华南理工大学 线性代数与解析几何 习题(40)

第一章 行列式

行列式是线性代数的基础知识，它在数学的其他分支中有很重要的应用。

§1 行列式的定义

一、引言

我们先看二元一次方程组

?a11x1?a12x2?b1 ?ax?ax?b?2112222当a11a22?a12a21?0时的解。由消元法易得

b1a22?b2a12?x??1aa?aa?11221221 ??(1) ??x?b2a11?b1a212?a11a22?a12a21?在中学数学中，定义二阶行列式(1)可写为：

b1x1?a12a11a11a21a12a22?a11a22?a12a21，则上述方程组的解

b1b2a22a21b2，x2?。 ??(2)

a11a12a11a12a21a22a21a22可以发现解(2)的形式比解(1)的形式更于记忆。对于三元一次方程组也有类

似的结论。更一般的，可以推广到n元一次方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ??(3) ???????????????an1x1?an2x2???annxn?bn的情形，为此我们先做一些准备。

二、排列

定义1：由1,2,?,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。

n级排列通常记为j1j2?jn，易知n级所有不同排列的个数为n!。例如：

45321是一个5级排列，5级排列的总数为5!=120。

定义2：一个排列中，某两个位置上的数前大后小，称这两个数构成一个逆

1

序。一个排列中逆序的总数称为该排列的逆序数。

排列j1j2?jn的逆序数通常记为?(j1j2?jn)。记?k表示排列j1j2?jn中数字k前面比k大的数的个数，则有?(j1j2?jn)??1??2????n，其中?n?0。例如 ?(45321)?4?3?2?9，?(12?n)?0。

定义3：逆序数为奇（偶）数的排列，称为奇（偶）排列。 例：?(45321)= 4+3+2=9，该排列为奇排列；?(12?n)=0，该排列为偶排列。 把排列中某两个位置上的数进行交换得到另一排列，这样一个变换称为对换。对于对换，有下面主要定理：

定理1：对换改变排列的奇偶性。 证明：分两种情形来讨论。

1）对换的两个数相邻，设排列为?jk?。当j?k时，记

?(?jk?)????j????k????，则

?(?kj?)???(?j?1)????k?????1；

当j?k时，同理可得 ?(?kj?)??(?jk?)?1。从而定理成立。

2）对换为一般情形，设排列为：?ji1i2?isk?。

先将j依次与i1,i2,?,is对换变为?i1i2?isjk?，经过s次对换，再将k依次与

j,i1,i2,?,is对换变为?ki1i2?isj?，经过了s?1次对换。故排列的对换共经过了

s?(s?1)?2s?1次的相邻对换，从而定理成立。

三、行列式定义

定义4：设aij(i,j?1,2,?,n)是n2个数（也称为元素），定义n阶行列式

a11a21?an1其中

j1j2?jna12?a1n?(?1)?(j?j)aja2j?aj?jj?j1na22?a2n???an2?ann112nn。

12n?表示对所有的n级排列求和。

说明：1. n阶行列式是一个数，由n!项的代数和所构成。

2. 除符号外，每项为n个数的乘积，这n个数取自于不同的行和列。 3. 乘积a1j1a2j2?anjn的n个数（元素）（从左到右）行数按自然顺序由小到

2

大排列，元素的列数构成的排列为j1j2?jn，排列逆序数?(j1j2?jn)的奇偶性决定这一项的符号。 例1：按定义计算

a11a21a12a22。

解：

a11a21a12a22??(?1)?(j1j2)a1j1a2j2

j1j2?(?1)?(12)a11a22?(?1)?(21)a12a21?a11a22?a12a21。

结果与中学里的直接定义结果一致。三阶行列式亦是如此。

a11a12a220a13a23?a33(1j2j3)j1j2j3a13a23 。

a33例2：计算00a11a12a2201j2j3解：00?(?1)?(j1j2j3)a1j1a2j2a3j3

??(?1)?a11a2j2a3j3?a11a22a33。

类似地，可求得

a11a12?a1n?a11a22?ann。该行列式称为上三角行列式。

0?0同理

a22?a2n???00?ann?00a11a21?an1

a22????an2?ann0?00?a11a22?ann。该行列式称为下三角行列式。

a110?0a22?0????ann?a11a22?ann 。该行列式称为对角线行列式。

行列式中从左上角到右下角这条对角线称为行列式的主对角线。 从定义可知一个n阶行列式共有n!项，计算量很大，但从例2来看，上（下）三角行列式计算比较简单。下面就介绍行列式的一些性质，以便利用这些性质化一般行列式为三角行列式，从而简化行列式的计算。

3

§2 行列式的性质

性质1：行列互换，行列式不变，即

a11a21?an1a12?a1n?a11a12?a1na21?an1a22?an2???a2n?ann。

a22?a2n???an2?ann注：左边行列式称为右边行列式的转置行列式。

证明从略。

性质1表明行列式中行与列的地位是对称的，因此后面有关行的性质，对列也能成立。

性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。即

????????as1as2?asn?at1?at2?atn???at1as1?at2?atn??? as1?as1?????????证明：记右边行列式i行j列的元素为bij，则

左边?j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)?asjs?atjt。

(?1)?(?js?jt?)?bsjs?btjt?

右边?? ??j1j2?jn?j1j2?jn?(?1)?(?js?jt?)?atjs?asjt?

?j1j2?jn?(?1)?(?jt?js?)?asjt?atjs?＝左边。

推论1：两行（列）元素相同，行列式等于0。 ????as1as2?asn???，交换元素相同的两行，行列式不变；另由at2?atn???证明：记D??at1?性质2行列式变号，从而D??D，即D?0。

性质3：某行（列）的各元素如有公因数k，则可把k提出行列式符号外，即

4

?kai1?证明：左边?????12n??1j1????kai2?kain?kai1ai2?ain。 ????(?1)?(jj?j)a?jj?j12n?(kaiji)?anjn

?k?jj?j12(?1)?(j1j2?jn)a1j1?aiji?anjn ＝右边。

n推论2：某行（列）元素全为0，则行列式为0。

推论3：两行（列）元素成比例，则行列式为0。 性质4：（“加法”规则）

a11a12?a1n??an1a11??bi1?an1a12bi2??an2?a1n??????an2?ann???a11??an112n?bi1?ci1bi2?ci2?bin?cin?anna12ci2?a1n?cin ??????an2?ann1j1

?bin?ci1证明：左边?(?1)?(jj?j)a?jj?j12n?(aij?bij)?anjn

ii??jj?j12(?1)?(j1j2?jn)[a1j1?aji?anjn?a1j1?biji?anjn]＝右边。

n性质5：某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）对应元素上，行列式不 ????????ai1ai2?????ain??ai1???ai2?ain变。即

?aj1?kai1???? ???aj2?kai2?ajn?kainaj1aj2?ajn证明：由性质4和性质3的推论立即得证。

在计算行列式时，可利用性质2和性质5把行列式化为上（下）三角行列式。通常用记号ri?rj(ci?cj)表示互换行列式的第i行（列）和第j行（列）；用

rj?kri表示第i行元素的k倍加到第j行对应的元素上。类似地，cj?kci表示列

5

的相应运算（建议初学者计算时使用这些记号，便于检查）。

1234234134124123例3：计算 。

解：

12?1?2?73?2?8?104?7?10?1312003?444?7436r4?r31?002003?404440?160。

原式

r2?2r1?r?3r00031r4?4r1?r?7r4r3?2r22000?1?20?1?2?7abbabbbabbabbabbba?b0?0bbab????????bbbbb 。 a例4：计算n阶行列式 bba?(n?1)bc1?1?c2c1?1?c3 ?c1?1?cn?????a?(n?1)b?a?(n?1)b11解：原式

?a?(n?1)bbb b（即：其余各列都加到第一列上）

abbb a???b00 ?????b?b?a?b?b0?0 ?[a?(n?1)b]111r2?r1r3?r1?????0?0

?rn?r1?[a?(n?1)b]0a?b??a?b?1b]a(?nb) ?[a?(n?1)。

例5：当n为奇数时，证明：

0D??a12??a1n

a120??a1n?a2n??0?0 。

?a2n?6

0证明：D?(?1)n?a12??a1n0?a2n??a2n???0??D

a12?a1n? D?0。

这个结果也常说成：奇数阶反对称行列式等于零。

§3 按行（列）展开定理

先介绍余子式和代数余子式的概念。

定义5：划去行列式中元素aij所在行和列，剩下的(n?1)2个元素按原来的排列构成的n?1级行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij。称Aij?(?1)i?jMij为aij的代数余子式。

123例如行列式 201，M23?，A31?(?1)52512123?1?2301＝2。

a11定理2（按行列展开定理）：设D?a12?a1n，则有

a21?an1a22?a2n???an2?ann?D i?j (i,j?1,2,?,n) 1）ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn???0 i?j?D i?j (i,j?1,2,?,n) 2）a1iA1j?a2iA2j???aniAnj??0 i?j?证明：仅证1），由性质1，2）式亦得证。 先看i?j的情形，不妨设i?j?1。

a11由性质4可得D?0?0?0a21?a12?0???0a21?0?a1n

a21?an1a22?a2n???an2?anna22?a2n???a22?a2n???an1an2?annan1an2?ann??a ?a11A11?a1An。1 212?n1A再看i?j的情形，考察行列式

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?ai1D1??aj1????ai2?ain????ai1ai1ai2?ainai2?ain??? 与 D2??????0 。 aj2?ajn???????D2是将D1的第j行元素换成第i行的元素，其他行的元素不变，这样D1与D2的

第j行的代数余子式完全相同，D2按第j行展开有：

D2?ai1Aj1???ainAjn?0 。

该定理理论上有重要的价值，后面有些地方会用到。另外，它也可以结合前面的性质简化行列式的计算。

5372?1023520010例6：计算

0?2

?23??160（按第4列展开） 解：原式=(?1)2?40?23?10250255?310000?000?0??0200030020001000例7：计算行列式 ?0n00??? ???n?1?解：原式=(?1)1?n?0n(n?4)(n?1)2??????(?1)1?n?(?1)1?(n?1)?(?1)1?2n! ?n?1?=(?1)n!

事实上，此题还可以利用定义及性质2来求解，读者自行练习。

124058323023 例8：设D??1674

求：1）A13?2A23?A33?3A43；

8

2）3A13?7A23?5A33?5A43。

解：1）代数余子式是第3列的，它们的系数是第1列的，从而，

A13?2A23?A33?3A43?0

2）因为 3A13?7A23?5A33?5A43

＝(1?2)A13?(2?5)A23?(?1?6)A33?(3?2)A43 =(1A13?2A23?1A33?3A43)?(2A13?5A23?6A33?2A43) =0+0=0

22?31?10253??10?3?(?1)??120 ? 3A13?7A23?5A33?5A43??10A33＝

323201201例9：计算x1x121解：原式?x1c3?c1x12c2?c11x22x21x3 2x30x2?x12x2?x12011x3?x1?(x2?x1)(x3?x1)

x2?x1x?x12x3?x12 ＝(x2?x1)(x3?x1)(x3?x2)。 利用递推或数学归纳法可以得到：

11x1x2??n?1x1n?1x2?1?xn??(xj?xi) 。

??1?i?j?nn?1?xn上述行列式称为范德蒙（Vandermonde，735-1796，法）行列式，这个结果以后可以直接利用。

有了按行（列）展开定理，下面介绍介绍n元一次方程组（3）解的结论。 定理3：（克莱姆(Cramer，1704－1752，瑞士)法则）方程组（3）的系数行

a11列式D?a12?a1n?0，则（3）有唯一解xj?Dj/D j?1,2,?,n，其中

a21?an1a22?a2n???an2?annDj是将D中第j列换成常数列后得到的行列式。

证明：将方程组（3）中的n个方程依次两边乘以A11,A21,?,An1，再把它们

9

相加可得：

(a11A11?a21A21???an1An1)x1?(a12A11?a22A22???an2An1)x2???(a1nA11?a2nA21???annAn1)xn?b1A11?b2A21???bnAn1

由定理2，即有Dx1?D1 从而 x1?D1/D。

同理以A1j,A2j,?,Anj依次乘方程组（3）的n个方程两边并相加起来，再应用定

理2，可得 xj?Dj/D (j?2,?,n)。

易验证 xj?Dj/D (j?1,2,?,n)是（3）的解。

关于解的唯一性在第三章再给予说明。事实上用克莱姆法则求解方程组比较麻烦，也不具有一般性，第三章再作进一步讨论。

习题一

1.计算下列排列的逆序数 1）9级排列 134782695； 2）n级排列 n(n?1)?2。1 2.选择i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列； 2）1i25k4897为偶排列。 3.由定义计算行列式

a11aa21a a31a1222324252000aa4353000aa4454000 。 a4555a41aa51aa4.计算行列式：

420?21； 2）2?4?11111?11111?11111?1； 3）

410124202117；

1）?1310520 10

14）

432642781694；5）

a2b2c2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(a?3)2(b?3)2(c?3)211。

1?5?125255.计算n阶行列式：

d2(d?1)2(d?2)2(d?3)2x0 1）

yx0000yx00?????000x0000yx； 2）

110002?120030?n?1?00?n00?0；

00y?2?00???????????2?n?n?11?n1?a1 3）

1?1??11?12； 4）222222232????222 。 n1?11?a2??1?an?????2

提高题

1.已知n级排列j1j2?jn?1jn的逆序数为k，求排列jnjn?1?j2j1的逆序数。 2.由行列式定义计算

2x f(x)?xx121xx2?xn?1a12?a1n?12n?1 ，其中ai互不相同。 a2?a2131111?12x11xa1a2an中x4与x3的系数，并说明理由。

3.设P(x)?1????1?2n?1an?an 1）说明P(x)是一个n?1次多项式； 2）求P(x)?0的根。

11

4.证明：

11 111?x1?111?1???11)xx(?1)x?(?2)?x(?n 1?(?1n?1)2?x??1

?n?x 12

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