自考概率论与数理统计复习资料要点总结资料

《概率论与数理统计》复习提要

第一章 随机事件与概率

1．事件的关系 A?B A?B AB A?B A ? ? AB?? 2．运算规则 （1）A?B?B?A AB?BA

（2）(A?B)?C?A?(B?C) (AB)C?A(BC)

（3）(A?B)C?(AC)?(BC) (AB)?C?(A?C)(B?C) （4）A?B?AB AB?A?B 3．概率P(A)满足的三条公理及性质： （1）0?P(A)?1 （2）P(?)?1

（3）对互不相容的事件A1,A2,?,An，有P(?A)??P(A) （n可以取?）

kkk?1k?1nn（4）P(?)?0 （5）P(A)?1?P(A)

（6）P(A?B)?P(A)?P(AB)，若A?B，则P(B?A)?P(B)?P(A)，P(A)?P(B) （7）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

（8）P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率

（1） 定义：若P(B)?0，则P(A|B)?P(AB) P(B)（2） 乘法公式：P(AB)?P(B)P(A|B) 若B1,B2,?Bn为完备事件组，P(Bi)?0，则有 （3） 全概率公式： P(A)??P(B)P(A|B)

iii?1n（4） Bayes公式： P(Bk|A)?P(Bk)P(A|Bk)?P(B)P(A|B)iii?1n

7．事件的独立性： A, B独立?P(AB)?P(A)P(B) （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布

1． 离散随机变量：取有限或可列个值，P(X?xi)?pi满足（1）pi?0，（2）

?pii=1

（3）对任意D?R，P(X?D)?i: xi?D?pi

2． 连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足（1）f(x)?0, （2）P(a?X?b)?3． 几个常用随机变量

名称与记号 两点分布B(1,p) 二项式分布B(n,p) 分布列或密度 ???-?f(x)dx?1；

?ba（3）对任意a?R，P(X?a)?0 f(x)dx；

数学期望 方差 P(X?1)?p，P(X?0)?q?1?p kkn?kP(X?k)?Cnpq,k?0,1,2,?n， p np ? 1 pa?b 21pq npq Poisson分布P(?) P(X?k)?e???kk!,k?0,1,2,? ? q 2p几何分布G(p) P(X?k)?qk?1p, k?1,2,? 均匀分布U(a,b) 1f(x)?, a?x?b， b?a(b?a)2 121 2?指数分布E(?) f(x)??e??x, x?0 ? 正态分布N(?,?2) f(x)?12??e? (x??)22?2 ? ?2 4． 分布函数 F(x)?P(X?x)，具有以下性质

（1）F(??)?0, F(??)?1；（2）单调非降；（3）右连续； （4）P(a?X?b)?F(b)?F(a)，特别P(X?a)?1?F(a)； （5）对离散随机变量，F(x)? （6）对连续随机变量，F(x)?i: xi?x?px??i；

?f(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，F'(x)?f(x)

5． 正态分布的概率计算 以?(x)记标准正态分布N(0,1)的分布函数，则有 （1）?(0)?0.5；（2）?(?x)?1??(x)；（3）若X~N(?,?)，则F(x)??(2x???)；

（4）以u?记标准正态分布N(0,1)的上侧?分位数，则P(X?u?)???1??(u?) 6． 随机变量的函数 Y?g(X)

（1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；

（2）X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则fY(y)?fX(g(y))|(g(y))|，若不单调，先求分布函数，再求导。

?1?1'

第三章 随机向量

1． 二维离散随机向量，联合分布列P(X?xi,Y?yj)?pij，边缘分布列P(X?xi)?pi?，P(Y?yj)?p?j有

（1）pij?0；（2）

?pijij（3）pi???pij，p?j??pij ?1；

ji2． 二维连续随机向量，联合密度f(x,y)，边缘密度fX(x), fY(y)，有 （1）f(x,y)?0；（2） （4）fX(x)???????????（3）P((X,Y)?G)???f(x,y)dxdy； f(x,y)?1；

G?????f(x,y)dy，fY(y)??f(x,y)dx

?????1, (x,y)?G ?3． 二维均匀分布f(x,y)??m(G)，其中m(G)为G的面积

?0, 其它?4． 二维正态分布(X, Y)~N(?1,?2,?1,?2,?)，其密度函数（牢记五个参数的含义）

22f(x,y)?12??1?22?(x??1)(y??2)(y??2)2????1?(x??1)?exp??2?????2222??2(1??)???1??1212?????且

2X~N(?1,?12), Y~N(?2,?2)；

5． 二维随机向量的分布函数 F(x,y)?P(X?x,Y?y)有 （1）关于x,y单调非降；（2）关于x,y右连续； （3）F(x,??)?F(??,y)?F(??,??)?0；

（4）F(??,??)?1，F(x,??)?FX(x)，F(??,y)?FY(y)；

（5）P(x1?X?x2, y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)；

?2F(x,y) （6）对二维连续随机向量，f(x,y)?

?x?y6．随机变量的独立性 X,Y独立?F(x,y)?FX(x)FY(y) （1） 离散时 X,Y独立?pij?pi?p?j

（2） 连续时 X,Y独立?f(x,y)?fX(x)fY(y)

22（3） 二维正态分布X,Y独立???0，且X?Y~N(?1??2,?1??2)

7．随机变量的函数分布

（1） 和的分布 Z?X?Y的密度fZ(z)?（2） 最大最小分布

第四章 随机变量的数字特征 1．期望

(1) 离散时 E(X)??????f(z?y,y)dy??f(x,z?x)dx

?????xpiii，E(g(X))??g(x)piii ；

(2) 连续时E(X)??????xf(x)dx，E(g(X))??g(x)f(x)dx；

????(3) 二维时E(g(X,Y))??g(xi,yj)pij，E(g(X,Y))??i,j?????????g(x,y)f(x,y)dxdy

(4)E(C)?C；（5）E(CX)?CE(X)； （6）E(X?Y)?E(X)?E(Y)； （7）X,Y独立时，E(XY)?E(X)E(Y) 2．方差

（1）方差D(X)?E(X?E(X))2?E(X2)?(EX)2，标准差?(X)?（2）D(C)?0, D(X?C)?D(X)； （3）D(CX)?CD(X)；

（4）X,Y独立时，D(X?Y)?D(X)?D(Y) 3．协方差

（1）Cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]?E(XY)?E(X)E(Y)；

2D(X)；

(X,Y)； （2）Cov(X,Y)?Cov(Y,X), Cov(aX,bY)?abCov（3）Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y)；

（4）Cov(X,Y)?0时，称X,Y不相关，独立?不相关，反之不成立，但正态时等价； （5）D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) 4．相关系数 ?XY?Cov(X,Y)；有|?XY|?1，|?XY|?1??a,b, P(Y?aX?b)?1

?(X)?(Y)5．k 阶原点矩?k?E(Xk)，k 阶中心矩?k?E(X?E(X))k

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