(完整word版)数学专升本考试试题

高等数学（二）命题预测试卷（二）

一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选

项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1．下列函数中，当1→x 时，与无穷小量)1(x -相比是高阶无穷小的是（ ）

A ．)3ln(x -

B ．x x x +-232

C ．)1cos(-x

D ．12-x

2．曲线x

x y 133+-=在),1(+∞内是（ ） A ．处处单调减小 B ．处处单调增加

C ．具有最大值

D ．具有最小值

3．设)(x f 是可导函数，且1)()2(lim 000

=-+→h x f h x f x ，则)(0x f '为（ ） A ．1 B ．0

C ．2

D ．2

1 4．若1

)1(+=x x x f ，则?10)(dx x f 为（ ） A ．2

1 B ．2ln 1- C ．1 D ．2ln

5．设x

u xy u z ??=,等于（ ） A ．z zxy B ．1-z xy

C ．1-z y

D ．z y

二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在

题中横线上。

6．设2yx e z xy +=，则)2,1(y z

??= ．

7．设x e x f x ln )(+='，则='')3(f ．

8．x x x f -=1)(，则=)1(x f ．

9．设二重积分的积分区域D 是4122≤+≤y x ，则??=D

dxdy ．

10．x x x

)211(lim -

∞→= ． 11．函数)(21)(x x e e x f -+=的极小值点为 ． 12．若31

4lim 21=+++-→x ax x x ，则=a ． 13．曲线x y arctan =在横坐标为1点处的切线方程为 ．

14．函数?=20

sin x tdt y 在2π=x 处的导数值为 ． 15．=+?-1122cos 1sin dx x

x x ． 三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。

16．（本题满分6分） 求函数?????=≠==0

00 1arctan )(x x x x f 的间断点．

17．（本题满分6分） 计算121lim

2--++∞→x x x x ．

18．（本题满分6分） 计算??????++→x x x x 10)1(arcsin ln lim ．

19．（本题满分6分） 设函数?????≤<-+>=-01

)1ln(0 )(1x x x xe x f x ，求)(x f '．

20．（本题满分6分）

求函数)sin(y x y +=的二阶导数．

21．（本题满分6分）

求曲线342)(x x x f -=的极值点．

22．（本题满分6分） 计算?+dx x x 1

23

．

23．（本题满分6分）

若)(x f 的一个原函数为x x ln ，求??dx x f x )(．

24．（本题满分6分）

已知?

∞-=+0

2211dx x k ，求常数k 的值．

25．（本题满分6分）

求函数5126),(23+-+-=y x x y y x f 的极值．

26．（本题满分10分）

求??+D

dxdy y x )(2，其中D 是由曲线2x y =与2y x =所围成的平面区域．

27．（本题满分10分）

设?-=a dx x f x x f 02)()(，且常数1-≠a ，求证：)1(3)(30+=?a a dx x f a ．

28．（本题满分10分） 求函数x

x y ln =的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．

参考答案

一、选择题

1．B 2．B 3．D 4．D 5．D

二、填空题

6．122+e 7．3

13+e 8．1

1-x 9．π3 10．21

-e 11．0=x 12．5 13．)1(214-=-x y π 14．4sin

2ππ 15．0

三、解答题 16．解 这是一个分段函数，)(x f 在点0=x 的左极限和右极限都存在．

2

1arctan lim )(lim 00π-==-→-→x x f x x

2

1arctan lim )(lim 00π==+→+→x x f x x

)(lim )(lim 00x f x f x x +

→-→≠

故当0→x 时，)(x f 的极限不存在，点0=x 是)(x f 的第一类间断点．

17．解 原式=222112111lim 121

lim 222==--+=--++∞→+∞→x

x x x x x x x ． 18．解 设x x x x f 1)1(arcsin )(++=． 由于0=x 是初等函数)(ln x f 的可去间断点，

故 []

??

????++==→→→x x x x x x x f x f 1000)1(arcsin lim ln )(lim ln )(ln lim ??????++=→→x x x x x 100)1(lim arcsin lim ln 1ln )0ln(==+=e e ．

19．解 首先在0≠x 时，分别求出函数各表达式的导数，即 当0>x 时，)11(1)()(1

21

1

1

x e x xe e xe x f x x x x +=?+='='---- 当01<<-x 时，[]1

1)1ln()(+='+='x x x f ． 然后分别求出在0=x 处函数的左导数和右导数，即

11

1lim )0(0 =+='-→-x f x 0)11(lim )0(1

0 =+='-+→+x

e f x x 从而)0()0(

+-'≠'f f ，函数在0=x 处不可导． 所以???????<+>+='-0 1

10 )11()(1x x x x e x f x

20．解 )sin(y x y +=

)cos()cos()1)(cos(y x y y x y y x y +'++='++=' ①

[])1()sin()cos()1)(sin(y y x y y x y y y x y '++-'++''+'++-='' []2)1)(sin()cos(1y y x y y x '++-=''+-

)

cos(1)1)(sin(2

y x y y x y +-'++-='' ② 又由①解得)

cos(1)cos(y x y x y +-+=' 代入②得2)

cos(1)cos(1)cos(1)cos(y x y x y x y x y +-??????+-+++=' []

3)cos(1)sin(y x y x +-+-= 21．解 先出求)(x f 的一阶导数：)23(464)(223-=-='x x x x x f

令0)(='x f 即0)23(42=-x x 解得驻点为23

,021==x x ．

再求出)(x f 的二阶导数)1(121212)(2-=-=''x x x x x f ．

当232=

x 时，09)23(>=''f ，故16

27

)23(-=f 是极小值． 当01=x 时，0)0(=''f ，在)0,(-∞内，0)(<'x f ，在)23

,0(内0)(<'x f

故 01=x 不是极值点．

总之 曲线242)(x x x f -=只有极小值点2

3=

x ． 22．解 Θ 11)1(112

222323+-=+-+=+-+=+x x

x x x x x x x x x x x ∴ ????+-=+-=+dx x x

xdx dx x x x dx x x 1)1(1222

3 ?

++-=++-=C x x x x d x )1ln(2

1

211)1(21212222 23．解 由题设知1ln )(ln ln )ln ()(+='+='=x x x x x x x f 故??+=?dx x x dx x f x )1(ln )( ??+=xdx xdx x ln

?+=2221

21ln x dx x

[]

22221

)(ln ln 21x x d x x x +-?=?

22221

121ln 21x dx x x x x ?+-?=

2221

21ln 21x xdx x x ?+-=

C x x x +-=224

1

ln 21．

24．解 Θ ???+?=+=+-∞→∞-∞-02

020211

lim 111a a dx x k dx x k dx x k 2

)arctan (lim arctan lim 0π

?

=-?=?=-∞

→-∞

→k a k x k a a a

又

2

1

10

2

=+?∞-dx x k

故 212

=

?π

k 解得π

1=k ． 25．解 Θ

123,622-=??+-=??y y

f x x f 解方程组?

??=-=+-01230

622y x 得驻点)2,3(),2,3(00-B A

又 Θy f C f B f A yy xy xx 6,0,2

=''==''=-=''= 对于驻点126,0,2:2

30-===-===y x y C B A A ，故0242>=-AC B

∴ 驻点0A 不是极值点．

对于驻点126,0,2:2

30-===-=-==y x y C B A B

故 0242<-=-AC B ，又02<-=A ．

∴ 函数),(y x f 在)2,3(0-B 点取得极大值 30524189)2()2,3(3=+++--=-f

26．解 由2x y =与2y x =得两曲线的交点为)0,0(O 与)1,1(A )0(2≥=y y x 的反函数为x y =． ∴

dx y y x dy y x dx dxdy y x x x

x

x

D

21

22

22

1

2

)2

1()()(?????+=+=+

140

33)1034172()21()21(105227

1

0442

5=-+=??????+-+=?x x x dx x x x x 27．证 Θ

???

??

????-=a a

a

dx dx x f x dx x f 0020

)()(

dx dx x f dx x a

a a

?

????

????-=0

00

2

)( ???-=a a

a dx dx x f x 0003)(31

?-=

a dx x f a a 03

)(3

∴

3

)()(3

a dx x f a dx x f a

a

=+?

?

于是)

1(3)(3

+=?

a a dx x f a

．

28．解 （1）先求函数的定义域为),0(+∞． （2）求y '和驻点：2

ln 1x

x

y -=

'，令0='y 得驻点e x =． （3）由y '的符号确定函数的单调增减区间及极值． 当e x <<0时，0ln 12

>-=

'x x

y ，所以y 单调增加； 当e x >时，0<'y ，所以y 单调减少．

由极值的第一充分条件可知e

y e x 1

==为极大值．

（4）求y ''并确定y ''的符号：

3

3

ln 2x

x y -=''，令0=''y 得23

e x =． 当2

30e x <<时，0<''y ，曲线y 为凸的； 当2

3e x >时，0>''y ，曲线y 为凹的．

根据拐点的充分条件可知点)2

3,(2

3

2

3-e e 为拐点．

这里的y '和y ''的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。 另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：

就表上所给的y '和y ''符号，可得到： 函数x

x

y ln =

的单调增加区间为),0(e ；

函数

x x

y

ln

=的单调减少区间为)

,(+∞

e；

函数

x

x

y

ln

=的极大值为

e

e

y

1

)

(=；

函数

x

x

y

ln

=的凸区间为)

,0(2

3

e；

函数

x

x

y

ln

=的凹区间为)

,

(2

3

+∞

e；

函数

x

x

y

ln

=的拐点为)

2

3

,

(2

3

2

3

-

e

e．

（5）因为0

ln

lim=

+∞

→x

x

x

，∞

=

+

→x

x

x

ln

lim

所以曲线

x

x

y

ln

=有

水平渐近线0

=

y

铅垂渐近线0

=

x

（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．

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