六年级奥数-第二讲.比和比例 教师版

小学六年级奥数

第二讲 比和比例

知识点拨：

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考

试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、主要比例转化实例 ①

② ③ ④

xyxyxyxy????ababababca ? ? ? ，

yz?cdyx?ba?；

ab?xa?xyyb?；

mambax?by；

mxmyx；

a(其中m?0)；

?a?bax?ya?b；

?acbdx?yx；

x?yx?y?a?ba?b ；?

?

dbxz；x:y:z?ac:bc:bd；

adbc⑤ x的等于y的，则x是y的，y是x的

bcad．

三、按比例分配与和差关系 ⑴按比例分配

例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x的比分别为a:?a?b?和b:?a?b?，所以甲分配到

axa?b个，乙分配到

bxa?b个.

⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：两个类别A、B，元素的数量比为a:b(这里a?b)，数量差为x，那么A的元素数量为

元素数量为

bxa?baxa?b，B的

，所以解题的关键是求出?a?b?与a或b的比值．

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。 2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题 例题精讲：

模块一、比例转化

【例 1】 已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的

3112，丙等于甲、乙两

数和的

57，求甲:乙:丙.

113+1?14【解析】 由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三个数和的

3，同样的乙等于甲、丙两数和的

115::?3:4:5． 431212+1?13，

同样的丙等于甲、乙两个数和的

57?5?512 ，所以甲:乙:丙?第 1 页 共 11 页 小学六年级奥数

【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的

这三个数的比为多少？

【解析】 甲的一半、乙的2倍、丙的

1?2????1??:?1?2?:?1??2?3???23，那么甲的

23、乙的2倍、丙的一半

23这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为

23即2:18223:3，化简为4:1:3，那么甲的

3、乙的2倍、丙的一半这三个数的比

为?4???2?1???:?1?2?:?3??3?2??即:2:，化简为16:12:9.

245【例 3】 如下图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的

16，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的

1，圆B的阴影部分面积占圆B面积的，圆C的阴影部分面积占圆C面积的．求圆A、圆B、

531圆C的面积之比．

ABC

【解析】 设A与B的共同部分的面积为x，A与C的共同部分的面积为y，则根据题意有

A?54?B?C??6?x?y?，x?，所以A?54B5，y?C3，于是得到

54?B?BC??C??6???3??5，这条式子可化简为

B?15C?B?C??20C.最后得到A:B:C?20:15:1.

【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，

甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比． 【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为

810?8?721010?8?735?325?33?1?310，女会员为

3310?13?110，乙组男会员为，女会员为

?55?3?15，女会员为

915?；丙组男会员为

1:1?1?3?????3+2?105?10?1???3+2?103???2?5；所以，丙组中男、女会员人数之比为

5091050?5:9．

【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的

一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【解析】 (法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了60%，所

以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%?3?180%，所以甲工程队的承包的任务

?450，%所以两个工程队承包的修建公路长度之比为是乙工程队承包任务的180%?40E0%:1?9:2．

(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于3:1，而他们分别完成了各自

任务的40%和60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为?3?40%?:?1?60%??9:2．

【例 5】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之

和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？

【解析】 会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人

数与乙、丙两组人数之和一样多，则可知甲组人数为50人，乙、丙人数之和为50人，可设丙组人数为x人，则乙组人数为?50?x?人，又已知甲组男、女会员比为12:13，则甲组男、女会员人数分别

为24人、26人，又已知乙、丙两组男、女会员比例，则可得：24?58(50?x)?2323x?56，解得x?18．即

丙组会员人数为18人，又已知男、女比例，可得丙组男会员人数为18?第 2 页 共 11 页 ?12人．

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【例 6】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三

个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？

【解析】 根据题意，如果把A工程的工作量看作1，则B工程的工作量就是2，C工程的工作量就是3． 设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为x、y、z.经过k天，则：

?ky?2kx?2??kz?3ky?3?kz?1?kx?????????1 ??2?3?2?kx3???4?， 47k 将⑶代入⑵，得ky?将⑷代入⑴，得2kx?2?将x?47k2?kx367k，x?，

37k代入⑴，得y?．代入⑶，得z?．

47k:67k:37k?4:6:3．

甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是

【巩固】 某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖

的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？

【解析】 由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖．由

③知两校获二等奖的共有(60?50)?20%?22人；由⑤知甲校获二等奖的有22?(4.5?1)?4.5?18人；由④知甲校获一等奖的有60?60?50%?18?12人，那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为12?50?100%?24%．

【例 7】 ①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数

多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？

【解析】 如下表所示，由②知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由③知，四至九班的男生

总数比四、五、六班总人数少1． 一班男生 比 二、三班女生 多1人 加上 二、三班男生 二、三班男生 一、二、三班男生 比 二、三班总人数 多1人 七、八、九班男生 比 四、五、六班女生 少1人 加上 四、五、六班男生 四、五、六班男生 四、五、六、七、八、九班男生 比 四、五、六班总人数 少1人 因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，则女生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是5:4．

模块二、按比例分配与和差关系 （一）量倍对应

【例 8】 一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，

求一共有多少个苹果？

【解析】 一共有16??13?11???13?11??192个苹果. 【巩固】 小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的

藏书数量. 【解析】 根据题意可知，他们三人各自的藏书数量分别占三人藏书总量的

以小新拥有的藏书数量为52?有的藏书数量为52?63?4?633?4?633?4?6、

43?4?64、

63?4?6，所

?12本，小志拥有的藏书数量为52?3?4?6?16本，小刚拥

?24本.

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【巩固】 在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资

的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元．

【解析】 由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的

和为：乙、丙所捐资的和为60?18?42元．所以，甲捐了80?42?38(元)，18?(10?7)?10?60(元)，

乙捐了60?38?22(元)，丙捐了38?18?20(元)．

【巩固】

有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的与二班分到的

3112相等，求两个班各分到多少皮

球？

【解析】 根据题意可知一班与二班分到的球数比:1123?3:2，所以一班分到皮球120?33?2?72个，二班分到

皮球120?72?48个．

【例 9】 一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为

4:5．求原来两班的人数． 【解析】 原来一班的人数为两班总人数的

班人数的比值为

8:4?6:588?7?815，调班后一班的人数是两班人数的

44?5?49，调班前后一

159，所以一班原来的人数为8??6?5??6?48人，二班原来的人数为

48?8?7?42人.

【例 10】 幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数

与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？

【解析】 由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全部是

大班，则大班男生数：女生数?5:3?30:18，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又中班男生数：女生数?2:1?6:3，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，所以需要换2组；所以，大班女生有18?3?2?12(名)．

【巩固】 参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，

三个年级参加植树的各有多少人?

【解析】 假设四年级和六年级人数同样多，则参加植树的同学共有720?80?800人，四、五、六三个年级的

人数比为3:2:3，知道三个量的和及它们的比，就可以按比例分配，分别求出三个年级参加植树的

人数．六年级：800?33?2?3?300人；五年级：800?23?2?3 ?200人；四年级：300?80?220人．

【巩固】 圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每

支多少元?

【解析】 设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143，

则单位“1”的价格为71.5÷143=0.5元．所以圆珠笔的单价是O.5×4=2(元)．

【例 11】 甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发，沿长方形的边爬去，结果在

甲距B点2厘米的C点相遇，已知乙蚂蚁的速度是甲的1.2倍，求A这个长方形的周长．

【解析】 两只蚂蚁在距B点2厘米的C点相遇，说明乙比甲一共多走了

2?2?4(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的1.2倍，相同时

C乙间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，

B所以甲爬的路程是4??6?5??5?20(厘米)，乙爬的路程是20?4?24(厘米)，长方形的周长为20?24?44(厘米)．

【例 12】 甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速

度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？

【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8

＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的

59和

49。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的

49?5?6?815长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的4/9，所以乙行驶了全长的共行了全长

49?815?4445，所以乙一

，还剩1-

4445＝

145，没有走所以A、B全长为450千米.

【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，

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师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？

【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是

徒弟分别完成总量的

55?319153:1?5:3，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与

55?3?35?3)?400和

5?3，师傅和徒弟一共加工了100?(个零件

【巩固】 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成

任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？ 【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是

傅与徒弟分别完成总量的

55?31915:135?3?5:3，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师

和

，师傅比徒弟多加工零件400??1?5?5?3????1005?3?3个．

【例 14】 A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的

全部和B桶水的，或将B桶水的全部和A桶水的倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三

531个水桶容积各是多少公升？

【解析】 根据题意可知，所以A桶水的等A桶水的全部加上B桶水的等于B桶水的全部加上A桶水的，

533112于B桶水的

BA45，那么A桶水的全部等于B桶水的

6575?6:5:745?23?65，C桶水为B桶水的?5615?75．所以A、

、C三个水桶的容积之比是:1:桶的容积是1440?76?560公升．

66?5?7．又A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，所以

56?480公升，B桶的容积是480?公升，C?400桶的容积是

480?【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的

3712，等于五年级学生的

25，等于四

年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？

12【解析】 将六年级学生的，等于五年级学生的

25，等于四年级学生的

37，看作一个单位，那么六年级学生

73人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于

57学生，所以六年级、五年级、

1212?15?14?210四年级学生人数的比为2：：?12：15：14，所以六年级学生人数为615?23=180人，五年级

学生人数为615?1512?15?14?225人，四年级学生人数为615?451412?15?14人

【例 15】 一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去21厘米，长边截去35%以后，得到一块正方形铁板．问

原来长方形铁板的长是多少厘米? 【解析】 如果只将长边截去35%，宽、长之比为4:??5??1?35%????16:13，所以宽边的长度为

21?(16?13)?16?112厘米，所以原来铁板的长为112?45?140厘米．

【巩固】 一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方

形面积相等．原正方形的边长是多少米? 【解析】 要保证面积不变，一边减少20%，即是原来的

原正方形的边长为2?14?845，另一边要变成原来的

54，即增加

54?1?14，所以

(米).

【例 16】 一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5；如果小强买

了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13．小明原来有多少钱？

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【解析】 由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的

52?578885刀后钱数和的，所以小明、小强的钱数的比值为:?8:15，而小明买刀后小明、小强?8+1321217的钱数之比为2:5?6:15，所以小明买刀前后的钱数之比为8:6?4:3，所以小刀的售价等于小明原

?5，小明的钱相当于小明、小强买

来钱数的

2:84?34?14，所以小明的钱数为3?14?12元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为

721?3:4，小明的钱数为4???3??4?3????12（元）

【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为6:5，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之

比为18:11，求原来两人的钱数之和为多少？

【解析】 两人原有钱数之比为6:5，如果甲得到180元，乙得到150元，那么两人的钱数之比仍为6:5，现

在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少得到了120元，现在两人钱数之比为18:11，可以理解为：两人的钱数分别增加180元和150元之后，钱数之比为18:15，然后乙的钱数减少120元，两人的钱数之比变为18:11，所以120元相当于4份，1份为30元，后来两人的钱数之和为30?(18?15)?990元，所以原来两人的总钱数之和为990?180?150?660元． 【例 17】 一项机械加工作业，用4台A型机床，5天可以完成；用4台A型机床和2台B型机床3天可以完

成；用3台B型机床和9台C型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下A、C型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业．

【解析】 由于用4台A型机床5天可以完成；用4台A型机床和2台B型机床3天可以完成，所以2台B型

机床3天完成的量等于4台A型机床2天完成的量，则A、B两种机床每天完成的量的比为?2?3?:?4?2??3:4，即A型机床每天完成的量为3，B型机床每天完成的量为4，该项作业总量为

3?4?5?60，那么C型机床每天完成的量为?60?2?4?3??9?2，3种机床各取一台工作5天后，

剩下的工作量为60??3?4?2??5?15，A、C型机床还需继续工作15??3?2??3天．

【例 18】 动物园门票大人20元，小孩10元．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了

60%，儿童增加了90%，共增加了2100人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？

【解析】 前一天大人与小孩的人数比为1:(60%?2)，六一那天增加的大人与增加的小孩人数比为?5:6?5?60%?:?210?06?90%， 大人增加的人数为2100???5:91人3，大人的总数为小孩的总人数为

1350?90%?1350?2850人，总人数为2000?2850?4850人．

【例 19】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2，第一天售出苹果的20%，售出桃子的吨数与

所剩桃子的吨数的比是1:3；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩

7?50?750人，

14750?60%?750?2000人，

5小孩增加的人数为

桃子吨数的

415，问原有苹果和桃子各有多少吨？

x?(1?20%)?182x?31?3?12?415【解析】 法一：设原来苹果有x吨，则原来桃子有2x吨，得：，解得x?37．所以原有

苹果37吨，原有桃子37?2?74(吨)．

法二：原来苹果和桃子的吨数的比是1:2，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是1?(1?20%)?量比是:4345，剩下的桃子是2?31?3?32，所以此时剩下的苹果和桃子的重

52?8:15．现在再售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是4:15．这就

815?325相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是8:15，先售出桃子12吨，苹果12?剩下的苹果和桃子的重量比还是8:15，再售出18?4:15，所以这

吨，此时

325?5855吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为

?154?872585相当于8?4?4份，最后剩下的桃子有

58吨，那么第一天后剩下的桃子

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有

872?12?1112吨，原有桃子

1112?31?3?74吨，原有苹果74?2?37吨．

（二）利用不变量统一份数 【例 20】 有一个长方体，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．表面积为72cm2，求这个长方体的体积. 【解析】 由条件长方体的长、宽、高的比6:3:2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为

?6?3?:?6?2?:?3?2??18:12:6?3:2:1，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，

长方体的上面的面积为72?积为720?12?13?2?1?6cm122?33?2?1?18cm2，前面的面积为72?12?23?2?1?12cm2，左面的面

，而18?12?6?1296?362，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个

长方体的体积为36cm3．

【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积． 【解析】 由条件宽与高的比为3:2?1:23，所以这个长方体的长、宽、高的比为2:1:14?23即6:3:2，由于长方体

6?30的所有棱中，长、宽、高各有4条，所以长方体的长为220?220?1?3?156?3?2厘米，宽为

立方厘米. 【例 21】 （2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5:6，中型车与小型车之比是4:11，小型车的通行费总数比大型车多270元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？

【解析】 ⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将5:6中的6与4:11中的4统一成

?4,6??12，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由5:6?10:12和4:11?12:33，得到

大型车:中型车:小型车?10:12:33．以10辆大型车、12辆中型车、33辆小型车为一组．因为每组

46?3?230?15?10?4500厘米，高为220?14?26?3?2?10厘米，所以这个长方形的体积为

中收取小型车的通行费比大型车多10?33?30?10?30(元)，所以这天通过的车辆共有270?30?9(组)．所以这天通过大型车有10?9?90(辆)，中型车有12?9?108(辆)，小型车有33?9?297(辆)．

（2）这天收取的总费用为：30?90?15?108?297?10?7290元．

6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞【例 22】

在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？

【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5，壹分硬币和伍分硬币的数量比为4:3?6:4.5，所

以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6:5:4.5，即12:10:9，因此壹分硬币的数量为

124?124?1212?10?99?48枚，贰分硬币的数量为124?1012?10?9?40枚，伍分硬币的数量为

【例

?36枚，这些硬币一共有48?1?40?2?36?5?308分，即币值为3.08元．

12?10?923】 某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为

6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15∶14∶14，速度之比为6∶8∶9，所以它们运送1次

所需的时间之比为

1514145714∶∶?∶∶689249，相同时间内它们运送的次数比为：∶∶5249714．在前10天，

甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5∶5∶7．由于三种卡车载重量之比为10∶7∶6，

∶3∶542所以三种卡车的总载重量之比为50．那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：

2??4??9??∶?35?∶?20∶20?50????42??∶5714??????2715天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的．在后

工作量之比为40∶20∶27．所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：

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20?10?40?15(20?20?27)?10?(40?20?27)?15?3279．

【例 24】 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3．实

际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果．那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块． 【解析】 方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的

糖果数分别占总数的数为15???5?18?512，

412，

312；实际甲、乙、丙三人所得

718，

618，

518，只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总

518?1503???54012?(块)，丙实际所得的糖果数为540?(块)．

方法二：化通比为： 甲 乙 丙 总数为 原计分配为 5 ： 4 : 3 12份 实际分配为 7 ： 6 ： 5 18份 化通比为 15 ： 12 ： 9 36份 14 ： 12 ： 10 36份

对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙

所以15÷（10—9）×10＝150（块） 【巩固】

今年儿子的年龄是父亲年龄的

14，15年后，儿子的年龄是父亲年龄的

14?112?13511．今年儿子多少岁？

【解析】 方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的

511?5?56，15年后儿子的年龄相当于父子年龄差的

12?30岁.今年儿子30?3?10岁.

，所以15年相当于父子年龄差的?614513?，年龄差为15?方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的龄的

511，所以儿子：父亲＝1：4；15年后，儿子的年龄是父亲年

，所以儿子：父亲＝5：11。因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为：

儿子 父亲 年龄差

1 ： 4 3 5 ： 11 6

根据不变量化通比为 2 ： 8 6 5 ： 11 6 对比分析为：15÷（5—2）×2＝10（岁） 【例 25】 一个周长是56厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长

方形面积的比是A:B?1:2，B:C?1:2．而在图⑵中相应的比例是A':B'?1:3，B':C'?1:3.又知长方形D'的宽减去D的宽所得到的差与D'的长减去D的长所得到差之比为1:3．求大长方形的面积．

ACA'C'BDB'D'（1） ⑵ 【详解】因为A:B?1:2，B:C?1:2，所以A:C?1:4； 因为A':B'?1:3，B':C'?1:3，所以A':C'?1:9，

3 设长方形的宽为a,长为b,得：

4910a?b?2345a?b13．

得a:b?2:5．又a?b?56?2?28，所以a?8，b?20． 所以长方形面积?20?8?160．

【例 26】 北京中学生运动会男女运动员比例为19:12，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员

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比例变为20:13；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为30:19,已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多15人，则总运动员人数为多少？

【解析】 将运动会最初的运动员人数设为“1”，那么男运动员人数为

增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是

19311919?12?1931，女运动员人数为

19311231，而

247，所以这时女运动员人数为

247620?20?13?620，

增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，仍然是

247620?19?30?3962，所以男运动员人数增加为

3962?19?16203男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多??62620620．女子艺术体操项目人数为

2476201?12317?7，男子象棋项目的人数为

31623，原来总运动员人数为15??31006207620?35，

人，男子象棋项目运动员有3100?1人．

【巩固】 袋子里红球与白球的数量之比是19:13．放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3；再

放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11．已知放入的红球比白球少80只．那么原来袋子里共有 只球．

【解析】 根据第一次操作白球的数量不变，把19:13改写成57:39，5:3改写成65:39．第二次操作相对于第

一次操作红球数量不变，把13:11改写成65:55，这时我们可以看出，经过两次操作后，红球共增加了65?57?8份，白球增加了55?39?16份．原来红球有80??16?8??57?570个，白球有

570?390?960个． 80??16??8?39?3个．两种球共9062的总运动员人数为3100?50?35?3185?50人，女子艺术体操运动员有3100?人，所以现在

【例 27】 有若干个突击队参加某工地会战，已知每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队

的男队员的

718，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全

817体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？

718【解析】 由于每个队的女队员的人数是该队的男队员的

即原来女队员的人数占所有队员人数的队员总数的

825725，所以原来全体女队员的人数是全体男队员的

718，

，调走第一突击队的一半队员后，女队员的人数占剩下的

，由于调走的全是男队员，女队员的人数没有变化，所以调走后的队员总数与调走前

2525:?7:887的队员总数之比为，即调走的队员人数占原来队员总人数的，而调走的队员为第一

812?18?4，故开始共有

1突击队的一半，且每个突击队人数相同，4支突击队参加会战．

（三）利用等量关系列方程解比例

【例 28】 某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:3． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比

是8:5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:4． 问报考的共有多少人？ 【解析】 (法1)录取的学生中男生有91?成4:4?4385?8?56人，女生有91?56?35(人)，先将未录取的人数之比3:4变

??4??3??33?，又有56?1(234?42(人)，所以每份人数是?42?35???4?43?3?16(人)，那么未录取的男

生有4?3?人)，未录取的女生有4?(人)．所以报考总人数是

?56?12???35?16??119(人)．

(法2)设未被录取的男生人数为3x人，那么未被录取的女生人数为4x人，由于录取的学生中男生有

91?85?8?56人，女生有91?56?35(人)，则?56?3x?:?35?4x??4:3，解得x?4．所以未被录取

的男生有12人，女生有16人．报考总人数是 ?56?12???35?16??119(人)．

【例 29】 有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克，现在从甲、乙两块合金上各切下

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重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________．

【解析】 设切下的部分重量为x千克，则甲切下的x千克与乙剩下的(4－x)千克混合．由于得到的两块新合金

的含铜率相同，所以若将这两块新合金混合，得到的大块合金的含铜率应与原来的两块新合金的含

铜率相同，而这一大块合金是由6千克甲块合金与4千克乙块合金混合而成的，所以x千克甲块合金与(4－x)千克乙块合金混合后的含铜率与6千克甲块合金与4千克乙块合金混合后的含铜率相同，而甲、乙两块合金含铜率不同，所以这两种混合中甲、乙两种合金的重量比相同，即，解得x?2.44x?6（4－x）课后练习：

练习1. 右图是一个园林的规划图，其中，正方形的

米． 问：水池占多少平方米?

34x4－x?64，所以：

．

是草地；圆的

67是竹林；竹林比草地多占地450平方

【解析】 正方形的

34是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是3份；圆的是竹林，水池占1份，竹林

76的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是（6-3=）3份。3份的面积是450平方米，可见1份面积是450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米。

练习2. 乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的

甲、乙两个班各种树多少棵?

【解析】 甲、乙两班种树棵数之比为：

11:?4:5，甲班种树棵数为：24??5?4??4?965453414等于乙班种的棵数的，且乙班比甲班多种树24棵，

51(棵)，乙班种树棵

数为：24??5?4??5?120(棵)．

练习3. 甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的

8，甲节余240元，乙节余480元．甲

本月收入多少元？

【解析】 甲、乙本月收入的比是5:8，分别节余240元和480元，支出的钱数之比是3:4．如果乙节余480

元，甲节余480?8?5?300元，那么两人支出的钱数之比也是5:8，现在甲只节余240元，多支出了60元，结果支出的钱数之比从5:8变成了6:8(即3:4)，所以这60元就对应6?5?1份，那么甲支出了60?6?360元，所以甲本月收入为360?240?600元．

练习4. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车速度是50千米／小时，乙车速度是40千米／小

时，当甲车驶过A、B距离的多50千米时与乙车相遇，A、B两地相距 千米．

31【解析】 在相同的时间内，两车行驶的路程比等于两车的速度之比，由于两车的速度之比等于50:40?5:4，

那么A、B距离的

13多50千米即是A、B距离的

(千米)．

54?5?59，所以50千米的距离相当于全程的

22?51?????，全程的距离为50??22599?93?月测备选

【备选1】甲、乙、丙三个数，已知甲:?乙?丙??4:3，乙:丙?2:7，求甲:乙:丙。 【解析】 由乙:丙?2:7可得到乙:?乙?丙??2:9，丙:?乙?丙??7:9，而甲:?乙?丙??4:3，

所以：甲:乙:丙?427::?12:2:7399．

【备选2】有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放人16块水果糖后，奶糖就只占25％那么，这堆糖果中有奶

糖多少块? 【解析】 方法一：原来奶糖占

45100?920，后来占

25100?14，因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也比原来糖果

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多16粒，从而原来的糖果是16+(4?920? 1)=20块.其中奶糖有20×

920=9块．

方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,设奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份．现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，l份即1块．奶糖占9份，就是9块奶糖．

【备选3】甲、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少

5111111，甲、乙的速度比是 ．

【解析】 甲走的路程是乙走的路程的

65?1110?121165，甲用的时间是乙用的时间的

10，所以甲的速度是乙的速度的

，即甲、乙的速度比是12:11．

【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑

棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？

【解析】 第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1??10:5?变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份，这样原来黑棋的个数为45?9?10?50(枚)，

白棋的个数为45?9?5?15?40(枚)．

【备选5】加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在三人在同样的时

间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 【解析】 根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为:1133.54:1?28:24:21，那么在相同的时间内，三人完

2828?24?21?1050?14001所以甲加工了3650?成的工作量之比也是28:24:2，个零件，乙加工了

3650?2428?24?21?1200个零件，丙加工了3650?2128?24?21个零件。

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小学六年级奥数

多16粒，从而原来的糖果是16+(4?920? 1)=20块.其中奶糖有20×

920=9块．

方法二：原来奶糖与其他糖(包含水果糖)之比是45％：(1-45％)=9：11,设奶糖有9份，其他糖(包含水果糖)有11份．现在奶糖与其他糖之比是25％：(1-25％)=1：3=9：27,奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，l份即1块．奶糖占9份，就是9块奶糖．

【备选3】甲、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少

5111111，甲、乙的速度比是 ．

【解析】 甲走的路程是乙走的路程的

65?1110?121165，甲用的时间是乙用的时间的

10，所以甲的速度是乙的速度的

，即甲、乙的速度比是12:11．

【备选4】一堆围棋子有黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑

棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子与白棋子各有多少枚？

【解析】 第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1??10:5?变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，所以黑棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份，这样原来黑棋的个数为45?9?10?50(枚)，

白棋的个数为45?9?5?15?40(枚)．

【备选5】加工某种零件，甲3分钟加工1个，乙3.5分钟加工1个，丙4分钟加工1个．现在三人在同样的时

间内一共加工3650个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 【解析】 根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为:1133.54:1?28:24:21，那么在相同的时间内，三人完

2828?24?21?1050?14001所以甲加工了3650?成的工作量之比也是28:24:2，个零件，乙加工了

3650?2428?24?21?1200个零件，丙加工了3650?2128?24?21个零件。

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