高三数学第一轮复习单元测试(7)—圆锥曲线

圆锥曲线

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的） 1．若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为

A．

D．

（ ）

3 42B．

2 3C．

1 21 4x2y22．若抛物线y?2px的焦点与椭圆（ ） ??1的右焦点重合，则p的值为

62A．?2 B．2 C．?4 D．4

223．已知双曲线3x?y?9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等

于 A．2

B．

2 D．4

（ ）

23 32C． 2

4．与y轴相切且和半圆x?y?4(0?x?2)内切的动圆圆心的轨迹方程是

A．y??4(x?1)(0?x?1) C．y?4(x?1)(0?x?1)

2222（ ）

2B．y?4(x?1)(0?x?1) D． y??2(x?1)(0?x?1)

2225．直线y?2k与曲线9kx?y?18kx (k?R,且k?0)的公共点的个数为 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

22xy6．如果方程??1表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 ?pq

（ ）

x2y2A．??1

2q?pqx2y2B． ???1

2q?pp

x2y2??1 C．

2p?qqx2y2D． ???1

2p?qqx2y2x2y27．曲线（ ） ??1(5?m?9)的 ??1(m?6)与曲线

5?m9?m10?m6?m A．焦距相等 B．离心率相等 C．焦点相同 D．准线相同

228．双曲线mx?y?1的虚轴长是实轴长的2倍，则m? （ ）

11 B．?4 C．4 D． 449．设过点P?x,y?的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B 两点，点Q与点P 关

A．?于y轴对称，O为坐标原点，若BP?2PA，且OQ?AB?1，则P点的轨迹方程是 （ ）

1

A．3x2?32y?1?x?0,y?0? 2B．3x2?32y?1?x?0,y?0? 2323D．x2?3y2?1?x?0,y?0? x?3y2?1?x?0,y?0?

22210．抛物线y??x上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值是 （ ）

478 A． B． C． D．3

355 C．

11．已知抛物线x?y?1上一定点A(?1,0)和两动点P,Q当PA?PQ是,点Q的横坐标的取值范

围是 A．(??,?3]

B．[1,??)

C．[?3,1]

（ ）

2D． (??,?3]?[1,??)

x2y212．椭圆??1上有n个不同的点:P1,P2,....Pn,,椭圆的右焦点为F,数列{|PnF|}是公差大于

431的等差数列,则n的最大值为 100 （ ）

A．199 B．200 C．198 D．201 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)

x2y213．椭圆??1的两个焦点为F1,F2 ,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|123是|PF2|的______________倍.

x2y214．如图把椭圆+=1的长轴AB分成8等

2516分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部

分于P1,P2,?,P7七个点,F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+?+|P7F|= .

15．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应

为____________.

16．已知两点M(?5,0),N(5,0),给出下列直线方程:①5x?3y?0;②5x?3y?52?0;③

x?y?4?0.则在直线上存在点P满足|MP|?|PN|?6的所有直线方程是_______.(只填序号)

2

三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天

y2x2器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为??1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛

1002564??物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M?0,? 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为

7??D(8,0). 观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B

测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天 器发出变轨指令？

18．（本小题满分12分）已知三点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）。 （1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（2）设点P、F1、F2关于直线y＝x的对称点分别为P?、F1'、F2'，求以F1'、F2'为焦点且过点

P?的双曲线的标准方程.

19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为常数).

（1）求椭圆的方程;

1,一个焦点是F(?m,0)(m为大于0的2????????? （2）设Q是椭圆上一点,且过点F,Q的直线l与y轴交于点M,若|MQ|?2|QF|,求直线l的斜

率.

3

x2y220．（本小题满分12分）已知点A,B分别是椭圆??1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦

3620点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA?PF. （1）求点P的坐标;

（2）设M椭圆长轴AB上的一点, M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距

离d的最小值.

21．（本小题满分12分）已知抛物线y?8x,是否存在过点Q(1,1)的弦AB,使AB恰被Q平分.若存

在,请求AB所在直线的方程;若不存在,请说明理由.

2??22．（本小题满分14分）设x,y?R,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量

????????a?xi?(y?2)j,b?xi?(y?2)j,且|a|?|b|?8.

（1）求点M(x,y)的轨迹C的方程;

???????????? （2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于A,B两点,设OP?OA?OB,是否存在这样的直线l,使得四

边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.

4

1．C . 原点到F1,F2的距离之和是长轴长2a?4,又2c?2,所以椭圆的离心率e?c1?. a2x2y22．D . 椭圆 ??1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2?2px的焦点为(2,0)，则p?4，故选D．

623．答案选C 依题意可知 a?3,c?a2?b2?3?9?23，

e?c23??2，故选C． a34．A 设动圆圆心为M(x,y),动圆与已知半圆相切的切点为A,点M到y轴的距离为d,则有

|OA|?|OM|?d,而d?x,所以2?x2?y2?x,化简得y2??4(x?1)(0?x?1).

5．D．将y?2k代入9kx?y?18kx得：9kx?4k?18kx

22222222?9|x|2?18x?4?0，显然该关于|x|的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4 个，故

选择答案D．

6．D．由题意知,pq?0.若p?0,q?0,则双曲线的焦点在y轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都

在x轴上,而选择支B,D不表示椭圆;

若p?0,q?0,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方c??p?q,双曲线的焦点在x轴上,选择支D的方程符合题意.

2x2y2??1(m?6)知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由7．A．由

10?m6?mx2y2??1(5?m?9)知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A． 5?m9?m8．A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线，“x2”与“y2”的系数的符号就

x2y2y2x2?2?1?2?122bb不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是a或a（a,b?0），题

目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要变

x21??y2?1:1?41/|m||m|一下形儿，变成。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 = 4.即，1m??4。选A．当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈所以

出来

5

9．D．由BP?2PA及

????????33OQ?AB?(?x,3y)?(?x,y)?x2?3y2?1(x?0,y?0)

2232????????3AB?(?x,3y)，由点Q与点P关于y轴对称知，Q(?x,y)，OQ=(?x,y)，则

2A,B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知，A(x,0),B(0,3y)，

|4t?3t2?8||3t2?4t?8|d??25510．A .抛物线上任意一点（t，?t）到直线的距离.因为

4?4?3?8?0，所以3t?4t?8?0恒成立.从而有

22d?123t?4t?8??5，

dmin14?3?8?424???54?33.选A．

21????????11．D .由题意知,设P(x1,x?1),Q(x2,x2?1),又因为A(?1,0),由PA?PQ知,PA?PQ?0,即

(?1?x1,1?x12)?(x2?x1,x22?x12)?0,也就是(?1?x1)?(x2?x1)?(1?x12)?(x22?x12)?0,

因为x1?x2,且x1??1,所以上式化简得x2?得x2?1或x2??3.

11?x1??(1?x1)?1,由基本不等式可1?x1(1?x1)|最小,|PnF|最大,又F为椭圆的右焦点,设Pn的横12．D . 由题意知,要使所求的n最大,应使|PF11|?1,当,所以当x1?2时, |PF122|?(n?1)dxn??2时, |PnF|?3最大.由等差数列的通项公式可得, |PnF|?|PF,即n??1,1d1又因为d?,解得n?201.

100坐标为xn故由第二定义可得,|PnF|?a?exn,其中a?2,e?13．7倍. 由已知椭圆的方程得a?23,b?3,c?3,F1(?3,0),F2(3,0).由于焦点F1和F2关于y轴对称,所以PF2必垂直于x轴.所以

P(3,33373),|PF2|?,|PF1|?(3?3)2?()2?,所以|PF2|?7|PF1|. 222214．35. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+?+x7=0,于是

|P1F|+|P2F|+?+|P7F|=a+ex1+a+ex2+?+a+ex7=7a+e(x1+x2+?+x7)= 7a=35,所以应填35.

6

15．1米. 由题意知,设抛物线的方程为x??2py(p?0),又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点

(8,-4)为抛物线上的点,所以p?8.即抛物线方程为x??16y.所以当x?4时,y??1,所以柱子的高度为1米.

22x2y216．②③. 由|MP|?|PN|?6可知点P在双曲线??1的右支上,故只要判断直线与双曲

916454x,直线①过原点且斜率?,所以直33352线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在y轴上的截距为?故与双曲线的右支有两个

34交点;直线③的斜率1?,故与双曲线的右支有一个交点.

3线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为y??17．（1）设曲线方程为y?ax2?由题意可知，0?a?64?64， 764. 7?a??1. 7164? 曲线方程为y??x2?.

77 （2）设变轨点为C(x,y)，根据题意可知

?x2y2(1)??100?25?1, ? 得 4y2?7y?36?0，

?y??1x2?64,(2)?77?9 y?4或y??（不合题意，舍去）. ?y?4.

4 得 x?6或x??6（不合题意，舍去）. ?C点的坐标为(6,4)，

|AC|?25,|BC|?4.

答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令.

x2y218．（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为2+2?1(a?b?0)，其半焦距c?6。

ab2a?|PF1|?|PF2|?112?22?12?22?65， ∴a?35， x2y2?1； +b?a?c?45?36?9，故所求椭圆的标准方程为

459222 （2）点P（5，2）、F1（－6，0）、F2（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：

、F2'（0，6） P?(2,5)、F1'（0，-6）设所求双曲线的标准方程为

x2a12-

y2b12?1(a1?0,b1?0)，由题意知半焦距c1?6，

7

2a1?|P'F1'|?|P'F2'|?112?22?12?22?45， ∴a1?25， b1?c1?a1222y2x2?36?20?16，故所求双曲线的标准方程为-?1.

2016x2y2c119．（1）设所求椭圆方程为:2?2?1(a?b?0).由已知得:c?m,?,所以a?2m,b?3m.

aba2x2y2故所求椭圆的方程为:??1.

4m23m2 （2）设Q(xQ,yQ),直线l:y?k(?x?????????m),则点M(0,km.)当MQ?2QF时,由于

F(?m,0),M(0,km).由定比分点坐标公式,得xQ?0?2m2km?01??m,yQ??km.又1?231?23224m2km?????????99点Q在椭圆上,所以??1,解得k??26.当MQ??2QF224m3m4m2k2m20?(?2)?(?m)km时,xQ???1,解得k?0.故直线??2m,yQ???km.于是224m3m1?21?2l的斜率为0或?26. ????????20．（1）由已知可得点A(?6,0),F(0,4), 设点P(x,y),则AP?(x?6,y),FP?(x?4,y),

由已知可得

?x2y2?1???3620?(x?6)(x?4)?y2?0?.则2x?9x?18?0解得x?23,或x??6.由于y?0,只能2533533). . 所以点P的坐标是(,x?,于是y?2222m?6 （2）直线AP的方程是x?3y?6?0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是

2. 于是

m?62?|m?6|,又?6?m?6,解得m?2. 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

549d2?(x?2)2?y2?x2?4x?4?20?x2?(x?)2?15,由于?6?x?6,所以当

992

8

x?9时,d取得最小值15. 221．假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为k,点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,所以

2?(y1?y2)?y1?8x1(y?y)(y?y)?8(x?x),两式作差得,,即(y?y)?8,解得k?4,?212121212x1?x2??y2?8x2故直线方程为y?1?4(x?1),即y?4x?3.经验证,直线符合条件.

??|?8,得x2?(y?2)2?x2?(y?2)2?8?4,设F1(0,?2),F2(0,2)则动点M22．（1）由|a|?|b满足|MF1|?|MF2|?8?4?|F1F2|,所以点M在椭圆上,且椭圆的a?4,c?2,b?23.所以

y2x2轨迹C的方程为??1.

1612?y?kx?3? （2）设直线的斜率为k,则直线方程为y?kx?3,联立方程组?y2x2消去y

?1???1612得:(4?3k)x?18kx?21?0,??(18k)?84(4?3k)?0恒成立,设由已知可得

2222?x2y2?1??3620??(x?6)(x?4)?y2?0?.则2x?9x?18?0解得x?233,或x??6.由于y?0,只能x?,于22是y?53353). . 所以点P的坐标是(,222m?6 （2）直线AP的方程是x?3y?6?0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是

2. 于是

m?62?|m?6|,又?6?m?6,解得m?2. 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

549d2?(x?2)2?y2?x2?4x?4?20?x2?(x?)2?15,由于?6?x?6,所以当

9929x?时,d取得最小值15. 221．假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为k,点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,所以

9

2?(y?y2)?y1?8x1,两式作差得,(y1?y2)(y1?y2)?8(x1?x2),即(y1?y2)1?8,解得k?4,?2x?x?12?y2?8x2故直线方程为y?1?4(x?1),即y?4x?3.经验证,直线符合条件.

??|?8,得x2?(y?2)2?x2?(y?2)2?8?4,设F1(0,?2),F2(0,2)则动点M22．（1）由|a|?|b满足|MF1|?|MF2|?8?4?|F1F2|,所以点M在椭圆上,且椭圆的a?4,c?2,b?23.所以

y2x2轨迹C的方程为??1.

1612?y?kx?3? （2）设直线的斜率为k,则直线方程为y?kx?3,联立方程组?y2x2消去y

?1???1612得:(4?3k)x?18kx?21?0,??(18k)?84(4?3k)?0恒成立,设

2222????????18k21A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2??.由AP?OB,所以四边形OAPB为平行,x1x2?224?3k4?3k四边形.若存在直线l,使四边形OAPB为矩形,则OA?OB,即

????????5OA?OB?x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?3k(x1?x2)?9?0,解得k??,所以直线l的方

4程为y??

5x?3,此时四边形OAPB为矩形. 4 10

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