ΔMAB的周长及面积。 (5)x为何值时，y<0?x为何值时，y>0?

解:(1)∵a= —>0

(5)由图象可知0

∴抛物线的开口向上 当-3 < x < 1时，y < 0 ∵y= — (x2+2x+1)-2= —(x+1)2∴对称轴直线x=-1,顶点坐标M(-1,-2) 当x< -3或x>1时，y > (2)由x=0,得y= - -— 抛物线与y轴的交点C(0,- -—) 由y=0,得—x2+x- —=0 x1=-3 x2=1 y 与x轴交点A(-3,0)B(1,0) (3)当x<-1时，y随x的增大而减少; 当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2 (1,0) x (-3,0) (4)由对称性可知 0 MA=MB=√22+22=2√2 AB=|x1-x2|=4 3 (0,-– ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB 2) =2 √2×2+4=4 √2+4 (-1,-2) ΔMAB的面积= —AB×MD = —×4×2=4

求抛物线解析式的三种方法1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标(h, k),通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________

练习

1 2 1、二次函数y= 2

x +2x+1写成顶点式为： 1 y= 2 (x+2)2-1 x=-2 ,顶点为______ (-2,-1) __________,对称轴为_____

2、已知二次函数y=0 。 顶点在y轴上，则b=___

1 2 2 x +bx-5的图象的

根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点； (2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;

(3)、图象经过(0,0), (12,0) ,且最高点 的纵坐标是3 。

例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2,图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点(3,-6)。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2) ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x

4、a,b,c符号的确定a决定开口方向：a>0时开口向上， a

(上正、下负) a<0时开口向下

a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 a,b (左同、右异) b=0时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c>0时抛物线交于y轴的正半轴 c=0时抛物线过原点 c (上正、下负) c<0时抛物线交于y轴的负半轴△决定抛物线与x轴的交点：△>0时抛物线与x轴有两个交点 △=0时抛物线与x轴有一个交点 2 △= b -4ac △<0时抛物线与x轴没有交点

△

练习： 1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为( ) A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为( ) A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c 、 △的符号为( )

y

B

c

o

·y

x

A

o

x

A、a>0,b=0,c>0,△>0 C、a>0,b=0,c<0,△>0

C B、a<0,b>0,c<0, =0△

y

D、a<0,b=0,c<0,△<0

o

x

熟练掌握a,b, c,△与抛物线图象的关系 (上正、下负) (左同、右异)

y

4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a < 0,b < 0,c = 0. [1999中考]y

o

x

5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a > 0,b > 0,c = 0. [2000中考]

o

x

6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0,b<0,c<0, 那么这个二次函数图象的顶点必在第 四 象限 y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果(数形结合的思想) x

3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是( D) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个y

-1

0

1

x

要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开

口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。

5、抛物线的平移法则练习 ⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向右 平移 3 个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。

左加右减，上加下减

引申：y=2(x+3)2-4

y=2(x+1)2+2

练习：

(3)由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以 得到函数y=x2-5x+6的图象.5 1 2 y=x2-5x+6 ( x ) 2 4

y=x2

5 2 1 y (x ) 2 4

6二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键 的作用.

当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0 a 0 有两个不相等的实数根 b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0 a 0 有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0 a 0 没有实数根

判别式： b2-4ac

二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)

图象

一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根有两个不同的 解x=x1,x=x2

与x轴有两个不 b2-4ac>0 同的交点 (x1 ,0) (x2 ,0)

yO

x yO

b2-4ac=0

与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)

2a

x yO

有两个相等的 解 b x1=x2=

2a

b2-4ac<0

与x轴没有 交点

没有实数根 x

例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=____ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有____个交点 .

(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=____ .

(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根 是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 (-2、0)(5/3、0) 2 x +x-10与x轴的交点坐标是____.

7二次函数的综合运用1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距 离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解: 抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.

2.若a+b+c=0,a 0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.

分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)

(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线 答案:y=-x2+6x-5

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