电磁场作业题答案全

电 磁 场 作 业 答 案

第1章 矢 量 分 析

1.1 什么是场？什么是矢量场？什么是标量场？什么是静态场？什么是时变场？

答：如果在空间某一个区域内上任意一点都有一确定物理量值与之对应，则这个区域就构了一个物理量的场。

如果这个确定物理量值是一个标量（只有大小没有方向），我们称这种场为标量场，如温度场、密度场、电位场等等。

如果这个确定物理量值是一个矢量（既有大小又有方向），我们称这种场为矢量场，如电场、磁场、重力场等等。

如果在场中的这个物理量仅仅是空间位置的函数，而不是时间的函数（即不随时间变化的场），我们称这种场为静态场。

如果在场中的这个物理量不仅仅是空间位置的函数，而且还是时间的函数（即随时间变化的场），我们称这种场为时变场。

1.2 什么是标量？什么是矢量？什么是常矢？什么是变矢？什么是单位矢量？

答：一个物理量如果仅仅只有大小的特征，我们称此物理量为标量。例如体积、面积、重量、能量、温度、压力、电位等。

如果一个物理量不仅仅有大小，而且还具有方向的特征，我们称此物理量为矢量。例如电场强度，磁感应强度、电位移矢量、磁场强度、速度、重力等。

一个矢量如果其大小和方向都保持不变的矢量我们称之为常矢。 如果矢量的大小和方向或其中之一是变量的矢量称为变矢。

矢量与矢量的模值的比值，称为单位矢量。即模值为1的矢量称为单位矢量 1.3什么是等值面？什么是等值面方程？什么是等值线？什么是等值线方程？

答：在标量场中许多相同的函数值（他们具有不同的位置）。构成的曲面，称为等值面。例如，温度场中由相同温度构成的等温面，电位场中相同电位构成的等位面等都是等值面。

描述等值面的方程称为等值面方程。假定u?x,y,z?是坐标变量的连续可微函数。则等值面方程可表述为 u?x,y,z??C （c为任意常数）

在标量场中平面中相同的函数值构成的曲线，称为等值线。

描述等值线的方程称为等值线方程。假定u?x,y?是坐标变量的连续可微函数。则等值线方程可表述为 u?x,y??C （c为任意常数） 1.4求下列电场的等位线方程 (1) ??xz， (2) ??4 x?y22解：根据等值线方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位线方程为

⑴ ??c?xz，即 x?c； ⑵ ??4?c 即 x2?y2?4?k （k为常数） zcx2?y2 1

电 磁 场 作 业 答 案

1.5 求下电场的等值面方程 1）??2221222 ， 2） ?=（x-x0)?(y?y0)?(z-z0) ， 3）?=ln(x+y+z) 22x?y?z2解：根据等值面方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位面方程为

⑴ ??1 即 x2?y2?z2?1?k2 ?ccx2?y2?z2⑵ ?=（x-x0)2?(y?y0)2?(z-z0)2 ?c 即 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?c2?k2 ⑶ ln?x2?y2?z2??c 即 x2?y2?z2?ec?k2，（k为常数）

1.6 什么方向导数？什么梯度？梯度与方向导数的关系？

答：在标量场中任一点在某一方向上的变化率称为方向导数。

在任意一个给定点所有方向上方向导数的最大值，称为该点的梯度

梯度是在某一点所有方向导数的最大值；而方向导数是梯度在某一方向上的投影。 1.7求函数u?x2?y2?z2 在点M(0,1,1) 沿l?2ex?ey?ez2 方向的方向导数。

解：在求解方向导数时首先要求出标量函数对坐标轴各变量的变化率，然后求出沿l方向的方向余弦，带入方向导数公式，即 ?u??xxx?y?z222?u??y?x2yx?y?z?u?0?y222?u??zzx?y?z222

在点M(1,0,1) 有 ?u?1l的方向余弦是cos??由式得 ?u?lM0?u1 ??z2112?22?22?13cos??23cos??2 3?112121 ??0????3232321.8求函数u?x2?y2?z2 在点M(0,1,1)的梯度。 解：根据梯度计算公式得

?u?112 ?u?u?u 即

?u??0??ex?ey?ez?x?y?z2221.9什么是矢量线？什么是通量？什么是散度？

答：在矢量场中用一些有向曲线来描述矢量场，如果曲线上每一点的切线方向都表示该点的矢量场的方向，这些曲线称为矢量线。

在矢量场中任意矢量F沿有向曲面S的积分称为矢量F通过该有向曲面S的通量。

2

电 磁 场 作 业 答 案

即 ???F?ds??F?n0ds

ss在矢量场F中的任一点P作一包围该点的任意闭合面s，并使s所限定的体积??以任

意方式趋于零时，穿出该闭合面s的通量与 s所限定体积??比值的极限值称为矢量场F在点P的散度，记作divF（读作散度F）。即

divF?lim???0?F?ds?lim?F?nds

ss0?????0??1.10求矢量场中矢量A?xex?yey?2zez 经过点M(1,2,3)的矢量线方程。

解：在矢量场中任意矢量可以表示为A?Axex?Ayey?Azez和矢量方程dx?dy?dz

AxAyAz可得 dx?dy?dz

xy2z解微分方程，可得 y?c1x，z?c2x2

将点M(10., 2.0, 3.0)的坐标代入，可得 c1?2，c2?3

矢量线方程为 y?2x，z?3x 1.11设s是上半球面x2?y2?z2?a22?z?0?，它的单位法线矢量n0与oz轴的夹角是锐角，求

矢量场r?exx?eyy?ezz 向n0所指的一侧穿过s的通量。[提示：r与n0同指向]

解：根据题意选取球坐标则矢量 r?xex?yey?zez?aer， 而球面上任意微元面积为

dsr?dl?dl?er?r2sin?d?d?er，

因此，根据通量定义可得 ?=?r?dsr??aer?dl?dl?er?ass2?3?20sin?d??d?=2?a3

02?1.12试计算空间矢量场矢量A?(3x?2yz)ex?(y?yz)ey?(xyz?3xz)ez的散度。 解：根据散度在直角坐标系中的表示式 ??A??Ax??Ay??Az

?x?y?z322可得 ??A??Ax??Ay??Az?6x?3y2?z2?xy?6xz

?x?y?z1.13什么是环量？什么是旋度？

答：在矢量场中任意矢量F沿有向闭合曲线的积分称为矢量F沿曲线的环量。

矢量场中矢量F在某一点的旋度是一矢量，其大小是矢量F在该点的最大环量面密度，其方向是环量面密度最大值时面元正法线单位矢量。

3

电 磁 场 作 业 答 案

1.14求矢量场A??yex?xey?cez (c为常数）沿下列曲线的环量 (1)圆周x2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系）

(2)圆周(x?2)2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系） 解：设圆周包围的曲面为s，则s??R2，据斯托克斯定理，可得

?ex????A?dl???A?ds??1） ??????xlss????y??2rd?rd??2?R200R2?ey??yxez?????ds???2ez?ds ?z?sC??其中 ??A?2ez?ex??2)

??A?dl???A?ds????????xlss????y,ey??yxds?rdrd?

ez??? 2??ds???2ez?ds?2?Rez?z?sC??1.15 试计算空间矢量场矢量A?(3x2?2yz)ex?(y3?yz2)ey?(xyz?3xz2)ez的旋度： 解：由 ??A?(?Fz??Fy)e?(?Fx??Fz)e?(?Fy??Fx)e

xyz?y?z?z?x?x?y得 ??A??xz?2yz?ex???2y?yz?3z2?ey?2zez 1.16 试证明 (1)对于标量函数u，有

??2u?2u???u?u?u???2u?2u???2u?2u????????????u?????ex?ey?ez????ex???ey???ez?0 ?????y?x???y?z?y?z???x?z?x?z???x??x?y?x?y?(2) 对于矢量函数A，有

???Az?Ay???Ay?Ax?????Az?Ay???Ax?Az?????(??A)??????e??e???zy??y???x??y??ez???x???y??z?? ?z?z?x??????????22???Ax?Az????Ay?Ax??2Az?Ay?2Ax?2Az?Ay?2Ax???????????x?y??x?z??y?z??x?y??x?z??y?z?0?y??z?x??z??x?y??

第2章 静 电 场

2.1什么是静电场？什么是电荷守恒定律？

答：相对于观察者来说静止不动，其电量也不随时间发生变化的电荷称之为静电荷。静电荷产生的电场称为静电场。静电场是一种不随时间变化的电场。

4

电 磁 场 作 业 答 案

宏观世界里电荷既不能被产生，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体上，或者从物体的一部分转移到另一部分。

2.2什么是实验电荷？什么是点电荷？什么是环量？

答：在电场中一个电荷产生的电场相对于场源产生电场的影响可以忽略不记，这样的电荷称为实验电荷。

一般来说当一个带电体距离观察点的距离远远大于带电体本身的尺寸时，带电体的大小和几何尺寸可以忽略，则该带电体可近似看作一个点电荷。 2.3在宏观世界电荷是如何分布的？ 答：在宏观世界电荷是连续分布的。但连续分布电荷的带电体，其电荷分布不一定是均匀地。具体分布有1．电荷体分布；2．电荷面分布，3．电荷线分布。 2.4简述库仑定律

答：真空中两个静止的点电荷q1和q2之间有相互作用力F，其作用力的大小与两电量q1，q2的乘积成正比；与q1，q2之间距离R的平方成反比；其作用力的方向在它们的连线方向；如果两点电荷同性则为斥力，异性为引力。其数学表达式为：

F12?14??0?q1q20q1q2R?R|R|24??0|R|3 ??牛顿??2.5三个点电荷q1?4（库），q2?q3?2（库），分别放在直角坐标系中的三点上：（0，0，0，）（0，1，1，），（0，-1，-1，）。求放在点（6，0，0）上的点电荷q0??1（库）所受的力。

q1q2R0?解：由库仑定理F? 4??0R2q1q0R04?(?1)(6?0)ex?(0?0)ey?(0?0)ez96ex?2????36?10?2??6?109ex 得 F1??94??0R106((6?0)2?(0?0)2?(0?0)2)24?36?6ex?ey?ezq2q0R02?(?1)(6?0)ex?(0?1)ey?(0?1)ez9?2????18?10?同理F2? 4??0R10?9((6?0)2?(0?1)2?(0?1)2)2384?36?6ex?ey?ezq2q0R02?(?1)(6?0)ex?(0?1)ey?(0?1)ez9F3??2????18?10?

4??0R10?9((6?0)2?(0?1)2?(0?1)2)2384?36?在点（6，0，0）上的点电荷所受的力由F1，F2，F3组成。即

1F?F1?F2?F3??36?109(1?)ex

382.6为什么引入电场强度？电场强度是如何定义的？ 答：为了描述电场的性质我们引入了电场强度。

5

电 磁 场 作 业 答 案

析法。数值法的解则是直接计算得到的一组数值，其解是近似解。数值法包括有限差分法、有限元法等。

3.2简述分布型问题的求解方法？ 答：分布型问题是已知电荷或带电体的分布求场量的问题。计算方法有三种方法：高斯定理、电场强度、电位方法。计算时如果电场对称首先考虑高斯定理，其次是电位方法。 3.3边值型问题是如何分类的？

答：边值型问题是已知电场中所有不同媒质分界面(这里主要是指导体与电介质的分界面)上的边界条件（电位函数的变化率）或不同媒质分界面的电位，求解电场中场量问题。边值问题又分为三种类型。第一类边值问题（又称为狄里赫利问题）。是已知电场内部电荷的分 布和给定不同分界面上的电位，即给定?s??(s) 求解电场中场量的问题。

第二类边值问题（又称为诺埃曼问题）。是已知电场内部电荷的分布和所有导体表面上边界条件(实际上是已知导体上的面电荷密度)，即给定?sf??????n 求解电场中场量的问题。

第三类边值问题(又称为混合型边值问题) 。是在已知电场内部电荷的分布下，已知一部分导体上的电位和另外一部分导体表面上电位函数的法向导数，即给定?s??(s) 和

?sf??????n 求解电场中场量的问题。

3.5长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上面盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。

解：根据题意，电位.?(x,y)?满足的边界条件为：

1...?(0,y)??(a,y)?0 2...?(x,0)?03....?(x,b)?U0根据条件1和2，电位.?(x,y)?的通解应取为

?(x,y)??Asinh??sin??

nn?yan?yan?1?由条件得U0??Asinh??sin??

nn?ban?xan?1004U0n?sinh(n?b/a)?a(n?1,3,5)2U2U?x所以 An?asinh( sin(na)ddx?n?sinh(n?b/a)(1?cosn?)???0(n?2,4,6)n?b/a)?0?故得到槽内的电位分布：?(x,y)?4U?01nsinh(n?b/a)n?1,3,5??sinh??sin??

n?yan?xa3.6简述镜像法的原理及其应用

答：镜象法是用一个虚拟的带电体（点电荷或线电荷）代替实际场源电荷在导体上的感应出来的电荷，用来计算由原电荷和感应电荷共同产生的合成电场。这些虚拟的电荷称为镜象电

11

电 磁 场 作 业 答 案

荷。在使用镜像法时镜像电荷不能破坏原电荷和感应电荷产生的电场，边界条件保持不变，如果是两个平面还应该满足其夹角为??180，而n又为整数时，最后的镜象电荷才可能与原

n0电荷重合在一起，即镜象电荷的总数为有限的（2n-1）个。

3.7一无限大导体平面折成90角，角域内有一点电荷q位于(x0，y0)点，如图3.7题所示。用镜象法求角域内任意点的电位，电场强度及电荷q所受力(标出镜象电荷的位置和数（x，y）值)。

解：三个镜象电荷坐标分别是：q（??q、q（?q、1x1?-x，y1?y）2x2?-x，y2??y）q（??q 3x3?x，y3??y）Nqi 电位 ??r??1?4??0i?1r?ri?Y。

q（2,3）??r??14??014??0q(x-x0)2?(y-y0)2q(x-x2)?(y-y2)N22-14??0?14??0q(x-x1)2?(y-y1)2q(x-x3)?(y-y3)22

0x? 题3.7图 qi(r?r) 电场强度 E?r??1?4??0i?1r?ri?3E?r?r0qr?r1qr?r2qr?r3

???4??0|r?r0|34??0|r?r1|34??0|r?r2|34??0|r?r3|3qq(x?x0)ex?(y?y0)ey?(z?z0)ez32E??4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|000(x?x2)ex?(y?y2)ey?(z?z2)ez??q(x?x1)ex?(y?y1)ey?(z?z1)ez4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32 111q4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32222??q(x?x3)ex?(y?y3)ey?(z?z3)ez4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|323333 电荷所受力 F?q1r0?r1q?q2r0?r2q?q3r?0rq3334??0|r0?r1|4??0|r0?r2|4??0|r0?r3|

?q2(x0?x1)ex?(y0?y1)ey?(z0?z1)ezq2(x0?x2)ex?(y0?y2)ey?(z0?z2)ezF??4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|324??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32 010101020202?q2(x0?x1)ex?(y0?y1)ey?(z0?z1)ez?4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|320303033.8一个电荷量q为，质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。

求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。

‘解：将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q对q的

‘作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为q??q，位于导体平面上方h处，则小带电体受到的

12

电 磁 场 作 业 答 案

静电力为： f??eq2 24??0(2h)q2?mg 24??0(2h)令fe的大小和重力mg相等，即 于是得到： q?4h??0mg

3.9一个点电荷放在60度的接地导体角域内的点（1，1，0）处。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点x?2,y?1处的电位。 解：（1）q1'??q,?

'x1?2cos750?0.366 y1?2sin75?1.366'0'

q2?q,?'x2?2cos1650??1.366 y2?2sin165?0.366'0'

'?s905??1.366?x3?2co1 q3??q,?'0?n95??0.366?y3?2si1

'0??x4?2cos285?0.366 q4?q,?'0??y4?2sin285??1.366''0??x5?2cos315?1 q5??q,?'0??y5?2sin315??1'（2）点x?2,y?1处的电位 ?（2，1，0）?q（R?4??01'q1R1Y'q3R3'q4R4'q5R5?'q2R2???）?0.3214??q?2.88?109q

q（x0,y0）ｑ１(x１,y１）θ Xｑ１＇(x１＇, y１＇）q＇(x0,-y0）3.10在一无限大导体平面上有一半径为a的导体半球凸起。如图题3-10所示，设在点?x0,y0? 有一点电荷q，若用镜象法求解导体外部空间任一点的电位，试计算各个镜象电荷的位置和数值。 解：利用镜象法计算各个镜象电荷的位置和数值如题3-4图所示，计算如下：

22d?x0?y0 题3-10图 q'?q

x1?d1co?s

q1??a qd

q'?a qsin??dx0x?y2020

co?s?y0x?y2020

d1?a2d

y1?d1sin?

第4章 恒定电流的电场

4.1电流是如何形成的？什么是直流电？什么是交流电？

答：电荷在电场作用下的宏观定向运动就形成电流。不随时间变化的电流称为恒定电流(直流)。随时间变化的电流称为时变电流(交流)。 4.2什么是恒定电流场？

答：恒定电流产生的场，我们称为恒定电流场，它分为恒定电流的电场和恒定电流的磁场。 4.3什么是传导电流？什么是电流？

答：固态或液态导体(或统称为导电媒质)中的电流都称为传导电流。在真空或气体中，电荷在电场作用下的定向运动形成的电流，称为运流电流。 4.4在恒定电场中传导电流密度与电场强度是什么关系？

13

电 磁 场 作 业 答 案

答：传导电流密度与电场强度成正比（电磁场中欧姆定理）即 4.7写出恒定电流电场的基本方程，表述它们的意义。 答： ??Jf?0 表明恒定电流的电场是一个无散场。

??E?0 表明恒定电流的电场是一个无旋场。 4.8什么是接地电阻？什么是绝缘电阻？如何计算？

Jf??E

答：电气设备到大地之间的电阻，称为接地电阻。它包括接地线电阻，接地体电阻、接地体与土壤电阻和土壤电阻四部分。绝缘电阻是绝缘介质的漏电阻，它是绝缘介质两端的电压与介质中的漏电流的比值。计算绝缘电阻有有三种方法。 1．公式法：利用公式 R?dl 进行计算

??sl上式中的dl方向上的长度元，s是垂直于电流方向的面积，它可能是坐标变量的函数。

2．电场强度法：利用拉普拉斯方程求出电位φ再由 E???? , Jf??E, I??Jf?ds

S求得电流强度I，

然后由 R?两电极的电位差求得绝缘电阻。

I当电极具有某种对称关系时，也可以假设一个由电极1通过绝缘材料到电极2的电流I后由Jf?Is , E?Jf ；U??E?dl计算电压，最后由R=U/I求得电阻R。

l?3．电容法：利用在相同的边界条件下，静电场和恒定电场的相似性，可以得出两导体间的电容和电导之间的关系，从电容可以算电导或从电导算出电容。 C?? 即 R?1??

G?G?C4.9如题4-9图所示，由导电媒质构成的扇形，厚度为h，电导率为?。求A、B之间的电阻。 解：设A、B间的电压为U，则在导电媒质中有

?2??1??????r??0， r?r??r?解得

??Alnr?B，代入边界条件，

AlnR1?B?0，AlnR2?B?U，

UlnR1lnR2/R1解得 可得

??A?UlnR2/R1，B??

U1?er lnR2/R1rUrlnlnR2/R1R1，E????????er???r题4-9图

J??E??U??er，I??J?ds?lnR2/R1r??R?bR1U?U?R?adr?alnr??R?b 因此，可得

R?U??I?alnR?bR

第5章 恒定电流的磁场

14

电 磁 场 作 业 答 案

5.1简述安培力定理

答：在真空中有两个通有恒定电流I1和I2的细导线回路，它们的长度分别是l1和l2。通有电流I1的回路对通有电流I2 的回路的作用力F12是

?0F12?4???I2dl2?(I1dl1?R)

R20

Iαdαl2l1x5.2一个半径为a的圆线圈，通有电流I，求圆线圈轴线上任一点的磁感应强度B。

解：根据电流的对称性，采用圆柱坐标系，坐标原点设在圆形线圈的圆心，Z轴与线圈轴线重合，场点P的坐标为

(0,?,z) ，取一个电流元Iad?＇，源点坐标为(a,?＇,０) ,如题

IaαoRθPdBzy题5-2图 5-2图所示，则Ｒ＝Zez?aer，

RZaeR??ez?er?cos?ez?sin?er

RRRB??dB??B? usIad?,e?X(cos?ez?sin?er)4?R,2?usIad?,cos?4?R2er?u0Iad?,sin?4?R2ez

?2?u0Iad?sin?4?RaR20ez?2?u0Iasin?uIsin?ezd??0a2ez 204?R2R?,sin?? R?a2?z2

B?U0Iasin?eZ?2R2U0a2I2(a2?z)322eZ当z=0时，B?U0a2I2(a)322eZ

5.3简述洛仑兹力

答：电荷以某一速度v在磁场运动，磁场对运动电荷有作用力，这种作用力称为洛仑兹力，洛仑兹力与运动电荷垂直。所以，他不作功，只改变运动电荷的方向，不改变运动电荷的速度。

5.4 矢量磁位与磁感应强度的关系是什么？ 答：矢量磁位的旋度是磁感应强度

5.5已知某一电流在空间产生的矢量磁位A，求磁感应强度B。 （A?exx2y?eyxy2?ez4xyz） 解：

B???A?(???ex?ey?ez)?(x2yex?xy2ey?4xyzez) ?x?y?z=y2ez?4yzey?x2ez?4xzex??4xzex?4yzey?(y2?x2)ez

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qjo.html