高等代数北大版教学案 - 第6章线性空间

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第六章 线性空间

§1 集合映射

一 授课内容:§1 集合映射

二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号

与乘积号的定义.

三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程:

1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S是集合,A与B的公共元素所组成的集合成为A与B的交集,记作A?B；把A和B中的元素合并在一起组成的集合成为A与B的并集,记做A?B；从集合A中去掉属于B的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A与B的差集,记做A\\B.

定义:(集合的映射) 设A、B为集合.如果存在法则f,使得A中任意元素a在法则f下对应B中唯一确定的元素(记做f(a)),则称f是A到B的一个映射,记为

f:A?B,a?f(a).

如果f(a)?b?B,则b称为a在f下的像,a称为b在f下的原像.A的所有元素在f下的像构成的B的子集称为A在f下的像,记做f(A),即

f(A)??f(a)|a?A?.

若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 则称f为单射.若 ?b?B,都存在

a?A,使得f(a)?b,则称f为满射.如果f既是单射又是满射,则称f为双射,或称一一对应.

2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义

为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K上n个数a1,a2,?,an,我们使用如下记号:

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a1?a2???an??ai, a1a2?an??ai.

i?1nni?1当然也可以写成

a1?a2???an?1?i?n?ai, a1a2?an?1?i?n?ai.

(2)求和号的性质 容易证明,

??ai???ai,?(ai?bi)??ai??bi,??aij???aij.

i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnnmmni?1j?1j?1i?1事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

a11a21?an1a12a22??a1m?a2m??

an2?anm分别先按行和列求和,再求总和即可.

§2 线性空间的定义与简单性质

一 授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质

二 教学目的：通过本节的学习,掌握线性空间的定义与简单性质. 三 教学重点：线性空间的定义与简单性质. 四 教学难点：线性空间的定义与简单性质. 五 教学过程：

1.线性空间的定义

(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合,且V上有一个二元运算“+”(V?V?V),又设K为数域,V中的元素与K中的元素有运算数量

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乘法“?”(K?V?V),且“+”与“?”满足如下性质: 1、 加法交换律 ??,??V,有???????；

2、 加法结合律 ??,?,??V,有(???)?????(???)； 3、 存在“零元”,即存在0?V,使得???V,0????； 4、 存在负元,即???V,存在??V,使得????0； 5、 “1律” 1????；

6、 数乘结合律 ?k,l?K,??V,都有(kl)??k(l?)?l(k?)； 7、 分配律 ?k,l?K,??V,都有(k?l)??k??l?； 8、 分配律 ?k?K,?,??V,都有k(???)?k??k?,

则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“?”的定义,不光与集合V有关.

(2)零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数的加、乘法类似的性质

命题4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一.

证明:设0与0'均是零元素,则由零元素的性质,有0?0'?0?0'；

???V,设?,?'都是?的负向量,则

??0???(?'??)????'?(???)???0??,

于是命题得证.由于负向量唯一,我们用??代表?的负向量.

定义4.2(减法) 我们定义二元运算减法“-”如下:

???定义为??(??).

命题4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质:

1、 加法满足消去律 ???????????； 2、 可移项 ???????????； 3、 可以消因子 k???且k?0,则??1?； k4、 0???0, k?0?0, (?1)????. (3)线性空间的例子

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例4.1令V表示在(a,b)上可微的函数所构成的集合,令K?,V中加

法的定义就是函数的加法,关于K的数乘就是实数遇函数的乘法,V构成K上的线性空间.

4.1.2线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价；极大线性无关组.

定义4.3(线性组合) 给定V内一个向量组?1,?2,内s个数k1,k2,线性组合.

定义4.4(线性表出) 给定V内一个向量组?1,?2,一个向量,如果存在K内s个数k1,k2,则称向量?可以被向量组?1,?2,,?s线性表出.

,?s,设?是V内的

?ks?s,

,ks,称k1?1?k2?2?,?s,又给定数域K

,?s的一个

?ks?s为向量组?1,?2,,ks,使得??k1?1?k2?2?定义4.5(向量组的线性相关与线性无关) 给定V内一个向量组

?1,?2,k1,k2,,?s,如果对V内某一个向量?,存在数域K内不全为零的数,ks,使得k1?1?k2?2??ks?s?0,则称向量组?1,?2,,?s线性相

关；若由方程k1?1?k2?2?量组?1,?2,1)?1,?2,命题4.3 设?1,?2,?ks?s?0必定推出k1?k2??ks?0,则称向

,?s线性无关.

?s?V,则下述两条等价:

?s线性相关；

2)某个?i可被其余向量线性表示. 证明同向量空间.

定义4.6(线性等价) 给定V内两个向量组

?1,?2,?1,?2,,?r (Ⅰ), ,?s (Ⅱ),

如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)线性表示,则称两向量组线性等价.

定义4.7(极大线性无关部分组) 给定V内一个向量组?1,?2, 专业资料整理

,?s,如

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果它有一个部分组?i1,?i2,(i)、?i1,?i2,,?ir满足如下条件:

,?ir线性表示,

,?ir线性无关；

(ii)、原向量组中任一向量都能被?i1,?i2,则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组.

由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到Kn的一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立.

定义4.8(向量组的秩) 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向量组的秩.

例4.2 求证:向量组e?1x,e?2x的秩等于2(其中?1??2).

证明:方法一:设k1,k2∈R,满足k1e?1x?k2e?2x?0,则k1e?1x??k2e?2x,假若k1,k2不全为零,不妨设k1?0,则有e(?1??2)x??k2,而由于?1??2,等号左k1??边为严格单调函数,矛盾于等号右边为常数.于是k1?k2?0.

所以e?1x,e?2x线性无关,向量组的秩等于2.证毕. 方法二:若在(a,b)上k1e?1x?k2e?2x?0, 两端求导数,得k1?1e?1x?k2?2e?2x?0,

?c?c??k1e1?k2e2?0,以x?c?(a,b)代入,有? ?1c?2c??k1?1e?k2?2e?0.e?1c而

?1e?2ce?2c?e(?1??2)c(?2??1)?0, ?2c?2e于是k1?k2?0.证毕.

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