2015-2016年北京大兴高三上学期期末理科数学试题及答案

2016年北京大兴高三上学期期末理科数学试题及答案

大兴区2015~2016学年度第一学期期末检测试卷

高三数学（理科）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知M?{xx(x?1)?0}，N?{xx?0}，则M?N等于 （A）(0,1) （B）(0,??) （C）(0,1)?(1,??) （D）(??,1)?(1,??)

（2）双曲线x2?y2?2的一条渐近线的方程是

2x 2 （C）y??x （D） y??2x

（A）y?2x （B） y?

（3）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间(?1,1)内有零点的函数是 （A）y??x（B）y?2x?1

12（C）y?x? （D）y?log2(x?2)

32

（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A） 3 （B） 6 （C） 9 （D） 12

（5）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则???是m??的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

- 1 -

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

?????????????????????（6）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足AP?2PM，则PA?(PB?PC)?

（A）? （B）? （C）

（7）如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y?Asin(?x??)?b（其

?中A?0，??0，-π???π），那么中午12时温度的近似值（精确到1C）是

494344 （D） 39

（A）25?C （B）26?C （C）27?C （D）28?C

?x≥0?（8）若a≥0，b≥0，且当x，y满足?x?y≤0时，恒有ax?by≤1成立，则以a,b为坐

?x?y≤2?标的点P(a,b)所构成的平面区域的面积等于 （A）1 （B）

133 （C） （D） 248

第二部分（非选择题 共110分）

二．填空题共6小题，每小题5分，共30分。

1（9）a?20.3，b?ln，c?sin1，则a，b，c之间的大小关系是 . 222（10）直线y?x被圆x?y?2y?3?0截得的弦长等于 ．

（11）已知数列{an}是等差数列，公差d?0，a1?1，a1，a3，a6成等比数列，则数列{an}

- 2 -

的公差d等于 ；前n项和Sn等于 .

（12）?ABC错误！未找到引用源。中，a?2，b?7，B?60?错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的面积等于 ．

（13）某校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同

去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案有 种．（用数字作答）

（14）在测量某物体的重量时，得到如下数据：a1,a2,???a9，其中a1≤a2≤???≤a9，若用a表

示该物体重量的估计值，使a与每一个数据差的平方和最小，则a等于 ；若用b表示该物体重量的估计值，使b与每一个数据差的绝对值的和最小，则b等于 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）已知函数f(x)?3sinxcosx?cosx. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期和单调增区间；

2π（Ⅱ）求f(x)在区间[?,0]上的最大值与最小值.

2

（16）某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下：

甲班 9

22（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值X甲与X乙及方差s甲与s乙的大小；（只

乙班 7 4 6 5 5 3 6 8 4 2 6 2 4 5 6 8 7 3 5 4 4 5 9 8 8 7 66 5 3 3 0 8 1 4 5 9 8 7 6 2 0 9 8 9 需写出结论）

- 3 -

（Ⅱ）根据学生的学业成绩，将学业水平分为三个等级：

学业成绩 低于70分 70分到89分 不低于90分 学业水平

根据所给数据，频率可以视为相应的概率. ．．．．．．．．．．．

（ⅰ）从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件C：“抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级”，求C发生的概率；

（ⅱ）从甲班中随机抽取2人，记X为学业水平优秀的人数，求X的分布列和数学期望. （17）如图，在三棱锥K?ABC中，平面KAC?平面ABC，KC?AC，AC?AB,H为KA的中点，KC?AC?AB?2. （Ⅰ）求证：CH?平面KAB； （Ⅱ）求二面角H?BC?A的余弦值； （Ⅲ）若M为AC中点，在直线KB上 是否存在点N使MN∥平面HBC,

若存在，求出KN的长，若不存在，说明理由.

（18）已知函数f(x)?ax?

一般 良好 优秀 a?2?2?2a(a?0). x（Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)≥2lnx错误！未找到引用源。在[1,??)错误！未找到引用源。上恒成立，求a的取值范围.

x2y2（19）已知椭圆G:2?2?1(a?b?0)上的点M(2,2)到两焦点的距离之和等于42. ab（Ⅰ）求椭圆G的方程； （Ⅱ）经过椭圆G右焦点F的直线m(不经过点M)与椭圆交于A,B两点，与直线l：x?4相交于C点，记直线MA,MB,MC的斜率分别为k1,k2,k3.求证：

k1?k2为定值. k3

- 4 -

（20）若数对(a,b)(a?1,b?1,a,b?N?)，对于?m?Z，?x,y?Z，使m?xa?yb成立，则称数对(a,b)为全体整数的一个基底，(x,y)称为m以(a,b)为基底的坐标； （Ⅰ）给出以下六组数对(2,3)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,12)，(9,17)，写出可以作为全体整数基底的数对；

（Ⅱ）若(a,b)是全体整数的一个基底，对于?m?Z，m以(a,b)为基底的坐标(x,y)有多少个？并说明理由；

（Ⅲ）若(2,m)是全体整数的一个基底，试写出m的所有值，并说明理由.

- 5 -

大兴2015~2016学年度期末考试参考答案与评分标准

高三数学（理）

一、选择题（每小题5分，共40分） 题号 答案

二、填空题（每小题5分，共30分）

1 A 2 C 3 B 4 B 5 B 6 A 7 C 8 D 1n2?7n（9） b?c?a ;（10） 14;（11） ,（第一个空3分，第二个空2分）

48（12）

三、解答题（共80分）

（15）(I) f(x)?3sinxcosx?cos2x ?311sin2x?cos2x?， ??2分 222a?a2?????a933; （13）600; （14）1，a5（第一个空3分，第二个空2分）

92 ?sin(x2?所以T??1?). ??4分 622???. ??5分 2???令2k??≤2x?≤2k??(k?Z), ??6分

262??得: k??≤x≤k??(k?Z). ??7分

36??所以f(x)得最小正周期为?，单调递增区间为[k??,k??](k?Z). ??8分

36?(II)因为?≤x≤0,

2所以?5???≤2x?≤, ??2分 666?ππ1??，即x??时，f(x)的最小值为?； ??4分 6232因此，当2x?

- 6 -

当2x?

?π?，即x?0时，f(x)的最大值为1. ??5分 6616. （Ⅰ）X甲?X乙 ??2分

22 ??4分 s甲?s乙（Ⅱ）（1）记A1、A2、A3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀； 记B1、B2、B3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；

则P(C)?P(A2B1?A3B1?A3B2) ?P(A2B1)?P(A3B1)?P(A3B2)

?P(A2)P(B1)?P(A3)P(B1)?P(A3)P(B2)??1295959 ?????20202020202099 ??4分 2001， 4

（2）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为

1则X=0，1，2，X~B(2,)

49032P(X?0)?C2()? ??1分

4161P(X?1)?C21363??? ??2分 441681212P(X?2)?C2()? ??3分

416则X的分布列为：

X P 0 9 161 3 82 1 16 ??4分

EX?np?2?1931?2(或EX?0??1??2??2) ??5分 416816

17.（Ⅰ）因为平面KAC?底面ABC，且AB垂直于这两个平面的交线AC

所以AB?平面KAC ?? 1分

所以AB?CH ?? 2分

因为CK=CA，H为AK中点 所以CH?AK?? 3分 因为AB?AK=A，所以CH?平面AKB. ?? 4分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A-xyz,

- 7 -

则（A0,0,0），B（2,0,0），C（0,2,0），K（0,2,2），H（0,1,1）???????? ?? 1分 所以CH=（0,?1,1）, BC=（-2,2,0）? 设平面HBC的法向量为n?(x,y,z),???????CH?n?0??y?z?0即? 则???????2x?2y?0??BC?n?0??令y=1,则z=1,x=1.所以n?(1,1,1) ?? 3分 ??取平面ABC的法向量为m?(0,0,1) ?? 4分 ??????m?n13cos?m,n??????? ?? 5分

3|m|?|n|3因为所求的二面角为锐角， 所以二面角H-BC-A 的余弦值为3. ?? 6分 3????????（a,b,c）（Ⅲ）设KN=?KB，N, ?? 1分

则（a,b?2,c?2）=(2?,-2?,-2?)?a?2??所以?b?2?2??c?2?2??

（2?,2-2?,2-2?） 所以N

?????（2?,1-2?,2-2?）因为M(0,1,0)，所以MN= ?? 2分

??????由MN?n?0可得3-2?=0，

3所以?=. ?? 3分

2????3????3????3|KN|?|KB|?|KB|??23?33.

222所以直线KB上存在点N，KN的长为33. ?? 4分

（18）（1）当 a?1 时，f(x)?x?11，f?(x)?1?2 ????2分 xx35f(2)?, f?(2)? ????3分

24所以，函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?35?(x?2) 24

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即：5x?4y?4?0 ????4分 (Ⅱ)函数的定义域为：{x|x?0} ????1分

a?2ax2?(2?a)f(x)?a?2?(a?0) ????2分

xx2'当0?a?2时，f'(x)?0恒成立，所以，f(x)在(??,0)和(0,??)上单调递增 当a?2时，令f'(x)?0，即：ax2?2?a?0，x1??a?2,x2?aa?2 af'(x)?0,x?x2或x?x1;f'(x)?0,x1?x?0或0?x?x2,

所以，f(x)单调递增区间为(??,?(?a?2a?2)和(,??)，单调减区间为aaa?2a?2,0)和(0,). ????4分 aa（Ⅲ）因为f(x)?2lnx在[1,??)上恒成立，有ax?在[1,??)上恒成立。 所以，令g(x)?ax?'a?2?2?2a?2lnx?0(a?0) xa?2?2?2a?2lnx， xa?22ax2?2x?a?2(x?1)[ax?(a?2)]则g(x)?a?2??. ?xxx2x2a?2令g'(x)?0,则x1?1,x2?? ????2分

aa?2?1，即a?1时，g'(x)?0，函数g(x)在[1,??)上单调递增，又g(1)?0 a所以，f(x)?2lnx在[1,??)上恒成立； ????3分

若?若?a?2a?2?1，即a?1时，当x?(0,1),(?,??)时，g'(x)?0,g(x)单调递增； aaa?2)时，g'(x)?0，g(x)单调递减 aa?2)， a当x?(1,?所以，g(x)在[1,??)上的最小值为g(?因为g(1)?0,所以g(??a?2)?0不合题意. ????4分 aa?2a?2?1,即a?1时，当x?(0,?),(1,??)时，g'(x)?0,g(x)单调递增， aaa?2,1)时，g'(x)?0,g(x)单调递减， a当x?(?所以，g(x)在[1,??)上的最小值为g(1) 又因为g(1)?0，所以f(x)?2lnx恒成立

综上知，a的取值范围是[1,??). ????5分

- 9 -

（19）（Ⅰ）由椭圆定义知：2a?42，所以a?22 ??1分

x2y2 所以，椭圆G:?2?1，将点M(2, 2)的坐标代入得b2?4。??3分

8bx2y2??1 ??4分 所以，椭圆G的方程为84 （Ⅱ）右焦点F(2,0)

由题意，直线m有斜率，设方程为y?k(x?2) ??1分 令x?4，得点C(4,2k)，所以k3?kMC?k?2； ??3分 2?y?k(x?2)? 又由?x2y2消元得：(1?2k2)x2?8k2x?8k2?8?0，

?1??84?y

显然??0， 设A(x1,y1), B(x2,y2)，则

MCBFxl?8k2?x1?x2??1?2k2 ??5分 ?2?x?x?8k?812?1?2k2? 所以，k1?k2?Ay1?2y2?2yy211??1??2(?) x1?2x2?2x1?2x2?2x1?2x2?2x1?x2?4 ?2k?2?

(x1?2)(x2?2) ?2k?2?x1?x2?4 ??7分

x1x2?2(x1?x2)?48k2?4(1?2k2) ?2k?2?2

8k?8?16k2?4?8k2 ?2k?2??4?2k?2 ??9分 ?4k1?k2?2为定值。 ??10分 k3 所以，k1?k2?2k3，即

方法二：k1?k2?y1?2y2?2kx1?(2k?2)kx2?(2k?2)??? x1?2x2?2x1?2x2?22kx1x2?(4k?2)(x1?x2)?4(2k?2)

(x1?2)(x2?2)2kx1x2?(4k?2)(x1?x2)?4(2k?2) ??7分

x1x2?2(x1?x2)?4 ? ?

- 10 -

2k(8k2?8)?(4k?2)?8k2?4(2k?2)(1?2k2) ?

8k2?8?16k2?4?8k216k3?16k?32k3?82k2?(16k3?82k2?8k?42) ?

?4 ??8k?42?2k?2 ??9分

?4k1?k2?2为定值。 ??10分 k3 所以，k1?k2?2k1，即

（20）（I）(2,3)，(2,5)，(3,5)，(9,17) ……4分

（II）m以(a,b)为基底的坐标(x,y)有无数个。 ……1分 因为(a,b)为基底，对于?的整数m， ?x0,y0?Z，使m?x0a?y0b成立，即(x0,y0)为数

m以(a,b)为基底的坐标，则(x0?kb,y0?kb)，k?Z，都是数m以(a,b)为基底的坐标， 证

明如下：

(x0?kb)a?(y0?ka)b?x0a?y0b?kba?kba?m

所以(x0?kb,y0?ka)，k?Z，都是数m以(a,b)为基底的坐标，有无数个。 ……4分 （III）m?2k?1，k?N*，理由如下： ……1分 首先，对任意m?2k，k?N*，(2,m)不是全体整数的一个基底；反证法， 假设此时(2,m)是全体整数的一个基底，则?x,y?Z，有1?2x?my成立，

而数2,m都为偶数，所以2x?my为偶数，不可能等于1，所以假设不成立，即对任意

m?2k，k?N*，(2,m)不是全体整数的一个基底。 ……3分

下面证明，对所有满足题意的正奇数，对任意m?2k?1，k?N*，(2,2k?1)是全体整数的一个基底。

因为1??k?2?1?(2k?1)，即(?k,1)为数1以(2,2k?1)为基底的坐标，对于?m?Z，显然(?km,m)为数m以(2,2k?1)为基底的坐标，即??km,m?Z，使m??km?2?m?(2k?1)成立，即对任意m?2k?1，k?N*，(2,2k?1)是全体整数的一个基底。 ……5分

- 11 -

2k(8k2?8)?(4k?2)?8k2?4(2k?2)(1?2k2) ?

8k2?8?16k2?4?8k216k3?16k?32k3?82k2?(16k3?82k2?8k?42) ?

?4 ??8k?42?2k?2 ??9分

?4k1?k2?2为定值。 ??10分 k3 所以，k1?k2?2k1，即

（20）（I）(2,3)，(2,5)，(3,5)，(9,17) ……4分

（II）m以(a,b)为基底的坐标(x,y)有无数个。 ……1分 因为(a,b)为基底，对于?的整数m， ?x0,y0?Z，使m?x0a?y0b成立，即(x0,y0)为数

m以(a,b)为基底的坐标，则(x0?kb,y0?kb)，k?Z，都是数m以(a,b)为基底的坐标， 证

明如下：

(x0?kb)a?(y0?ka)b?x0a?y0b?kba?kba?m

所以(x0?kb,y0?ka)，k?Z，都是数m以(a,b)为基底的坐标，有无数个。 ……4分 （III）m?2k?1，k?N*，理由如下： ……1分 首先，对任意m?2k，k?N*，(2,m)不是全体整数的一个基底；反证法， 假设此时(2,m)是全体整数的一个基底，则?x,y?Z，有1?2x?my成立，

而数2,m都为偶数，所以2x?my为偶数，不可能等于1，所以假设不成立，即对任意

m?2k，k?N*，(2,m)不是全体整数的一个基底。 ……3分

下面证明，对所有满足题意的正奇数，对任意m?2k?1，k?N*，(2,2k?1)是全体整数的一个基底。

因为1??k?2?1?(2k?1)，即(?k,1)为数1以(2,2k?1)为基底的坐标，对于?m?Z，显然(?km,m)为数m以(2,2k?1)为基底的坐标，即??km,m?Z，使m??km?2?m?(2k?1)成立，即对任意m?2k?1，k?N*，(2,2k?1)是全体整数的一个基底。 ……5分

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qj9w.html