我的高考数学错题本——第7章 数列易错题

我的高考数学错题本

第7章 数列易错题

易错点1．已知n S 求n a 时, 易忽略1n =致错．

【例1】已知数列{}n a 的前项和为n S ＝12n 2＋12

n ＋1，求{}n a 的通项公式．

【纠错训练1】已知数列｛n a ｝满足2112313333

n n n a a a a -+++++= ，求n a 。

易错点2．利用等比数列前n 项和公式时，忽略公比1q =致错．

【例2】求数列2311,3,5,7,......(21),.....(0)n a a a n a a --≠的前n 项和．

易错点3．忽略数列与函数的区别致错． 【例3】已知函数5,6()(4)4,62

x a x f x a x x -?≥?=?-+

【例4】 已知数列22n a n tn =-+在[2,)+∞是递增数列，则实数的取值范围是_______．

易错点4．数列的定义域是全体的正整数．

【例5】已知数列133n a n =-，其前项和为n S ，则n S 的最大值是________．

易错点5．乱用结论致错．

【例6】已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ，若

230,90m m S S ==，求3m S ．

【纠错训练2】已知121,,,4a a 成等差数列，1231,b ,b ,b ,4成等比数列，则122a a b +=______

易错点6．乱设常量致错．

【例7】数列{}n a 与{}n b 的前项和分别为,n n S T ，且:(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =_______

易错点7．用归纳代替证明致错．

【例8】【2016年高考四川理数改编】已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q>0，*n N ∈ ，若2322,,2a a a + 成等差数列，求{}n a 的通项公式；

易错点8．数列加绝对值后，认为其还是等差数列．

【例9】在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，求数列{}n b 的前30项和.

【纠错训练3】在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.

易错点9．使用构造法求数列通项公式时，弄错首项致错． 【例10】已知数列{a n }满足a 1＝1，121n n a a +=+，求n a 的通项公式．

【错因】1n n n a S S -=-成立的条件是2n ≥，当1n =要单独验证．

例2．【错解】由于1(21)n n a n a -=-(*)n N ∈，

23211357......(23)(21)n n n S a a a n a n a --=+++++-+- n aS = 2341357......(23)(21)n n a a a a n a n a -+++++-+- 两式相减得231(1)1222.....2(21)n n

n a S a a a a n a --=+++--=12(21)11n n a n a a ----- 21(21)12(1)1n n n a n a S a a

--+∴=--- . 【错因】上述解法只适合1a ≠的情形．

事实上，当1a =时，1357......(23)(21)n S n n =+++++-+-2(121)2

n n n +-== 【正解】221(21)12,1(1)1,1n n n a n a a a a S n a ?--+-≠?--=??=?

例3.【错解】由题有651402

(4)642

a a a a -??>??->???-?+

【错因】忽略数列与函数的区别致错，实际上，数列是一串离散的点，不能直接将6n =带入到分段函数的两个部分进行比较．

【正解】由题有1402

(5)(6)a a f f >???->??

例4.【错解】依题意，22

t n =≤，解得4t ≤，所以的取值范围是(,4]-∞． 【错因】数列的定义域是全体的正整数，不是实数，所以不能按照函数的处理办法．

【正解】依题意，23a a <，即422932t t -+<-+，故5t <．

例5．【错解】由题意，110a =，2(10133)323529()22624n n n S n +-==--+，当236n =时，n S 的最大，最大值是为52924

n S =． 【错因】数列的自变量是正整数，不能取非正数． 【正解】方法1：由题意，110a =，2(10133)323529()22624n n n S n +-=

=--+，当4n =时，离二次函数对称轴最近，所以n S 的最大值是为4S =2

23434222

?-?=． 方法2：令1330n a n =->，解得134

n <，即{}n a 前4项为正数，后面项均为负数，所以n S 的最大值为4S =2

23434222

?-?=． 例6.【错解】因为322m m m S S S +=，30m S =，290m S =，所以322150m m m S S S =-=．

【错因】以为{}n a 为等差数列，则23,,m m m S S S 也是为等差数列致错．

【正解】设数列的公差为d ，则123......m m S a a a a =++++，

212312...........m m m m

S a a a a a a +=+++++++，31232213...........m m m m S a a a a a a +=+++++++

11()2m m S a m -=+，2131()2m m m S S a m --=+，32151()2

m m m S S a m --=+ 所以232,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列，所以

()2322m m m m m S S S S S -=+-．

即32(9030)3090m S ?-=+-，3180m S ∴=．

例6.【错解】(513),(45)n n S n k T n k =+=+，则15n n n a S S k -=-=，14n n n b T T k -=-=，所以1010:5:4a b =．

【错因】从:(513):(45)n n S T n n =++可知，比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数的变

化而变化，不能设为常数，这里忽略了项数的可变性而致错．

【正解】设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+，则1(108)n n n a S S n k -=-=+，1(81)n n n b T T n k -=-=+，其中2n ≥，:n n a b ∴=(108):(81)n n ++．所以1010:a b =4:3．

例8.【错解】依题意112132=112=32a a a qa a a ì????+=+í???+??，解得123124

a a a ì=????=í???=??，因为2213a a a =，所以{}n a 是一个等比数列，所以1*2()n n a n -=?N ．

【错因】由前3项成等比数列，就认为数列{}n a 为等比数列．

【正解】由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n 3都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.

由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q +q -=， 由已知,0q >，故 =2q .

所以1*2()n n a n -=?N .

例9．【错解】依题意，||n n b a =也是等差数列，11||28b a ==，3030||59b a ==， 所以3012330(2859)30||||||......||12602

S a a a a +?=++++==． 【错因】这里易错点是{}n b 也为等差数列，而解题的关键是绝对值号内的n a 的正负号进行讨论，当10n ≤时，0,11n a n <≥时，0n a >

【正解】3012330||||||......||S a a a a =++++

1231011121330(......)(......)a a a a a a a a =-+++++++++

110113010()20()22

a a a a ++=-+=755． 例10.【错解】*121()n n a a n N +=+∈ ，112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以2为公比的等比数列 11122n n n a --∴=?=*()n N ∈．

【错因】新数列的首项是112a +=，不是1a ．

【正解】*121()n n a a n N +=+∈ ，112(1),n n a a +∴+=+

{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列 12

.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈ 纠错训练 1.2,131,23n n

n a n ?=??=??≥?? 2.52

3. 2(593),102359580,112n n n n s n n n -?≤??=?-+?≥??

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