大学物理习题1解答

作业1 质点运动学 力

1-1 有一物体做直线运动，它的运动方程式为x = 6t2 - 2t3，x单位为米，t单位为秒．则

⑴ 第2秒内的平均速度为 4 m/s； ⑵ 第3秒末的速度为 -18 m/s； ⑶ 第1秒末的加速度为 0 m/s2；

⑷ 这物体所做运动的类型为 加速度减小的加速直线运动 ． 原题 1-1

1-2 一质点在xOy平面内运动，其运动方程为以下五种可能：

⑴ x = t，y = 19 -2/t； ⑵ x = 2t，y = 19 - 3t； ⑶ x = 3t，y = 17- 4t2； ⑷ x = 4 sin5t，y = 4 cos5t； ⑸ x = 5 cos6t，y = 6 sin6t， 那么表示质点作直线运动的方程是 ⑵ ，作圆周运动的方程是 ⑷ ，作椭圆运动的方程是 ⑸ ，作抛物线运动的方程是 ⑶ ，作双曲线运动的方程是 ⑴ ． 原题 1-2

1-3 质点在xOy平面内运动，其运动方程为：x = 10 - 2t2，y = 2t，⑴ 计算什么时刻，其速度与位矢正好垂直？ ⑵ 什么时刻，加速度与速度间夹角为45?？

原题 1-4

1

1-4 两辆车A、B在同一公路上作直线运动，方程分别为 xA = 4t + t2，xB = 2t2 + 2t3,若同时发车，则刚离开出发点（t = 0）时，哪辆车行驶的速度快？出发后什么时刻两车行驶距离相等，什么时候B车相对A车速度为零？

原题 1-5

1-5 在与速率成正比的阻力影响下，一个质点具有加速度a = - 0.2?，求需多长时间才能使质点的速率减小到原来速率的一半．

原题 1-7

1-6 半径为R 作圆周运动的质点，速率与时间的关系为 ??ct2（式中的c为常数，t以秒计），求：⑴ t = 0到t时刻质点走过的路程．⑵ t时刻质点加速度的大小．

原题 1-8

2

1-7 离水面高为h的岸边，有人用绳拉船靠岸，船在离岸s米处，如图所示，当人以?0米/秒恒定的速率收绳时，试求船的速度和加速度的大小． ?0

原题 1-11 h

s

题1-7图

1-8 一路灯距地面高度为 h，身高为 l 的人以速度 ?0 在路灯下匀速慢跑，如图所示，求人的影子中头顶的移动速度 ?，并求影长增长的速率 u． P8 1.3 解：建立坐标系，人坐标为x1，人影头顶坐标为x2． 则 ??dx2dx??dx2dt，?0?1?0?dx1dt

dtdthlO∵ x2?x1 为人影长度，

dxdx∴ u?d(x2?x1)?2?1????0

dtdtdth?l， ? x?hx 由图知 x2x2?x12h?l1x1题1-8图

x2x∴ ??

dx2dx1?h?0, u????0?l?0 ?hh?lh?lh?ldtdt1-9 质点沿半径为0.100 m的圆周运动，其角位移 ? 随时间 t 的变化规律是

23

?= 2 + 4t（SI），在 t = 2 s 时，它的法向加速度 an?___an?2.30?10___m?s?2，

切向加速度at?_____at?4.80____m?s?2．

?2d?d?2?14.4t4, at?参考解：??R?1.2t, an??2.4t . Rdtdt 当 t?2s时, an?2.30?102m?s?2, at?4.80m?s?2

3

1-10 质点 M 在水平面内运动轨迹如图所示，OA段为直线，AB、BC段分别为不同半径的两个 1/4 圆周．设t = 0 时，M 在O点，已知运动方程为 s = 10 t + 2t3 （SI），求 t = 2 s时刻，质点M 的切向加速度和法向加速度． 解： ∵ s = 10 t + 2t3 Bs∴各瞬时质点的速率：??ds/dt = 10 + 6t2 Md?d2s10m ?2 = 12 t 切向加速度：at?Adtdt?2法向加速度：an?

?10m 20m ∴ t = 2 s时， s = ? = 36 m (在大圆上)， 题1-10图

??34 m/s，

at = 24 m/s2， an = 57.8 m/s2

1-11 质量m为10 kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间是变化关系如图所示．已知木箱与地面间的摩擦系数 ? 为0.2，求t为4s和7s时，木箱的速度大小．（g = 10 m/s2）． F(N) 30 原题 2-4 0 4 7 t(s)

题1-11图

21-12 某质点质量 m = 2.00 kg， 沿x轴做直线运动，受外力F?10?6x(SI制)．若在x0= 0处，速度 ?0?0，求该物体移到 x = 4.0 m处时速度的大小．

d?d?dxd? 解： 因为运动方程为 F?ma?10?6x2， 又 a?，则 ???dtdxdtdx有 m?OCd??10?6x2 即 dx?1? d??0mv?x0(10?6x2) dx

得 ?4.0?13m?s?1

4

1-13 光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R，一物体贴着环带的内侧运动，如图所示，物体与环带间的滑动摩擦系数为 ?k，设物体在某一时刻经A点时的速率为?0，求此后t时间物体的速率以及从A点开始所经过的路程． A ?0原题 2-6

R

题1-13图

1-14．质量为m 的物体在竖直平面内沿着半径为R的圆形轨道作圆周运动．设t时刻物体瞬时速度的大小为?，速度的方向与竖直方向成?角（如图所示）．求： ⑴ t时刻物体的切向加速度at和法向加速度an． m ⑵ t时物体对轨道的压力的大小N． ?R 解：建立切向、法向坐标，列方程 ??O 切向：mat?mgsin? ，

法向：man?mgcos??N?，an??2R，N?N? ? an??2R ⑴ at?gsin⑵ N?

m??mgcos? R2m 题1-14图

?N??R ???O mg1-15 质量为m的静止物体自较高的空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度

成正比的阻力的作用，比例系数为k > 0，该下落物体的收尾速度（即最后物体作匀速运动时的速度）．

?vtd?d?ktd??dt ? ??dt 解: m?mg?k? ?

0000g?k?m??mgkmdt????mg?k??mgkkmg?k??mg????t ?ln?????ln?????t ?ln???t ?ln???k?m?mgkmk?0m??k????

??mgk?mgk?e?ktm?tmgmg(1?em) “最后”,相当于t??, 则有 ?m? ? ?? kkk5

3-13 单摆和直杆等长l，等质量m，悬挂于同一点O，摆锤拉到高度h0（h0 ≤ l ）放开，与静止的直杆作弹性碰撞，已知直杆绕O点的转动惯量J?ml23，求碰撞后直杆下端可上升的最大高度h．

O 解: 碰撞前摆锤速率 ??2gh

00设碰撞后摆锤速率?，直杆角速率?，已知 J?ml23，则 碰撞前后角动量守恒 ml?0?ml??J?

2碰撞前后机械能守恒 1m?0?1m?2?1J?2

l m h0 题3-13图 l m 222直杆上升过程机械能守恒 J?22?mgh2 解得 ??3?0 h?3h02 2l

*3-14 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心O的固定水平轴在铅垂平面内自由转动（转动惯量为 ml212），开始时杆静止于水平位置．一质量与杆相同的昆虫以速率?0垂直落到距O点 l4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示．若要使杆以匀角速度转动，试求昆虫沿杆爬行的速率．P107 6.5 解：设杆和虫的重量均为m，碰后角速度为?，虫落到杆上为完全非弹性碰撞（时间很短，重力可忽略），对杆和虫的系统，合外力矩为零，角动量守恒

Ol4?0m?0l4?[ml212?m(l4)2]?

得 ??

7l设碰后t时刻，杆转过?角，虫爬到距O点为r处，此时杆和虫系统所受合外力矩为

M?mgrcos?

12?0题3-14图

l4Om?0r?d(J?) dt由题设?不变，∴ M??dJ

dt根据角动量定理有 M?mgrcos??2m?rdr

dtmmgt时刻系统对O的转动惯量为 J?ml212?mr2，代入上式，有

12∴ 为了保持?不变，虫的爬行速录应为??7?0l

gcos?g?cos?t?7lcos(12?0t) ??dr?24?07l2?dt2?

11

作业5 热力学基础

5-1 一定量理想气体从a (2p1，V1) 状态经历如图直线过程到 b(p1，2V1) 状态，则在ab过程中系统对外作功 A = 3P1V1/2 ，内能改变 ?E= 0 ．

P2P1 P1 O a b V1 2V1 V 题5-1图

13解： 面积A?(p1?2p1)?（2V1?V1）?p1V1，

22又因为paVa?pbVb，所以TA?TB，?E?0

5-2 图示系统中, 由a状态沿acb到b状态, 有335 J热量传入系统, 而系统作功126J.

⑴ 若沿adb时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统？

⑵ 当系统由b状态沿线ba返回a状态时，外界对系统作功84 J，试问系统是吸热还是放热？热量传递多少？ p c b ⑶ 若Ed - Ea = 40 J，求沿ad和db各吸收热量多少？

原题 9—1 a d O V 题5-2图

5-3 某理想气体在标准状态下的密度为0.0894 kg/m3，求该气体的摩尔定压热容Cp,m

及摩尔定体热容CV,m． 原题 9—2

12

5-4 图示为1摩尔的理想气体的T-V图，ab为直线，其延长线过O点，则ab过程

是 等压 过程，在此过程中气体对外作功为 RT0/2 ．

T 原题 9—4 b T0

a

O V0 2V0 V

题5-4图

5-5 20g的氦气（He）从初温度为17oC分别通过（1）等体过程；（2）等压过程，

o

升温至27C，求气体内能增量，吸收的热量，气体对外做的功． 原题 9—5

5-6 理想气体由状态 ( p0，V0) 经绝热膨胀至状态( p，V )，证明在此过程中气体所作的功为 A?(p0V0?pV)(??1)．

原题 9—7

13

5-7 容器内贮有刚性多原子分子理想气体，经准静态绝热膨胀过程后，压强减小为初压强的一半，求始末状态气体内能之比 E1 : E2 ． 原题 9—8

5-8 1 mol理想气体，CV?3R2，进行图示的循环，ab和cd为等压过程，bc和da

Va?1.0L，pc?1.013?105Pa，Va?2.0L．为等体过程，已知：pa?2.026?105Pa，试

p求循环的效率．

ab解： 循环中气体做功 paA?pa(Vb?Va)?pc(Vb?Va)?(pa?pc)(Vb?Va)

pcOdcVbV = ?? = 1.013 × 102 (J)

pVpV Ta?aa=?= 24.4 (K)；Tb?bb=?= 48.8 (K)；

RRpV Td?dd=?= 12.2 (K).

R在 da等体过程和ab等压过程中，气体吸热

Q1?Qda?Qab?CV(Ta?Td)?Cp(Tb?Ta)=?= 659 (J)

Va题5-8图

∴ 循环的效率 ??

A=?=15.4% Q15-9 一卡诺热机工作于温度为1000 K与300 K的两个热源之间，如果

⑴ 将高温热源的温度提高100 K，则理论上热机的效率将增加 3 %； ⑵ 将低温热源的温度降低100 K，则理论上热机的效率各增加 10 %． 解：热机工作在1000 K与300 K之间时的效率 ??1?T2T1=?= 70%

⑴ 高温热源提高100 K时的效率 ?1?1?T2T1?=?= 73%，提高?1??= 3%； ⑵ 低温热源降低100 K时的效率 ?2?1?T2?T1=?= 80%，提高?2??= 10%；

14

5-10 汽缸内贮有36g水蒸气（视为刚性分子理想气体），经abcda循环过程如图所示，其中a→b、c→d为等体过程，b→c为等温过程，d→a为等压过程，试求： ⑴ Ada = ？ ⑵ ?Eab = ？ ⑶ 循环过程水蒸气作的净功A = ？⑷ 循环效率 ?=？

p(atm) ( 1atm=1.013×105 Pa)．

b 6

原题 9—11 c a 2 d

O 50 V(l) 25

题5-10图

5-11 图示为一定量理想气体所经历循环过程的T-V图，其中CA为绝热过程，状态A (T1,V1)和状态B(T1,V2)为已知．求：

⑴ 状态C的p、V、T量值（设气体的?和摩尔数已知）；

⑵ 在AB、BC两过程中工作物质与热源所交换的热量，是吸热还是放热？ ⑶ 循环的效率． T 原题 9—9

A B

C

O V 题5-11图

15

5-12 一台电冰箱，为了制冰从260 K的冷冻室取走热量209 kJ．如果室温是300 K，电力做功至少应是多少（假定冰箱为理想卡诺循环致冷机）？如果此冰箱能以0.209 kJ/s的速率取出热量，试问所需电功率应是多少？ 解：

此卡诺循环的致冷系数为 w?T2260Q2?=?= 6.5 ?AT1?T2300?260Q2=?= 3.22×104 J = 32.2 kJ w如果此冰箱以0.209 kJ/s的速率取出热量，所需电功率至少为 从冷冻室取走热量209 kJ时，所需电功至少为A? P?0.209?1036.5 = 32.2 w

*5-13 有一套动力装置，用蒸汽机带动致冷机．若蒸汽机锅炉的温度为227℃，用暖气系统作为蒸汽机的制冷器，制冷器温度为57℃；致冷机在温度为7℃的天然蓄水池中吸热，并放给暖气系统．试求每燃烧1 kg燃料（燃烧值为2.00×107 J/kg）所能共给暖气系统热量的理想值． 解：

蒸汽机的效率为 ??AT57?273?1?2?1?= 34% Q1T1227?273从1 kg燃料中吸收的热量为 Q1= 2.00×107 J 对外做功为 A??Q1=?= 6.80×106 J 因此放入暖气系统的热量为 Q2?Q1?A = 1.32×107 J 致冷机的致冷系数为 w??T2?7?273Q2??= 5.6 AT1??T2?(57?273)?(7?273)??wA= 3.81×它从天然蓄水池中吸热 Q2107 J

每燃烧1 kg燃料所能共给暖气系统的总热量为

??A?Q1?Q2?=?= 5.81×??Q1?A?Q2Q总?Q2?Q1107 J

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作业7 振 动

7-1 固体中相邻原子之间的作用力类似于用弹簧联接的弹力．在常温下，固体中原子振动的频率约为 1013Hz，某固体中的一个银原子以此频率振动，假设其余原子都不动．已知一摩尔银（有6.02?1023个原子）的质量为 108 g．则原子间的等 效劲度系数为 707 N/m．

P131. 7.4 解：银原子质量 m = 108×10?3/6.02×1023 , k?(2πv)2m= 707 N/m． 7-2 喇叭膜片作简谐振动，频率为 440 Hz，其最大位移为 0.75 mm，则角频率为 880π ；最大速率为 2.07 m/s；最大加速度为 5.73×103 m/s2． P132. 7.6 解：x?Acos(?t??)，??2π?；????Asin(?t??)，?max??A；

a???2Acos(?t??)，amax??2A

7-3 一汽车可视为是被支撑在四根相同的弹簧上，可沿铅垂方向振动，频率为3.00

Hz，车的质量为 1450 kg，设车重均匀的分配在四根弹簧上，则每根弹簧的劲度系数k = 1.288×105 N/m；若有平均质量为 73.00 kg的 5 个人坐在车上，仍定车和人的总重量均分于四根弹簧上，则此时车与人所构成系统的振动频率为v = 2.68 Hz．

P137 7.14 解：四根弹簧并联 k??4k，??k?m，?k?π2v2m= 1.288×105 N/m M = 1450 + 73 × 5，? v?(12π)4kM = 2.68 Hz

7-4 图(a)、(b)为两个简谐振动的 x ~t曲线，用余弦函数表示振动时，它们的初相位分别是 ?a= ???/3 ，?b= ??/2 ；角频率分别为?a = 5?/6 rad/s，

?b= ? rad/s；图(a)曲线上P点的相位 ?P= ??/3 ，速度的方向为 负 ，加速度的方向与速度的方向 相同 ，达到P点的时刻 t = 0.8 s．

x

A

A/2

O

原题 19-4 x A P 1 (a) t (s) O 1 t (s) (b) 题7-4图

17

7-5 一个小球和轻弹簧组成的系统，按 x?0.05cos(8π t?π3)(SI) 的规律振动． ⑴ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，最大速度及最大加速度； ⑵ 求t = 1秒，2秒和10秒等时刻的相位．

原题 19-1

7-6 一长方形木块浮于静水中，其浸入深度为 h，用手慢慢下压木块，使其浸入深度变为 b，然后放手任其运动．⑴ 试证明：若不计阻力，木块的运动为谐振动，并写出木块运动的动力学（微分）方程；⑵ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，并写出木块的运动学（余弦函数）方程．P138 7.15 解：⑴ 取如图所示的坐标系， hb木块在任一位置x处所受浮力为 f?(h?x)S? g 由平衡条件有 mg?hS? g 题7-6图 木块所受合力为 F?mg?f??S? g x

2xd木块运动微分方程为 m2??S? g x??mgx

dth2g? x?0 即 dxdt2hbhOxx∴木块的运动为谐振动．

⑵ 振动的角频率 ??gh， 周期 T?2πhg

(t??) 设木块的运动学方程为 x?Acos?s?b?h，?0??? Asin??0，求得 由初始条件 t = 0时 x0?Aco?振幅 A?b?h， 初相位 ??0

∴木块的运动学方程为 x?(b?h)cos(ght)

18

7-7 有一个与轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，该振动的表达式用余弦函数表示，若t = 0时，球的运动状态为：① x0??A；② 过平衡位置向x轴正向运动；③ 过x = A/2，且向x轴负方向运动．试用矢量图法确定相应的初相位．

原题 19-2

7-8 一质点在一直线上作简谐振动，当它距离平衡位置为 +3.0 cm，其速度为?93π cm/s，加速度为?27π2cm/s2．从此时刻开始计时，写出余弦函数形式的振动方程，经过多长时间反向通过该点？

原题 19-3

19

7-9 当重力加速度g改变dg时，试问单摆的周期T的变化dT如何？写出周期的变g之间的关系式．在某处（g = 9.80 m/s2）走时准确化dT与重力加速度的变化dgT的一个单摆挂钟被移至另一地点后每天慢10 s，试用上关系式计算该地的重力加速度的值．

原题 19-6

7-10 一质点作谐振动，其振动方程为：x?6.0?10?2cos[(π3)t?π4] (SI)

⑴ 当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半；

⑵ 质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？

原题 19-7

7-11 有两个同方向、同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.20米，其相位与第一振动的相位差为π6，已知第一振动的振幅为0.17米，求第二振动的振幅以及第一和第二振动之间的相位差．

原题 19-8

20

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