2（高中竞赛讲座）数学方法选讲(2)

高中数学竞赛讲座2

2数学方法选讲（2）

四、从反面考虑

解数学题，需要正确的思路。对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。 1．某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：

每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分。问：此次测验至多有多少种不同的分数？

2．一支队伍的人数是5的倍数，且超过1000人。若按每排4人编队，则最后差3人；若按每排3人编队，则最后差2人；若按每排2人编队，则最后差1人。问：这支队伍至少有多少人？

3．在八边形的8个顶点上是否可以分别记上数1，2，?，8，使得任意三个相邻的顶点上的数的和大于13？

4．有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否可能是一个平方数？

五、从特殊情况考虑

对于一个一般性的问题，如果觉得难以入手，那么我们可以

先考虑它的某些特殊情况，从而获得解决的途径，使问题得以“突破”，这种方法称为特殊化。

对问题的特殊情况进行研究，一方面是因为研究特殊情况比研究一般情况较为容易；另一方面是因为特殊的情况含有一般性，所以对特殊情况的研究常能揭示问题的结论或启发解决问题的思路，它是探索问题的一种重要方法。

运用特殊化方法进行探索的过程有两个步骤，即先由一般到特殊，再由特殊到一般。通过第一步骤得到的信息，还要回到一般情况予以解答。

5．如下图，四边形ABCD和EFGH都是正方形，且边长均为2cm。又E点是正方形 ABCD的中心，求两个正方形公共部分（图中阴影部分）的面积S。

6．是否在平面上存在这样的40条直线，它们共有365个交点？

7．如右图，正方体的8个顶点处标注的数字为a，b，c，d，e，

求（a+b+c+d）-（e+f+g+h）的值。

8．将n个互不相等的数排成下表： a11 a12 a13 ? a1n a21 a22 a23 ? a2n

an1 an2 an3 ? ann

先取每行的最大数，得到n个数，其中最小数为x；再取每列的最小数，也得到n个数，其中最大数为y。试比较x和y的大小。

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六、有序化

当我们研究的对象是一些数的时候，我们常常将这些数排一个次序，即将它们有序化。有序化的假设，实际上是给题目增加了一个可供使用的条件。

9．将10到40之间的质数填入下图的圆圈中，使得3组由“→”所连的4个数的和相等，如果把和数相等的填法看做同一类填法，请说明一共有多少类填法？并画图表示你的填法。

10．有四个互不相等的数，取其中两个数相加，可以得到六个和：24，28，30，32，34，38。求此四数。

11．互不相等的12个自然数，它们均小于36。有人说，在这些自然数两两相减（大减小）所得到的差中，至少有3个相等。你认为这种说法对吗？为什么？

12．有8个重量各不相同的物品，每个物品的重量都是整克数且都不超过15克。小平想以最少的次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下的测定法：

（1）把8个物品分成2组，每组4个，比较这2组的轻重；

（2）把以上2组中较重的4个再分成2组，即每组2个，再比较它们的轻重； （3）把以上2组中较重的分成各1个，取出较重的1个。 小平称了3次天平都没有平衡，最后便得到一个物品。

可是实际上得到的是这8个物品当中从重到轻排在第5的物品。 问：小平找出的这个物品有多重？并求出第二轻的物品重多少克？

课后练习

1.育才小学40名学生参加一次数学竞赛，用15分记分制（即分数为0，1，2，?，15）。全班总分为209分，且相同分数的学生不超过5人。试说明得分超过12分的学生至多有9人。

2.今有一角纸币、二角纸币、五角纸币各1张，一元币4张，五元币2张，用这些纸币任意付款，一共可以付出多少种不同数额的款项？

3.求在8和98之间（不包括8和98），分母为3的所有最简分数的和。

4.如右图，四边形ABCD的面积为3，E，F为边AB的三等分点，M，N是CD边上的三等分点。求四边形EFNM的面积。

5.直线上分布着1998个点，我们标出以这些点为端点的一切可能线段的中点。问：至少可以得到多少个互不重合的中点？

6.假定100个人中的每一个人都知道一个消息，而且这100个消息都不相同。为了使所有的人都知道一切消息，他们一共至少要打多少个电话？

7.有4个互不相等的自然数，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是64，66，68，70。求这4个数。

8.有五个砝码，其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。问：这五个砝码的重量相等吗？为什么？

课后练习答案

1.若得分超过12分的学生至少有10人，则全班的总分至少有

5×（12+13）+5×（0+1+2+3+4+5）=210（分），

大于条件209分，产生了矛盾，故得分超过12分的学生至多有9人。 2.119种。

解：从最低币值1角到最高币值14元8角，共148个不同的币值。再从中剔除那些不能由这些纸币构成的币值。

经计算，应该剔除的币值为（i+0.4）元（i=0，1，2，?，14）及（j+0.9）元（j=1，2，3，?，13），一共29种币值。所以，一共可以付出148-29=119（种）不同的币值。 3.9540。

=2×（8+9+?+97）+（97-8+1）=9540。 4.1。

解：先考虑ABCD是长方形的特殊情况，显然此时EFNM的面积是1。下面就一般情况求解。

连结AC，AM，FM，CF，则

5.3993个。

解：为了使计算互不重复，我们取距离最远的两点A，B。先计算以A为左端点的所有线段，除B外有1996条，这些线段的中点有1996个，它们互不重合，且到点A的距离小于AB长度的一半。

同样，以B为右端点的所有线段，除A外有1996条，这些线段的中点有1996个，它们互不重合，且到点A的距离小于AB长度的一半。

这两类中点不会重合，加上AB的中点共有1996+1996+1=3993（个），即互不重合的中点不少于3993个。

另一方面，当这1998个点中每两个相邻点的间隔都相等时，不重合的中点数恰为3993。 这说明，互不重合的中点数至少为3993个。 6.198个。

解：考虑一种特殊的通话过程：先由99人每人打一个电话给A，A再给99人每人打一个电话，这样一共打了198个电话，而且每人都知道了所有的消息。

下面我们说明这是次数最少的。考虑一种能使所有人知道一切消息的通话过程中的关键性的一次通话，这次通话后，有一个接话人A知道了所有的消息，而在此之前还没有人知道所有的消息。

除了A以外的99人每人在这个关键性的通话前，必须打出电话一次，否则A不可能知道所有的消息；又这99人每人在这个关键性的通话后，又至少收到一个电话，否则它们不可能知道所有的消息。

7.30，34，36，38或31，33，35，39。

解：设4个数为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，则6个和为a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d。于是有

a+b＜a+c＜a+d＜b+d＜c+d 和a+b＜a+c＜b+c＜b+d＜c+d。

分别解这两个方程组，得

8.相等。

解：设这五个砝码的重量依次为a≤b≤c≤d≤e。 去掉e，则有a+d=b+c； ① 去掉d，则有a+e=b+c。 ② 比较①②，得d=e。 去掉a，则有b+e=c+b； ③ 去掉b，则有a+e=c+d。 ④ 比较③④，得a=b。

将a=b代入①得c=d，将d=e代入④得b=c。所以e=b=c=d=e。

例题答案：

1． 分析：最高的得分为50分，最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。 从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了。

解：最高的得分为50分，最低的得分为0分。在从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45（种）。

2． 分析：从条件“若按每排4人编队，则最后差3人”的反面来考虑，可理解为“若按每排4人编队，则最后多1人”。同理，按3人、2人排队都可理解为多1人。即总人数被12除余1。这样一来，原题就化为：

一个5的倍数大于1000，且它被12除余1。问：这个数最小是多少？

解：是5的倍数且除以12余1的最小自然数是25。因为人数超过1000，[3，4，5]=60，所以最少有

25+60×17=1045（人）。

3． 解：将八边形的8个顶点上的数依次记为a1，a2，a3，?，a8，则有S=a1+a2+a3+?+a8=1+2+3+?+8=36。

假设任意3个相邻顶点上的数都大于13，因为顶点上的数都是整数，所以

a1+a2+a3≥14； a2+a3+a4≥14；

??

a7+a8+a1≥14； a8+a1+a2≥14。

将以上 8个不等式相加，得3S≥112，从而 S＞ 37，这与S=36矛盾。故结论是否定的。 4．解：假设这个数为A，它是自然数a的平方。

因为A的各位数字之和888是3的倍数，所以a也应是3的倍数。于是a的平方是9的倍数，但888不是9的倍数，这样就产生了矛盾，从而A不可能是平方数。

5.

分析：我们先考虑正方形EFGH的特殊位置，即它的各边与正方形ABCD的各边对应平行的情况（见上图）。此时，显然有

得出答案后，这个问题还得回到一般情况下去解决，解决的方法是将一般情况变成特殊情况。 解：自E向AB和AD分别作垂线EN和EM（右图），则有 S=S△PME+S四边形AMEQ 又S△PME=S△EQN，故

S=S△EQN+S四边形AMEQ =S正方形AMEN

6. 分析与解：先考虑一种特殊的图形：围棋盘。它有38条直线、361个交点。我们就从这种特殊的图形出发，然后进行局部的调整。

先加上2条对角线，这样就有40条直线了，但交点仍然是361个。再将最右边的1条直线向右平移1段，正好增加了4个交点（见上图）。于是，我们就得到了有365个交点的40条直线。 7. 分析：从这8个数都相等的特殊情况入手，它们满足题目条件，从而得所求值为0。这就启发我们去说明a+b+c+d=e+f+g+h。 解：由已知得

3a=b+e+d，3b=a+c+f， 3c=b+d+g，3d=a+c+h， 推知

3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h，

a+b+c+d=e+f+g+h，

（a+b+c+d）-（e+f+g+h）=0。

8. 分析：先讨论n=3的情况，任取两表：

1 3 7 1 2 3 2 5 6 4 5 6 8 9 4 7 8 9

左上表中x=6，y=4；右上表中x=3，y=3。两个表都满足x≥y，所以可以猜想x≥y。

解：设x是第i行第j列的数aij，y是第l行第m列的数alm。考虑x所在的行与y所在的列交叉的那个数，即第i行第m列的数aim。显然有aij≥aim≥alm，当i=l，j=m时等号成立，所以x≥y。

9. 解：10到40之间的8个质数是

11，13，17，19，23，29，31，37。

根据题目要求，除去最左边和最右边的2个质数之外，剩下的6个质数在同一行的2个质数的和应分别相等，等于这6个数中最小数（记为a）与最大数（记为b）之和a+b。根据a，b的大小可分为6种情况：

当a=11，b=29时，无解；

当a=11，b=31时，有11+31=13+29=19+23，得到如下填法：

当a=11，b=37时，有11+37=17+31=19+29，得到如下填法：

当a=13，b=31时，无解； 当a=13， b=37时，无解； 当a=17，b=37时，无解。 所以，共有2类填法。

10. 解：设四个数为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，则六个和为a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d，其中a+b最小，a+c次小，c+d最大，b+d次大，a+d与b+c位第三和第四。

分别解这两个方程组，得

11. 解：设这12个自然数从小到大依次为a1，a2，a3，?，a12，且它们两两相减最多只有2个差相等，那么差为1，2，3，4，5的都最多只有2个。从而

a12-a11，a11-a10，a10-a9，?，a2-a1，

这11个差之和至少为

2×（1+2+3+4+5）+6=36，

但这11个差之和等于a12-a1＜36。这一矛盾说明，两两相减的差中，至少有3个相等。 12. 解：设这8个物品的重量从重到轻依次排列为：

15≥a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＞a7＞a8≥1。

小平找出的这个物品重量为a5，第二轻的物品重量为a7。

由于a5加上一个比它轻的物品不可能大于两个比a5重的物品重量之和，因而第一次必须筛去3个比a5重的物品。

这样就有以下四种可能：

先考虑第一种情况。根据①式，a4比a1至少轻3克，a5比a2，a6比a3也都至少轻3克，则a7比a8至少重 10克。根据②式，a5比a4至少轻1克，则a6比a7至少重 18克。与已知矛盾，第一种情况不可能出现。

按同样的推理方法，可以说明第二种和第三种情况也不可能出现。

最后，考虑第四种情况。a1比a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少轻1克，则a7比a8至少重4克。根据④式，a5比a4至少轻4克，则a6比a7至少重5克。这样得到的这8个物品的重量分别为：

a1=15克， a2=14克， a3=13克， a4=12克， a5=11克， a6=10克， a7=5克， a8=1克。

因此，小平找出的这个物品重11克，第二轻的物品重5克。

先考虑第一种情况。根据①式，a4比a1至少轻3克，a5比a2，a6比a3也都至少轻3克，则a7比a8至少重 10克。根据②式，a5比a4至少轻1克，则a6比a7至少重 18克。与已知矛盾，第一种情况不可能出现。

按同样的推理方法，可以说明第二种和第三种情况也不可能出现。

最后，考虑第四种情况。a1比a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少轻1克，则a7比a8至少重4克。根据④式，a5比a4至少轻4克，则a6比a7至少重5克。这样得到的这8个物品的重量分别为：

a1=15克， a2=14克， a3=13克， a4=12克， a5=11克， a6=10克， a7=5克， a8=1克。

因此，小平找出的这个物品重11克，第二轻的物品重5克。

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