初中数学压轴题汇总与解答方法(1)

一、函数与几何综合的压轴题

1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上；

(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.

(3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交

于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

A

（2，-6）

A （2，-6） 图②

B O E C（1，-3） C（1+k，-3）

D x B O E′ D x y y 图①

2. 已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.

（1）求点A的坐标；

（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；

（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若

S1h?，抛物线 S24y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析

式. y A B ·M x D C

y A B ·M x D C

3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)过点A、B，且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧AB的长； (2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；y 若不存在，请说明理由.

⌒[解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.

在Rt△PMB中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120° AB的长＝

⌒A O B x · P（1，－1） C 120?4????2? 180?3y （2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝3. 又OM=1，∴A（1－3，0），B（1＋3，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上， 则C(1，－3).

点A、B、C在抛物线上，则

C A M B x · P（1，－1） O ?0?a(1?3)2?b(1?3)?c?a?1???20?a(1?3)?b(1?3)?c 解之得?b??2 ??c??2??3?a?b?c????抛物线解析式为y?x2?2x?2

（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.

又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.

又点D（0，－2）在抛物线y?x?2x?2上，故存在点D（0，－2）， 使线段OC与PD互相平分.

4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径

2

的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q. （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.

（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. y

C E

Q A O1 [解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，

∴△AOC≌△COB.

2

OB. ∴OC＝OA·

∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3), ∴(3)2?3OBOB. ∴OB＝1.∴OA＝3.

∴A(-3,0),B(1,0).

设抛物线的解析式为y?ax?bx?c.

2F x O O2 B y E M 3 1 2 4 C Q F x ?3a??,?3?9a?3b?c?0,??2?3, 则?a?b?c?0,解之，得?b??3???c?3.?c?3.??∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y??A O1 P O O2 B 322x?3x?3. 33(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.

证明：连结O1E、OE、OF.

, ∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°

∴四边形EOFC为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF与⊙O1相切. 同理：EF理⊙O2相切.

(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ∵MN∥OA,

∴△CMN∽△CAO.

MNCN?. AOCOa3?a∴?. 3333?3解之，得a?.

2∴

此时，四边形OPMN是正方形. ∴MN?OP?∴P(?33?3. 233?3,0). 2考虑到四边形PMNO此时为正方形，

∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.

故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且

P(?33?3,0)或P(0,0). 21523，)，P是以AC为485.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(

对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．

(1)说明点A、C、E在一条条直线上；

(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；

(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围． (本题图形仅供分析参考用)

1[解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=x+1. 21512323将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，428811523右边=×+1=，

248Y D A B O X C P ∵左边=右边，∴点E在直线y=在一条直线上.

1x+1上，即点A、C、E 2 （2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，

而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下

4a—b2解法二：∵抛物线y=ax+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内

4a2

4a—b2b2b2部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.

4a4a4a（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴

11GO·AO—FO·AO=3 ∵OA=1，22∴GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=

1＜0，∴x1＜0＜x2， aY D A C P E B F O G X ∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6， bb即x2+x1=6，∵x2+x1= — ∴—=6，

aa∴b= —6a,

∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部， ∴1＜1—9a＜3, ∴—

由方程组

2＜a＜0. 9y=ax2—6ax+1 1y=x+1 26a?12=6+1. a2a得：ax2—（6a+

1）x=0 2∴x=0或x=

当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交 点，则有：0＜6+

综合得：—

15112≤，解得：—≤a＜— 4122a91124＜a＜— ∵b= —6a，∴＜b＜

122936.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动. （1）求⊙A的半径；

（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；

（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；

y

（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.

[解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o

再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2 (2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx

任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得： b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1， ∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x

又由r＝2，易得C(2，0)或C(－2，0)

由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1 ∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x

……6分

(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0) 过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，

又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分 ∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)

(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2， 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m， ∴S＝

2(2?m)(?m)?m2?2m

2

同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；

?m2?2m(m?0或m?2)∴S＝? 又若C(－2，0)， 2??m?2m(0?m?2)?m2?2m(m??2或m?0)此时l为y＝x，同理可得；S＝? 2??m?2m(?2?m?0)

A A

7.（2006江苏连云港）如图，直线y?kx?4与函数y?B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．

m(x?0,m?0)的图像交于A、x（1）若?COD的面积是?AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)．若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

[解]（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)(其中x1?x2,y1?y2)，

由S?COD?2S?AOB，得S?COD?2(S?AOD?S?BOD) ∴

CA111OD·OC·OD·OD?2(·y1?·y2)，OC?2(y1?y2)， ·

222PBDO又OC?4，∴(y1?y2)2?8，即(y1?y2)2?4y1y2?8， mm由y?可得x?，代入y?kx?4可得y2?4y?km?0 ①

yx

∴y1?y2?4，y1?y2??km， ∴16?4km?8，即k??2． mCA又方程①的判别式??16?4km?8?0， ∴所求的函数关系式为k??2(m?0)． mPBND（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)． O M则AP?BP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N． ∵?MAP与?BPN都与?APM互余，∴?MAP ??BPN． ∴Rt?MAP∽Rt?NPB，∴

AMMP． ?PNNBy12?x1mm??2)?y1y2?0， ∴，∴(x1?2)(x2?2)?y1y2?0， ∴(?2)(x2?2y2y1y2即m2?2m(y1?y2)?4y1y2?(y1y2)2?0 ②

由（1）知y1?y2?4，y1?y2?2，代入②得m2?8m?12?0，

?m?2?2?m?61， ∴m?2或6，又k??，∴?或?

k??m?k??1?3?

?m?2??m?61． ∴存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点P(2,0)，且?或?

k??

?k??1?3?

8.（2004江苏镇江）已知抛物线y?mx2?(m?5)x?5(m?0)与x轴交于两点

A(x1,0)、B(x2,0)(x1?x2)，与y轴交于点C，且AB=6.

（1）求抛物线和直线BC的解析式.

（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若

P过A、B、C三点，求P的半径.

（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MN?x轴于点N，使?MBN被直线BC

分成面积比为1?3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[解]（1）由题意得：x1?x2?m?5?5,x1?x2?,x2?x1?6. mm2?m?5?20(x1?x2)2?4x1x2?36,??36, ??mm??解得m1?1,m2??.

经检验m=1，∴抛物线的解析式为：y?x?4x?5. 2或：由mx?(m?5)x?5?0得，x?1或

257y O x x??5 mm>0, ?1??5?6,?m?1. m?抛物线的解析式为y?x2?4x?5.

由x?4x?5?0得x1??5,x2?1. ∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）. 设直线BC的解析式为y?kx?b, 则?2?b??5,?b??5, ???k?b?0.?k?5.∴直线BC的解析式为y?5x?5.

(2)图象略.

（3）法一：在RtDAOC中，

OA?OC?5,??OAC?45?.

??BPC?90?.

又BC?OB2?OC2?26, ∴

P的半径PB?26?2?13. 22法二：

由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线y?x?4x?5的对称轴直线x??2上，设P（－2，－h）（h＞0），

连结PB、PC，则PB?(1?2)?h,PC?(5?h)?2， 由PB?PC，即(1?2)2?h2?(5?h)2?22，解得h=2.

22222222?P(?2,?2),?P的半径PB?(1?2)2?22?13. 法三：

P于点F.

CF为P的直径，??CAF??COB?90?. 又?ABC??AFC,?DACF~DOCB.

延长CP交

?CFACAC?BC?,?CF?. BCOCOC又AC?52?52?52,CO?5,BC?52?12?26,?

?CF?52?26?213.

5?P的半径为13.

（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为(t,t?4t?5),则点E的坐标为

2(t,5t?5).

若SDMEB:SDENB?1:3,则ME:EN?1:3.

?EN:MN?3:4,?t2?4t?5?4(5t?5). 3

解得t1?1（不合题意舍去），t2?5?540?,?M?,?. 3?39?若SDMEB:SDENB?3:1,则ME:EN?3:1.

?EN:MN?1:4,?t2?4t?5?4(5t?5).

解得t3?1（不合题意舍去），t4?15,?M?15,280?.

?540??存在点M，点M的坐标为?,?或（15，280）.

?39?

0)、B(1，0)，直径CD9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(?3，⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.

(1) 若抛物线y??x2?2x?m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标. (2) 求直线DF的解析式.

(3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.

[解] (1) ∵抛物线过A、B两点，

m ∴(?3)?1?，m=3.

?1y D F M ∴抛物线为y??x?2x?3.

N 2 又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点. 4). ∴D点坐标为(?1，O G E x A C （第9题图）

(2) 由题意知：AB=4.

∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1. 由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC， ∴NC×4=2×2. ∴NC=1. ?1). ∴C点坐标为(?1，设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.

∵GC、GF是切线， ∴GC=GF. ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF=GP. ∴GC=GP. 可得CP=8.

?1) ∴P点坐标为(7，M N A C 4 y D F 3 2 设直线DF的解析式为y?kx?b

O 1 x G P E ?k??5???k?b?4?8则? 解得? ?7k?b??1?b?27??8527∴直线DF的解析式为：y??x?

88(3) 假设存在过点G的直线为y?k1x?b1， 则3k1?b1??1，∴b1??3k1?1.

?y?k1x?3k1?12由方程组? 得x?(2?k1)x?4?3k1?0 2y??x?2x?3?由题意得?2?k1?4，∴k1??6. 当k1??6时，???40?0， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.

10.（2004山西）已知二次函数y?12x?bx?c的图象经过点A（－3，6），并与2x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P.

（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[解] （1）解：∵二次函数y?x2?bx?c的图象过点A（－3，6），B（－1，0）

?9?3b?c?6?b??1??2?得? 解得?3 c???1?b?c?0??2??2y 12O x

∴这个二次函数的解析式为：y?123x?x? 22由解析式可求P（1，－2），C（3，0） 画出二次函数的图像

（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°

又已知：∠DPC＝∠BAC ∴△DPC∽△BAC ∴

DCPC? 易求AC?62,PC?22,BC?4 BCAC445?5?∴DC? ∴OD?3?? ∴D?,0?

333?3? 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.

设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证△AEB∽△PFD、

PEEB?. 易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2 PFFD225?5?∴FD? ∴OD??1? ∴D?,0?

333?3?∴

（3）存在.

（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T

∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心， ∴MG＝MH＝OM 又∵MC?2OM且OM＋MC＝OC

∴2OM?OM?3,得OM?32?3 ∴M32?3,0

（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′ 同理OM′＋OC＝M′C，OM??OC???2OM?

得OM??32?3 ∴M′?32?3,0 即在x轴上存在满足条件的两个点.

??

y 6 5 4 3 2 M′ 1 E B -3 -2 -1 0 -1 -2 T H C F M 1 D 2 3 G P x S 11.（2004浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.

（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；

（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值； （3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.

y [解] （1）y?x2?2x?3，顶点坐标为（1，－4）.

（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3）， 即y＝ax2－2ax－3a，

∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a）， M（1，－4a）， ∴ S△ACB＝

C M A O B x 1×4×?3a＝6a， 2而a＞0， ∴ S△ACB＝6A、

作MD⊥x轴于D，

又S△ACM＝S△ACO ＋SOCMD －S△AMD＝∴ S△ACM：S△ACB＝1：6.

（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k， 有菱形可知a?k＝k，a＋k＞0，k＜0， ∴ k＝?111·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a， 222a， 2a， ∴ EF?2. 2∴ y＝ax2－2ax＋

记l与x轴交点为D，

若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝

6， 666，a＝， 63126∴ 抛物线的解析式为y?. 6x2?6x?336∴ k＝－

若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝∴ k＝－

6， 26，a＝6， 26x2?26x?6. 2∴ 抛物线的解析式为y?②当抛物线开口向下时，同理可得

126626x2?6x?，y??6x?26x?. 336212.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y的图象与?kx?4ky??x轴交于点A，抛物线y?ax?bx?c经过O、A两点。 （1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上

2

是否存在这样的点P，使得∠？若存在，求出点P的坐标；若不POA?∠OBA存在，请说明理由。

43[解] （1）解法一：∵一次函数y的图象与x轴交于点A ?kx?4k ∴点A的坐标为（4，0）

∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 ? c?0，164ab??0 ? b??4a 解法二：∵一次函数y的图象与x轴交于点A ?kx?4k ∴点A的坐标为（4，0）

∵抛物线y?ax?bx?c经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线x ?22b?2 2a ? b??4ax?? ? （2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y ?ax?4ax ∴点D的坐标为（2，?4a） ①当a时， ?0

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称 ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切 ∴点O为切点 ∴D'O⊥OD

∴∠DOA＝∠D'OA＝45° ∴△ADO为等腰直角三角形

2⌒⌒⌒OD?22 ?

∴点D的纵坐标为? 2??4a??2 1??a，b??4a??2212 ∴抛物线的解析式为y?x?2x

2 ②当a时， ?0 同理可得：O D?22 抛物线的解析式为y? ?x?2x 综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为y?x?2x或

12212212y??x?2x

2 （3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠ POA?∠OBA 设点P的坐标为（x，y），且y＞0

①当点P在抛物线y?x?2x上时（如图2）

∵点B是⊙D的优弧上的一点

431221∠ADO?45? 24∠POA?∠OBA??60 ?

3 ?∠OBA? 过点P作PE⊥x轴于点E

?tan∠POE? ?EPOE

y?tan60?x?y?3x?y?3x?x4?23?x0??1?2?， 由?解得：?（舍去） ?12y?0?y6?43?2?y?x?2x1??2?

∴点P的坐标为4 ?23，6?43 ②当点P在抛物线y??x?2x上时（如图3）

同理可得，y?3x

??122?y?3x?x4?23?x0??1?2? 由?解得：（舍去） ，??12y?0?y??643?2?y??x?2x1??2??23，?6?43 ∴点P的坐标为4

综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为

???23，6?43?23，?6?43 4或4

????

13.（2005北京丰台）在直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。

（1）如图，过点A作⊙O1的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为

y （2）若⊙O1经过点M（2，2），设?BOA B 的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值 O1 是否会发生变化，如果不变，求出其值， 如果变化，求其变化的范围。 O A x [解] （1）如图1，过O作O于 C G??B 12式；

123，sin?ABC?，求直线AC的解析55G?G，则O5

A?3k(k??0),?AOB?90??,sinABC? 设O

35BkO?5，B?4k ?A

? OA?OB?AB?OG?2S,?3k?4k?5?,?k?1?AOB ? OA?3，OB?4，AB?5 ?（3，0） A125?AOB?90?,? ?AB是⊙O1的直径

BA?AC,??BAC?90? ?切⊙O1于A，? AC 在R中 t?ABCAB425?cos?ABC??,?BC?BC54

9?OC?BC?OB?4 ?C(0，?)

设直线AC的解析式为y，则 ?kx?b94?3k?b?0? ?9

b???4?39??k，b??

443494 ?直线AC的解析式为y?x? （2）结论：d的值不会发生变化 ?AB 设?的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示 AOB y B M O1 Q T P O A N x

图2

?BQ?BT，AP?AT，OQ?OP? ?BQ?BT?OB?d2dd,AP?AT?OA? 22dd?AB?BT?AT?OB??OA??OA?OB?d22

则d ?AB?d?OA?OB?d?OA?OB 在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN ?平分? AOB,??OM22M(2,2),?OM

???BOM??MON45?,?AM?BM

又???MAN?OBM,OB?AN?BOM??ANM,??BOM??ANM?45?,?ANM??MON ?

? OM?NM,?OMN?90?

22 ?OA?OB?OA?AN?ON?OM?MN?2?OM?2?22?4 ?的值不会发生变化，其值为4。 d?ABk

14.（2005福建厦门）已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ (k＞

x

0)上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，n4

0）(a＞m). 设△OPA的面积为s，且s＝1＋.

4 （1）当n＝1时，求点A的坐标； （2）若OP＝AP，求k的值；

n4

(3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值.

2

[解] 过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m

5

(1) 当n＝1时， s＝

42s5

∴ a＝＝

n2

(2) 解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形 a

∴ m＝n＝

2n41

∴ 1＋＝·an

42即n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2

解2：∵ OP＝AP PA⊥OP

∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n 设△OPQ的面积为s1 s

则：s1＝

2

11n4∴ ·mn＝(1＋)

224即：n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2

(3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA

∴ △OPQ∽△OAP 设：△OPQ的面积为s1，则 s1PO2＝ sAO21k22kn＋22n

即： 4 ＝nn42

1＋4 (1＋)

44

2 n化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0 n4

∴k＝2或k＝(舍去)

2

∴当n是小于20的整数时，k＝2. k2

∵ OP＝n＋m＝n＋2n

2

2

2

2

又m＞0，k＝2，

∴ n是大于0且小于20的整数 当n＝1时，OP2＝5 当n＝2时，OP2＝5

4485

当n＝3时，OP2＝32＋2＝9＋＝

399当n是大于3且小于20的整数时，

即当n＝4、5、6、…、19时，OP2得值分别是：

444442＋2、52＋2、62＋2、…、192＋2

45619∵192＋

44422

2＞18＋2＞…＞3＋2＞5 19183

∴ OP2的最小值是5.

k2

解2： ∵ OP＝n＋m＝n＋2

n

2

2

2

2

22

＝n＋2 n

2

2

＝(n－)2 ＋4

n2

当n＝ 时，即当n＝2时，OP2最小；

n

又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5 ∴ OP2的最小值是5. 解3：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ

PQOQ

＝ QAPQ

nm

＝ a－mn

化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0 n4

∴k＝2或k＝(舍去)

2解4：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ s1OQ2

＝2 s－s1PQ

化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0 n4

∴k＝2或k＝(舍去)

2解5：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP

OPOQ∴ ＝

OAOP∴ OP2＝OQ·OA

化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0

（k－2）（2k－n4）＝0 n4

∴k＝2或k＝(舍去)

2

15.（2005湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 （2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。 （3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。 （4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ说明理由。

QO P A（18，0） x C（8，6） B（18，6） y 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请

[解] （1）∵O、C两点的坐标分别为O?0,0?，C?8,6?

设OC的解析式为y?kx?b，将两点坐标代入得： k?33，b?0，∴y?x 443 40 ∵A，O是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为y?a?x?0??x?18? 再将C?8,6?代入得：a??∴y??3227x?x 4020（2）D?10,6?

?3??3?2（3）当Q在OC上运动时，可设Q?m,m?，依题意有：m2??m???2t?

?4??4?8?86?t，∴Q?t,t?，?0?t?5? 5?55?当Q在CB上时，Q点所走过的路程为2t，∵OC＝10，∴CQ＝2t?10 ∴Q点的横坐标为2t?10?8?2t?2，∴Q?2t?2,6?，?5?t?10?

∴m?（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为t，则Q运动的路程为?22?t?

△OPQ中，OP边上的高为：?22?t??2313,S?OPQ?t?22?t?? 5251131梯形OABC的面积＝?18?10??6?84，依题意有：t?22?t???84?

2252整理得：t?22t?140?0 ∵△＝22?4?140?0，∴这样的t不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为22?t，∴CQ的长为：22?t?10?12?t ∴梯形OCQP的面积＝∴这样的t值不存在

综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积

2211?6?22?t?10?t?＝36≠84×

2216.（2005湖北荆门）已知：如图，抛物线y?两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°， （1）求m的值及抛物线顶点坐标；

1223x?x?m与x轴交于A、B33（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式； （3）在（2）条件下，设P为CBD上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.

[解] （1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.

设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m 又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB ∴

OAOC? OCOB

∴

?x1?m，即x1·x2＝－m2 ??mx2y D M · E G F B x ∴－m2＝3m，解得 m＝0 或m＝－3 而m＜0，故只能取m＝－3 这时，

A O C y?12231x?x?3?(x?3)2?4333 故抛物线的顶点坐标为（3，－4）

（2）解法一：由已知可得：M（3，0），A（－3，0），B（33，0）， C（0,－3），D（0， 3）

∵抛物线的对称轴是x＝3，也是⊙M的对称轴，连结CE ∵DE是⊙M的直径，

∴∠DCE＝90°，∴直线x＝3，垂直平分CE， ∴E点的坐标为（23，－3） ∵

OAOM3，∠AOC＝∠DOM＝90°， ??OCOD3∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE ∵AC⊥CB，∴CB⊥DE 又FG⊥DE， ∴FG∥CB

由B（33，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为： y＝

3x－3 33x＋n，把（23，－3）代入求得n＝－5 3可设直线FG的解析式为y＝故直线FG的解析式为y＝

3x－5 31223x－3＝0得 解法二：令y＝0，解x?33

x1＝－3，x2＝33

即A（－3，0），B（33，0）

根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为23， M（3，0） 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝33，，OC＝3 ∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。 而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC ∵DE⊥FG， ∴BC∥FG ∴∠EFM＝∠CBO＝30°

在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝23，∠FEM＝30°， ∴MF＝43，∴OF＝OM＋MF＝53， ∴F点的坐标为（53，0）

在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝53×∴G点的坐标为（0，－5） ∴直线 FG的解析式为y＝（3）解法一：

存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 连结CP

由垂径定理可知AD?AC， ∴∠P＝∠ACH

（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO） 又∵∠CAH＝∠PAC， ∴△ACH∽△APC

A H O C G M · E ??3＝5 33x－5 3y D P F B x ACAP?∴ 即AC2＝AH·AP AHAC在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（3）2＋32＝12

（或利用AC2＝AO·AB＝3×43＝12 ∴AH·AP＝12 解法二：

存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 设AH＝x，AP＝y

由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP 即(3?x2?3)(3?x?3)?x(y?x)

化简得：xy＝12 即 AH·AP＝12

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