圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳

第一、知识储备： 1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率k?tan?,??[0,?) ②点到直线的距离d?tan??k2?k11?k2k1Ax0?By0?CA?B22 ③夹角公式：

（3）弦长公式

直线y?kx?b上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离：AB?1?k2x1?x2

?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2] 或AB?1?1y1?y2 2k（4）两条直线的位置关系

①l1?l2?k1k2=-1 ② l1//l2?k1?k2且b1?b2 2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

x2y2 标准方程：??1(m?0,n?0且m?n)

mn 距离式方程：(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a 参数方程：x?acos?,y?bsin? (2)、双曲线的方程的形式有两种

x2y2 标准方程：??1(m?n?0)

mn 距离式方程：|(x?c)2?y2?(x?c)2?y2|?2a (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

2b22b22p 椭圆：；双曲线：；抛物线：aa(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

x2y2如：已知F1、F2是椭圆??1的两个焦点，平面内一个动点M满

43足MF1?MF2?2则动点M的轨迹是（ ）

A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：P在椭圆上时，S?FPF?b2tan

12?2 P在双曲线上时，S?FPF?b2cot

12?2|PF1|2?|PF2|2?4c2（其中?F1PF2??,cos??,PF1?PF2?|PF1||PF2|cos?）

|PF1|?|PF2|(6)、记住焦半径公式：（1）

椭圆焦点在x轴上时为a?ex0;焦点在y轴上时为a?ey0，可简记为“左加右减，上加下减”。

（2）双曲线焦点在x轴上时为e|x0|?a

（3）抛物线焦点在x轴上时为|x1|?,焦点在y轴上时为|y1|? (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题） 设A?x1,y1?x2y2、B?x2,y2?，M?a,b?为椭圆??1的弦AB中点则有

43p2p2x1yxyx?x2?1?1，2?2?1；两式相减得1434342222?22???y21?y232??0

??x1?x2??x1?x2?4???y1?y2??y1?y2?3?kAB=?3a 4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？

经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到

一个二次方程，使用判别式??0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元〃〃〃〃〃〃，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为y?kx?b，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2?5y2?80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为900可得出AB⊥AC，从而得x1x2?y1y2?14(y1?y2)?16?0，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；

解：（1）设B（x1,y1）,C(x2,y2),BC中点为(x0,y0),F(2,0)则有

22x12y12x2y2??1,??1 20162016两式作差有

(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??02016x0y0k??0 (1) 54F(2,0)为三角形重心，所以由

y0??2，代入（1）得k?6 5x1?x2y?y2?4?2，得x0?3，由1?0得33直线BC的方程为6x?5y?28?0

2)由AB⊥AC得x1x2?y1y2?14(y1?y2)?16?0 （2） 设直线

BC

方程为

y?kx?b,代入4x2?5y2?80，得

(4?5k2)x2?10bkx?5b2?80?0

?10kb5b2?80x1?x2?，x1x2? 224?5k4?5k8k4b2?80k2y1?y2?,y1y2? 代入（2）式得

4?5k24?5k249b2?32b?16b???0，解得或 b?4(舍)294?5k直线过定点（0，?)，设D（x,y），则

9y2?9x2?32y?16?0

49y?49?y?4??1，即xx所以所求点D的轨迹方程是x2?(y?4、设而不求法

16220)?()2(y?4)。 99例2、如图，已知梯形ABCD中AB?2CD，点E分有向线段

AC所成的比为?，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当2???334时，求双曲线离心率e的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念

和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设

x2y2?c?C? ,h?，代入2?2?1，求得h?ab?2?x2y2??1a2b2，

进而求得xE?,yE?,再代入

，建立目标函数

f(a,b,c,?)?0，整理f(e,?)?0，此运算量可见是难上加难.我们对h可

采取设而不求的解题策略,

建立目标函数f(a,b,c,?)?0，整理f(e,?)?0,化繁为简.

解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、

B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称

c?1依题意，记A??c, 0?，C?? ,h?，E?x0, y0?，其中c?|AB|为双

?2?2曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得

c?c??2????2?c， y??hx0?01??2???1?1??

ax2y2设双曲线的方程为2?2?1，则离心率e?caba由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e?c代入双曲线方程得

e2h2?2?1， 4b ①

2e24???2????h?????2?1 ??1??1????b ②

由①式得

h2e2??1， 4b2 ③

6、求根公式法 例5设直线l过点试求

AP的取值范围. PBPBx2y2P（0，3），和椭圆??1顺次交于

94A、B两点，

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP=?xA，但从此后却一

xB筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1: 从第一条想法入手，

APx=?A已经是一个关系式，但由于PBxB有两个变量xA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 求根公式 xA= f（k），xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB） 得到所求量关于k的函数关系式 由判别式得出k的取值范围

所求量的取值范围

简解1：当直线l垂直于x轴时，可求得

AP1??; PB5当l与x轴不垂直时，设A?x1,y1?,B(x2，y2)，直线l的方程为：

y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得9k2?4x2?54kx?45?0

??解之得

x1,2?27k?69k2?5?.

9k2?4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k?0的情形.

22?27k?69k?5?27k?69k?5， k?0当时，x1?，x2?229k?49k?4x1?9k?29k2?518kAP18所以 ==1???=1?PBx29k?29k2?59k?29k2?59?29?5.

k2由 ??(?54k)2?180?9k2?4??0, 解得 k2?，

59所以 综上

?1?1?189?29?5k2??1， 5?1?AP1??. PB5分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式

往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于

xAP??1不是关于x1,x2的对称关系式. 原因找到后，解决问题的PBx2方法自然也就有了，即我们可以构造关于x1,x2的对称关系式.

简解2：设直线l的方程为：y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB） 构造所求量与k的关系式 由判别式得出k的取值范围

关于所求量的不等式 ?9k则

2?4x2?54kx?45?0 （*）

??54k?x?x?,2??19k2?4 ??xx?45.12?9k2?4?令

x1k2 ??，则，??1?2?324.x2?45k2?2059在（*）中，由判别式??0,可得 k2?， 从而有

1???5. 5324k236，所以 4??45k2?205 4???1??2?36，解得 5结合0???1得???1. 综上，?1?AP1??. PB515点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.

第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

例6椭圆长轴端点为A,B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AF?FB?1，OF?1．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为?PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由。 思维流程：

（Ⅰ） 由 AF ? FB ? 1 ， OF ?1

由F为?PQM的重心 ( a ? c )( a ? c ) ? 1 ， c ? 1

a?2,b?1 写出椭圆方程 PQ?MF,MP?FQ kPQ?1

（Ⅱ）

?y?x?m ?22 ?x?2y?2

消元

得出关于 m的方程 解出m 3x2?4mx?2m2?2?0 两根之和， 两根之积 MP?FQ?0

解题过程：

x2y2（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),则c?1

ab又∵AF?FB?1即 (a?c)?(a?c)?1?a2?c2，∴a2?2

x2故椭圆方程为?y2?1

2 （Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为?PQM的垂心，则

设P(x1,y1),Q(x2,y2)，∵M(0,1),F(1,0)，故kPQ?1， 于是设直线l为

3x2?4mx?2m2?2?0

?y?x?my?x?m，由?2得，2?x?2y?2∵MP?FQ?0?x1(x2?1)?y2(y1?1) 又yi?xi?m(i?1,2) 得x1(x2?1)?(x2?m)(x1?m?1)?0 即

2x1x2?(x1?x2)(m?1)?m2?m?0 由韦达定理得 2m2?24m2??(m?1)?m2?m?0

33解得m??或m?1（舍） 经检验m??符合条件．

点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．

例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过

?3?A(?2,0)、B(2,0)、C?1,?三点． ?2?4343（Ⅰ）求椭圆E的方程：

（Ⅱ）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(?1,0),H(1,0)，当ΔDFH内切圆的面积最大时，求ΔDFH内心的坐标；

思维流程： （Ⅰ） 得 到 m ,nm ,n 解出

由椭圆经过A、B、C三点 设方程为mx2?ny2?1 的方程

（Ⅱ） 由 ? DFH 内切圆面积最大 转化为 ? DFH 面积最大 转化为点 D 的纵坐标的绝对值最大最大 D为椭圆短轴端点

解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为mx2?ny2?1?m?0,n?0?，将

3A(?2,0)、B(2,0)、C(1,)代入椭圆E的方程，得

2得出D点坐标为?0,??DFH面积最大值为3 S?DFH1??周长?r内切圆 2r内切圆?3 3???3?? 3???4m?1,11x2y2?解得m?,n?.∴椭圆E的方程??1 ． ?94343m?n?1??4

（Ⅱ）|FH|?2，设ΔDFH边上的高为S?DFH??2?h?h

当点D在椭圆的上顶点时，h最大为3，所以S?DFH的最大值为3． 设ΔDFH的内切圆的半径为R，因为ΔDFH的周长为定值6．所以，

S?DFH?1R?6 212 所以R的最大值为3．所以内切圆圆心的坐标为(0,3)33. 12点石成金：S?的内切圆???的周长?r?的内切圆

0)及椭圆x2?3y2?5，过点C的动直线与椭圆例8、已知定点C(?1，相交于A，B两点.

（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是?，求直线AB的方程； （Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MA?MB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 思维流程：

（Ⅰ）解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y?k(x?1)， 将y?k(x?1)代入x2?3y2?5， 消去y整理得

B(x2，y2)， 设A(x1，y1)，12(3k2?1)x2?6k2x?3k2?5?0.

???36k4?4(3k2?1)(3k2?5)?0， (1) ?则? 6k2?x1?x2??2. (2)3k?1?1x1?x23k21??2??，解得由线段AB中点的横坐标是?， 得

223k?12k??33，符合题意。

所以直线AB的方程为 x?3y?1?0，或 x?3y?1?0. （Ⅱ）解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA?MB为常数.

① 当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知

6k23k2?5x1?x2??2， x1x2?2. (3)

3k?13k?1所以MA?MB?(x1?m)(x2?m)?y1y2?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?1)(x2?1) ?(k2?1)x1x2?(k2?m)(x1?x2)?k2?m2.将(3)代入，整理得

114(2m?)(3k2?1)?2m?(6m?1)k?533?m2MA?MB??m2?223k?13k?1216m?14?m2?2m??. 233(3k?1)注意到MA?MB是与k无关的常数， 从而有6m?14?0，m??， 此时

4MA?MB?.

973② 当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为

742??2??m??MA?MB?. ，当时， 亦有?1，、?1，?????393??3??? 综上，在x轴上存在定点M??，0??，使MA?MB为常数.

?7?3114(2m?)(3k2?1)?2m?(6m?1)k?5233?m2 点石成金：MA?MB??m?3k2?13k2?12 ?m2?2m??16m?14.

33(3k2?1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

思维流程：

x2y2解：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)

ab?a?2b2?x2y2??a?8则?41解得?2 ∴椭圆方程为??1

82??1?b?2??22b?a（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM= ?l的方程为：y?x?m

1?y?x?m??由?222?x2?2mx?2m2?4?0 ?x?y?1?2?81212∵直线l与椭圆交于

A、B两个不同点，

???(2m)2?4(2m2?4)?0,解得?2?m?2,且m?0（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可

设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1?x2??2m,x1x2?2m2?4 则k1?y1?1y?1 ,k2?2x1?2x2?2由x2?2mx?2m2?4?0可得

x1?x2??2m,x1x2?2m2?4

而k1?k2?y1?1y2?1(y1?1)?(x2?2)?(y2?1)(x1?2) ??x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)

11(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)2?2(x1?2)(x2?2)?x1x2?(m?2)(x1?x2)?4(m?1)(x1?2)(x2?2)

2m2?4?(m?2)(?2m)?4(m?1)?(x1?2)(x2?2)2m2?4?2m2?4m?4m?4??0 (x1?2)(x2?2)?k1?k2?0故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形?k1?k2?0

x2y223例10、已知双曲线2?2?1的离心率e?，过A(a,0),B(0,?b)的直

3ab线到原点的距离是

3. 2 （1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y?kx?5(k?0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 思维流程： 解：∵（1）

d?aba2?b2c23?,a3?3.ab?c原点到直线AB：

xy??1ab的距离

3.2.

?b?1,a? 故所求双曲线方程为 （2）把

x2?y2?1.3

中消去

y?kx?5代入x2?3y2?3y，整理得

(1?3k2)x2?30kx?78?0.

设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则

x0?kBEx1?x215k5??y?kx?5?,0021?3k21?3k2y?11?0??.x0k

?x0?ky0?k?0,

15k5k2??k?0,又k?0,?k?7 即

1?3k21?3k2故所求k=±7.

点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上?BC=BD?BE⊥CD; 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是

左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

思维流程：

x2y2解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，

ab

由已知得：a?c?3，a?c?1，

x2y2 ?椭圆的标准方程为??1． 22243?b?a?c?3a?2，c?1，（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

?y?kx?m，联立? ?x2y2?1.??3?4得 (3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，则

????64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，即3?4k2?m2?0，? 8mk?，?x1?x2??23?4k??4(m2?3).?x1x2?3?4k2?

3(m2?4k2)又y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?． 23?4k22因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，

?kADkBD??1，即

y1y2???1. ?y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0． x1?2x2?23(m2?4k2)4(m2?3)15mk????4?0． ?7m2?16mk?4k2?0． 2223?4k3?4k3?4k解得：m1??2k，m2??2k，且均满足3?4k2?m2?0． 70)，与已知矛盾； 当m1??2k时，l的方程y?k(x?2)，直线过点(2，当m2??2k2??2?时，l的方程为y?k?，直线过定点x?0?． ???，777?????所以，直线l过定点，定点坐标为?0?． ?，?2?7点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点? CA⊥CB; 例

x2y212、已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右两个焦点分别为F1、F2,

ab点P在双曲线右支上. （Ⅰ）若当点P的坐标为(34116,)时,PF1?PF255,求双曲线的方程；

（Ⅱ）若|PF1|?3|PF2|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐

进线方程. 思维流程：

解：（Ⅰ）(法一)由题意知,PF1?(?c?3411634116,?), PF2?(c?,?), 5555?PF1?PF2,?PF1?PF2?0,?(?c?34134116)(c?)?(?)2?0 555（1分）

解得

c2?25,?c?5. 由双曲线定义得:

|PF1|?|PF2|?2a,

?2a?(?5?341216341216)?(?)2?(5?)?(?)25555?(41?3)2?(41?3)2?6,?a?3,b?4

?所求双曲线的方程为:

x2y2??1 916

(法二) 因PF1?PF2,由斜率之积为?1,可得解. （Ⅱ）设|PF1|?r1,|PF2|?r2, (法一)设P的坐标为

(x?,y?), 由焦半径公式得

,

r1?|a?ex?|?a?ex?,r2?|a?ex?|?ex??a2a22a2?r1?3r2,?a?ex??3(ex??a),?x???a,?2a?c， ,?x??a,?cc?e的最大值为2,无最小值.

cbc2?a2?e2?1?3, 此时?2,?aaa?此时双曲线的渐进线方程为y??3x

(法二)设?F1PF2??,??(0,?].

?2c?4r2, (1)当???时, ?r1?r2?2c,且r1?3r2，2a?r1?r2?2r2

此时

e?2c4r2??2. 2a2r2（0，?）(2)当??,由余弦定理得:

2（2c）?r1?r2?2r1r2cos??10r2?6r2cos?2222?

e?2cr2?10?6cos?10?6cos???2a2r22,

?cos??(?1,1),?e?(1,2),综上,e的最大值为2,但e无最小值. (以下

法一)

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