关于矩阵秩的证明

关于矩阵秩的证明

-----09数应 鄢丽萍

中文摘要

在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。

所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组

约定用E表示单位向量，AT表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(AT); （2）

?r(A) k?0r(kA)=?

0 k?0?

（3） 设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) (5) (6)

矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

r(A)=n,当且仅当A≠0

?r??A O??A C????=r(A)+r(B)≤r ????O B??O B?r(A-B)≤r(A)+r(B)

定理1：设A,B为n×n阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得

??A O???A O??AO??O B??→????A B??→?? ??A?B B??? 即??E O???E E?????A O???O B?????E O???E E????=?A O???A?B B??? 由性质5可得

r??A O??O????=r??A O B???A?B B??? 则有r(A)+r(B)≥r(A+B)

定理2（sylverster公式）设A为s×n阶矩阵，阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n≤r(AB)

证：由初等变换可得

??E?n B??En B??En ?A O???→???O ?AB???→?O???O ?AB??? 即??En O??E???A E??Es????n B??A O????n ?B??En O???O E?＝?m????O ?AB??? 则r???En B??A O??E??=r??n O??O ?AB??? 即r(A)+r(B)-n≤r(AB)

B为n×m

推论(Frobenius公式) 设A为m×n阶矩阵，B为n×s阶矩

阵，C为s×t阶矩阵，则

r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)

证：设r(B)=r,存在n阶可逆矩阵P，s阶可逆矩阵Q，

使 B=P???Er O??E?O O???Q=P??r??O????ErO?Q 令M=P???Er??O???，N=?ErO?Q 则有B=MN

根据定理2 r(AMNC)≥r(AM)+r(NC)-r(MN) ≥r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)≤r(ABC)

定理3 设A为n×n矩阵，若A2=E，那么有

r(A+E)+r(A-E)=n 证：根据题意有（A+E）（A-E）=O 令A+E=A1，A-E=A2，有A1A2=O 由定理2可知 r(A1)+r(A2)≤n

即r(A+E)+r(A-E)≤n 又根据性质6有

r(A+E)+r(A-E)≥r[(A+E)-(A-E)]=r(2E)=n

故r(A+E)+r(A-E)=n

推论 设A为n×n矩阵且A2=A，那么有 r(A)+r(A-E)=n 证：事实上，有

?O A?A2?O??A O??A ?A O????A A?E??→??E A?E??→??O A?E??→??E A?E?→ ?????????O A?A2??O O????E O?? ?E O?=??????则有r??A O??O O???=r? ????O A?E??E O? 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qk7t.html