2018年江苏高考数学二轮复习练习：专项限时集训4 解析几何中的范

专项限时集训(四)

解析几何中的范围、定值和探索性问题

(对应学生用书第119页)

(限时：60分钟)

x2y2

1．(本小题满分14分)(2017·盐城市滨海县八滩中学二模)如图4，点A(1，3)为椭圆＋＝1

2n上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．

图4

(1)求椭圆方程；

(2)若直线AB，AC与x轴围成以点A为顶点的等腰三角形，求△ABC面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．

x2y2

[解] (1)把点A(1，3)代入＋＝1得n＝6，

2n故椭圆方程为＋＝1.

62

(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直， 因此其斜率必存在，设AB，AC的斜率分别为k1、k2，

y2x2

4分

??y－3＝k1x－由?x2y2

＋＝1??26

6＋23k1

得点B的横坐标为x＝1－2，

k1＋3

2

23k1＋6k1

∴点B的纵坐标为y＝3－，

k21＋3

2

23k1＋6k1??6＋23k1

即B?1－2，3－?.

k1＋3k21＋3??

2

23k2＋6k2??6＋23k2

同理可得点C的坐标为C?1－2，3－?，

k2＋3k22＋3??

∵k1＋k2＝0，∴直线BC的斜率为kBC＝3.

设直线BC的方程为y＝3x＋m，代入方程＋＝1得6x＋23mx＋m－6＝0，

263m－6

xB＋xC＝－m，xBxC＝，|BC|＝1＋3|xB－xC|＝236

2

x2

y2

2

2

12

m－3

m2－

3

， 10分

232

∴|BC|＝12－m，

3

|m|

又点A到直线BC的距离为d＝，

2132

∴S＝|BC|·d＝m26

2

－m2

＝3

－6

m2－

2

＋36，

∴当m＝6，即m＝±6时，△ABC面积取得最大值为3. 此时，直线BC的方程为y＝3x±6.

14分

2．(本小题满分14分)(2017·江苏省宿迁市三模)如图5，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在

4

3

x2y2

x轴上方)．

图5

(1)若QF＝2FP，求直线l的方程；

(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

【导学号：56394100】

[解] (1)因为a＝4，b＝3，所以c＝a－b＝1， 所以F的坐标为(1,0)，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1， 代入椭圆方程＋＝1，得(4＋3m)y＋6my－9＝0，

43－3m＋61＋m－3m－61＋m则y1＝，y2＝. 22

4＋3m4＋3m→→

若QF＝2FP，即QF＝2FP，

2

2

2

2

22x2y2

22

则

－3m－61＋m－3m＋61＋m＋2·＝0， 224＋3m4＋3m22

25解得m＝，

5

故直线l的方程为5x－2y－5＝0. (2)由(1)知，y1＋y2＝－6m9

2，y1y2＝－2， 4＋3m4＋3m6分

9m3

所以my1y2＝－2＝(y1＋y2)，

4＋3m2

由A(－2,0)，B(2,0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，

所以＝k1y1x2－2y1my2－

·＝k22＋x1y2y2my1＋

3

y1＋y2－y121＝＝， 33

y1＋y2＋3y22

14分

11

故存在常数λ＝，使得k1＝k2.

33

3．(本小题满分16分)如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：＋＝1

2412上的一点，从原点O向圆R：(x－x0)＋(y－y0)＝8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.

2

2

x2y2

图6

(1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程； (2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1k2的值.

【导学号：56394101】

[解] (1)连接OR(图略)．设圆R的半径为r，由圆R的方程知r＝22，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|＝2r＝4，即x0＋y0＝16.① 又点R在椭圆C上，所以＋＝1，②

2412联立①②，解得?

2

2

x20y20

?x0＝22，?y0＝22，

2

2

所以圆R的方程为(x－22)＋(y－22)＝8. 6分

|k1x0－y0||k2x0－y0|

(2)因为直线OP：y＝k1x和OQ：y＝k2x都与圆R相切，所以＝22，＝22

1＋k11＋k2

22，

化简得(x0－8)k1－2x0y0k1＋y0－8＝0，(x0－8)k2－2x0y0k2＋y0－8＝0.

所以k1，k2是方程(x0－8)k－2x0y0k＋y0－8＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y20－8得k1k2＝2，

x0－8

124－x0

2x2y2121002

因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，即y0＝12－x0，所以k1k2＝2＝－. 24122x0－82

x2y23

4．(本小题满分16分)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，

ab2

△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．

??

【解】 (1)由题意得?1

ab＝1，2??a＝b＋c，

2

2

2

c3

＝，a2

＝2，?a解得?b＝1，

?c＝3.

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 设P(x0，y0)，则x0＋4y0＝4. 当x0≠0时， 直线PA的方程为y＝令x＝0，得yM＝－

2

2

x2

2

4分

y0

x0－2

(x－2)．

2y0

， x0－2

从而|BM|＝|1－yM|＝?1＋直线PB的方程为y＝令y＝0，得xN＝－

??

2y0?

. x0－2??

y0－1

x＋1. x0

，

x0

y0－1

从而|AN|＝|2－xN|＝?2＋

??

y0－1??

x0?

. 10分

所以|AN|·|BM|＝??2＋

x0?

y－1???·??2y?1＋0x?

0－2??

02

2

＝??x0＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4?xy2??

00－x0－2y0＋?＝?

?4x0y0－4x0－8y0＋8?xx?0y0－0－2y0＋2??

＝4.

当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4. 综上，|AN|·|BM|为定值.

分

16

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