信号采样与恢复过程中的混叠及其滤波的实验

信号采样与恢复过程中的混叠及其滤波

一、实验目的：

（1）理解连续时间信号的采样过程及混叠产生的原理；

（2）掌握采样序列的频域分析和滤波，信号的恢复，掌握Shannon采样定理； （3）学会利用MATLAB软件分析信号采样、滤波与恢复的过程。

二、实验内容：给定原始信号如下式所示：

1f(t)?1?sin2?f1t?2sin2?f2t，

2（1）

其中，f1,f2是信号原始频率（本实验中为自选常数，f1为低频，f2为高频）。确定一个采样频率fs对f(t)进行采样，再将采样得到的序列进行DFT，画出过程中各信号的图形。进行频域高、低频滤波，再反变换得出处理后恢复出来的信号。将实验过程中得到的图形与理论图形进行比较，发现不同点并加以解释。

三、实验过程：

先选定f1?15Hz、f2?220Hz，则原始信号表示为：

1f(t)?1?sin(2??15t)?2sin(2??220t)

2（2）

1、 原信号时域截取：

因为在计算机中只能计算离散的点列，若要用MATLAB处理图形，只能先对信号进行截取和采样。为了使之接近原图形且又便于看清楚，我选定矩形截取窗口的宽度为

?tT?200ms，截取窗口函数为：???TF?t?1???t?100??t?????，其傅立叶变换为：????200?????0???其他??T??10.8?Tsin(?Ts)，截取窗口的时域和频谱图形如下图：

?Tsf(t)=?(t/T)2Frequency Figure1.50.4Amplitude-2000t(ms)[T=200ms]2000.61f(t)0.50.200-0.5-10-50Frequency(Hz)510

图（1） 矩形截取窗函数的时域图形及其频谱图

在MATLAB中设计横坐标轴的长度时其实就由计算机完成了对原连续函数截断和采样的过

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程（尽管有时候我们并没有意识到），其过程相当于原函数在时域乘以???t?T??，而在频域则?与Tsin(?Ts)?t??t?做卷积运算，所以虽然截断信号为g?t??f?t?????f?t????，但

?TsT200????在MATLAB中画图时就不用画g?t?，而只要选好画图窗口宽度为T?200ms和采样点数为

N?1024，（采样频率为fs?T?5120Hz）并画出f?t?的图形就可以了（这里未考虑信N直流分量时域图形号数字化时的采样孔径影响）。下面画出截断后的信号图形。

210-100-80-60-40020t(毫秒)低频分量时域图形-204060801000.50-0.5-100-80-60-40020t(毫秒)高频分量时域图形-2040608010020-2-100-80-60-40-20020t(毫秒)原信号时域图形4060801003.52.51.50.5-0.5-1.5-100-80-60-40-200t(毫秒)20406080100

图（2）原信号及其各个分量在时域中的图形

2、截断信号的幅频特性图形

利用上面的T?200ms，N?1024，fs?T?5120Hz，通过MATLAB提供的FFT函N数即可画出原信号的频谱图如下：

信号的频域输出情况1500函数频域输出的值100050000100020003000频率/HZ400050006000

图（3） 截断信号的幅频特性图形

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由于时域采样频率大（5000Hz），采样间隔很小（0.0002s），故频域带宽大。

3、时域采样过程

根据Shannon采样定理，要想能从采样后的序列中恢复原始信号，必须使采样频率大于或等于信号原始频率的2倍，即应满足关系式：fs?2f0（f0是信号原始频率）。

由于给定信号包含直流分量、低频分量（f1?15Hz）、高频分量（f2?220Hz），FFT采用的计算点数取为N?256，我们按照采样的几种情况分别讨论。即（1）过采样、（2）临界采样、（3）欠采样、（4）严重欠采样。分别取fs1?500Hz、fs2?440Hz、fs3=200Hz、

fs4?50Hz。

当采样频率为fs?500Hz时，采样间隔即为?t?1?0.002s，则折叠频率为fsfN?fs?250Hz，截取窗口的宽度为T?N?t?256?0.002?0.512s。采样函数为211?t??t?III??，采样后的离散时间序列为g(t)?f(t)III??，图形如下： ?t??t??t??t?源信号时域采样图 fs=500Hz420-2-0.4-0.3-0.20时间(s)源信号时域采样图 fs=500Hz-0.10.10.20.3420-2-0.4-0.3-0.2-0.1时间(s)00.10.20.3

图（4）过采样时的采样序列

其他几种频率采样效果如图(5)和图(6)：

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源信号时域采样图 fs=440Hz210-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3时间(s)源信号时域采样图 fs=200Hz50-5-0.8-0.6-0.400.2时间(s)源信号时域采样图 fs=50Hz-0.20.40.60.850-5-3-2-10时间(s)123

图（5） 其他频率采样得到的序列

源信号时域采样图 fs=440Hz210-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3时间(s)源信号时域采样图 fs=200Hz50-5-0.8-0.6-0.400.2时间(s)源信号时域采样图 fs=50Hz-0.20.40.60.850-5-3-2-10时间(s)123

图（6） 其他频率采样得到的模拟图

采样结果分析：

（1）当fs?500Hz?2f2时（过采样），采样后的图形较好地保持了原图形的外观，这一过程可以作为对Shannon采样定理的验证；

（2）当fs?440Hz?2f2时（临界采样），由图中可以看出采样后序列频率为15Hz，说明采样脉冲仅仅采集到原信号中的低频分量，这一点似乎与采样定理相矛盾？原因分析：高频分量sin2?f2t在T?1/fs?1/2f2时有sin2?f2nT?sin?n?0，故在采样点处高频分量的幅度均为零，所以采样后得到的序列仅为低频分量序列。所以当我们对由正弦型冲激

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产生的信号进行采样时，应用Shannon采样定理时应取fs?2f0（f0是信号原始频率）；

（3）当fs?200Hz?f2(欠采样)时，得到的图形与原图形相差较大，即发生了混叠； （4）当fs?50Hz?f2（严重欠采样）时，从图形中可以看出混叠已经相当严重。

4、采样序列频谱分析

根据前面采得的各信号序列，利用MATLAB的FFT计算序列的频域响应并画出各个信号的频谱图如下：

A 采样信号的频谱图 fs=500Hz300250函数频域幅度B 采样信号的频谱图fs=220Hz300250函数频域幅度2001501005000100200300频率(Hz)400500200150100500050100150频率(Hz)200250C 采样信号的频谱图fs=200Hz300250函数频域幅度D 采样信号的频谱图fs=50Hz300250函数频域幅度200150100500050100频率(Hz)1502002001501005000102030频率(Hz)4050

图（7）各采样序列频谱图

频谱图分析：频谱图是关于折叠频率轴对称的。连续时间函数是实函数，实函数的傅立叶变换是一个共轭对。由于连续时间信号是非因果的，是不可实现的，在MATLAB中画图时先将时域限定为因果的，根据傅立叶变换的性质，时移将造成频移，因而在频谱图中表现为关于折叠频率轴对称的频谱。

5、时域滤波处理 根据采样原理，在对一个带限信号进行采样时，选用合适的采样频率就可以完全避免混叠，但是在数字处理中我们必须将时间限制在一定范围，信号是时限的，这就导致了信号在频域是非带限的，也就是说带限信号实际上是不存在的，所以混叠是不可避免的。为了尽量减少信号在频域中混叠产生的影响，应该在采样之前先用抗混叠滤波器对信号在时域进行滤波。我选用的是12阶的Chebyshev I 型滤波器，对原信号进行低通滤波（fs?1000Hz，

N?512）和高通滤（fs?1000Hz， N?128）波，滤波结果用图表示如下：

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