求极限的13种方法

求极限的13种方法（简叙）

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极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。

一、利用恒等变形求极限

利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限

lim(1?a)(1?an??2)...(1?a) ，其中a?1

2n分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。

1?a) 解 因为(1?a)(1?a)...(122n(1?a)(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a1222n(1?a)(1?a)...(1?a) =1?a12n?1(1?a) =1?a22n当

a2n?1n??时，

22n?1??,2n而

1 1?aa?1，故

?0,从而lim(1?a)(1?a)...(1?an??)=

二、利用变量代换求极限

利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。

例2、求极限limnx?1mx?1x?1，其中m,n为正整数。

00分析 这是含根式的（）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。 解 令t?x,则当x?1时，t?1

tn?1(t?1)(tn?1?tn?2?...?1)tn?1?tn?2?...?1n 原式=limm?lim?m?1m?2? m?1m?2t?1tt?1?1(t?1)(t?t?...?1)t?t?...?1m1mn三、利用对数转换求极限

利用对数转换求极限主要是通过公式uv?elnu?v,进行恒等变形，特别的情形，在（1?）型未定式时可直接运用uv?e(u?1)?v 例3、求极限limx?o(cosx)csc2x

1?sin2xlim22x?0sinx12e解 原式=limx?o(cosx?1)cscx2?e?e?

四、利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例4、求极限limn??n! nn分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。 解 因为o?n!12n?1n1??????， nnnnnnnn!=0 nn且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以limn??五、利用单调有界准则求极限

利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式

xn?1?f(xn)的数列极限。在确定limxn存在的前提下，可由方程A=f(A)

n??x=A。 解出A，则limn??n例5、设a?0,x1?0,xn?11a?(3xn?3)，（n=1,2,…）,求极限limn??4xnxn。

分析 由于题中并未给出表达式，也无法求出，故考虑利用单调有界准则。

解 由a?0,x1?0,xn?1?1a(3xn?3)易知xn?0。 4xn根据算术平均数与几何平均数的关系，有

xn?1?1aa(xn?xn?xn?3)?4xnxnxn3?4a 4xnxn4所以，数列xn有下界4a，即对一切n?1,有xn?a

xn?11a1a?(3?4)?(3?)?1 又 xn4xn4a所以xn?1?xn,即数列单调减少。由单调有界准则知数列xn有极限。

4xn=A,则由极限的保号性知A?a?0. 现设limn??对式子xn?11a1a?(3xn?3)两边同时取极限得A?(3A?3) 4xn4A44xn=a（已舍去负根） 解得 A=a,即limn??六、利用等价无穷小求极限

利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法，也是最为简便、快捷的方法。学习时不仅要熟记常用的等价无穷小，还应学会灵活应用。同时应注意：只有在无穷小作为因式时，才能用其等价无穷小替换。

例6、求极限limsinsin(x?1)

x?1lnx分析 此题中sin(x-1),sinsin(x-1),lnx均为无穷小，而均作为因式，故可以利用等价无穷小快速求出极限。 解 当x?1时，

x?1?0,则sinsin(x?1)~sin(x?1)~x?1,lnx?ln(1?x?1)~x?1

故原式=limx?1x?1?1 x?1七、利用导数定义求极限

利用导数定义求极限适用于(alim?b)?0满足f'(x0)存在。

1sin(a?)n]n，其中例7、求lim[。 0?a?1n??sinaf(x0?a)?f(x0?b)型极限，并且需要

a?b分析 初步可判断此题为（1?）型未定式，先通过公式uv?elnu?v,进行恒等变形，再进一步利用导数定义求得极限。

1sina(?)n]n=e解 lim [n??sina11sin(a?)lnsin(a?)?lnsinan]?limn而 limn?ln[

n??n??1sinan1lnsin(a?)?lnsinan由导数的定义知，表示函数lnsinx在x=a处的导limn??1n1sin(a?)n]?[lnsinx]'?cota。 数。即limn?ln[x?an??sina1sin(a?)n]limn?ln[n??sina八、利用洛必达法则求极限

利用洛必达法则求极限适用于,,0??型未定式，其它类型未定式也可通过恒等变形转化为,,0??型。洛必达法则使用十分方便，但使用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。

cosx?cos3x

x?0x2?sinx?3sin3x?cosx?9cos3x解 原式=lim?lim?4 x?0x?02x20?0?0?0?例8、求极限lim注：连续两次使用洛必达法则

九、利用微分中值定理求极限

利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理，即

f(a)?f(b)?f'(?),其中??（a,b)。

a?bex?esinx例9、求极限lim x?0x?sinx?ex，在区间?sinx,x?上使用拉格朗日中值定理 分析 若对函数f(x）ex?esinx?e?,其中??（sinx,x) 则：

x?sinxex?esinx?e?,其中??（sinx,x) 解 由分析可知

x?sinxx?0,sixn???x,故??0 又 x?0时，有sinex?esinx所以lim=lime??1 x?0x?sinxx?0十、利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限

利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限是求极限的又一极为重要的方法。与其它方法相比，泰勒公式略显繁琐，但实用性非常强。 例10、求极限limarctanx?arcsinx

x?0tanx?sinx分析 若使用洛必达法则，计算起来会相当麻烦；同时分子并非两因

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