§3.2.2立体几何中的向量方法(2)及详解——空间向量与平行关系

高二理科数学

班别： _____________

导学案

空间向量与平行关系

学号： _____________

姓名： ___________

§3.2立体几何中的向量方法（2）

一、学习目标

1．掌握运用方向向量和平面法向量证明平行问题的方法．

2．能用向量语言表达线线、线面、面面的平行关系． 二、问题导学

问题1：怎样证明两个向量平行？

?????问题2：若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2，怎样证明两条直线平行？

?????问题3：若两个平面?1、?2的法向量向量分别为n1、n2，怎样证明两个平面平行？

????问题4：若直线l1的方向向量分别为a1，平面?1的法向量向量分别为n1，怎样证明直线

和平面平行？ 三、例题探究

例1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MN∥BD.

例2． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

1

变式：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.

例3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．求证：平面A1BD∥平面CD1B1.

四、练一练（时间：5分钟）

1．若A(?1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( ) A．l∥α B．l?α C．l⊥α A．2

D．l?α或l∥α B．－4 C．4

D．－2

3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( ) 4．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.

ADBD1OC1B1A1DACBD1A1B1C1C????????????5．若AB??CD??CE(?,??R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是 。

【参考答案】§3.2立体几何中的向量方法（2）

2

空间向量与平行关系

一、学习目标

1．掌握运用方向向量和平面法向量证明平行问题的方法．

2．能用向量语言表达线线、线面、面面的平行关系． 二、问题导学

问题1：怎样证明两个向量平行？

?????问题2：若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2，怎样证明两条直线平行？

?????问题3：若两个平面?1、?2的法向量向量分别为n1、n2，怎样证明两个平面平行？

????问题4：若直线l1的方向向量分别为a1，平面?1的法向量向量分别为n1，怎样证明直线

和平面平行？

三、例题探究

例1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MN∥BD.

[证明] 以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系如图． 1

设正方体棱长为1，则B(1,1,0)，M(1,1，)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，

2∵N是A1C中点，

111?→111→→

，，，DB＝(1,1,0)，NM＝?，，0?＝DB， ∴N??222??22?2→→

∴NM∥DB，显然MN与DB不共线，∴MN∥DB.

例2． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

3

D1A1DANB1C1MCB [证明] 证法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y10，1，?， 轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M?2??

1?N??2，1，1?，D(0,0,0)、A1(1,0,1)、B(1,1,0)， 11→→→

，0，?，DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)． 于是MN＝?2??2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．

??x＋z＝0→→

则n·DA1＝0，且n·DB＝0，∴?，

?x＋y＝0?

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． 11→

，0，?·又MN·n＝?2?(1，－1，－1)＝0， ?2→

∴MN⊥n，∵MN?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD.

1→→→→1→1→1→→

证法二：∵MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝DA1，

2222→→

∴MN∥DA1，又∵MN?平面A1BD. ∴MN∥平面A1BD.

→1→→

证法三：由证法二知，MN＝DA1＋0·DB，

2

→→→→→→

即MN可用DA1与DB线性表示，故MN与DA1、DB是共面向量． →

∴MN∥平面A1BD，又MN?平面A1BD，即MN∥平面A1BD.

4

变式：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1. →→

[证明] 方法一： ∵B1C＝A1D，B1?A1D， ∴B1C∥A1D，又A1D?平面ODC1， ∴B1C∥平面ODC1. 方法二：

→→→→→→→→→∵B1C＝B1C1＋B1B＝B1O＋OC1＋D1O＋OD＝OC1＋OD. →→→

∴B1C，OC1，OD共面．

又B1C?平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1. 方法三：

建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 11?

B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O??2，2，1?，C1(0,1,1)， 11→→

－，－，－1?， B1C＝(－1,0，－1)，OD＝?2?2?11→

－，，0?. OC1＝??22?

设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，

AxD1OC1B1A1DACBD1zOC1B1A1DBCy?

则?得?11→?OC＝0，?－x＋y＝0， ②?n·

22

→?OD＝0，?n·

1

0

0

11

－x0－y0－z0＝0，①22

令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)． →

又B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， →

∴B1C⊥n，且B1C?平面ODC1， ∴B1C∥平面ODC1.

[点评] (1)证明直线l1∥l2时，分别取l1、l2的一个方向向量a、b，则a∥b?存在实a1a2a3数k，使a＝kb或利用其坐标＝＝(其中a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．

b1b2b3

(2)证明直线l∥平面α时，

①可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0；

②可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明直线l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明l

5

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