中南大学高等代数习题册Ch1-Ch4

高等代数习题册

作业说明：教师每次讲完章节内容，同学们完成相应的习题，从开课第二周起一般每周交一次作业。作业直接写在习题册上，写不下可写背面

班级 姓名 学号 第一章 行列式

§1引言

一 填空题

1．最小的数环是 ，最小的数域是 .

2．一非空数集F,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 . 二 证明题

1. 证明F?a?bia, b?Q是一个数域，其中i=?1.

2．证明F?????m?m, n?Z?是一个数环. F也是一个数域吗？ n??2

3．证明两个数环的交还是一个数环.

2

班级 姓名 学号 §2-§3 排列与n级行列式的定义

一 选择或判断

1．以下乘积中（ ）是5阶行列式d?aij中取负号的项.

A.a31a45a12a24a53； B.a45a54a42a12a33；C．a23a51a32a45a14；D.a13a32a24a45a54

2. 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.（ ） 二 填空题

1. 按自然数从小到大为标准次序，排列451362的逆序数为 ，523146879的逆序 数为 .

2. 按自然数从小到大为标准次序，若9级排列1274i56k9是奇排列，则i?_____,k? _______.

3. 设n级排列i1i2?in的逆序数为k，则?(inin?1i2i1)= .

0000x0002x04. 设003x00??15， 则x? ________.

0450三 计算题

000000001．按定义计算行列式

000120.

0n?1n0

00002xx121x1?1432．由行列式定义计算f(x)?中x与x的系数.

32x1111x

3

班级 姓名 学号 §4 行列式的性质

一．选择题

1. 对于“命题甲：将n??1?级行列式d的主对角线上元素反号, 则行列式变为?d；命题

乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) .

A.甲成立, 乙不成立； B. 甲不成立, 乙成立；

C.甲, 乙均成立； D．甲, 乙均不成立.

二．填空题

31212430120112?4102=_______， 1?4?1?_______， ?221?________. 204?34?2?183三．计算下列各行列式：

121.

34234134124111； 2. 213111111aa1234； 3. ab1；

3610ba141020xa1a1a2a2a2xa3...an...an...an.

x

xa24.

1?a111?a11;5. a11?a

a1

4

班级 姓名 学号 四. 证明：

b?c1. b1?c1c?ac1?a1c2?a2a?babb1b2cc1; c2b2?c2a1?b1?2a1a2?b2a2x?12.

0x000a00a10a2?xn?axn?1??ax?a.0?1x0000

n?10xan?20?1x?an?1

5

10

班级 姓名 学号 §5 行列式按一行（列）展开

一 选择题

410行列式3?2a中，元素a的代数余子式是（ ）. 65?7A．

406?7 B．4165 C．?40416?7 D．?65

二 填空题 12a1. 设行列式203中，代数余子式A21?3，则a＝__________.

36910132. 设A??11?1211?10，则A14?A24?A34?A44? . ?22141113. 行列式123 的余子式M21?M22?M23的值为 . 149三 计算下列各行列式：

10?1?1aaaa0y1.

0?1?11aa?bx0abcd； 2. aaaaa?ca； 3. 0x?1?110aaaa?dy01?a1a2a3anxyx?ya11?a2a3an4.

yx?yx； 5.

a1a21?a3an；

x?yxya1a2a31?anxy000xyyyy0xy00zxyyy6. d00x00； 7. dzzxyyn?n?；000xyzzzxyy000xzzzzx

6

0xy00y；x0 班级 姓名 学号 1x1x12x1n?2x1n

1x22x2n?2x2nx21xn2xnn?2xnnxn8. dn?.

9．求d=1111111112219?1?11?11111111202019的末尾的零的个数.

10．求d=?1?1?1?1?1?111?11的展开式的正项总数.

1??1??n+1111．计算d=??n+2??n+1??1??2??2??11??n+1??n+2n，其中?是x=1的任一根. ??n+3的值（n?2）

1??312． 设a, b, p1, p2, , pn均为实数，且a?b. 令f?x???p1?x??p2?x?aaa?pn1?x1nn1?x2?pn?x?.

p1b证明：bap2bbaap3bbf?a??af?b?.

b?ab1?x11?x1213．计算d=21?x21?x2.

21?xn1?xnn1?xn

7

班级 姓名 学号 §7 Crammer法则

?x3?4,? x1 ?1. 用克莱姆法则解线性方程组??x1?x2?x3?4,

?2x?x?x?3.?123?bx?ay?2ab?0?2. 用克莱姆法则解线性方程组??2cy?3bz?bc?0（其中abc?0）.

?cx?az?0?

8

班级 姓名 学号 第二章 线性方程组

§1一般线性方程组的消元法，§2 n维向量空间

1. 已知5?1, 0, ?1??3???1, 0, 2???2, ?3, ?1?, 求?.

2．已知向量组?1??1, 2, 3, 4?, ?2??2, 3, 4, 5?,?3??3, 4, 5, 6?,?4??4, 5, 6, 7?，计算向量?1?3?2?2?3??4.

?x1?3x2?5x3??x?3x?2x?123???x3. 用消元法解线性方程组 ?x1?2x2?x3?x?4x?x?x23?1??x1?2x2?x3?x

4x?142x?4x?5?1?4x?53?4x?53?4x?5?1

?x1?2x2?3x3?x4?1?3x?2x?x?x?11234??4．用消元法解线性方程组 ?2x1?3x2?x3?x4?1

?2x?2x?2x?x?1234?1??5x1?5x2?2x3?2

9

班级 姓名 学号 §3 线性相关性

一．选择题

1. n维向量组?1,?2,?,?s (3?s?n)线性无关的充分必要条件是（ ）

A.存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使k1?1?k2?2??ks?s?0 B.?1,?2,?,?s中任意两个向量组都线性无关

C．?1,?2,?,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 D.?1,?2,?,?s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

2. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）

A.线性相关 B.线性无关 C．线性相关或线性无关 D.不一定

3．设?为任意非零向量，则?（ ）．

A.线性相关 B.线性无关 C．线性相关或线性无关 D．不一定

4.n维向量组?1,?2,...?s线性无关，?为一n维向量，则（ ）.

A.?1,?2,...,?s，?线性相关 B.?一定能被?1,?2,...,?s线性表出

C．?一定不能被?1,?2,...,?s线性表出

D.当s?n时，?一定能被?1,?2,...,?s线性表出

5.（1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同 （2）若向量组?1, ?2, 组?1, ?2, （3）若?1, ?2, （4）若?1, ?2, , ?r线性无关，?r?1可由?1, ?2, , ?r线性表出，则向量

, ?r?1也线性无关

, ?r线性无关，则?1, ?2, , ?r?1也线性无关

, ?r?1线性表出

, ?r线性相关，则?r一定可由?1, ?2, 以上说法正确的有（ ）个.

A.1 个 B.2 个 C．3 个 D.4个

6．设有向量组Ⅰ：?1, ?2, , ?r和Ⅱ：?1, ?2, , ?r, ?r?1, 则必有（ ）. , ?s，

A.Ⅰ无关?Ⅱ无关 B.Ⅱ无关?Ⅰ无关

10

班级 姓名 学号 C.Ⅰ无关?Ⅱ相关 D.Ⅱ相关?Ⅰ相关

7. 设向量组?1,?2,?3线性无关. ?1,?2,?4线性相关，则（ ）.

A.?1必可由?2,?3,?4线性表示 B.?4必可由?1,?2,?3线性表示

C．?4必不可由?1,?2,?3线性表示 D.以上都不对 二．填空题

1. 已知向量组?，?(1,2,3,4)1，?， ?(3,4,5,6)??(2,3,4,5)23，则该向量组的秩是 . ??(4,5,6,7)32. 若?可由3. 设

1唯一表示, 则?线性 . ?,?,?,?,?,?,?12r12r为n维向量组, 且R，则n m. ?,?,?,?(?,?,?,?)?n2m12m4. n?1个n维向量构成的向量组一定是线性 的.（无关，相关） 5. 已知向量组

线性无关，则t? _______. ??(1,0,1),??(2,2,3),??(1,3,t)123三．计算与证明

1. 判别向量组?1=(0,0,2,3), ?2=(1,2,3,4)，?3=(1,2,1,1)，?4=(1,0,1,0)是否线性相关，并求?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组.

2. 求向量组??(1,1,1)，??(1,2,3)，??(3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.

3. 已知向量组（Ⅰ）?1,?2,?3,(Ⅱ) ?1,?2,?3,?4,(Ⅲ) ?1,?2,?3,?5，若各向量组的秩分别为R(Ⅰ) = R (Ⅱ) = 3 , R (Ⅲ) = 4 ,证明向量组（Ⅳ）：?1,?2,?3,?5??4的秩为4.

4. 设向量组?1,?2,5. 设向量组?1,?2,,?s的秩为r，证明：当m?s时，秩(?1,?2,,?r线性无关，而向量组?1,?2,,?m)?r?m?s.

,?r,?线性相关，证明：?可以由

?1,?2,,?r线性表出，且表示法唯一.

11

班级 姓名 学号 §4 矩阵的秩

一．选择题

1. 设A为n阶方阵，且R?A??r＜n，则A中（ ）.

A. 必有r个行向量线性无关 B. 任意r个行向量线性无关

C．任意r个行向量构成一个极大无关组 D. 任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示

2. 设A是m?n矩阵，若（ ），则n元线性方程组AX?0有非零解.

A. m?n B.A的秩等于n C．m?n D.A的秩等于m

3. 设矩阵A?aij??m?n，AX?0仅有零解的充分必要条件是( ).

A. A的行向量组线性相关 B.A的行向量组线性无关

C．A的列向量组线性相关 D.A的列向量组线性无关

4. 设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵A的秩为r，则AX?0有非零解的充分必要 条件是（ ）.

A.r?n B.r?n C．r?n D.r?n

5. 如果矩阵A的秩等于r，则（ ）。

A. 至多有一个r阶子式不为零 B. 所有r阶子式都不为零

C. 所有r?1阶子式全为零，且至少有一个r阶子式不为零 D. 所有低于r阶子式都不为零

二．填空题

1．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为 .

?1?112???2. 设矩阵A??3??12?，且R(A)?2,则?? ，?? .

?53?6???3. 设A为n阶矩阵，且A?1,则 R(A)?________.

4.含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组AX?0有非零解的充分且必要条件是 .

三．计算与证明

12

班级 姓名 学号 ?1?23k???1. 设A=??12k?3?，已知R(A)?1, 求k.

?k?23????1?1210???的秩.

06012. 求矩阵A=2?????152?52???x1?x2?x3?0?3. 确定?的值，使齐次线性方程组??x1?2x2?x3?0有非零解.

?2x??x?012?

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班级 姓名 学号 §5 线性方程组有解判别定理

一．选择题

?bx1?ax2??2ab1. 设线性方程组???2cx2?3bx3?bc，则（ ）

??cx1?ax3?0A.当a,b,c取任意实数时，方程组均有解; B.当a?0时，方程组无解;

C．当b?0时，方程组无解; D.当c?0时，方程组无解.

??10721?2. 设线性方程组的增广矩阵是?012?11???0?2?42?2??，则这个方程组解的情况是（?00015??A.有唯一解 B.无解 C．有四个解 D.有无穷多个解

3. 设线性方程组AX?b及相应的齐次线性方程组AX?0，则下列命题成立的是（ A.AX?0只有零解时，AX?b有唯一解；

B.AX?0有非零解时，AX?b有无穷多个解；

C．AX?b有唯一解时，AX?0只有零解； D. AX?b解时，AX?0也无解.

4. 当??（ ）时，方程组??x1?x2?x3?1?2x1?2x2?2x有无穷多解.

3??A．1 B．2 C．3 D．4

二．填空题

?1. 方程组?x1?x2?x3?a1??x1?x2?x3?x4?a2有解的充要条件是 .

???2x2?2x3?x4?a3?x1?x2?a12. 方程组??x2?x3?a2有解的充要条件是 .

??x3?x1?a3三．计算

?x1?x2?x3?41.选择?，使方程组??2x1?x2?2x3?6无解.

???x1?x2?x3?5 14

）.

. ） 班级 姓名 学号 ??x1?x2?x3?1?2．问?取何值时，线性方程组?x1??x2?x3??有解？

?2?x1?x2??x3??

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班级 姓名 学号 §6 线性方程组解的结构

一．填空题

1.一个齐次线性方程组中共有n1个线性方程、n2个未知量，其系数矩阵的秩为n3，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 .

二．计算与证明

?ax1?x2?x3?a?3?1.讨论a取何值时，方程组?x1?ax2?x3??2有解，并求解.

?x?x?ax??223?1??1???x1?x2?x3?0?2. 问?取何值时，非齐次线性方程组 ?x1??1???x2?x3?3有无限多个解？并在有无穷

??x1?x2??1???x3??多解时求其通解.

?x1?x2?x3?4x4?3x5?0?2x?x?3x?5x?5x?0?123453. 求线性齐次方程组?的基础解系.

?x1?x2?3x3?2x4?x5?0??3x1?x2?5x3?6x4?7x5?0?x1?x2?x3?x4?1?x??x?x?x?2?12344. 设线性方程组为?讨论?为何值时，该线性方程组有唯一解？

x?x??x?x?334?12??x1?x2?x3?(??1)x4?1无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）。

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班级 姓名 学号 第三章 矩阵

§1-2 矩阵的概念与运算

一．选择题

1. 若矩阵A，B满足AB?O，则（ ）.

A.A?O或B?O；B.A?O且B?O；C．A?O且B?O；D.以上结论都不正确

2. 设A,B为n阶方阵，A?O，且AB?O，则（ ）.

A.B?O B.B?0或A?0 C．BA?O D.?A?B?2?A2?B2

3. 设A为3?4矩阵，B为2?3矩阵，C为4?3矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ A.BCTAT B.ACBT C．BAC D.ABC

4. 设A?12(B?E)，则A2?A的充要条件是（ ）. A. B?E； （B）B??E； C．B2?E； D. B2??E.

二．计算与证明 1. 设A??ab????cd???, 则当a,b,c,d满足何条件时,A?AT ？A?A2 ？为什么？ ??1a1??2. 设A??1a21?????，B???11?b1b2b?．计算AB及BA. n??1a?n??121??1?23?3．设A???122?????，B???1?2?4?, 则3AB?2B____________.

?1?11????311??

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。

） 班级 姓名 学号 §3 矩阵乘积的行列式与秩

一．选择题

1. 如果AB?BA?E，那么矩阵A的行列式A应该有（ ）.

A.A?0； B.A?0； C．A?k,k?1； D.A?k,k??1

2. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA? ( ).

A. kA； B. kA； C． knA D. |k|nA

3 A,B为n阶方阵，A?O，且R(AB)?0，则（ ）.

A.B?O； B.R(B)?0； C．BA?O；D.R(A)?R(B)?n.

二．证明

1．设A、B为同阶矩阵，求证：rank(A?B)?rank(A)?rank(B). 2．设A、B为n阶方阵，证明：如果AB?0，那么rank(A)?rank(B)?n. 3． 设A为n阶方阵，求证，rank(A?E)?rank(A?E)?n. 4.

n阶方阵A满足A2?2A?4E?O，若A?E的秩为n，证明：A?3E的秩也为n.

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班级 姓名 学号 §4 矩阵的逆

一．选择题

A111．设d?aij，Aij为aij的代数余子式, 则

A21A22...A2n.........An1...Ann=( ) .

A12...A1n...An2A.d B.?d C.dn?1 D．(?1)nd

2. 设A*为n(n?2)阶方阵A的伴随矩阵且A可逆，则结论正确的是（ ）.

A. (A*)*?|A|n?1A B. (A*)*?|A|n?1A

C．(A*)*?|A|n?2A D.(A*)*?|A|n?2A

3. 设A为n阶方阵A的伴随矩阵，则AA?（ ）.

*

*A.A B.A C．An2nn2?n D.An2?n?1

4. 设A、B为n阶方阵，则有（ ）.

A. A，B可逆，则A?B可逆 B. A，B不可逆，则A?B不可逆

C．A可逆，B不可逆，则A?B不可逆 D. A可逆，B不可逆，则AB不可逆

5. A，B，C是同阶方阵，且ABC?E，则必有（ ）.

A. ACB?E； B. BAC?E； C．CAB?E; D． CBA?E.

6. 若由AB?AC必能推出B?C（A,B,C均为n阶方阵），则A 满足( ).

A.A?0 B.A?O C．A?O D.AB?0

?17. 设A为任意阶(n?3)可逆矩阵，k为任意常数，且k?0，则必有(kA)?（ ）.

A.knA?1 B.kn?1A?1 C．kA?1 D.

1?1A k8. 设n阶矩阵A满足A2?A?2E?0，则下列矩阵哪些可能不可逆（ ），哪些一定可逆（ ）.

A. A?2E; B. A?E; C． A?E; D. A.

9. 设原方程组为AX?b，且R?A??R?A,b??r，则和原方程组同解的方程组为( ).

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班级 姓名 学号 A.ATX?b； B.QAX?b（Q为初等矩阵）；

C．PAX?Pb（P为可逆矩阵）； D.原方程组前r个方程组成的方程组.

二．填空题

1．设矩阵A可逆，且A?1，则A的伴随矩阵A的逆矩阵为 . 2. 设P、Q都是可逆矩阵，若PXQ?B，则X? . ?13. 设A为5阶方阵，且detA?3，则detA? ，det(AAT)? ，A的伴随

?

矩阵A的行列式det(A?)? .

*4. 设A为4阶矩阵，且A?2,则 2AA?____________.

??1?5. A为3阶矩阵，A?0.5，则(2A)?5A=（ ）.

三．计算与证明

1. 设n阶可逆方阵A的伴随方阵为A*, 试证：（1）detA??(detA)n?1； （2）(A?)??(detA)n?2A.

22. 若n阶矩阵A满足A?A?2E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?.

?123. 若n阶矩阵A满足A?2A?4E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?.

?14. 设A,B是n阶可逆矩阵, 证明: (1) (A)T?1?(A?1)T； (2) 乘积AB可逆.

*5. 已知n阶方阵A可逆，证明：A的伴随方阵A也可逆,且(A)*?1?(A?1)*.

20

班级 姓名 学号 §5 矩阵的分块

1. 设A，B均为n阶方阵，（1）计算 ??EE??A?0E???B??BA????E?E??0E??; （2）证明：ABBA?A?B?A?B.

2． 设A，B，C，D都是n阶矩阵，其中A?0并且AC?CA，证明：AC3．设X???0A??B0?，已知A,B均可逆，证明X可逆，并求其逆矩阵. ?4．已知A可逆，（1）证明??AA?A?A可逆，并其逆矩阵; ?????1111??1 （2）利用（1）求矩阵?1?11?1????11?1?1?. ?1?1?11??

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BD?AD?CB.

班级 姓名 学号 §6 初等矩阵

一．填空题

1．对矩阵施行一次初等行变换相当于在矩阵的 边乘一个相应的初等矩阵；对矩阵施行 一次初等列变换相当于在矩阵的 边乘一个相应的初等矩阵.

2． 利用初等变换求矩阵的逆矩阵时通常可用两种方式：（1）将矩阵A与E拼成形式 （2）将矩阵A与E拼 (AE)，此时将拼成的矩阵只能施行初等 变换将A化为E；

成形式??A??，此时将拼成的矩阵只能施行初等 变换将A化为E. E???A??E?经过一系列的初等列变换化为???，则C? . ?B??C?3．分块矩阵?4．分块矩阵?A二．计算

B?经过一系列的初等行变换化为?EC?，则C? .

1．用初等变换法判别下列矩阵是否可逆，可逆时求其逆矩阵：

?3?0（1）??5??23?4?3??1111??11?1?1?611?? （2）?? ?1?11?1?421????332?1?1?11???11?1??1?1???X??11?，求矩阵X.

22．设02???????1?10???21??

22

班级 姓名 学号 §7向量空间Fn的进一步讨论§8 向量空间Rn的内积、正交化和正交矩阵

1 向量??(a,b)'在基?1?(1,1)',?2?(0,1)'下的坐标是(a,b)，求基?1,?2到基?1,?2的过渡

矩阵= ，即(?1,?2)?(?1,?2)T， ?在基?1,?2的坐标= 2 n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

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班级 姓名 学号 §9 特征值和特征向量 矩阵的对角化

1 已知?1?(1,0,0,0),?2?(0,1,1,0), ?3?(0,1,1,1)，

?4?(0,0,1,1)是R4的一组基

用施密特正交化方法, 由?1,?2,?3,?4 构造R4的一组标准正交基. 2 对于矩阵

?22?2???A??25?4?

??2?45???求正交矩阵U ，使得U'AU为对角型矩阵.

24

班级 姓名 学号 第四章 二次型

§1 二次型及其矩阵表示

1．二次型f(x,y,z)??x2?y2?z2?xy?xz?yz的矩阵是_____ ______.

??1?2．二次型f(x1,x2,x3)??x1,x2,x3???4???3?n22i2232??1???x1?1???x2?的矩阵是_____ ______. 2??????x3??1???n?3. 二次型n?x???xi?的矩阵是_____ ______.

i?1?i?1?a114. 设A?aija12a22an2x2a1na2nannxnx1x2的矩阵是

??a21n?n. 二次型f?x1,x2,,xn??an1x1xn0

_____ ______.

5. 设A, B是两个同级的对称矩阵，证明：二次型XTAX可用非退化线性替换化为二次型

YTBY的充要条件是：A与B合同. 6. 证明：

??1??2? ???合同，其中i1,i2,

??? 与 ???n???i1???????i2???? ??in??,in是1,2,,n的一个排列.

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班级 姓名 学号 §2 标准型

1. 分别用配方法和初等变换法求一个非退化线性替换把二次型

2f(x1,x2,x3)?2x12?x2?4x2x3?4x1x2

化为标准形.

2. 给定二次型f(x,y,z)??4xy?2xz?2yz.

1） 将其化为标准型；

2） 指出f(x,y,z)?a2为什么曲面；

3. 设f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3, 求其在x1?x2?x3?1时的最大值与最小值. 4. 设A是一个n级矩阵，证明：

1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X有X'AX?0； 2）如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X'AX?0，那么A?0.

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班级 姓名 学号 §3 唯一性

1. 设n阶实对称矩阵A合同于一个主对角线上有p个正元素， r?p个负元素的对角矩阵，则二次型xTAx在复数域上的规范形是 ，在实数域上的规范形是 ，符号差为 . 2. 设f(x1,x2,2,xn)?l12?l2?22?lp?lp?1?2,2,?lp?q，其中li (i?1,p?q)是

x1,x2,,xn的一次齐次式. 证明：f(x1,x2,,xn)的正惯性指数?p，负惯性指数?q.

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班级 姓名 学号 §4 正定二次型

0??11??是正定阵，则k满足条件__________________.

01. A?1k????00k?2??2222. 当t满足条件什么条件时，二次型f?x1?2x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2tx2x3是正定

的?

3. 证明：n个变量的二次型f(x1,x2,子式都大于零.

4. 设A是n级实对称矩阵，证明：存在一正实数c使对任一个实n维向量x都有

,xn)???aijxixj是正定的充要条件是其一切主

i?1j?1nnxTAx?cxTx.

?n?25. 证明：n?xi???xi?是半正定的.

i?1?i?1?

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