作业册2008(上1)

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第一章 函数与极限

作业1 函 数

1．填空题 （1）函数f(x)?1x2?1?arcsinx?1的定义域为[?4,?1)?(1,2]； 31?t1?t1?t?1?lnx?（2）没f?，则f(x)?e； ?xlnx?1?t?1?lnx?（3）设

f(x)?e，f[?(x)]?1?3x，且?(x)?0，则?(x)?ln?1?3x?，

x2（4）函数y?cosxx?2sin的周期为12?； 23（5）函数y?1?ln(x?2)的反函数y?ex?1?2；

?3x?2,x?2y?（6）将函数y?2x?|2?x|用分段函数表示为． ?x?2,x?2?2．设函数y?f(x)的定义域为［0,2］,求下列函数的定义域：

2（1）y?f(x)；

2解：由0?x?2，知该函数的定义域为[?2,2]

（2）y?f(x?a)?f(x?a)，（a?0）；

解：由??0?x?a?2??a?x?2?a，知?，从而该函数的定义域：当0?a?1时

?0?x?a?2?a?x?2?a为[a,2?a]，否则为空集

1

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?1,x?0?（3）y?f(sgnx), 其中sgnx??0,x?0．

??1,x?0?解：由0?sgnx?2，知该函数的定义域为[0,??) 3．判定下列函数的奇偶性： （1）f(x)?loga(x?x2?a2)；

a2???x??a??loga?2?f?x?，

22?x?x?a22解：由f??x??loga???x??知该函数非奇非偶 （2）f(x)?|xsinx|e3cosx．

3cos??x??xsin3xecosx?f?x?， 解：由f??x???xsin??x?e知该函数为偶

?x2,x?0x?0?2?sinx,4．设f(x)??, ?(x)??, 求f[?(x)]．

??x,x?0?2?ln(1?x),x?0[?(x)]?0?2?sinx,x?0?2?sin[?(x)],??解：f[?(x)]?? 22?ln{1?[?(x)]},[?(x)]?0??2?ln1?x,x?0??

?1?2x2,x??1?35．没f(x)??x,?1?x?2，求f(x)的反函数．

?10x?12,x?2?22解：因为，当x??1时y?1?2x??1,2x?1?y,x??1?y 2y?12 103当?1?x?2时y?x?[?1,8],x?3y；当x?2时y?10x?12?8,x??1?x,x??1??2??3故反函数为y???x,?1?x?8

?x?12?10,x?8??2

院 系 班级 姓 名 作业编号 6．证明函数

f(x)?1?3x在其定义域内无界．

证明：由无界的定义，?M?0,?x0?D，使f?x0??1?3x0?M 因为3xM?10?1?1?3x0?3x0?1，只要3x0?1?M，即x0?3 因而只要取xM?20?3即有f?xM?10??33?1?M 从而f(x)?1?3x在其定义域R内无界

3

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作业2 数列的极限

1． 用数列极限的“??N”定义证明下列极限：

4n2（1）lim2=4；

n??n?n4n248证明：因为xn?4?2?4??

n?1nn?n???0，要xn?4??，只要

88??,n? n?8取N??2??，则当n?N时n?N?1?

????8??4n2从而xn?4??，由定义lim2

n??n?n（2）limn???n?1?n=0；

11? n?1?nn?证明：因为xn?0?n?1?n????0，要xn?0??，只要?1?11??,n?2

?n1取N??1?2?，则当n?N时n?N?1?2 ????从而xn?0??，由定义limn???n?1?n?0

?n2（3）limn=0．

n??3证明：因为，当n?6时，

?1?2?nn?n?1?2n?n?1??n?2?3n3n22?1?n?2?2?2???xn?0?n?

2!3!23n222????,n?，取N??6??，则当n?N时n???????0，要xn?0??，只要

2n2n?N?1?，从而xn?0??，由定义limn?0

n??3?4

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2．证明：若limun?A，则lim|un|?|A|，并举例说明其逆命题不成立．

n??n??证明：由limun?A知???0，存在N?0，当n?N时un?A??，

n??而un?A?un?A，从而un?A??，由定义lim|un|?|A|

n??逆命题不成立，例如：un???1?，虽然lim|un|?1，但limun不存在

n??n??n3．设数列{un}有界，而limvn?0，求证：limunvn?0．

n??n??证：?{un}有界，所以存在M?0,un?M, 又limvn?0，???0，对于?1?n???M存在N?0，当n?N时vn??1，

从而unvn?unvn?M?M??，由定义limunvn?0

n??4．设数列{un}，{vn}有相同的极限为A，求证：若． xn?un?vn， 则limxn?0．

n??证：由已知???0，对于?1?当n?N2时vn??2存在N1?0，当n?N1时un??2，存在N2?0，

?2，取N?max{N1,N2}，则当n?N时，

n??xn?0?un?A??vn?A??un?A?vn?A??，由定义limxn?0

5．若limun?A?0，

n??（1）证明存在N?0，当n?N时，有un?A?0； 2（2）用数列定义证明limun?1?1．

n??unAA?0存在N?0，当n?N时un?A? 22证：（1）由已知，对于??AAAA3Au??0 n?N即??un?A?,?un?，从而当时，有n22222（2）由（1）?N1?0，当n?N1时，有un?A12?0,0??， 2unA从而

u?uu?A?un?A2un?1?1?n?1n?n?1??un?1?A?un?A? unununA5

《高等数学》同步练习册

又???0，对于?1?因此

A?A?存在N2?0，当n?N2时un?A? 44uun?12A??1??2???，由定义limn?1?1

n??uunA4n作业3 函数的极限

1． 根据函数极限定义证明： （1）

x???lim(x2?4x?5?x)?2；

x2?4x?5?x?2?1x2?4x?5?x?211??,x? x?证：不妨设x?0，?1 x???0，要取X?由定义

x2?4x?5?x?2??，只要

1??0，当x?X时一定有x2?4x?5?x?2??

x???lim(x2?4x?5?x)?2

1?1．

x?11131,?x?1?,?2， 222x?1（2）limx?2证：不妨设x?2?这时

1x?2?1??2x?1 x?1x?1???0，要

?1?1?1??，只要x?1?，取??min{,}?0，

222x?1当0?x?1??时一定有

11?1 ?1??，由定义limx?2x?1x?12． 已知limf(x)?1，证明

x?a（1）

存在?1?0，使得当0?|x?a|??1时，f(x)?5； 6（2） 对任意取定的K?(0,1)，存在?2，使得当0?|x?a|??2时，

f(x)?K．

6

院 系 班级 姓 名 作业编号 证：由limf(x)?1，（1）对??x?a1存在?1?0，使得当0?|x?a|??16时，f?x??1?115,f(x)?1?? 666(2)

?K??0,1?,1?K?0,对??1?K?0存在?2?0，使得当

0?|x?a|??2时，f?x??1?1?K,f(x)?1??1?K??K

?2x?1,x?2?,x?2，研究f(x)在x?2处的左极限、右极限及当3．（1）设f(x)??0?3x?1,x?2?x?2时的极限；

?x2?2x?3,x?1?f(x)?1?x?2，研究极限limf(x)，limf(x)， （2）设?x,x?1x?2?2x?2,x?2?limf(x)是否存在，若存在将它求出来．

x?3解：（1）limf?x??lim?2x?1??5,limf?x??lim?3x?1??5

x?2?0x?2?0x?2?0x?2?0从而limf?x??5

x?2（2）f?1?0??limf?x??1,f?1?0??1?2?3?0，故limf?x?不存在，

2x?1?0x?1f?2?0??2,f?2?0??2?2?2?2,limf?x??2，limf?x??2?3?2?4

x?2x?34． 设limf(x)?A，证明存在a的去心邻域U(a,?0)，使得

x?aof(x)在

该邻域内是有界的．

x)?A，由定义对??1,??0?0，当x?U(a,?0)时，证：?limf(x?aof?x??A?f?xx?A?1，从而f(x)在该邻域内是有界的． ??A?1,f??5． 如果当x?x0时，f(x)的极限存在．证明此极限值唯一．

证：假设极限不惟一，则至少存在两个数A?B，使limf?x??A,limf?x??B同

x?x0x?x0时成立，由定义???0,??1?0，当x?U(x0,?1)时f?x??A??，且

o??2?0，当x?U(x0,?2)时f?x??B??。

从而A?B?f?x??A?f?x??B?2?矛盾，从而此极限值惟一。

7

o《高等数学》同步练习册

作业4 无穷小与无穷大

1． 根据无穷小的定义证明： （1）当n??时，un?n!n是无穷小； n证：由于un?n!12n1?????? nnnnnn?1?1从而???0,?N???，当n?N时n?N?1?，

????由定义当n??时，un?un??

n!是无穷小 nn1是无穷小． x2（2）当x?0时，f(x)?xcos证：由于

f?x??x2cos1?x2 x对???0，要f取???x???，只要x2??,x??

?，则当0?x??时f?x???

2由定义当x?0时，f(x)?xcos1是无穷小 x1?2x是无穷大． x2．根据无穷大的定义证明：当x?0时，f(x)?证：f?x??1?2x11??2??2 xxx?M?0，要f?x??M，只要

11 ?2?M,x?xM?21取??，则当0?x??时, fM?2由定义当x?0时，f(x)??x??1?2?M x1?2x是无穷大 x3x2?2x?13．当x?1时，将f(x)?分解为一个常数与一个无穷小之和． 2x?13x2?2x?1x2?2x?3?2?2?证：?limf?x??2，f(x)?2?

x?1x2?1x2?18

院 系 班级 姓 名 作业编号 4． 求下列极限并说明理由．

e?11lim（1）lim； （2）． x?01x??x(1?ex)xe?1?1e?x?11?11?解：（1）lim，lim?lim?lim?0???0 ??x???x(1?ex)x???x1+exx???x(1?ex)x???xe?x?1????从而limx1?0

x??x(1?ex)（2）

x?0?0limex?1e?11x?x?0?0e?limx?1?e?1x?1x?0，limex?1e?11x1+ex?0?0?1?1?0 0+1从而limx?0ex?1e?11x?0

5． 设当x?x0时，f(x)??，g(x)?A(A?0为常数)．试证明下列各式： （1）lim[f(x)?g(x)]??； （2）limx?x0x?x0f(x)?1．

f(x)?g(x)证：（1）?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)，又由已知，对

??1,??1?0，当

0?x?x0??1时，g(x)?A?g?x??A?1,g?x??1?A；

?M?0，对M1?M?1?A,??2?0，当0?x?x0??2时，f(x)?M1。

取??min{?1,?2},则当0?x?x0??时，f(x)?g?x??M，由定义，得证

g?x?f(x)?g(x)?1??（2）?，

f(x)?g(x)f(x)?g(x)f(x)?g(x)由

已

知

，

对

??1,??1?0，当

0?x?x0??1?xA时，

g(?x)?A???g?x?1??,Ag1； ????0，对M2?1?A,??3?0，当0?x?x0??3时，f(x)?g?x??M2。

取??min{?1,?3},则当0?x?x0??时，得证

1?Af(x)由定义，?1???，

f(x)?g(x)M2 9

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6．设limx?x0f(x)，而limg(x)?0，试问当x?x0时，f(x) ?A（A为实数或无穷）

x?x0g(x)必为无穷小吗？并说明理由．

答：当x?x0时，f(x) 未必为无穷小。例如：当A??时，若f?x??1； 若A为实数，由有极限的量与无穷小量之积，可得当x?x0时，f(x) 必为无穷小 7．证明：f(x)?xcosx在(??,??)内无界，但当x??时，f(x)不是无穷大． 证明：因为对?M?0,?x0?2??M??2?,f?x0??M，所以由定义f(x)?xcosx在(??,??)内无界。

f(x)不是无穷大，因为对?M?0,?x1??2??M??的定义不能成立。

?2,f?x1??0，从而无穷大量

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作业5 极限的运算法则

1． 求下列极限． （1）limx?01?x?1?x

2x2x2xx?0解：原式=lim?1?x?1?x

??1 2（2）limx?89?2x?53x?22解：原式=limx?8?3x2?23x?49?2x?5??12

5（3）lim(x?x?1?x???2x2?3x?2)

?4??limx???解：原式=lim?4x?3x?x?1?x?3x?2223xx???11321??2?1??2xxxx??2

(4x2?5)3(3x?2)4（4） lim 25x??(6x?7)(4?解：原式=limx??5324)(3?)2xx?2

73(6?2)5x（5）limx(x?4x?5?x?2)

x???2解：原式=limxx2?4x?5?x?2x????limx???11?

45221??2?1?xxx（6）lim(cosx?1?cosx)

x???解：

?x?1?xx?1?x?sin原式=lim??2sin? x???22????2limsinx???1x?1?xsin?0

22(x?1?x)11

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2． 确定常数a,b，使得limx?1(a?b)x?b3x?1?x?3?4．

解：?limx?1?3x?1?x?3?limx?1?2x?2?0

3x?1?x?3?lim?(a?b)x?b??limx?1x?1?3x?1?x?3?(a?b)x?b?a?2b?0

3x?1?x?3从而a??2b 因此4?limx?1?(?2b?b)x?b??3x?1?x?32x?2???b24?,b??2,a?4 ?23． 设f(x)?(1?3x?b)(x?b)满足

(x?a)(x?1)x?1（1）limf(x)??, （2）limf(x)?A（A?0为常数）；

x?0试确定常数a,b的值．

解：由limf(x)??知lim(x?a)(x?1)?0,lim(1?3x?b)(x?b)?0

x?0x?0x?0从而a?0,b?0,b?1

又limf(x)?A（A?0为常数），

x?1从而A?limx?1?1?3x?b?(x?b)2(1?0)(x?1)(1?3x?b)x???,?b2?1?3,b?2（b??2不合题意舍去）

24． 确定常数a,b的值，使得lim(2x?6x?5?ax?b)?0，并求出极限

x???limx(2x2?6x?5?ax?b)的值．

11?0,?0?lim(2x2?6x?5?ax?b)?2?a,?a?2 x???xx???x解：?limb?lim(2x2?6x?5?2x)?limx????6x?52x2?6x?5?2x122?x?????632 ??2222 8x???limx(2x2?6x?5?2x?3)?limx???2653?2?2?xx2x?12

院 系 班级 姓 名 作业编号

作业6 极限存在准则与重要极限

1．利用夹逼准则求极限lim(n??1n?11n?2?lim22?1n?212?????1n?nnn?122)．

解：?nn?nnn?122?1n?111?2??????nn?n2n?n?1

2?

又limn???limn??1n2n??从而由夹逼准则lim(n??1n?12?1n?22?????1n?n2)?1

2．设数列{xn}满足：0?x1??，且xn?1?sinxn（n?1,2,?）,证明：limxn存

n??在，并求出此极限值．

解：由已知0?x1??,?0?x2?sinx1?1。设0?xk?1，则0?xk?1?sinxk?1 从而数列{xn}有界，又xn?1?sinxn?xn从而数列{xn}单调减少

因此limxn存在，设limxn?A，则A?limxn?1?limsinxn?sinA，从而A?0

n??n??n??n??3．设n为任意自然数，

（1） 令?n?nn?1，对(1??n)n利用二项式定理证明：当n?2时，

0??n?2成立； n?1（2） 证明：limnn?1．

n??证：（1）显然?n?0，否则?n?nn?1?0,nn?1,n?1会导致矛盾。 从而n??1??n??1?n?n?nn?n?1?2n?n?1?2n?12?n????nn??n,?n?1 222因此0??n?2 n?1（2）lim

n??2?0，从而lim?n?0，因此limnn?lim?1??n??1

n??n??n??n?113

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4．求下列极限． （1）limsin5x?tan3x

x?02x解：原式=lim?（2）limx???sin5x5sin3x3?53?????1 x?05x23x2cosx??22sinmx（n,m为自然数）

sinnxm?1解：设t???x，则

sinm???t???1?sinmtntm??1m?nm

原式=lim?lim??n?1t?0sinn???t?t?0n??1?mtsinntn（3）lim?x?01?cos2x

x2sin2x?2sinx解：原式=lim?lim??2 ?x?0?x?0xx（4）lim?1??1??

x?0xsinxxtanx??2x??sin?1?cosxx12??lim?? 解：原式=lim?x?0xsinxx?0x??2sinx2?2??x?（5）lim?? x??1?x????1???解：原式=lim??1??x??1?x????（6）lim(cosx?sinx)

x?01xx1?x?1??????1x1?x?e?1

解：原式=lim(1?sin2x)x?012x??lim?(1?sin2x)x?0?1sin2x???sin2x2x?e

5．设0?x1?3，xn?1?，求limxn． xn(3?xn)（n?1,2,?）

x??x1?(3?x1)3?

22x?(3?xk)33? 设0?xk?，则0?xk?1?xk(3?xk)?k222解：由0?x1?3知3?xn?0，0?x2?x1(3?x1)?14

院 系 班级 姓 名 作业编号 而xk?1?xk?xk(3?xk)?xk?xk(3?2xk)?0，

xk(3?xk)?xkx??因此数列单调有界，必有极限，设limxn?A 则A?limxn?1?x??A?3?A?,A2?3A?A2,A?3 （A=0不合题意舍去） 2作业7 无穷小的比较

1． 已知当x?π时，（4?3tanx?2）～A(x?π)K，试确定常数A和K． 解：设t???x，则x?t??,4?3tanx?2?4?3tant?2?3tant

4?3tant?2由于limt?04?3tant?24?3tant?23?1 ?，从而limt?03t4t43,K?1 4f(x)ln[1?]sinx?3，求limf(x)． 2． 设limx?0x2x?02x?1因此A?解：?x?0时，2?1~xln2,?limln[1?x?0xf(x)f(x)]?0,lim?0,

x?0sinxsinxln[1?从而3?limx?0f(x)]sinx?limf(x)，因此limf(x)?3ln2

x?0x2x?0x2ln22x?13． 当x?0时，确定下列无穷小关于x的阶数： （1）1?tanx?1?sinx 解：原式=tanx?sinxtanx(1?cosx)?

1?tanx?1?sinx1?tanx?1?sinx由于limx?0tanx(1?cosx)11? 341?tanx?1?sinxx13故当x?0时，该无穷小关于x的阶数为3 （2）(7x?8x35)

2513251331531?35?(7x?8x)解：原式=?x(7x?8)??x5(7x?8),lim?2 1x?0??x5 15

院 系 班级 姓 名 作业编号 为（ D ）

（A）存在且等于零； （B）存在但不一定等于零； （C）一定不存在； （D）不一定存在． 3．求下列极限 （1）

x???lim4x2?x?1?x?1x?sinx4?2；

解：原式=xlim???111?2?1?xxx?1

sinx1?2x?2x?(x?1)2?（2）lim?2．

x?1x?1???2xx?1?x2?1?22????x?1????x?1???1lim1??e??解：原式=x?1? ?2??x?1??????22x?ln(1?ax3)?,??x?0?21?tanx?1?sinx???b,x?04．确定a,b的值，使f(x)??在(?,??)内

2?11?x?x2?ln,x?02x1?x?x??连续．

解：f(0?0)?lim1??2x?1?2xln?1??lim??2 2?x?0?0xx?0?0x1?x?x21?x?x??f(0?0)?limax3?1?tanx?1?sinxtanx?1?cosx?x?0?0??limax?3x?0?01?tanx?1?sinx13x21,b??2 2??4a由连续性f?0??f?0?0??f?0?0?知，b??2?4a,,a??x1x1x5． 指出函数f(x)?e?e的间断点及其类型．

e?1?e解：该初等函数函数孤立的没定义的点x1?0,x2??1均为间断点，

21

《高等数学》同步练习册

1x1x?1x1x?f(0?0)?lime?exx??0?e,f(0?0)?limeex?1?1e?1?ex?1xx??0e?1e??1

1e?1x2?1x?1xlimf(x)?lim?lim?lim?lim?2

x??1x??1?1?1x??1x??1?x?1x??1?11?1?ex?1xx?从而x1?0为第一类跳跃间断点，x2??1为第一类可去间断点 6． 设a1,a2,a3,a4为正常数，证明方程

aa1aa?2?3?4?0有且仅有三xx?1x?2x?3个实根．

证：通分后知，分子为零才是方程的根。令

f?x??a1?x?1??x?2??x?3??a2x?x?2??x?3??a3x?x?1??x?3??a4x?x?1??x?2?则有f?x?在???,???上连续，且f?0???6a1?0，f?1??2a2?0，

f?2???2a3?0，f?3??6a4?0

由闭区间连续函数的零点定理，??1??0,1?,f??1??0，??2??1,2?,f??2??0，

??3??2,3?,f??3??0，而一元三次函数最多有三个不同的零点，因而方程aa1aa?2?3?4?0有且仅有三个实根． xx?1x?2x?37． 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且满足f(a)?g(a)，f(b)?g(b)，证明

在a,b内至少存在一点?，使得f(?)?g(?)．

证：设??x??f?x??g?x?，则?(x)在[a,b]上连续，且满足?(a)?0,?(b)?0， 若?(a)?0或者?(b)?0，则?点可以取为区间的端点；

否则由由闭区间连续函数的零点定理，????a,b?,?????0， 即在a,b内至少存在一点?，使得f(?)?g(?)．

????xn?2?x?n8． 求函数f(x)?limn的连续区间．

n??x?x?n?1解：显然函数在x?0,x??1两点没有定义。先讨论求出极限使函数分段表达式，

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院 系 班级 姓 名 作业编号

x2n?3?x??x 当0?x?1时f(x)?lim2n?1n??x?1x2?x?2n2?x当x?1时f(x)?lim

n??1?x?2n?1当x?1时f(x)?lim1?1?0

n??1?1?0,x?1?从而f(x)???x,0?x?1

?2?x,x?1由于f?1??0?f?1?0??1?1,f?1?0???1

2故x?1为第一类跳跃间断点，该函数的连续区间为???,?1?,??1,0?,?0,1?,?1,???

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