高考数学140分必读之把关题圆锥曲线

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1．重庆一模

21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。 （Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由。

21．（12分）

解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2?2px?p?0?，将M?1,2?代入方程得p?2

? 抛物线方程为: y2?4x??????????????????（1分）

由题意知椭圆、双曲线的焦点为F??1,0?1,F2?1,0?, ? c=1???????（2分） 对于椭圆，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22 ? a?1?2? a2?1?2??2?3?22????????????（4分）

? b2?a2?c2?2?22? 椭圆方程为： x23?22?y22?22?1对于双曲线，2a??MF1?MF2?22?2

? a??2?1? a?2?3?22? b?2?c?2?a?2?22?2? 双曲线方程为： x23?22?y222?2?1????????????（6分）

（Ⅱ）设AP的中点为C，l?的方程为：x?a，以AP为直径的圆交l?于D,E两点，DE中点为H

?x?3y1?,???????????????????（7分） 令A?x1,y1?, ? C?122??? DC?112AP??x1?3??y1222

x1?31 CH??a??x1?2a??32221?12?x1?3??y12???x?2a?3?????4?14? ??a-2?x1?a2?3a2222? DH?DC?CH?当a?2时,DH??4?6?2为定值;? DE?2DH?22为定值此时l?的方程为： x?2????（12分）

22．（14分）已知正项数列?an?中，a1?6，点Anan,an?1在抛物线y2?x?1上；数列?bn?中，点Bn?n,bn?在过

??17557465.doc 第 2 页 共 42 页

点?0,1?，以方向向量为?1,2?的直线上。

（Ⅰ）求数列?an?,?bn?的通项公式；

??an, ?n为奇数?（Ⅱ）若f?n???，问是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出k值；若不存??bn, ?n为偶数?在，说明理由；

（Ⅲ）对任意正整数n，不等式

an?1?1??1??1?1?1??1????????b1??b2??bn??ann?2?an?0成立，求正数a的取值范围。

22．（14分）

解：（Ⅰ）将点Anan,an?1代入y2?x?1中得

??an?1?an?1 ? an?1?an?d?1? an?a1??n?1??1?n?5直线l:y?2x?1, ? bn?2n?1??n?5, ?n为奇数?（Ⅱ）f?n???????????????（5分）

??2n?1, ?n为偶数?????????????????（4分）

当k为偶数时，k?27为奇数， ? f?k?27??4f?k?? k?27?5?4?2k?1?, ? k?4当k为奇数时，k?27为偶数，? 2?k?27??1?4?k?5?, ? k?综上，存在唯一的k?4符合条件。（Ⅲ）由

????????（8分）

35?舍去?2an?1?1??1??1?1?1??1????????b1??b2??bn??ann?2?an?0

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即a??1??1??1?1?1??1???????2n?3?b1??b2??bn?1?1??1??1?1?1??1???????2n?3?b1??b2??bn?1?1??1??1??1?1?1??1?1?????????2n?5?b1??b2??bn??bn?1?12n?3?1?2n?32n?42n?4??1?????2n?5?bn?1?2n?52n?32n?5?2n?3 ?1记f?n??? f?n?1??? ?f?n?1?f?n?2?4n2?16n?164n?16n?15? f?n?1??f?n?, 即f?n?递增，? f?n?min?f?1??? 0?a?45151445?,5315?2．南京三模

21.（本小题满分12分）将圆O: x2?y2?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),

得到曲线C. (1) 求C的方程;

(2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E.

求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3. 21．（本小题满分12分）

?x??x,解: (1)设点P(x?, y?), 点M的坐标为(x, y),由题意可知???????(2分)

?y?2y,?x22222?y2?1. 又x??y??4,∴x?4y?4?4x2?y2?1.??????(4分) 所以, 点M的轨迹C的方程为4(2)设点A(x1, y1), B(x2, y2), 点N的坐标为(x0, y0),

㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ??????(5分) ㈡设直线l: x?my?3,

??x?my?3由?消去x,

22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0??????①

3m,??????(6分) 2m?43m23m2?4343??∴x0?my0?3??2, 22m?4m?4m?4433m, ?2).??????(8分) ∴点N的坐标为(2m?4m?4∴y0??17557465.doc 第 4 页 共 42 页

①若OE?2ON, 坐标为, 则点E的为(8323m, ?), 由点E在曲线C上, 22m?4m?44812m2得?2?1, 即m4?4m2?32?0, ∴m2?8 (m2??4舍去). 222(m?4)(m?4)12m2?4m2?164m2?1由方程①得|y1?y2|???1, 22m?4m?4又|x1?x2| ? |my1?my2| ? |m(y1?y2)|,

∴|AB| ? m2?1|y1?y2| ?3.??????(10分)

4(m2?1)?3,∴m2?8. ②若|AB| ?3, 由①得2m?4362∴点N的坐标为(, ?), 射线ON方程为: y??x (x?0),

362?23?2x??x (x?0)6?y???3 ∴点E的坐标为23由? 解得(, ?), 2?33?x2?4y2?4?y??6??3?∴OE?2ON.

综上, OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.??????(12分)

22.（本小题满分14分）已知函数f(x)?1(x?R). x4?211(1) 试证函数f(x)的图象关于点(, )对称;

24n(2) 若数列{an}的通项公式为an?f() (m?N?, n?1, 2, ?,m), 求数列{an}的前m项和Sm;

m1111(3) 设数列{bn}满足: b1?, bn?1?b2. 设. T??????bnnn3b1?1b2?1bn?1若(2)中的Sn满足对任意不小于2的正整数n, Sn?Tn恒成立, 试求m的最大值.

121422．（本小题满分14分）

解: (1)设点P0(x0, y0)是函数f(x)的图象上任意一点, 其关于点(, )的对称点为P(x, y).

?x?x01??x?1?x0,??2?2由? 得? 1y??y0.?y?y0?1?2??4?21所以, 点P的坐标为P(1?x0, ?y0).??????(2分)

21由点P0(x0, y0)在函数f(x)的图象上, 得y0?x.

04?2

∵f(1?x0)?141?x04x04x0??, x0x0?24?2?42(4?2)11114x0?y0??x0?(1?x, ?y0)在函数f(x)的图象上. ∴点P,0224?22(4x0?2)211∴函数f(x)的图象关于点(, )对称. ??????(4分)

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1kk1, 所以f()?f(1?)? (1?k?m?1), 2mm2km?k11)? , ?ak?am?k?,??????(6分) 即f()?f(mm22由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ?????? ①

(2)由(1)可知, f(x)?f(1?x)?得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, ??????② 由①＋②, 得2Sm?(m?1)?∴Sm?1m?11m1?2am??2???, 226261(3m?1).??????(8分) 121(3) ∵b1?,bn?1?b2n?bn?bn(bn?1), ??????③

3∴对任意的n?N?, bn?0. ??????④

1111111由③、④, 得. ???,即??bn?1bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1111111111∴Tn?(?.?????(10分) )?(?)???(?)???3?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列. n?0, ∴Tn关于n递增. 当n?2, 且n?N?时, Tn?T2.

11144452,b2?(?1)?, b3?(?1)?, 33399981175∴Tn?T2?3??.??????(12分)

b152751752384,即(3m?1)?,∴m??6, ∴m的最大值为6. ?????(14分) ∴Sm?5212523939∵b1?3．重庆预测

21．（12分）E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点P?l，过点E的直线交椭圆于A、B两点。

（1） 当AE?AF时，求?AEF的面积； （2） 当AB?3时，求AF?BF的大小； （3） 求?EPF的最大值。 21．（1）?y22APM?m?n?41?S?mn?2 ?AEF222?m?n?8BEOFx??AE?AF?4?AB?AF?BF?8， （2）因?BE?BF?4??则AF?BF?5.

（1） 设P(22,t)(t?0) tan?EPF?tan(?EPM??FPM)

?(32232?222t223?)?(1?)???， ttt2t2?6t?6t?13

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当t?6时，tan?EPF?3??EPF?30? 3212Sn22．（14分）已知数列?an?中，a1?，当n?2时，其前n项和Sn满足an?，

32Sn?1（2） 求Sn的表达式及liman的值；

n??S2n（3） 求数列?an?的通项公式； （4） 设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn。

22Sn1122．（1）an?Sn?Sn?1??Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2)

2Sn?1SnSn?1?1?1所以??是等差数列。则Sn?。

S2n?1?n?liman22?lim???2。

n??S2n??2S?12limSn?1nnn??（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?11?2??2， 2n?12n?14n?1?1n?1????3综上，an??。

?2?n?2???1?4n2（3）令a?111,b?，当n?2时，有0?b?a? （1） 2n?12n?131?2n?11?1?2n?11。

法1：等价于求证

?2n?1?3?2n?1?3当n?2时，0?111?,令f?x??x2?x3,0?x?, 2n?1333313f??x??2x?3x2?2x(1?x)?2x(1??)?2x(1?)?0，

2223则f?x?在(0,1]递增。 3又0?111??， 2n?12n?1317557465.doc 第 7 页 共 42 页

所以g(11)?g(),即an?bn。

332n?12n?1法（2）an?bn?1111??(?)?b2?a2?(b3?a3) 2n?12n?1(2n?1)3(2n?1)3?(a?b)(a2?b2?ab?a?b) （2）

abab?a)?(b2??b)] 22ba?(a?b)[a(a??1)?b(b??1)] （3）

22?(a?b)[(a2?因b?ab3a33?1?a??1??1??1??1?0 222223ba?1)?b(b??1)?0 22所以a(a?由（1）（3）（4）知an?bn。

法3：令g?b??a?b?ab?a?b，则g??b??2b?a?1?0?b?2222所以g?b??maxg?0?,g?a??maxa?a,3a?2a

1?a 2????因0?a?1,则a2?a?a?a?1??0 32143a2?2a?3a(a?)?3a(?)?0

339所以g?b??a?b?ab?a?b?0 （5）

22由（1）（2）（5）知an?bn

例1 解关于x的不等式：log2?x?1??log4[a?x?2??1]?a?0?．

讲解：解不等式实质上就是等价变形，利用对数函数的单调性，我们不难得到：原不等式等价于

?x?1?0? ① ?a?x?2??1?0?2??x?1??a?x?2??1?x?1?1?即 ?x?2?.

a????x?a??x?2??0由于a?1，所以1?2?1，所以，上述不等式等价于 a17557465.doc 第 8 页 共 42 页

1??x?2? ② a????x?a??x?2??0解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定就成了解答的关键．如

何确定这一标准？

首先，我们可以从解不等式?x?a??x?2??0入手，不难看到a?2是一个分界点，这可以看作是本题

1，aa，2这三个数之间的大小关系，这应该是本题分类讨论的第二层次．但是，在本题的条件及第一分类标准之下，这三个数的大小关系已经确定，所以，我们只需考虑以a?2为分界点．

分类讨论的第一层次；其次，要解上述不等式组，从两个不等式取交集的角度，必然需要考虑到2?1?x?2??（1）当1?a?2时，不等式组②等价于? a??x?2或x?a211???a?1??此时，由于?2???a??0，所以 2??a．

aa?a?从而 2?1?x?a或x?2． a3??x?（2）当a?2时，不等式组②等价于?2

??x?23所以 x?，且x?2．

21??x?2?（3）当a?2时，不等式组②等价于? a??x?2或x?a此时，由于2?11?2，所以，2??x?2或x?a． aa??1综上可知：当1?a?2时，原不等式的解集为?x2??x?a或x?2?；当a?2时，原不等式的解集

a??????31为?xx?，且x?2?；当a?2时，原不等式的解集为?x2??x?2或x?a?．

2a????如果将本题中的条件a?1去掉，则在将原不等式等价转化为不等式组①后，就应该开始确定分类标准．从解不等式a?x?2??1?0和?x?a??x?2??0入手，可知a?0，a?2是两个分界点，另外，从解不等式组的角度，即不等式取交集的角度，可以看出需要比较2?了找到分界点，可以令2?1，a，1，2这四个数的大小关系，为a1＝a，解得：a?1，于是，我们得到了此题分类讨论的3个界点：0，1，2．从a不重不漏的原则出发，我们可以画出如下数轴，并标出0，1，2三个点，以此把数轴分成???,0?，?0,1?，

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?1,2?，?2,???四个区间及a?0,1,2三个点．

下面只需在各区间及各界点展开讨论即可．结论如下：

?1?当a?0时，原不等式的解集为?x2?x?2??；

a??当0?a?1时，原不等式的解集为?xx?2?；

??1当1?a?2时，原不等式的解集为?x2??x?a或x?2?；

a????3当a?2时，原不等式的解集为?xx?，且x?2?；

2????1当a?2时，原不等式的解集为?x2??x?2或x?a?．

a??

点评：解含参数的不等式时，关键在于分类标准的确定．函数单调性的变化常常作为确定分类标准的依据．分类需要不重不漏，尤其注意不要忽略参数a在分界点的取值．

例2 设函数f?x??ax?x2?1， （1）当a?2时，解不等式f(x)?f?1?；

（2）求a的取值范围，使得函数f?x?在?1,???上为单调函数． 讲解：（1）a?2时，f(x)?f?1?可化为：2?x?1??x2?1，等价于：

?x?1?0?x?1?0 ① 或 ?2 ② ?22?x?1?0?4?x?1??x?1解①得 1?x?5，解②得 x??1． 3??5所以，原不等式的解集为 ?x1?x?或x??1?．

3??（2）任取x1,x2??1,???，且x1?x2，则

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22f?x1??f?x2????ax1?x1?1?????ax2?x2?1??????22?a?x1?x2????x1?1?x2?1?????a?x1?x2?????x1?x2??a???x1?x22222

????1?x1?1?x2?1x1?x2x1?1?x222要使函数f?x?在?1,???上为单调函数，需且只需：

a?x1?x2x1?1?x2?122恒成立，（或a?x1?x2x1?x2x1?1?x2?122恒成立）．

因此，只要求出

x1?1?x2?122在条件“x1,x2??1,???，且x1?x2”之下的最大、最小值即可．为

了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：x1?1,x2?1，容易知道，此时

x1?x2x1?1?x2?122???；若考虑x1?x2???，则不难看出，此时

x1?x2x1?1?x2?122?1，至此我们

可以看出：要使得函数f?x?为单调函数，只需a?1．

事实上，当a?1时，由于x1?x2?x1?1?x2?1?0恒成立，所以，

22x1?x2x1?1?x2?122?1．所

以，在条件“x1,x2??1,???，且x1?x2”之下，必有：f?x1??f?x2??0．

所以，f?x?在区间?1,???上单调递减．

?5?当a?1时，由（1）可以看出：特例a?2的情况下，存在f?1??f??．由此可以猜想：函数f?x?在

?3?区间?1,???上不是单调函数．为了说明这一点，只需找到x1,x2??1,???，使得f?x1??f?x2?即可．简便

a2?1?1，也即：f?1??起见，不妨取x1?1，此时，可求得x2?2a?1?a2?1?f??a2?1???a，所以，f?x?在区间?1,?????上不是单调函数．

点评：本题是函数、不等式型综合问题，注意：不等式解区间的端点往往与方程的解相关（如（1）

?5?中f?1??f??.

?3?

高考真题

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???2 由AP·BP?k|PC|得

x2?y2?1?k[(x?1)2?y2] 3分

整理得(k?1)x2?2kx?(k?1)y??k?1?0（*） 4分 当k=1时，*式化为x=1表示直线 5分 当k≠1时，*式化为(x?k?1 )?y2?k?1(k?1)2 表示心(k1为半径的圆 6分 ，0)为圆，k?1|k?1| （2）当k=2时，*式化为(x?2)2?y2?1，x?[1，3]

??22 此时，|AP?BP|?2x?y?24x?3

∴其最小值为2，最大值为6 12分

??12 22. （14分）△ABC中，|AB|=|AC|=1，AB·AC?，P1为AB边上的一点，BP1≠AB，从P1向BC作垂

23线，垂足是Q1；从Q1向CA作垂线，垂足是R1；从R1向AB作垂线，垂足是P2，再由P2开始重复上述作法，依次

得Q2，R2，P3；Q3，R3，P4??

（1）令BPn为xn，寻求BPn与BPn?1（即xn与xn?1）之间的关系。 （2）点列P1，P2，P3，P4??Pn是否一定趋向于某一个定点P0？说明理由；

（3）若|AB|?1，|BP1|?1，则是否存在正整数m，使点P0与Pm之间3的距离小于0.001？若存在，求m的最小值。

??1解：（1）由|AB|=|AC|=1，AB·AC?，∴∠BAC?60°

2 从而△ABC为边长为1的正三角形 2分

则BPn?xn，则BPn?1?xn?1，于是BQn?BPn·cos60°? ∴CQn?1?1xn 21xn 3分 211(1?xn) 22 同样 CRn?CQn·cos60°? ARn?1?1111(1?xn)??xn 4分 2224111 又APn?1?ARn·cos60°?(?xn)

22411131 BPn?1?1?(?xn)??xn

2244817557465.doc 第 27 页 共 42 页

即xn?1?31?xn 5分 48212??(xn?) 3832221 ∴{xn?}，当x1≠时，是以x1?为首项，公比为?的等比数列

3338221n?1 ∴xn??(x1?)(?) 7分

3382 当n???时，xn?

32 ∴点Pn趋向点P0，其中P0在AB上，且BP0? 9分

3221m?111m?1?() 11分 （3）P0Pm?|xm?|?|x1?|()338381m?11000?0.003，∴8m?1? 由|P0Pm|?0.001得() 831000m?1? 当m?4时，8

3 （2）由（1）可得：xn?1? ∴m?4，m的最小值为4 14分

2．大连二模

20．（本小题满分12分）

数列{an}，设Sn是数列的前n项和，并且满足a1?1,Sn?1?4an?2.

（Ⅰ）令bn?an?1?2an(n?1,2,3?),证明{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （Ⅱ）令Cn?bn1,Tn为数列{}的前n项和,求limTn.

n??3log2Cn?2?log2Cn?12解：（Ⅰ）f?(x)?3x?2(a?b)x?ab.

依题意知，s、t是二次方程f?(x)?0的两个实根.

∵f?(0)?ab?0,f?(a)?a2?ab?a(a?b)?0,f?(b)?b2?ab?b(b?a)?0,??2分 ∴f?(x)?0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根. ∵s?t,?0?s?a?t?b. ????4分 （Ⅱ）由s、t是f?(x)?0的两个实根，知s?t?2(a?b)ab,st?. 3342(a?b)3?ab(a?b)?6分 273∴f(s)?f(t)?(s3?t3)?(a?b)(s2?t2)?ab(s?t)??∵f(s?ta?b211)?f()??(a?b)3?ab(a?b)?(f(s)?f(t)), 232732s?ts?t,f()）在曲线y=f(x)上. ??8分 故AB的中点C（22（Ⅲ）过曲线上点(x1,y1)的切线方程为y?y1?[3x1?2(a?b)x1?ab](x?x1).

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∵y1?x1(x1?a)?(x1?b)，又切线过原点.

∴?x1(x1?a)(x1?b)??x1[3x1?2(a?b)x1?ab]. 解得x1=0，或x1?2a?b. 2当x1=0时，切线的斜率为ab；当x1?a?b时，切线的斜率为?1(a?b)2?ab.??10分

42∵a?0,b?0,a?b?22, ∴两斜率之积

11[?(a?b)2?ab]?ab?(ab)2?(a?b)2?ab?(ab)2?2ab?(ab?1)2?1??1. 44故两切线不垂直. ??????12分

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x(x?a)(x?b),其中0?a?b.

（Ⅰ）设f(x)在x?s及x?t处取到极值，其中s?t,求证:0?s?a?t?b;

,(t,f(t))求证：线段, （Ⅱ）设A(s,f(s))BAB的中点C在曲线y=f(x)上；

（Ⅲ）若a?b?22，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直. 解：（Ⅰ）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，

作CD⊥AB于D， 由题知：AB?AC?而AB?AC?|AB|?|AC|?cosA ② 由①②AC?cosA?同理，|BD|?1|AB| ① 211,即|AD|?. ??????2分 223,则|AB|?2 ∴A（－1，0）、B（1，0）??4分 2x2y21设双曲线方程2?2?1(a?0,b?0),c(?,h),E(x1,y1)

2ab2?x?,??15由3BE?2EC,得? ????6分

2?y?h.1?5??1h2?2?2?1b?4a?44h2??1 ??????8分 因为E、C两点在双曲线上，所以?2225a25b??c2?a2?b2?1??17557465.doc 第 29 页 共 42 页

?21a??x2y2?7??1 ????10分 解得?，∴双曲线方程为166?b2??777?（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2) ∵|TM|?|TN|,?y1?(x1?x0)?222y2?(x2?x0)2

22∴y1?y2?(x2?x0)2?(x1?x0)2?(x2?x12)?2x0(x1?x2) ①

2又M、N在双曲线上，满足7x1?27272222y1?1,7x2?y2?1,?y12?y2?6(x12?x2) ② 6622将②代入①，7(x1?x2)?2x0(x1?x2)

∵x1?x2,?7(x1?x2)?2x0 ??????????12分 又x1?x2?277,?x0?(x1?x2)?7, 72∴x0取值范围为（7,??） ??????14分

1．北京丰台区二模

19. （本小题满分14分）

y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2。 设双曲线2?3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；

（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0。若存在，求出直线l的

方程；若不存在，说明理由。 解：（I）?e?2，?c?4a ?c?a?3，?a?1，c?2

2222x23?1，渐近线方程为y?? ?双曲线方程为y?x 332 4分

（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y

??17557465.doc 第 30 页 共 42 页

?2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10 又y1?33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y2 3333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33??3(y1?y2)2?2?3???(x1?x2)??10?3?21x23y22??1 ?3(2y)?(2x)?100，即37525 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线l

设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)

103的椭圆。（9分） 3

???OP·OQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)2

?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?0?y?3?1 ?6k23k2?3则x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?1 由（i）（ii）得k?3?0

∴k不存在，即不存在满足条件的直线l。

20. （本小题满分13分）

* 已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N)，且Sn?(m?1)?man对任意自然数都成立，其中m为常数，且m??1。

2 14分

（I）求证数列?an?是等比数列；

（II）设数列?an?的公比q?f(m)，数列?bn?满足：b1?1a1，bn?f(bn?1) 3(n?2，n?N*)，试问当m为何值时，limbn(lgan)?lim3(b1b2?b2b3?b3b4?

n??n????bn?1bn)成立？

17557465.doc 第 31 页 共 42 页

解：（I）由已知Sn?1?(m?1)?man?1 Sn?(m?1)?man （2）

(1)

由(1)?(2)得：an?1?man?man?1，即(m?1)an?1?man对任意n?N都成立

*?m为常数，且m??1am ?n?1?anm?1即?an?为等比数列5分

（II）当n?1时，a1?(m?1)?ma1

?a1?1，从而b1?13mm?1

由（I）知q?f(m)??bn?f(bn?1)?bn?1(n?2，n?N*)bn?1?1?1111?1?，即??1bnbn?1bnbn?1?1??为等差数列b?n?11?3?(n?1)?n?2，bn?(n?N*)bnn?2n?1 ??

?9分?m? ?an????m?1?

n?1mm?limbn(lgan)?lim·lg?lgn??n??n?2m?1m?1 lim3(b1b2?b2b3???bn?1bn)n??

11??1111?lim3??????????1n???3445n?1n?2? 由题意知lg ?m?1 m?1

13分

m10?10，?m?? m?192．石家庄模拟

21．（本小题满分12分）

x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴

ab于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．

（1）求椭圆的离心率；

17557465.doc 第 32 页 共 42 页

（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆方程． 解：（1）设点Q(x0,0),F(?c,0),其中c?由P分AQ所成的比为8∶5，得P(2a2?b2,A(0,b)．

85x0,b)， 2分 131382x523∴()02?()?1?x0?a．①， 4分

13a132而FA?(c,b),AQ?(x0,?b),FA?AQ，

b2∴FA?AQ?0．?cx0?b?0,x0?．②， 5分

c2由①②知2b2?3ac,?2c2?3ac?2a2?0． ∴2e?3e?2?0.?e?21． 6分 2b2?c2,0)， （2）满足条件的圆心为O?(2cb2?c2a2?c2?c2??c,?O?(c,0)， 8分 2c2cb2?2a2c??a． 10分 圆半径r?22c由圆与直线l：x?3y?3?0相切得，又a?2c,?c?1,a?2,b?3．

|c?3|?a， 2x2y2??1． 12分 ∴椭圆方程为43

22．（本小题满分14分）

（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，试求

2y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．

（文）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，试求

2y?an?1?an?2???a2n?1的最大值，并求出y取最大值时?an?的首项和公差．

（理）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分

17557465.doc 第 33 页 共 42 页

y?an?1?an?2???a2n?1?an?1?(an?1?d)???(an?1?nd) ?(n?1)an?1?(1?2???n)d?(n?1)a(n?1)n?1?n2d 4分 ?(n?1)(andn?)?(n?1)(aa?1?a11?2n?1?n2) ?n?12(3an?1?a1)． 7分 又a221?an?1?b,??a1??b?an?1．

∴3a2329?4bn?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?2)?4?9?4b34，当且仅当an?1?2时，立． 11分

∴y?n?12(3a(n?1)(9?4b)n?1?a1)?8． 13分 当数列?a94b?3(n?1)(9?4b)n?首项a1?b?4，公差d??4n时，y?8，

∴y的最大值为(n?1)(9?4b)8． 14分

（文）解：设?an?公差为d，则an?1?a1?nd,nd?an?1?a1． 3分

y?an?1?an?2???a2n?1?an?1(an?1?d)???(an?1?nd)?(n?1)an?1?(1?2???n)d

?(n?1)an?1?n(n?1)2d?(n?1)(andn?1?2)?(n?1)(aan?1?a1n?1?2)?n?12(3an?1?a1)， 6分 又a2?b,??a21?an?11??b?an?1．

∴3a2329?4bn?1?a1??an?1?3an?1?b??(an?1?2)?4?9?4b4． 当且仅当a3n?1?2时，等号成立． 11分 ∴y?n?12(3a(n?1)(9?4b)n?1?a1)?8． 13分 当数列?a?首项a94b?3(n?1)(9?4b)n1?b?4，公差d??4n时，y?8．

∴y的最大值为(n?1)(9?4b)8． 14分

3．唐山二模

21．（本小题满分12分）

等号成17557465.doc 第 34 页 共 42 页

垂直于x轴的直线交双曲线x2?2y2?2于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）

22（Ⅰ）证明：x0?2y0为定值;

（Ⅱ）过P作斜率为?x0的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值. 2y0解（Ⅰ）证明：设M(x1,?y1),则N(x1,?y1),?A1(?2,0),A2(2,0)

?直线A1M的方程为y?y1x1?2(x?2) ①

直线A2N的方程为y??y1x1?2(x?2) ②??4分

①×②，得y?2?y12x1?22(x2?2)

1?x12?2y12?2,?y2??(x2?2),即x2?2y2?22 ?P(x0,y0)是直线A1M与A2N的交点22?x0?2y0?2为定值??8分（Ⅱ）l的方程为y?y0??x022(x?x0),结合x0?2y0?2整理得x0x?2y0y?2?0 2y0于是d?222x0?4y0?222?2y0?2??10分 21?y022?x0?2y0?22?y0?12?1?y0?2?d?2?1 21?y02当y0??1时,y0?1,d取最小值1??12分

22．（本小题满分14分）

x 已知函数f(x)?x?sin

（Ⅰ）若x?[0,?],试求函数f(x)的值域;

2f(?)?f(x)2??x?f();

332f(?)?f(x)2??x与f()的大小关系（不必写出比（Ⅲ）若x?[k?,(k?1)?],??(k?,(k?1)?),k?Z,猜想33（Ⅱ）若x?[0,?],??(0,?),求证:较过程）.

解：（Ⅰ）当x?(0,?)时,f?(x)?1?cosx?0,?f(x)为增函数

17557465.doc 第 35 页 共 42 页

又f(x)在区间[0,?]上连续 所以f(0)?f(x)?f(?),求得0?f(x)??

即f(x)的值域为[0,?]??4分（Ⅱ）设g(x)??2f(?)?f(x)23?f(??x3)

即g(x)??2f(?)?sinx3?sin2??x3

g?(x)?13(?cosx?cos2??x3)??6分

?x?[0,?],??(0,?)?2??x3?(0,?)

由g?(x)?0,得x???当x?(0,?)时,g?(x)?0,g(x)为减函数.

当x?(?,?)时,g?(x)?0,g(x)为增函数??8分 ?g(x)在区间[0,?]上连续则g(?)为g(x)的最小值对x?[0,?]有g(x)?g(?)?0

因而2f(?)?f(x)3?f(2??x3)?10分（Ⅲ）在题设条件下，当k为偶数时

2f(?)?f(x)3?f(2??x3) 当k为奇数时

2f(?)?f(x)3?f(2??x3)??14分 1．北京宣武区二模

19. （本题满分14分）

已知点Pn?an，bn?满足：abnn?1?an·bn?1，bn?1?1?a2，n?N，且已知P?10?，n?3 （1）求过点P0，P1的直线l的方程；

（2）判断点Pn?n?2?与直线l的位置关系，并证明你的结论；

（3）求点Pn的极限位置。 解：（1）由a10?3，b20?3，得： 2 b1?32?3，a?1?3?1 1???1??3?41344? 显然直线l的方程为x?y?1??????3分

2?3??

17557465.doc 第 36 页 共 42 页

（2）由a1?13，b1?，得： 44341414?，a??? b2?225455?1?1????4? ∴点P2?l，猜想点Pn?n?2?在直线l上，以下用数学归纳法证明： 当n＝2时，点P2?l

假设当n?k(k?2)时，点Pk?l，即ak?bk?1 当n?k?1时，

ak?1?bk?1?ak·bk?1?bk?1

??1?ak?bk?1 ??1?ak?bkbk ?21?ak1?ak?1 ∴点Pk?1?l

综上，点Pn?l?n?2???????8分 （3）由an?1?an·bn?1，bn?1?bn，an?bn?1，得： 21?anan?1?an·

bn1?anan?a·??an?0?n221?a1?an1?ann?1an?11??1an

∴数列??1?1

是以?3为首项，公差为1的等差数列 ?aa0?n?11?3?n，an?ann?31n?2bn?1?an?1??n?3n?3 ?lima?lim1?0

nn??n??n?321?n?2n?1limbn?lim?limn??n??n?3n??31?n???P0，1 ?Pn???17557465.doc 第 37 页 共 42 页

即点Pn的极限位置为点P（0，1）??????14分

20. （本题满分14分）

22 已知直线l：y?mx?1与曲线C：ax?y?2m，a?R交于两点A、B。

????? （1）设OP?OA?OB，当a??2时，求点P的轨迹方程；

?? （2）是否存在常数a，对任意m?R，都有OA·OB??2？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。 ?? （3）是否存在常数m，对任意a?R，都有OA·OB为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。

?解：（1）设Ax1，y1，Bx2，y2，则

??????? OP?OA?OB??x1?x2，y1?y2?

?y?mx?1 由?消去y，得： 22?2x?y?0?22 m?2x?2mx?1?0???1?

2??m?2?0 依题意有?解得： 22?????2m??4m?2?0??2 m?1且m?2，即m??1或m?1且m??2

2x1?x2?

2m1，xx?122?m22?m242?m2

y1?y2?mx1?1?mx2?1?m?x1?x2??2?2m?x???2?m2 ∴点P的坐标为：?消去m，得：

?y?4?2?m2?x2?1 2x?y?2y?0，即?y?1??12222 由y?42y?42m?，得

2?m2y?2y?4?1?y? ??，解得y?0或y?4

2y?4??2?y?17557465.doc 第 38 页 共 42 页

x2?1（y?0或y?4）??????5分 ∴点P的轨迹方程为?y?1??122 （2）假设存在这样的常数a 由??y?mx?1?ax?y?2222消去y得：

?m

?ax2?2mx?1?0??2?2m1

x1?x2??2，x1x2??2m?am?a?? OA·OB?x1x2?y1y2

?x1x2??mx1?1??mx2?1??m?1·x1x2?m?x1?x2??12??

?m2?1·???1?2m?m·?122m?am?a

?3m2?1 ??1m2?a??2 解得：a? 当a?1 3112时，m??0，且方程<2>判别式 332 ??4m?4?m???0

??21?3???1 ∴对任意m?R，A、B两点总存在，故当a?时，对任意m?R，都有OA·OB??2??????10分

3??? （3）假设这样的常数m存在，对任意的a?R，使OA·OB为一常数M。

?? 即OA·OB?x1x2?y1y2?M

?3m2?1?1?M 即2m?a 化简，得：?1?M?a??M?2?m2?1 ∵a为任意正实数

?1?M?02 ??，即3m?1?0，矛盾。 2??M?2?m?1?0 故这样的常数m不存在。??????14分 2．大连二模 20．（本小题满分12分）

17557465.doc 第 39 页 共 42 页

数列{an}，设Sn是数列的前n项和，并且满足a1?1,Sn?1?4an?2.

（Ⅰ）令bn?an?1?2an(n?1,2,3?),证明{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （Ⅱ）令Cn?bn1,Tn为数列{}的前n项和,求limTn.

n??3log2Cn?2?log2Cn?1解：（Ⅰ）f?(x)?3x2?2(a?b)x?ab.

依题意知，s、t是二次方程f?(x)?0的两个实根.

∵f?(0)?ab?0,f?(a)?a2?ab?a(a?b)?0,f?(b)?b2?ab?b(b?a)?0,??2分 ∴f?(x)?0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个实根. ∵s?t,?0?s?a?t?b. ????4分 （Ⅱ）由s、t是f?(x)?0的两个实根，知s?t?2(a?b)ab,st?. 3342(a?b)3?ab(a?b)?6分 273∴f(s)?f(t)?(s3?t3)?(a?b)(s2?t2)?ab(s?t)??∵f(s?ta?b211)?f()??(a?b)3?ab(a?b)?(f(s)?f(t)), 232732s?ts?t,f()）在曲线y=f(x)上. ??8分 故AB的中点C（22（Ⅲ）过曲线上点(x1,y1)的切线方程为y?y1?[3x1?2(a?b)x1?ab](x?x1). ∵y1?x1(x1?a)?(x1?b)，又切线过原点.

∴?x1(x1?a)(x1?b)??x1[3x1?2(a?b)x1?ab]. 解得x1=0，或x1?22a?b. 2当x1=0时，切线的斜率为ab；当x1?a?b时，切线的斜率为?1(a?b)2?ab.??10分

42∵a?0,b?0,a?b?22, ∴两斜率之积

11[?(a?b)2?ab]?ab?(ab)2?(a?b)2?ab?(ab)2?2ab?(ab?1)2?1??1. 44故两切线不垂直. ??????12分

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x(x?a)(x?b),其中0?a?b.

（Ⅰ）设f(x)在x?s及x?t处取到极值，其中s?t,求证:0?s?a?t?b; （Ⅱ）设A(s,f(s)),B(t,f(t)),求证：线段AB的中点C在曲线y=f(x)上； （Ⅲ）若a?b?22，求证：过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直.

17557465.doc 第 40 页 共 42 页

解：（Ⅰ）以线段AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，

作CD⊥AB于D， 由题知：AB?AC?1|AB| ① 2而AB?AC?|AB|?|AC|?cosA ② 由①②AC?cosA?同理，|BD|?11,即|AD|?. ??????2分 223,则|AB|?2 ∴A（－1，0）、B（1，0）??4分 2x2y21设双曲线方程2?2?1(a?0,b?0),c(?,h),E(x1,y1)

2ab2?x?,??15由3BE?2EC,得? ????6分

?y?2h.1?5??1h2?2?2?1b?4a?44h2??1 ??????8分 因为E、C两点在双曲线上，所以?2225b?25a?c2?a2?b2?1???21a??x2y2?7??1 ????10分 解得?，∴双曲线方程为16?b2?6?777?（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2) ∵|TM|?|TN|,?y1?(x1?x0)?222y2?(x2?x0)2

22∴y1?y2?(x2?x0)2?(x1?x0)2?(x2?x12)?2x0(x1?x2) ①

2又M、N在双曲线上，满足7x1?27272222y1?1,7x2?y2?1,?y12?y2?6(x12?x2) ② 6622将②代入①，7(x1?x2)?2x0(x1?x2)

∵x1?x2,?7(x1?x2)?2x0 ??????????12分 又x1?x2?277,?x0?(x1?x2)?7, 72∴x0取值范围为（7,??） ??????14分 3．德州模拟

???221. （12分）已知定点A（0，1），B（0，－1），C（1，0），动点P满足AP·BP?k|PC|

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