大学数学第三章习题课

第十六讲 第三章习题课

一．关于L测度的几个问题

1．可测集的子集是否一定可测？（否） 2．零测集是否一定有界？（否）

3．含有内点的可测集，其测度是否一定大于零？（是。因为每个邻域都包含区间，而区间的测度是大于零的。）【推论：非空开集的测度必大于零。】

4．E1,E2是可测集，且E1是E2的真子集，是否必有mE1?mE2？（否） 5．G1,G2是开集，G1是G2的真子集，是否必有mG1?mG2？（否。反例：设

G1?(1,2)(2,3),G2?(1,3)。或者令G1?G2??P0?G2，则G1是开集，0?，其中P且是G2的真子集，但易知mG1?mG2。）

6．（1）设G是开集，F是非空闭集，F?G，是否必有m(G?F)?0？（是。此时

G?F是非空开集。）

（2）设G是开集，F是非空闭集，F?G，是否必有mG?mF？（否，因为它们

的测度可能都为无穷。反例：设a?b，令G??a,???,F??b,???，则F闭，G开且F?G，但mG?mF???。）

（3）设G是测度有限的非空开集，F是非空闭集，F?G，是否必有mG?mF？（是。此时，由（1）有mG?mF?m(G?F)?0。）

7．E是可测集，是否必有mE?mE。（否。反例：E是[0,1]中有理数全体之集，则所以mE?0,mE?1。）【这表明：对L测度，可测集的边界不必是零测集。】 E?[0,1]，

二．习题讲解

1．P75 EX2 证明可数集合的外测度为零。

证明：（1）先证单点集?P事实上，记P0(x1,x2,0?的外测度为零。作开区间I?对任意的??0，,xn)，

?(xi?i?1nn?2n,xi??2nn故m*?P)，则?P0??I，I?(?)??。0???。

由?的任意性知m*?P0??0。 （2）设E是可数集，记E??P1,P2,1则E??P于是m*E??m*?P ?，i??0。i?。

i?1i?1**??2．P75 EX3 设E?R为有界集，mE?0，则对任意满足0?c?mE是常数c， 都有E1?E，使m*E1?c。

证明：因为E有界，所以可设E??a,b?。定义函数

* f(x)?mE??a,x??,x??a,b?。

对任意x1,x2??a,b?，不妨设x1?x2，则

f(x2)?f(x1)?m*?E

?m*E?m*?E?m*?E??a,x2???m*?E?a,x1????a,x1??x1,x2????m*?E?a,x1??

**?a,x1???m?E?x1,x2???m?E?a,x1???x1,x2???m*?x1,x2??x2?x1?x2?x1.所以f在?a,b?上连续。而f(a)?m?E?? ?a???0，f(b)?m*??E?a,b????mE，

??由介值定理，对任意0?c?mE，存在x0??a,b?，使f(x0)?m??E?a,x0????c。

令E1?E?a,x0?即得m?E1?c。

*3．P75 EX7 设A是可测集，mB???。证明m*(A证明：由A可测，则对集合B以及集合A m?B?m?(B m(A? B)?mA?m*B?m*(AB)。

B有

A)?m?(BAc) （1）

?A)c?m]A?m?B?B)?m?[A(B)A?]m?A[(BA(c （2）

*注意到mB??，由（1），（2）消去m(BAc)即得结论。

注：结论又可写作 m(A**B)?m*(AB)?m*A?m*B。 ------------------------（3）

注意（3）式当mB???时也成立（此时两边都等于正无穷）。所以EX7又可叙述为：“若集合A,B中有一个可测，则（3）式成立。”

4．EX9 若存在两列可测集?An?,?Bn?，使对任意的n都有An?E?Bn，且

m(Bn?An)?0，证明E可测。

??证明：令B?n?1Bn,A?n?1An，则A,B都可测且m(B?A)?m(Bn?An)?0，即

E?A)?0。，即m(*m(B?A)?0。注意到A?E?B，故m(E?A)?mB(?A)?0即E?A可测，于是由E?A(E?A)知E可测。

5．EX14 如果有界集E满足条件：

inf?mG:G是开集,E?G??sup?mK:K是紧集,K?E??a，

?证明E是可测集。

证明：对每个含于E的紧集K有mK?mE???，则a?mE???。于是，对任意的i，都存在开集Gi和紧集Ki，使得Ki?E?Gi，并且

??11a??mKi?mGi?a?。

ii2 于是m(Gi?Ki)?mGi?mKi?，即limm(Gi?Ki)?0，由EX9知E可测。

i??i注：如果不用EX9直接证明，则：

??记K?i?1Ki,G?i?1Gi，则K?E?G，于是对任意的i有 1i* a??mKi?mK?mE?mG?mGi?a?，

令i??，有mK?mE?mG?a。于是m*(E?K)?m(G?K)?mG?mK?0。 所以E?K可测，从而E?K*1i(E?K)是可测集。

n??6．EX10. 设?En?是一列可测集，证明limEn和limEn都是可测集，并且

n??（1）m(limEn)?limmEn；

n??n?????（2）若m?En????，则mlimEn?limmEn。

n??n???n?1????? 证明：由于limEn?n??n?1k?nEk，由可测集对运算的封闭性知上限集可测。同理可知下

限集也可测。

??? （1）limEn?n??n?1k?nEk，记An?k?nEk，则?An?递增，于是limEn?limAn，所以

n??n?? m(limEn)?limmAn。

n??n?? 对每个n有mAn?mEn，取下极限得 limmAn?limmEn，从而m(limEn)?limmEn。

n??n??n??n????? （2）记Bn?则?Bn?递减，于是limEn?limBn，由于mB1?m?Ek????，Ek，

n??n??k?n?k?1??于是mlimEn?limmBn。注意到对每个n有mBn?mEn，所以limmBn?limmEn，

n??n??n??n????即mlimEn?limmEn。

n??n???? 7．EX11. 设?En?是一列可测集，若

??mEn?1?n???，证明mlimEn?0。

n???? 证明：令Bn?k?nEk，则mlimEn?limmBn，所以只需证明limmBn?0。

n??n??n????由于mBn??mEk?n?k，右端是收敛级数

?mEn?1?n的余项，所以limn???mEk?n?k?0。从

而limmBn?0，得证。

n?? 8．EX12. 设E是?0,1?中的可测集，若mE?1，证明对任意的集合A??0,1?有 m(E 证明：A?(A m(AA)?mA。

c（余集是相对于?0,1?取的。）而mE?0，所以 E)(AEc)。

，从而mA?m(AE)?m(AEc)?m(AE)。 Ec)?mEc?0???9．EX13. 设?En?是?0,1?中的可测集列，若对任意n，mEn?1，则m?En??1。

?n?1?c证明：在?0,1?中取余集，则对每个n，mEn?0，于是 c???????c??c m??En???m?En???mEn?0，

?n?1?n?1???n?1???cc?????????????即m??En???0所以 m?En??1?m??En???1。

?n?1?????n?1?????n?1???三．补充题

1．设A1,A2是?0,1?的可测子集，且mA1?mA2?1。证明m?A1证明：约定下面的余集都是相对于?0,1?取的。由于

A2??0。

m??(A1cA2)c??m(A1?ccA2)?mA1c?mA2?1?mA1?1?mA2?2??mA1?mA2??2?1?1

所以m(A1A2)?1?m(A1A2)c?0。

注：此题是下题的特例。 2．在[0,1]上有n个可测集：A1,A2,n?n?满足：?mAi?n?1。证明m?Ai??0。 ,An，

i?1?i?1?n证明：设A?i?1Ai，只需证明A在?0,1?中的余集的测度小于1。事实上

cnn?????nc?nccm(A)?m??Ai???m?Ai???m(Ai)??(1?mAi)i?1?i?1?i?1???i?1???

?n??mAi?n?(n?1)?1.i?1n所以mA?1?m(Ac)?0。

注1：EX13可利用这种思路。

注2：利用此题的思路还可得到如下的题目： 设E?R，且mE???，如果E的n个子集A1,A2,,An满足?mAi?(n?1)mE，

i?1n?n?证明m?Ai??0。

?i?1?3．设A是[0,1]中的可测集，mA?0。证明在A中存在两点x1,x2，使得x1?x2是无理数。

证明：【反证】若A中任意两点的差都是有理数。取定A中一点x0，则对任意x?A有

x?x0?rx是有理数。记B??rx:rx?x?x0,x?A?，则B是至多可数集。显然映射

?:xrx是A到B的一一对应，所以A也是至多可数集。这与mA?0矛盾。

rx)，则?是单射，所以A?Q，即A是至多可数集。

注：也可直接令?:A?Q(x4．设A是[0,1]中的可测集，mA?0。证明在A中存在两点x1,x2，使得x1?x2是有理数。

证明：【反证】若A中任意两点的距离都是无理数。设?rn?是[0,1]中全体有理数之集。对每个n，令An??rnA，则mAn?mA?0，且集列?An?是两两不交的。（若不然，设有x?An1An2，则存在x1,x2?A，使x1?rn1?x?x2?rn2。于是x1?x2是有理数，

?????与反证的假设矛盾。）于是m?An???mAn??mA???。

n?1?n?1?n?1???但显然An??0,2?，所以应有m?An??2，矛盾。

n?1?n?1??????*5．设?Si?是一列互不相交的可测集，对任意i有Ei?Si，则m?Ei???mEi。

?i?1?i?1*??n??*?证明：对任意n，由本章习题4知成立?mEi?m?Ei??m?Ei?，令n??

i?1?i?1??i?1?n**???得?mEi?m?Ei?。相反的不等式由次可数可加性即得。 i?1?i?1??**n?6．例 设E?R，证明存在G?型集G，使得E?G且mG?mE。【类似定理5的

证明。】

注：这里的G称为E的可测包。用它常可将不可测的问题转化为可测的问题来讨论。 7．设?Ei??R是一个递增的集列，E?n?i?1Ei?limEi，证明m?E?limm?Ei。

i??i??证明：由上例，存在可测集Hi,H，使Ei?Hi,m?Ei?mHi；E?H,mE?mH。 令Gi?H?(j?iHj)，则?Gi?是递增的可测集列。令G??Gi?limGi，则

i?1i??mG?limmG容易验证Ei?Gi?Hi,E?G?H，从而mGi?m?Ei,mG?m?E。i。

i??由此即得结论。

注：关于Ei?Gi?Hi,E?G?H的证明：

对每个i，由Gi的定义知Gi?Hi。又当j?i时有Ei?Ej?Hj，且Ei?E?H，所以Ei?H???H?j??Gi。又对每个i，Gi?H，所以G??j?i????Gi?H；而对每

i?1个i有Ei?Gi，所以E?i?1Ei?i?1Gi?G。

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