一元二次方程专题能力培优（含答案）(1)

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程

专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值

1.已知(m?3)x2?m?2x?1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A.m≠3 B.m≥3 C.m≥-2 D. m≥-2且m≠3

2. 已知关于x的方程(m?1)xm2?1?(m?2)x?1?0，问：

（1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m取何值时，它是一元一次方程？

专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值

22

3.关于x的一元二次方程（m-1）x+5x+m-1=0的常数项为0，求m的值．

4.若一元二次方程(2a?4)x2?(3a?6)x?a?8?0没有一次项，则a的值为 .

专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式

5.已知关于x的方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），则a-b值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2

2

6.若一元二次方程ax+bx+c=0中，a－b+c=0，则此方程必有一个根为 .

2

a2?17.已知实数a是一元二次方程x－2013x+1=0的解，求代数式a?2012a?的值.

20132

2

知识要点：

1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.

22

2.一元二次方程的一般形式是ax+bx+c=0（a≠0），其中ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.

温馨提示：

1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.

方法技巧：

k

1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.

2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

会.

答案： 1. D 解析：??m?3?0，解得m≥-2且m≠3

?m?2?0?m2?1?2,2.解：（1）当?时，它是一元二次方程.解得：m=1．

m?1?0?当m=1时，原方程可化为2x-x-1=0； （2）当?2

?m?2?0,2

或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程.

?m?1?0解得：m=-1，m=0.

故当m=-1或0时，为一元一次方程．

?m2?1?0,3.解：由题意，得：? 解得：m=－1．

?m?1?0.?3a?6?0,4.a=-2 解析：由题意得?解得a=－2.

2a?4?0.?5. A 解析：∵关于x的方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），∴a－ab+a=0.∴a（a－b+1）

=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．

6.x=－1 解析：比较两个式子

2

2

会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x对应了第二

2

?x2?1个式子中的1，第一个式子中的x对应了第二个式子中的-1.故?.解得x=－1.

?x??17. 解：∵实数a是一元二次方程x－2013x+1=0的解，∴a－2013a+1=0. 22

∴a+1=2013a，a－2013a=－1. ∴

2

2

2.2 一元二次方程的解法

专题一 利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值

2

1. 若方程25x-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（ ） A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或9

22

2.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m= .

3. 用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．

专题二 利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围

4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（ ） A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根

2

5.关于x的方程kx+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（ ）

6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为 “凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结 论正确的是（ ） A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 专题三 解绝对值方程和高次方程

22222

7.若方程（x+y-5）=64，则x+y= . 8. 阅读题例，解答下题： 例：解方程x2－|x－1|－1=0.

22

解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x－（x－1）－1=0，∴x－x=0. 解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.

22

（2）当x－1＜0，即x＜1时，x+（x－1）－1=0，∴x+x－2=0. 解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2. 综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.

2

依照上例解法，解方程x+2|x+2|－4=0．

专题四 一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系 9.探究下表中的奥秘，并完成填空：

10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：

代数第三册在解方程3x（x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x（x+2）-5（x+2）=0， 这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知 道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个 因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x1=-2，x2=

5． 3根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a﹒b＞0，则有 ?力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式

?a?0,?a?0,或者?请判断王

?b?0?b?0.5x?1?0的解集，如果不正确，请说明理

2x?3由．

专题五 利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值

22

11. 设x1、x2是一元二次方程x+4x－3=0的两个根，2x1（x2+5x2﹣3）+a=2，则a= ． 12.（2012·怀化）已知x1、x2是一元二次方程?a?6?x2?2ax?a?0的两个实数根， ⑴是否存在实数a，使－x1＋x1x2=4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；

⑵求使（x1＋1）（x2＋1）为负整数的实数a的整数值．

b2

13.(1)教材中我们学习了：若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两根为x1、x2,x1+x2=－, ac

x1·x2=.根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x1、x2的代数式的值．例如：已知x1、

ax2为方程x-2x-1=0的两根，则：

222

（1）x1+x2=____，x1·x2=____，那么x1+x2=( x1+x2)-2 x1·x2=__ __． 请你完成以上的填空． ．．．．．．．．．

（2）阅读材料：已知m2?m?1?0,n2?n?1?0，且mn?1．求解：由n2?n?1?0可知n?0．∴1?2

mn?1的值． n1111?2?0．∴2??1?0. nnnn11又m2?m?1?0,且mn?1，即m?．∴m,是方程x2?x?1?0的两根．

nn1mn?1∴m??1．∴=1．

nn（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．

1已知2m2?3m?1?0,n2?3n?2?0，且mn?1．求m2?2的值．

n

知识要点：

1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac与一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.

2

3.一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数a、b、c之间存在着如下关系： x1+x2=﹣，x1?x2=.

温馨提示： 22

1.x+6x+m是一个完全平方式，易误以为m=3.

22

2.若一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2有双层含义：（1）ax1+bx1+c=0，ax2+bx2+c=0；（2）x1+x2=﹣，x1?x2=.

方法技巧：

222

1.求二次三项式ax+bx+c极值的基本步骤：（1）将ax+bx+c化为a（x+h）+k；（2）当a>0，

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k>0时，a（x+h）+k≥k；当a<0，k<0时，a（x+h）+k≤k.

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2.若一元二次方程ax+bx+c=0的两个根为x1．x2，则ax+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）． 3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.

4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解. 5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.

答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．

2

2. ±3 解析：据题意得，m=9，∴m=±3．

2222

3.证明：－2x+4x－5=－2（x－2x）－5=－2（x－2x+1）－5+2=－2（x－1）－3.

222

∵（x－1）≥0，∴－2（x－1）≤0，∴－2（x－1）－3＜0.

2

∴无论x为何实数，代数式－2x+4x-5的值恒小于零．

2

4.A 解析：△=（2c）﹣4（a+b）（a+b）=4（a+b+c）（c﹣a﹣b）.

根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．

2

5.A 解析：当kx+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0； 当kx+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则?22

2

k?0?.解得2?3?4?k?2?0k?99且k≠0.综上所述k?. 882

2

6.A 解析：∵一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b－4ac22

＝0，又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b－4ac＝0得（－a－c）－4ac＝0，化简得（a2

－c）＝0，所以a＝c．

222222

7.13 解析：由题意得x+y-5=±8.解得x+y=13或者x+y=－3（舍去）.

当x1?220时，120?0.5?220?60??40?100，∴x1?220不合题意，舍去； 当x2?80时，120?0.5?80?60??110?100，∴x2?80.

∴x?80.

答：该校共购买了80棵树苗． 8.解：(1)27－0.3=26.7；

（2）设需要销售出x部汽车可盈利12万元.

①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+0.5x=12. 解得x1??20(不合题意，舍去)，x2?6.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元. ②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x－1）﹞x+x=12. 解得x1?5,x2??24，均不合题意，应舍去. 答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.

9.解:（1）n－3；(2)设这个凸多边形是n边形,由题意,得

n(n?3)?14. 2解得n1?7,n2??4 (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形. (3)不存在.

n(n?3)?21. 23?1773?177解得n?.因为多边形的边数为正整数，但不是正整数，故不合题意.所

22理由:假设存在n边形有21条对角线. 由题意,得

以不存在有18条对角线的凸多边形.

10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n－1；4，8，12，16（偶数）2n． （2）由（1）可知n为偶数时P1=2n．∴P2=n2－2n. 根据题意得n2－2n=5×2n，n2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）． ∴存在偶数n=12使得P2=5P12．

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