数值分析课程第五版课后习题答案

第一章 绪论

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

***** 385.6，x4 7 1.0。 0.031，x3x1 1.1021，x2 56.430，x5

***

385.6有4 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3[解]x1

**

7 1.0有2位有效数字。 56.430有5位有效数字；x5位有效数字；x4

****

,x2,x3,x44、利用公式（2.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给

的数。

***

x2 x4（1）x1；

f *******

e*(x1 x2 x4) (x) (x) (x) (x)k124 x

k 1 k [解]；

111

10 4 10 3 10 3 1.05 10 3

222

n

***

x2x3； （2）x1

*

f***e*(x1x2x3)

k 1 xk

n ********** (x) (xx) (x) (xx) (x) (xx) (x)k231132123

*

[解] (0.031 385.6)1 10 4 (1.1021 385.6)1 10 3 (1.1021 0.031)1 10 3；

222

0.59768 10 3 212.48488 10 3 0.01708255 10 3

213.09964255 10 3 0.21309964255

**/x4（3）x2。

f**e*(x2/x4)

k 1 xk

n*

x21*** (x) (x) (x)k24**2 x4(x4)

*

[解]

110.031156.4611 3 3

。 10 3 10 1022

56.430222(56.430)(56.430)56.4611 3 5 10 0.88654 10(56.430)22

6、设Y0 28，按递推公式Yn Yn 1

1

783(n 1,2, )计算到Y100，若取100

783 27.982（五位有效数字，）试问计算Y100将有多大误差？

[解]令n表示Yn的近似值，e*(Yn) n Yn，则e*(Y0) 0，并且由

n n 1

11

783可知， 27.982，Yn Yn 1 100100

1

n Yn n 1 Yn 1 (27.982 )，即

10012

从e*(Yn) e*(Yn 1) (27.982 ) e*(Yn 2) (27.982 ) ，

100100

而e*(Y100) e*(Y0) (27.982 783) 783 27.982， 而783 27.982

11

10 3，所以 *(Y100) 10 3。

22

11、序列 yn 满足递推关系yn 10yn 1 1(n 1,2, )，若y0 2 1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

y 2

[解]设n为yn的近似值， *(yn) n yn，则由 0与

yn 10yn 1 1

0 1.411

可知， *(y0) 10 2，n yn 10(n 1 yn 1)，即

2 n 10n 1 1

*(yn) 10 *(yn 1) 10n *(y0)，

11

从而 *(y10) 1010 *(y0) 1010 10 2 108，因此计算过程不稳定。

22

12、计算f (2 1)6，取2 1.4，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？

1(2 1)

6

，(3 22)3，

1(3 22)

3

，99 702。

[解]因为 *(f)

11

， 10 1，所以对于f1 6

2(2 1)

e*(1) 1e*(1.4)

611 1 4

有一位有效数字； 10 6.54 10 10 2，7

22(1.4 1)

对于2 (3 22)3，

11

e*(2) 2e*(1.4) 6(3 2 1.4)2 10 1 0.12 10 1 10 1，没有有效数

22

字；

对于3

1(3 22)

3

，

611 1 3

10 2.65 10 10 2，有一位有效数4

22(3 2 1.4)

e*(3) 3e*(1.4)

字；

11

对于4 99 702，e*(4) 4e*(1.4) 70 10 1 35 10 1 101，没有

22

有效数字。

第二章 插值法

4、设xj

n

(j 0,1, ,n)为互异节点，求证：

k

l(x) x1） xkjj

j 0n

(k 0,1, ,n)；

2） (xj x)klj(x) xk

j 0

(k 1,2, ,n)；

[解]1）因为左侧是xk的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。

2）设f(y) (y x)k，则左侧是f(y) (y x)k的n阶拉格朗日多项式，令y x，即得求证。

1

5、设f(x) C2 a,b 且f(a) f(b) 0，求证maxf(x) (b a)2maxf (x)。

a x ba x b8

[解]见补充题3，其中取f(a) f(b) 0即得。

6、在 4 x 4上给出f(x) ex的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10 6，问使用函数表的步长h应取多少？

[解]由题意可知，设x使用节点x0 x1 h，x1，x2 x1 h进行二次插值，则

R2(x)

f ( )

(x x0)(x x1)(x x2)3!

插值余项为

e

[x (x1 h)](x x1)[x (x1 h)], x0,x2 6

，

令f(x) [x (x1 h)](x x1)[x (x1 h)] x3 3x1x2 (3x12 h2)x x1(x12 h2)，则f (x) 3x2 6x1x (3x12 h2)，从而f(x)的极值点为x x1

3323h (1 )h (1 )h h，而 3339

3

h，故3

x0 x x2

maf(x)

e e423e43

R2(x) maxf(x) h h，要使其不超过10 6，则有

6x0 x x26927e43

h 10 6，即h 27

7

4

243e23.4863 2

10 10 2 0.472 10 2。 2

7.389e

1

7

f(8)( )0

8、f(x) x x 3x 1，求f[2,2, ,2]，f[2,2, ,2] 0。

8!8!

1

8

f(7)( )7!

1，f[20,21, ,28]。 [解]f[2,2, ,2]

7!7!

1

7

12、若f(x) a0 a1x an 1xn 1 anxn有n个不同实根x1,x2, ,xn，证明

j 1

n

0 k n 2 0,

1。 f (xj) an,k n 1

n

xkj

[证明]由题意可设f(x) an(x x1)(x x2) (x xn) an (x xi)，故

i 1

f (xj) an (xj xi)，再由差商的性质1和3可知：

i 1

i j

n

f (x

j 1

n

xkj

j

)

j 1

n

xkj

an (xj xi)

i 1

i jn

1k1(xk)(n 1) x[x1, ,xn] ，从而得证。 anan(n 1)!

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)

R3(x) f解：

()( x

k

x2) (x

k 1

x

2

) / 4!,

k

x ( ,k1x

)

若x [xk,xk 1]，且插值多项式满足条件

(xk) f (xk) H3(xk) f(xk),H3

(xk 1) f (xk 1) H3(xk 1) f(xk 1),H3

插值余项为R(x) f(x) H3(x) 由插值条件可知R(xk) R(xk 1) 0 且R (xk) R (xk 1) 0

R(x)可写成R(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

其中g(x)是关于x的待定函数，

现把x看成[xk,xk 1]上的一个固定点，作函数

(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk)2(t xk 1)2

根据余项性质，有

(xk) 0, (xk 1) 0

(x) f(x) H3(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

f(x) H3(x) R(x) 0

(t) g(x)[2(t xk)(t xk 1)2 2(t xk 1)(t xk)2] (t) f (t) H3

(xk) 0

(xk 1) 0

由罗尔定理可知，存在 (xk,x)和 (x,xk 1)，使

( 1) 0, ( 2) 0

即 (x)在[xk,xk 1]上有四个互异零点。

根据罗尔定理， (t)在 (t)的两个零点间至少有一个零点，

故 (t)在(xk,xk 1)内至少有三个互异零点， 依此类推，

(4)

(t)在(xk,xk 1)内至少有一个零点。

记为 (xk,xk 1)使

(4)( ) f(4)( ) H3(4)( ) 4!g(x) 0

又 H3(t) 0

(4)

f(4)( )

g(x) , (xk,xk 1)

4!

其中 依赖于x

f(4)( )

R(x) (x xk)2(x xk 1)2

4!

分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k 0,1, ,n)，设步长为h，即

xk x0 kh,k 0,1, ,n在小区间[xk,xk 1]上

f(4)( )

R(x) (x xk)2(x xk 1)2

4! 1(4)

R(x) f( )(x xk)2(x xk 1)2

4!

1

(x xk)2(xk 1 x)2maxf(4)(x)

a x b4!

1x xk xk 1 x22 [()]maxf(4)(x)

a x b4!2

114

4hmaxf(4)(x)

a x b4!2

h4 maxf(4)(x)384a x b

x)1( /17．设f(

)x

2

，在 5 x 5上取n 10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，

计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。 解：

若x0 5,x10 5 则步长h 1,

xi x0 ih,i 0,1, ,10

f(x)

1

2

1 x

在小区间[xi,xi 1]上，分段线性插值函数为

Ih(x)

x xi 1x xi

f(xi) f(xi 1)

xi xi 1xi 1 xi

11

(x x)i

1 xi21 xi 12

(xi 1 x)

各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x 4.5时，f(x) 0.0471,Ih(x) 0.0486 当x 3.5时，f(x) 0.0755,Ih(x) 0.0794 当x 2.5时，f(x) 0.1379,Ih(x) 0.1500 当x 1.5时，f(x) 0.3077,Ih(x) 0.3500 当x 0.5时，f(x) 0.8000,Ih(x) 0.7500 误差

h2

maxf(x) Ih(x) maxf ( ) xi x xi 18 5 x 5

1

2

1 x 2x

f (x) ,

(1 x2)2

又 f(x)

6x2 2

f (x)

(1 x2)324x 24x3

f (x)

(1 x2)4

令f (x) 0

得f (x)的驻点为x1,2 1和x3 0

1

f (x1,2) ,f (x3) 2

2

1

maxf(x) Ih(x) 5 x 54

18、求f(x) x2在 a,b 上的分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。

[解]设将 a,b 划分为长度为h的小区间a x0 x1 xn b，则当

x xk,xk 1 ，k 0,1,2, ,n 1时，

Ih(x) fklk fk 1lk 1 x(x

2

k 1

2k

22

x xk 1x xkxk2 1(x xk) xk(x xk 1) x xk 1 xk xk 1xk 1 xkxk 1 xk

2k2

k 1k

x) xx xxk 1 xk

2k 1k

x

x(xk 1 xk) xk 1xk

从而误差为R2(x)

f ( )

(x xk)(x xk 1) (x xk)(x xk 1)， 2!

h2

故R2(x) (x xk)(x xk 1) 。

4

19、求f(x) x4在 a,b 上的分段埃尔米特插值，并估计误差。

[解]设将 a,b 划分为长度为h的小区间a x0 x1 xn b，则当

x xk,xk 1 ，k 0,1,2, ,n 1时，

Ih(x) fk k fk 1 k 1 fk k fk 1 k 1(x)

4 x xk 1 xk

x x

k 1 k

22

x xk

1 2 xk 1 xk 4 x xk

x k 1 x x

k k 1

2

2

x xk 1 1 2， xk xk 1

3 x xk 1 3 x xk

4xk (x xk) 4xk 1 x x

k xk xk 1 k 1 (x xk 1)

f(4)( )

(x xk)2(x xk 1)2 (x xk)2(x xk 1)2， 从而误差为R2(x)

4!h4

故R2(x) (x xk)(x xk 1) 。

16

2

2

20

试求三次样条函数S(x)，并满足条件： 1）S (0.25) 1.0000,S (0.53) 0.6868； 2）S (0.25) S (0.53) 0。

[解]由h0 0.30 0.25 0.05，h1 0.39 0.30 0.09，h2 0.45 0.39 0.06，

h3 0.53 0.45 0.08，及（8.10）式 j

hjhj 1 hj

, j

hj 1hj 1 hj

,(j 1, ,n 1)

可知， 1

h1h20.0990.062

， ， 2

h0 h10.05 0.0914h1 h20.09 0.065

3

h30.084 ，

h2 h30.06 0.087

h0h10.0550.093

， ， 2

h0 h10.05 0.0914h1 h20.09 0.065h20.063

，

h2 h30.06 0.087

1

3

由（8.11）式gj 3( jf[xj 1,xj] jf[xj,xj 1])(j 1, n 1)可知，

g1 3( 1f[x0,x1] 1f[x1,x2]) 3[

9f(x1) f(x0)5f(x2) f(x1)

]

14x1 x014x2 x1

90.5477 0.500050.6245 0.5477

3 ( )

140.30 0.25140.39 0.309477576819279 3 ( ) 2.7541

14500149007000g2 3( 2f[x1,x2] 2f[x2,x3]) 3[

2f(x2) f(x1)3f(x3) f(x2)

]

5x2 x15x3 x2

。

20.6245 0.547730.6708 0.6245

3 ( )

50.39 0.3050.45 0.39276834634 256 3 463 3 ( ) 2.413

590056001000

。

g3 3( 3f[x2,x3] 3f[x3,x4]) 3[

4f(x3) f(x2)3f(x4) f(x3)

]

7x3 x27x4 x3

40.6708 0.624530.7280 0.6708

3 ( )

70.45 0.3970.53 0.45446334724 463 9 1181457 3 ( ) 2.0814

760078001400700

。从而

5

209 14 2.7541 1.0000 2.1112 m1 14

23 ，解得 2m 2.413 2.4131）矩阵形式为： 2 55 1.7871 m3 2.0814 3 0.6868 4 0 27 7 m1 0.9078 n

m 0.8278

[yj j(x) mj j(x)]。 2 ，从而S(x) j 0

0.6570 m3

2）此为自然边界条件，故

g0 3f[x0,x1] 3

f(x1) f(x0)0.5477 0.5000477

3 3 2.862；

x1 x00.30 0.25500f(xn) f(xn 1)0.7280 0.6708572

3 3 2.145，

xn xn 10.53 0.45800

gn 3f[xn 1,xn] 3

2 9 14

矩阵形式为： 0

0 0

n

12250

0514247

0035247

00

0

0 m0 2.862 m 2.75411

0 m2 2.413 ，可以解得

2.0814m 3 3

m 7 4 2.145 2

m0 m 1

m2 ，从而 m3 m 4

S(x) [yj j(x) mj j(x)]。

j 0

补充题：

1、令x0 0，x1 1，写出y(x) e x的一次插值多项式L1(x)，并估计插值余项。

[解]由y0 y(x0) e 0 1，y1 y(x1) e 1可知，

L1(x) y0

x x0x x1x 1 1x 0 y1 1 e

x0 x1x1 x00 11 0，

(x 1) e 1x 1 (e 1 1)x

f ( )e

余项为R1(x) (x x0)(x x1) x(x 1), 0,1 ，

2!2

故R1(x)

1111 maxe maxx(x 1) 1 。

0 x 120 1248

2、设f(x) x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以 1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有

f(4)( )

R3(x) (x x0)(x x1)(x x2)(x x3)

4!，

4!

(x 1)x(x 1)(x 2) (x2 2x)(x2 1) x4 2x3 x2 2x4!

从而L3(x) f(x) R3(x) x4 (x4 2x3 x2 2x) 2x3 x2 2x。 3、设f(x)在 a,b 内有二阶连续导数，求证：

maxf(x) [f(a)

a x b

f(b) f(a)1

(x a)] (b a)2maxf (x)。

a x bb a8

f(b) f(a)

(x a)是以a，b为插值节点的f(x)的线性插值多项

b a

式，利用插值多项式的余项定理，得到：

f(b) f(a)1

f(x) [f(a) (x a)] f ( )(x a)(x b)，从而

b a2

[证]因为f(a)

f(b) f(a)1

(x a)] maxf ( ) max(x a)(x b)

a x ba x bb a2a b

。

111

maxf ( ) (b a)2 (b a)2maxf (x)

a x b2a b48maxf(x) [f(a)

4、设f(x) x7 5x3 1，求差商f[20,21]，f[20,21,22]，f[20,21, ,27]和

f[20,21, ,28]。

[解]因为f(20) f(1) 7，f(21) f(2) 27 5 23 1 169，

f(22) f(4) 47 5 43 1 16705，所以f[20,21]

f(2) f(1)

169 7 162，

2 1

f[21,22]

1

2

f(4) f(2)16705 169

8268，

4 22

f[21,22] f[20,21]8268 162

f[2,2,2] 2702， 20

32 2

f(7)( )7!f(8)( )0018

f[2,2, ,2] 1，f[2,2, ,2] 0。

7!7!8!8!

1

7

5、给定数据表：i 1,2,3,4,5，

求4[解]

57

N4(x) 4 3(x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 4)

660

1 (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)180

，插值余项为

57

4 3(x 1) (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 4)

660

1 (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)180

f(5)( )

R4(x) (x 1)(x 2)(x 4)(x 6)(x 7), 1,7 。

5!

6、如下表给定函数：i 0,1,2,3,4，

[解]构造差分表：

t(t 1)2

f0 2

N4(x0 th) f0 t f0

由差分表可得插值多项式为：

3 3t

t(t 1)

2 3 3t t(t 1) t2 2t 32

。

第三章 函数逼近与计算

2.当f(x) x时，求证Bn(f,x) x 证明：

若f(x) x，则

k

Bn(f,x) f()Pk(x)

nk 0

n

k n

xk(1 x)n kk 0n k n

kn(n 1) (n k 1)k

x(1 x)n k

k!k 0n

n

n

(n 1) [(n 1) (k 1) 1]k

x(1 x)n k

(k 1)!k 1

n

n 1 kn k

x(1 x)

k 1 k 1 n

n 1 k 1(n 1) (k 1)

x x(1 x)k 1 k 1 x[x (1 x)]n 1

x

4。计算下列函数f(x)关于C[0,1]的f

,f1与f

2

：

(1)f(x) (x 1)3,x [0,1]1

(2)f(x) x ,

2

(3)f(x) xm(1 x)n,m与n为正整数， (4)f(x) (x 1)10e x

解：

(1)若f(x) (x 1)3,x [0,1]，则 f (x) 3(x 1)2 0

f(x) (x 1)3在(0,1)内单调递增

f

maxf(x)

0 x 1

max f(0),f(1) max 0,1

1f

maxf(x)

0 x 1

max f(0),f(1) max 0,1

1f

( (1 x)dx)

01

6

12

2

117

[(1 x)]2

07

(2)若f(x) x

1

,x 0,1 ，则 2

ff

maxf(x)

0 x 11

12

1

f(x)dx

01

1

2

1(x )dx

22

1 4f

21

( f(x)dx)

1

2

12

121

[ (x )dx]2

02 6

(3)若f(x) xm(1 x)n,m与n为正整数

当x 0,1 时,f(x) 0

f (x) mxm 1(1 x)n xmn(1 x)n 1( 1) x

m 1

n m

(1 x)m(1 x)

m

n 1

m

)时,f (x) 0 n m

m

)内单调递减 f(x)在(0,

n mm

当x (,1)时,f (x) 0

n m

m

,1)内单调递减。

f(x)在(

n m

当x (0,

x (

m

,1)f (x) 0n m

f maxf(x)

0 x 1

m

max f(0),f()

n m

mm nn

(m n)m n

f

11

f(x)dx

1

xm(1 x)ndx

2(sin2t)m(1 sin2t)ndsin2t

2sin2mtcos2ntcost 2

sintdt

n!m!(n m 1)!

f

2

[ x(1 x)dx]

04m

4n

2

1

2m2n

12

12

[ 2sin

tcostd(sint)]

12

[ 22sin4m 1tcos4n 1tdt]

(4)若f(x) (x 1)10e x

当x 0,1 时，f(x) 0

f (x) 10(x 1)9e x (x 1)10( e x) (x 1)9e x(9 x) 0

f(x)在[0,1]内单调递减。

f

maxf(x)

0 x 1

max

f(0),f(1)210 ef

f(x)dx1

010

1

(x 1)10e xdx (x 1)10e x 5 f

10e

1

20

2x

10(x 1)9e xdx

1

2

[ (x 1)e

dx]

12

34 7( 2)

4e

6.对f(x),g(x) C[a,b]，定义

1

(1)(f,g) f (x)g (x)dx

a

b

(2)(f,g) f (x)g (x)dx f(a)g(a)

a

b

问它们是否构成内积。 解：

(1)令f(x) C（C为常数，且C 0）

则f (x) 0 而(f,f)

b

a

f (x)f (x)dx

这与当且仅当f 0时，(f,f) 0矛盾

不能构成C1[a,b]上的内积。

(2)若(f,g) f (x)g (x)dx f(a)g(a)，则

ab

(g,f) g (x)f (x)dx g(a)f(a) (f,g), K

a

b

( f,g) [ f(x)] g (x)dx af(a)g(a)

a

b

[ f (x)g (x)dx f(a)g(a)]

a

b

(f,g)

h C1[a,b],则

(f g,h) [f(x) g(x)] h (x)dx [f(a)g(a)]h(a)

a

b

f (x)h (x)dx f(a)h(a) f (x)h (x)dx g(a)h(a)

a

a

bb

(f,h) (h,g)

(f,f) [f (x)]2dx f2(a) 0

a

b

若(f,f) 0，则

b

a

[f (x)]2dx 0,且f2(a) 0

f (x) 0,f(a) 0 f(x) 0

即当且仅当f 0时，(f,f) 0. 故可以构成C[a,b]上的内积。

8。对权函数 (x) 1 x，区间[ 1,1]，试求首项系数为1的正交多项式 n(x),n 0,1,2,3. 解：

若 (x) 1 x，则区间[ 1,1]上内积为

2

2

1

(f,g) f(x)g(x) (x)dx

1

1

定义 0(x) 1，则

n 1(x) (x n) n(x) n n 1(x)

其中

n (x n(x), n(x))/( n(x), n(x)) n ( n(x), n(x))/( n 1(x), n 1(x)) 0 (x,1)/(1,1)

1

1

x(1 x2)dx(1 x2)dx

1

0 1(x) x

1 (x2,x)/(x,x)

1

11

x3(1 x2)dxx2(1 x2)dx

1

0

1 (x,x)/(1,1)

1

1

1

x2(1 x2)dx(1 x2)dx

1

16

2

853 2(x) x2

25

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qj1i.html