生产函数中参数估计方法的进一步改进

第26卷 第1期 2005年1月

华侨大学学报(自然科学版)JournalofHuaqiaoUniversity(NaturalScience)

Vol.26 No.1

Jan.2005

文章编号 1000-5013(2005)01-0023-04

生产函数中参数估计方法的进一步改进

宋 海 洲

(华侨大学数学系,福建泉州362021)

摘要 在原有生产函数参数的估计方法基础上,提出两种新的估计方法.这两种新的估计方法具有最小的回

归残差平方和,文中给出实现这两种参数估计方法的具体算法.关键词 生产函数,残差平方和,非线性最小二乘法,遗传算法中图分类号 O241.82文献标识码 A

1928年,由美国数学家Cobb和经济学家Douglas提出的生产函数这个概念以来,生产函数在生产实际中得到了广泛的应用.生产函数反映了投入要素与产出量之间的关系.建立生产函数模型,我们可以分析资金、劳动力等生产要素在经济发展中的作用,可以分析科技进步及信息对经济发展产生的重要作用.此外,利用生产函数可以合理安排有限的资源,使经济发展更快提供十分有用的信息.利用生产函数也可以为我们国家的领导进行决策提供有力的理论依据.因此,合理选择估计生产函数参数的方法,具有一定的意义.

1 生产函数模型及其常见参数估计法

1.1 生产函数模型

在多种投入要素下,常见的生产函数模型为

y=ax11x22 xnne.

2

a, i(i=1, ,n)均为待估计参数, 为随机扰动项, ~N(0, ).

(1)

在式(1)中,y为产出量,xi为第i种生产要素投入量,a为效率系数, i为第i种投入要素的产出弹性,1.2 生产函数模型中参数常见的估计方法

(1)方法1.对公式(1)两边取对数,得到

lny=lna+ 1lnx1+ .2lnx2+ + nlnxn+

*

令y*=lny,a*=lna,x1=lnx1, ,x*n=lnxn,代入公式(2)得

***

y*=a*+ 1x1+ 2x2+ + nxn+ .

(2)(3)

在样本数据(假设样本个数为m)的支持下,利用多元线性回归的最小二乘法,可得式(3)中参数a*, a*,^ 1, ,^ 1, , n的估计值^n,并使残差

2

Se=j= 1(y*y*j-^j)

m

(4)

最小.再得式(1)中的估计值为

^=e,a(5)

而 1, , n的估计值为^1, ,^n(即保持不变).从而,得到多种投入要素的生产函数的回归形式为

^ ^

y=e^ax^ 11x22 xnn.

*

a^

*

(6)

(2)方法2.由文 1 知,公式(5)估计出的的期望E(^a) a,即方法1估计的参数是有偏的.因此,文 1 收稿日期 2004-02-25

24华侨大学学报(自然科学版) 2005年

改进了参数a的估计量^ .^a重新定义为

-1

*

a=e^1+D(^a),

2

其中D(^a*)为^a*的方差,其它参数的估计量不变.此时多种投入要素的生产函数的回归形式为

^a

*

(7)

y=e

a^

*

1+D(^a*)

2

-1

^ ^ x^ 11x22 xnn.

(8)

(3)方法3.文 2 提出一种新方法,是先根据方法1利用最小二乘法估计出^ 1, ,^ n.然后将^ 1, ,^ n代入模型(1),并忽略随机扰动项e .设产出为y,再直接利用最小二乘法求出^a,使残差平方和Se1达到最小.即Se1=j= 1(yj-y^j) min,可得

a=^

yj xiji

j=1i=1

j=1i=1m

n

m

2

^

(

mn

^i2x ij)

.(9)

此时,多种投入要素的生产函数的回归形式为

^ ^

y=^ax^ 11x22 xnn.

(10)

2 参数估计方法的进一步改进

2.1 参数估计的两种方法

上述3种方法均是对非线性模型利用变换化为线性模型的方法,再利用最小线性二乘法估计其中

的参数.显然,这些方法估计出来的参数并未使得回归残差平方和

Se2=j= 1(yj-y^j)2 g(a, 1, 2, , n)

m

(11)

最小.本文提出参数a, 1, , n估计的两种新方法.其中一个新方法(本文称之为方法4)是利用求解无约束优化的拟牛顿法 3 (BFGS公式、DFP公式),直接求a, 1, , a,^ n的估计量^1, ,^n,使得式(11)达到最小.另一个新方法(本文称为方法5)是采用改进的遗传算法,求a, 1, , n的估计量^a,^ 1,

,^ n,使得式(11)达到最小.2.2 方法4的实现

即利用拟牛顿法估计参数的实现.这种方法在数学软件十分发达的今天,实现之非常容易.例如,在Matlab中就可用Leastsq函数或利用Nlinfit函数,实现a, 1, , n的估计.由于式(11)为非线性函数,故这种方法我们称之为非线性最小二乘法.

2.3 方法5的实现

遗传算法(GeneticAlgorithms,简称GA),它是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的优化方法.它只要求被优化的函数是可计算的,不要求目标函数具有连续可微性.这是一种并行式的多点搜索过程.因此,遗传算法具有简单通用、鲁棒性强、适于并行处理以及高效、实用等显著特点.但由于简单遗传算法中存在着一些问题,如收敛速度太慢,容易陷入局部最优等缺陷.为此,我们可以在简单遗传算法中作如下改进(图1).(1)人工方法产生初始种群.先将优化问题的一个近似最优解作为初始种群的一个个体.一种

图1 改进的遗传算法流程图

4

方法是先利用基本遗传算法求其近似最优解,该近似最优解作为初始种群的一个个体.(2)进行适应度

变换.在遗传算法的早(后)期阶段,对个体的适应度进行适当的缩小或(放大).改变个体之间的差异程度,以维护群体的多样性(提高个体之间的竞争性).(3)优选父代进行交叉.进行 优 、 优 交叉或者进行 差 、 差 交叉,即适应度较高的个体之间进行交叉或适应度较低的个体之间进行交叉.产生更好的.(

第1期 宋海洲:生产函数中参数估计方法的进一步改进25

与变异概率.随着遗传算法在线性能的提高,相应增大交叉概率.随着遗传算法在线性能的下降,相应减少变异概率.(6)采用自适应变焦技术.在稳定的极值点附近进行控制变焦,具体方法为当算法进入局部微调时,缩小设计变量的范围.利用改进的遗传算法求a, a,^ 1, , n的估计量^1, ,^n的流程图,如图1所示.

3 实例及5种参数估计方法的比较

现有美国马萨诸塞州1820~1926年的产值、资金投入和劳动力投入等3个经济指数统计数据 3 ,如表1所示.Douglas生产函数模型中,产值y、资金投入x1和劳动力投入x2之间关系为

^

y=ax^ 11x22e.

(12)

x21.22

1.171.301.391.471.311.431.581.591.661.681.65

t191519161917191819191920192119221923192419251926

y2.002.091.962.202.122.162.082.242.562.342.452.58

x13.243.614.104.364.774.754.544.544.584.584.584.54

x21.621.861.931.961.951.901.581.671.821.601.611.64

表1 美国马萨诸塞州1820~1926年的产值y及资金投入x1和劳动力投入x2统计数据(以1899年为1.00)t1890189118921893189418951896189718981899190019011902

y0.720.780.840.730.720.830.810.930.961.001.051.181.29

x10.950.960.990.960.930.860.820.920.921.001.041.061.16

x20.780.810.850.770.720.840.810.890.911.001.051.081.18

t190319041905190619071908190919101911191219131914

y1.301.301.421.501.521.461.601.691.811.931.952.01

x11.221.271.371.441.531.572.052.512.632.742.823.24

公式(12)两边取对数,得

lny=lna+ 1lnx1+ 2lnx2+ .

*

现令y*=lny,a*=lna,x*1=lnx1,x2=lnx2,代入公式(13)得

**

y*=a*+ 1x1+ 2x2+ .

(13)(14)(15)

经过上机求解得到二元线性回归方程为

*

y*=0.0068+0.2182x*1+0.8457x2.

由此,可得

a^

a^

*

*

=0.0068, ^ 1=0.2182, ^ 2=0.8457.

.21820.8457

y=1.0068x0x2.1

根据公式(5),有^a=e=e0.0068=1.0068.所以,生产函数的回归方程为

(16)

-1

由计算机算出^a*的方差为D(^a*)=0.0069,利用公式(7)可求a近似的无偏估计量^a为

a=e^

a^

*

*

1+2D(^a)

-1

=e

0.0068

(1+0.5 0.0069)=1.0034.

(17)(18)

所以,生产函数的另一回归方程为

.21820.8457

y=1.0034x0x2.1

利用公式(9)可以给出a的另外一个估计值^a=1.0039.由此可以得到生产函数的第3个回归方程为

.21820.8457y=1.0039x0x2.1

现利用非线性最小二乘法估计a, a=1.0316,1, 2,利用数学软件Matlab的Leastsq函数编程直接求得^ 1=0.3609, 2=0.4398.得到生产函数的第4个回归方程为

.36090.4398y=1.0316x0x2.1

(19)

,求a,,.^^ 1, ,^n.Matlab

26华侨大学学报(自然科学版) 2005年

点式编码.适应值函数采用进行了适应度变换的函数f=exp(6 (1/(1+g(a, 1, 2)))).遗传算法中的复制采用轮盘赌法,并采用精英法则强行保留每一代最优个体.遗传算法中的交叉采用 优 、 优 交叉或者进行 差 、 差 交叉.遗传算法中的变异采用单点变异,并采用自适应调整交叉概率与变异概率方法,进行多次遗传算法求近似最优解.在得到多个近似最优解之后,对变量进行变焦.将变量缩小为包含这些近似最优解的小区域.在这些近似最优解中采用最好的一个作为初始群体的一个个体,再进行一次遗传算法.我们得到生产函数的第5个回归方程为

y=1.0316x1

0.36090.4398

x2.

(20)

由式(16),(17),(18),(19)和式(20)给出的生产函数的回归方程,从中选择一种残差平方和最小

的.对这些回归方程的残差平方和进行比较,有

Se2=j (yj-y^j) min.=1

经过计算,式(16),(17),(18),(19),(20)所决定生产函数的残差平方和,依次为1.0178,1.0170,1.0170,0.8241,0.8241.可见,由式(19),(20)所决定的生产函数的残差平方和最小.因此,应该选用式(19),(20)作为生产函数的回归方程.

m

2

4 结束语

最小线性二乘法的方法1、方法2和方法3,它们估计参数的优点是计算量相对简单,而缺点是回归方程的回归残差平方和的相对较大.直接利用求解无约束优化的拟牛顿法(BFGS公式、DFP公式)估计

参数的方法4,其优点是可以使得回归方程具有最小的回归残差平方和;缺点是该法有一个较大的限制条件 要求目标函数具有连续可微性.利用遗传算法估计参数的方法5,不仅使得回归方程具有最小的回归残差平方和,而且还可利用来进行估计参数.它对目标函数没有特定的要求,也可以用于其它模型的参数估计,因而具有较强的通用性.在数学软件Matlab如此发达的今天,编程计算相当容易,则此方法应用更加方便.比如,我们就利用Matlab编制了一个遗传算法工具箱(将另文发表).因此,在对生产函数进行参数估计时,建议大家尽量采用改进的遗传算法.

参 考 文 献

1 陈鹤琴.经济计量学[M].北京:中国商业出版社,1989.6~198

2 王志江.生产函数中参数估计方法的改进[J].运筹与管理,1999,8(4):80~843 姜启源.数学实验[M].北京:高等教育出版社,1989.180~204

4 王小平,曹立明 遗传算法的理论、应用与软件实现[M].西安:西安交通大学出版社,2002 18~87

FurtherImprovementoftheMethodforEstimating

ParametersinProductionFunction

SongHaizhou

(DepartmentofMathematics,HuaqiaoUniversity,362021,Quanzhou,China)

Abstract Startingfrompreviouslyexistingmethodforestimatingparametersinproductionfunction,theauthorputsforwardtwonewmethodsofestimationwhichpossessesminimumregressionresidualsumofsquares;andgivesspecificalgorithmforrealizingthesetwomethodsofparamelerestimation.

Keywords productionfunction,residualsumofsquares,nonlinearleastsquaremethod,geneticalgorithm

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qmq1.html