2013年湖北数学（理）高考试题（真题）word版

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（理科）

4．将函数y?3cosx?sinx(x?R)的图像向左平移m(m?0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是 A．

???5?B．C．D． 12663x2y2y2x2??1与C2:2?2?1的 5．已知0??? ，则双曲线C1:4cos2?sin2?sin?sin?tan2??A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等

????????6．已知点A（-1,1）、B（1,2）、C（-2,1）、D（3,4），则向量AB和CD方向上的投影为

A．

3232315315 B． C． D． 222225(t的单位：s,v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的1?t7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度

v(t)?7?3t?距离（单位：m）是 A．1+25ln5 B．8+25ln11 C．4+25ln5 D．4+50ln2 38．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为V1，V2，V3，V4，这四个几何体为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有

AV.1?V2?V4?V3 BV.1?V3?V2?V4 CV.2?V1?V3?V4 DV.2?V3?V1?V4

9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)= A．

12661687 B． C． D． 1255125511．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频

率分布直方图如图所示。

（1）直方图中x的值为___________；

（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。 12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=___________。

13．设x,y,z?R，且满足：x2+y2+z2=1则x+y+z=___________。 ，x+2y+3z=14，14．古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为

n(n+1)121=n+n，记第n个k边形数为N(n,k)(k?3)，以下列出了部分k边222121n+n 222形数中第n个数的表达式： 三角形数 N(n,3)=正方形数 N(n,4)=n 五边形数 N(n,5)=321n-n 222六边形数 N(n,6)=2n-n

……………………………………………………………..

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=_________________。

二.填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. ．．．．．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框图用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）

如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若

AB?3AD,CE的值为 . EO

16.（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直线坐标系xoy中，椭圆C的参数方程为

?x?acos?y?bsin???为参数,a?b?0?.在极坐标系（与

直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴为正半轴 为极轴）中，直

线l与圆O的极坐标分别为?sin???????2?m?m为非零常数?与?=b.若直线l经过椭?4?2圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆的离心率为 .

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

在?ABC中，角A、B、C对应的边分别为a,b,c.已知cos2A?3cos(B?C)?1. （I）求角A的大小；

（II）若?ABC的面积S?53,b?5,求sinBsinC的值.

数学（理工类） 试卷A型 第4页（共6页） 18.（本小题满分12分）

已知等比数列?an?满足：a2?a3?10,a1a2a3?125. （I）求数列?an?的通项公式； （II）是否存在正整数m,使得在，说明理由.

19.（本小题满分12分）

如图，AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A、B的点，直线PC?平面ABC,

111若不存??????????1?若存在，求m的最小值；a1a2anE,F分别为PA,PB的中点.

的交线为，是判断l与平面lPAC的位置关系，（I）记平面BEF与平面ABC并加以说

明；

?1?（II）设（I）中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足DQ?CP.记直线

2PQ与平面ABC所成的角为,O异面直线所成的锐角为o，二面角E?l?C的大小为?，求证：sin??sin?sin?.

20.（本小题满分12分）

2假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N800,50的随机变量，

??记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为Pn. 求Pn的值；

2（I）（参考数据：若X?N?,?,有P?????X??????0.6826,）

?? P???2??X???2???0.9544,P???3??X???3???0.9974.

（II）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每年每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于

A型车7辆。若每天要以不小于P0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙

地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

数学（理工类） 试卷A型 第5页（共6页）

21.（本小题满分13分）

如图，已知椭圆C1与C2的中心原点坐标O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为过原点且不与x轴重合的直线l与C1、C2的四个交点按纵坐标从大到2m、2n?m?n?，小依次为A、B、C、D.记??m,?BDM和?ABN的面积分别为S1、S2. n（I）当直线l与y轴重合时，若S1=?S2,求?的值;

（II）当?变化时，是否存在于坐标轴不重合的直线l，使得S1=?S2,并说明理由.

22.（本小题满分14分）

设n为正整数，r为正有理数. （I）求函数f?x???1?x?

r?1??r?1?x?1?x??1?的最小值；

nr?1??n?1?（II）证明：

r?1r?2n?1??r?n??nr?1;

r?1?3???r?1（III）设x?R，记?x?为不小于???=4,???=-1. ．．．x的最小整数，例如?2?=2,2令S?381?382?383????????3125,求?S?的值.

（参考数据：80?344.7,81?350.5,124?618.3,126?631.7.）

数学（理工类） 试卷A型 第6页（共6页）

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