三 07-08高数B2试卷(A)(答案)

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东莞理工学院（本科）试卷（A 卷）（答案及评分标准）

2007 --2008学年第二学期

《高等数学（B ）Ⅱ》试卷

开课单位：软件学院，考试形式：闭、开卷，允许带 入场

一、填空题 （共 ?分 每题 分）

极限=?→200d sin lim x t

t x

x ? 2

1 ?。 ? 广义积分=?

10d 1x x ? 发散 ?（收敛、发散）。 函数x y z -=1

的定义域为（ {}

R y x y x y x ∈<,,),(2 ）。 函数),(y x f z =在点),(y x 的偏导数

y

z x z ????, 连续，则该函数在该点是否可微分（ 是 ）。 ．级数∑∞

=+12)1(2sin n n n 是（ 绝对收敛 ）（绝对收敛、条件收敛）。 ．级数∑∞

=-1)1(n n

n x 的收敛域是（ )2,0[ ）。

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? ．微分方程y x xe y -='22的通解是（C e e x y +=2

（ 为任意常数））。 ．微分方程x e y y y =-'-''32的特解形式是x be y =*，则=b （ 4

1- ）。 二、 计算题（共 ?分 每题 分）

１． 求积分x x x d 131

0 2?+。 解：2ln 61)(1ln 61)d(11161d 1310221 0 21

0 2=+=++=+??x x x x x x （ 分） （ 分） （ 分）

．求积分x x x d ln e

1 ?。 解：2e 1 e 1 d ln 2

1d ln x x x x x ??= （ 分） )1(4

1)21(21)d 1ln (212122e 1 212+=-=?-=?e x e x x x x x e

e （ 分） （ 分） （ 分）

．已知函数v u e z 2-=，而3,sin x v x u ==，求x

z d d 。 解：x

v v z x u u z x z d d d d d d ???+???=2223)2(cos x e x e v u v u ?-+?=-- （ 分） （ 分）

)6(cos 22sin 3x x e x x -=- （ 分）

．已知方程xyz e z =，求y

z x z ????,。 解：方程两边对?求导数，得x

z xy yz x z e z ???+=???（ 分） 整理，得xy

e yz x z z -=??；（ 分）

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? 方程两边再对?求导数，得y

z xy xz y z e z ???+=???（ 分） 整理，得

xy e xz x z z -=??。（其中 由方程xyz e z =决定）（ 分） ． 计算二重积分

??-D x x σd )6(，其中 是由x y =，x y 4=，1=x 所围成的区域。

解：??-D

x x σd )6(??-=x x y y x x 410d )6(d x x y xy x 4210)3(d -=? （ 分） （ 分）

?=102)d 6(x x -1032x -=2-=

（ 分） （ 分）

．计算二重积分y x y y D

d d sin ??，其中 是由x y = 2x y =及1=y 所围成的区域。 解：y x y y D

d d sin ????=y y x y y y 210d sin d y y x y y y 210d sin ?=??-=10d )2(sin y y y y y （ 分） （ 分）

?=10d sin y y 10cos y -=1cos 1-=

（ 分） （ 分）

．判断级数n n n n )1

2(

1∑∞=+的敛散性。 解：根式判别：=+∞→n n n u lim n

n n n n )12(lim ++∞→12

112lim <=+=+∞→n n n （ 分） （ 分） （ 分）

故原级数收敛。（ 分）

．判断级数∑∞

=1!5n n

n 的敛散性。

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? 解：比值判别：n n n u u 1lim ++∞→)!1(!55lim 1+?=++∞→n n n n n 101

5lim <=+=+∞→n n （ 分） （ 分） （ 分）

故原级数收敛。（ 分）

? 求幂级数∑∞=-11n n nx

的收敛域及和函数

解：设∑∞=-=11)(n n nx

x S ，则)1()()()(1111'-='='==∑∑∑∞

=∞=∞

=-x x x x nx x S n n n n n n ， （ 分） （ 分）

所以)1()1(1)1()1()1()(22<-=----=

x x x x x x S （ 分）

?? 求微分方程x y y =-'满足初始条件10-==x y 的特解

解：为一阶线性微分方程，

)d )((d )(d )(C x e x Q e y x x p x x p +=???-（ 分）

)d (d d C x e x e x x +=??-?)d (C x e x e x x +=-?（ 分）

C e xe x x +--=--，将10-==x y 代入，得1=C ，

（ 分） （ 分）

故满足条件的特解为1+--=--x x e xe

y 。（ 分） ?? 求微分方程x e y y -='+''的通解

解：可降解的微分方程。令)(x p y =

'，则)(x p y '=''，（ 分） 原方程变形为：

x e p p -=+'，为一阶线性微分方程， )d )((d )(d )(C x e x Q e p x x p x x p +=???-

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?

)d (1d d C x e e e x x x +=???--)d (1C x e e e x x x +=?--)(1C x e x +=-，

（ 分） 所以x C x e y

x d )(1?+=-21C e C e xe x x x +---=---（ 分）

23C e C xe x x ++-=--)1(13--=C C （ ， 为任意常数）

（ 分）

?? 求微分方程054=+'-''y y y 的通解

解：相应的特征方程为0542

=+-r r

，（ 分）

得i r

±=2，

（ 分） 所以其通解为)sin cos (212x C x C e y x

+=（ ， 为任意常数）

（ 分）

三、 应用题 （共 ??分 每题 ?分）

．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告。根据统计资料，销售收入 （万元）与电视广告费用? （万元）及报纸广告费用? （万元）之间的关系有如下的经验公式

2

22

121211028321415x x x x x x R ---++= 若广告费用为 ?万元时，求相应的最优广告策略。 解：

令

)5.1(1028321415),,(212

221212121-+----++=x x x x x x x x x x L λλ，

（ 分）

,,05.1020832,0481421112

121

????

?????=-+=---=??=---=??x x x x x L

x x x L

λλ 有惟一驻点??

?==.5.1,021x x （ 分） （

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? 分）

依题意，惟一驻点就是最大值点。（ 分）

所以（略）

．求由抛物线2x y =与2

4x x y -=所围图形的面积。 解：如图，求交点???-==2

2

4x x y x y )4,2(),0,0(

（ 分） （ 分） （ 分） ?--=202

2d ])4[(x x x x A ?-=202d )24(x

x x （ 分）

（ 分） 38

)322(2032=-=x x 。（ 分）

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