卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法

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第1章 绪 论

1.1 研究的目的

自从1960年卡尔曼滤波提出以来，它已成为控制，信号处理与通信等领域最基本最重要的计算方法和工具之一，并已成功的应用到航空，航天，工业过程及社会经济等不同领域，比如，在雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有噪声。卡尔曼滤波利用目标的动态信息,设法去掉噪声的影响，得到一个关于目标位置的好的估计。这个估计可以是对当前目标位置的估计（滤波），也可以是对于将来位置估计（预测），也可以是对过去位置的估计（差值或平滑）。但随着微型计算机的普及应用,对卡尔曼滤波的数值稳定性、计算效率、实用性和有效性的要求越来越高，随着微型计算机时代的来临显著地提高了科学计算的能力，滤波大量复杂的计算在计算机种只需要几分钟就能算出，为此本文将对卡尔曼滤波进行研究。

1.2 研究的意义

卡尔曼滤波 ( Kalman , 1960) 是当前应用最广的一种动态数据处理方法 , 它具有最小无偏方差性. 把变形体视为一个动态系统 , 将一组观测值作为系统的输出 , 可以用卡尔曼滤波模型来描述系统的状态. 动态系统由状态方程和观测方程描述 , 以监测点的位置、速率和加速率参数为状态向量 ,可构造一个典型的运动模型. 状态方程中要加进系统的动态噪声. 其滤波方程是一组递推计算公式 ,计算过程是一个不断预测、修正的过程 , 在求解时 , 优点是不需保留用过的观测值序列 , 并且当得到新的观测数据时 , 可随时计算新的滤波值 , 便于实时处理观测成果 , 把参数估计和预报有机地结合起来. 卡尔曼滤波特别适合变形监测数据的动态处理.

1.3 研究的方法

1.4 课题的主要内容

本文先从现代测量误差处理理论基础开始讲解，细致的写出现代测量误差都有那些函数，并详细分析讲解这些函数，在继续讲解最小二乘与卡尔曼滤波的关系，如量测值越多，只要处理得合适，最小二乘估计的均方误差就越小。采用批处理实现的最小二乘算法，需存储所有的量测值。若量测值数量十分庞大，则计算机必须具备巨大的存储容量，这显然是不经济的。递推最小二乘估计从每次获得的最小量测值中提取出被估计量信息，用于修正上一步所得的估计。获得量测的次数越多，修正的次数也越多，估计的精读也越高。这和卡尔曼滤波原理非常相似，本文在详细讲解了卡尔曼滤波，写出其原理性质，在根据C++进行编程，使其应用于测量领域。

第2章 现代测量误差处理理论基础

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2.1概 述

在测量、通信和控制等学科中，为了求得某些未知参数，常常要进行一系列的观测．由于测量上的局限性，往往只能观测未知量的某些函数，且观测值中必然含有误差(或称为噪声)．这就产生了根据含有误差的观测值求定未知参数估值的问题．下面举几个例子．

(1)为了确定平面或三维控制网中各点的坐标，对控制网的边长和方向(或坐标差)进行了观测，当然，观测值包含有误差．设各点的坐标为未知参数向量x，而包括边长和方向的观测值向量为L，则L和x之间有函数关系

L?F(X)??

式中?表示误差向量．通过含有误差?的观测向量L来求定待定点坐标的最佳估值，就是一个估计问题．在测量中，就是一个平差问题．

(2)通信理论中的一个重要问题是从接收到的信号中，提取被发送的信号设被发送的信息调制成信号S(t)，而接收到的信号也就是信号的观测值L(t)，由于大气噪声和电路噪声的干扰，因此有

L(t)?S(t)?n(t)

其中n(t)是噪声，t表示时间．通信中的主要问题就是从L(t)中将有用的信号S(t)分离出来，也就是由L(t)求定S(t)的最佳估值．信号S(t)也是一种未知参数．

(3)生产过程的自动化可以达到高效率和高精度 在实现生产过程的控制中，需要通过对生产系统进行状态的不断测量，得到与系统运行状态有关的观测值；然后对观测值进行分析处理得到控制信号，实时地控制生产系统按要求运行．但由于观测值中存在误差，所以，为了得到控制信号，就要求由观测值来估计系统的运行状态

(4)卫星(或其他运动体)的轨道往往可以由如下微分方程确定

?(t)?f(X(t),U(t),?(t)) X式中f表示时间；x(t)表示卫星的轨道参数，在此处称为状态向量；U(t)为控制向量；力(t)是随

机的状态噪声．为了精确估计或预测卫星的轨道，就需要对卫星进行观测，从而得到大量的观测数据L(t)，然后实时地由含有误差的观测值L(t)来估计卫星的轨道，即估计卫星的轨道参数． 以上例中所述的信号或状态都可以说是一种未知参数．在测量平差中，通常称非随机的未知参数向量为参数，而称随机参数向量为信号，而称随时间t变化的动态系统中的未知参数向量为状态向量，或筒称为状态．可以看到，在上面的例子中，都存在一个对未知参数进行估计的问题． 一般说来，若设x为t阶未知参数向量(简称为参数)，L为n阶观测向量(或称观测值)，?表示n维误差(或噪声)向量．那么，所谓估计问题，就是根据含有误差?的观测值L，构造一个函数

?(L)，使X?(L)成为未知参数向量X的最佳估计量，其具体数值称为最佳估值(以后一般不区分X?，并记 ?(L)简记为X其含义)．通常将X???X??X?X(L)?X?X

?称?X?；为X(L)的估计误差．

可以看到，当△；的数学期望等于零时，?X??X?)；而当X为非随机量?；的方差就等于E(?X

2

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时，未知参数的估值工的方差DX?；也就等于其误差方差D(?X?)．在估计理论中，通常是用估计

?的误差方差D(?)来衡量其精度的．量X但在经典的最小二乘平差中，由于X一般都是非随机参?X数，所以习惯上都用估值(平差值)的方差衡量精度．

?(L)时， 在根据观测值L求未知参数x的估值X总是希望所得到的估值是最优的．由估计理论

知道，最优估计量主要应具有以下几个性质：

?(L)通常与其真值是不同的，我们希望当观测值个数n增 (1)一致性．由观测值得到的估值X加时，估计量变得更好些；当n无限增大时，估计量向被估计的参数趋近的概率等于1．即如果对于任意??0，有

??X??)?1 (1-1-1) limP(X???Xn???具有一致性；若有 则称估计量X?)(X?X?))?0 (1-1-2) lim((X?XTn??则称此估计量是均方一致的．估计量的一致性是从它的极限性质来看的．

?的数学期望等于被估计量x的数学期望，即 (2)无偏性．若估计量X?)?E(X) (1-1-3) E(X如果丑是非随机量，上式即为

?)?X (1-1-4) E(X?为渐近无偏． ?)?X(n??)，则称X则称丘为无偏估计量．如果E(X?的误差方差E((X?X?)(X?X?)T)，小于由L (3)有效性．若由观测向量L得到无偏估计量X得到的任何其他无偏估计量X的误差方差E((X?X)(X?X))，即

***T?)(X?X?)T)

*?是有效估计量，也称X?具有有效性或方差最小性． 则称X 以不同的准则来求定未知参数的最佳估值，可得到不同的估计方法．估计方法主要有极大似然估计，最小二乘估计，极大验后估计，最小方差估计和线性最小方差估计等；经典的测量平差法都是以最小二乘估计或极大似然估计为根据导出的；而滤波、配置和动态系统的卡尔曼滤波等，最初是以极大验后估计或最小方差估计为根据导出的．因此，概率统计中的估计理论是广义测量平差的理论基础．

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2.2多维正态分布

正态分布是测量平差理论中最常用的误差分布，是最小二乘平差误差理论的基础．本节在已学过的一元正态分布的基础上，对多维正态分布做全面阐述．广义测量平差理论中还涉及其他分布，则将分别在相应章节中一一介绍．

2.2.1多维正态分布的定义和性质

已知随机变量X的正态分布概率密度为

f(x)?1?1?exp??2(x??X)2? (1-2-1)

?2??2??式中两个参数?X和?2分别为随机变量X的数学期望和方差．当?X=0，?2=1时，X为标准正态分布变量．记为X~N(0,1)，其概率密度为

f(x)?1?1?exp??x2? (1-2-2) 2??2?Z2?Zm?它们

T 设有m个互相独立的标准正态随机变量构成的随机向量Z??Z1的有限个线性函数

?X1??Z1?????XZ22X????A???A0 n?1???n?m???n?1????X?n??Zm?为n维正态随机向量．此时，X的数学期望和方差阵为

E(X)??? T?DX?AA?X的分布函数和概率密度都简称为n维(或n元)正态分布，简记为X~Nn(?,AAT)，或写为

X~Nn(?,DX)．

由互相独立的标准正态随机变量组成的随机向量Z，可写为Z~N(0,En).En为n阶单位阵．

多维正态分布具有以下性质：

(1)正态随机向量的线性函数还是正态的.例如,设X~Nn(?,AAT),Y?BX?b则

Y~N(B??b,BAATBT)

(2)设X~Nn(?,AAT),，记

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?X?????D X??1?,???1?,DX?AAT??11?X2???2??D21r?1n?rD12? ?D22?则 X1~Nr(?1,D11),X2~N(?2,D22). 2.2.2多维正态分布

设有n维正态随机向量X—N。(p。，Dx)，其中方差阵D，为可逆阵，即det(Dx)≠0，则它的概

率密度为

f(x)?2(?)??2DX?12?1??1exp??(x??X)TDX(x??X)?

?2?式中DX表示DX的行列式． 对于二维正态随机向量?XY?，若它有可逆方差阵和数学期望为

2??X???XYT?XY???X?和?? 2??Y???Y?则由(1-2-3)式可得其概率密度为

f(x,y)?12?????2X2Y2XY?

22?(x??X)2?Y?2(x??X)(y??Y)?XY?(y??Y)2?Xexp??2222?X?Y??XY??? ?因相关系数?XY?1?XY，所以上式可写为 ?X?Y???(x??X)2(x??X)(y??Y)(y??Y)2??1?exp???2????? 222?X?Y?Y???2(1??XY)??X??(1-2-4)

f(x,y)?22??X?Y1??XY这就是二维正态随机向量概率密度．

当?XY?0或?XY=0时，即当X和Y是互不相关的两个正态随机变量时，则有

?(x??X)2(y??Y)2? f(x,y)?exp???? 222??X?Y2?X2?Y??1?(x??X)2??(y??Y)2?1?exp??exp????? 222?X?2??Y2?Y?2??X??1?fx(x)fy(y)

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H?D?1?D?1ACBH

将上式左乘B，得

BD?1?(C?1?BD?1A)CBH，

或 (C?1?BD?1A)BD?1?CBH 此即(1-2-33)式，代入(1-2-34)式，即得(1-2-32)式．

2.3极大似然估计

设有参数向量X，它可以是未知的非随机量，也可以是随机向量，为了估计X，进行了n次

t?1观测．得到了观测向量L的观测值l，又假定对X的所有可能取值为x，在X=x的条件下得到的

n?1n?1观测向量L的条件概率密度为f(lx)．容易理解，f(lx)是x和l的函数，但对具体的观测值l来

?是x中的一个，而f(lx?)是f(lx)中的最大说，f(lx)可以认为只是x的函数．因此，如果x?叫做X的极大似然估值，并记作X?(L)或X??是x的准确值的可能性最大．此时把X值，那么，xMLML

这就是说，极大似然估计是以

f(lx)?max (1-3-1) 为准则求最佳估值x的方法． 显然，它满足于

?f(lx)?0 (1-3-2)

?xx?X?(L)ML由于对数是单调增加函数，因此lnf(lx)与f(lx)在相同的x值达到最大，亦即(1-3-2)式等价于

?lnf(lx)?0 (1-3-3)

?x?(L)x?XML此方程称为似然方程，f(lx)称为似然函数，而lnf(lx)称为对数似然函数 如果参数X是非随机量，则

f(lx)?f(l,x)

而(1-3-1)式变为

f(lx)?max (1-3-4) 此时，f(l,x)是L的概率密度，其中的x只是表示函数与参数X有关．

n?1 11

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? 由似然方程或(1-3-2)式可见，极大似然估值X是观测值L的函数．在采用极大似然估计ML?时，需要首先知道似然函数f(lx)或对数似然函数lnf(lx)． 求XML2.4最小二乘估计

(n?t)其观测误差（或称为噪声）向量 设被估计量是t维未知的参数向量X，观测向量为nL?1为?，观测方程

n?1 L?BX?? (1-4-1)

?，则有 式中B的秩rk(B)?t,E(?)?0,D(?)?D?，设X的估值为Xn?t??L (1-4-2) V?BX?使下列二次型达到最小值，即 所谓最小二乘估计，就是要求估计值x??VTPV?BX??LP(BX??L)?min (1-4-3) ?X?称为X的最小二乘估值，记为X?或X?(L)． 其中P是一个适当选取的对称正定常数阵，XLSLSn?n????T? 当参数X的各个分量Xi之间没有确定的函数关系，即它们是函数独立的参数时，可将?X?求自由极值，令其一阶导数为零，得 对X 转置后，得

?????X??X???2VTP?V?2VTPB?0 (1-4-4) ??X??L?0 BTPV?BTPBX??BTPL (1-4-5) 或 BTPBX????BPB解得 XT???1BTPL (1-4-6)

又因为

??2?X?2?X???2BPB?0

T?达到极小值． ?使?X所以X 最小二乘估计量x的估计误差为

?1T?1TTT?? ?x?X?X?X??BPB?BP?BX??????BPB?BP? (1-4-7)

??由此式按协方差传播律可得X的误差方差阵为

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???BPB D??xT???1BPD?PB?BPB? (1-4-8)

TT?1将对称正定阵D?表示为D??RTR (R为可逆阵)，并令

???1? Tb?RPB?BPB???则得：

a?BTR?1ab?BRRPB?BPB??E

T?1T?1且由“矩阵形”许瓦茨不等式可得：

???bTb??ab?D??x即

?1T?aaT??1?ab???aaT??1?1

?1????BTPB?BTPD?PB?BTPB??(BTD?D??xB)?1

?1?2?1?2?只有当P?P或 (P?P?D??D???0??0为常数)时，上式才取等号，而使X的误差方差阵

达到最小，此时有

???Var??x???(BD?B) D??xT?1?12??BTPB??0 (1-4-9)

?1?1?1?2有时将P取为D?或D??0时的估计称为马尔柯夫估计，此时应将(1-4-3)式写为

VTPV?min (1-4-10) ?可以看到，最小二乘估计具有如下性质：

?是观测值的线性函数． (1)最小二乘估计是一种线性估计，即X的估计量XLS (2)当观测误差的数学期望为E(?)?0时，因 E?L??BX 所以

?1T?1TTT? EXLS??BPB?BPE?L???BPB?BPBX?X

???具有无偏性． 即XLS?1?1?2?的误差方差阵达到最小值． (3)当观测误差的方差阵为D?，而取PD? 或P?D??0时，XLS (4)最小二乘估计不需要X的任何先验统计信息．当X是非随机量，或X虽然是随机量，但完全不考虑其先验统计信息时，由观测方程(1-4-1)和(1-4-6)式按协方差传播律可知

DL?D? (1-4-11)

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?LS? (1-4-12) Dx?LS?D??x 上面是不考虑概率分布，直接将(1-4-3)式作为一种估计准则．当观测误差和参数X是正态随

机向量时，这种最小二乘估计准则还可以从极大似然估计导出．

设?~N(0,D?),X~N(?x,DX)，由于X和?一般是互相独立的，故设DX??0．则由观测方程(1-4-1)式可得：

?L?E?L??B?x? DL?BDXBT?D?? (1-4-13)

???DLX?BDX而在X?x条件下的条件概率密度为 f?lx??式中

1?2??n2D?Lx?12T?1?exp???l?E?Lx???D?1?Lx??l?E?Lx???

?2? E?Lx???L?DLXDX?x??x?

?1?1D?Lx??DL?DLXDXDXL

将(1-4-13)式代人上式得：

E?Lx??B?x?B?x??x??Bx

?1D?Lx??(BDXBT?D?)?BDXDXDXBT?D?

由于似然方程等价于

l?E?Lx?所以也等价于

??TD?1?Lx??l?E?Lx???min

? L?BX考虑到

??T?1??min （l-4-14) D?L?BX???1?12 P??D?或P??D??0

??L V?BX则（l-4-14)式也就是最小二乘估计的准则(1-4-10).这就由极大似然估计导出了最小二乘估计． 从上述讨论看到，在由极大似然估计导出最小二乘估计的过程中，虽然将参数X作为随机向

?时，并不需要知道X的先验期望和先验方差．因此，从这个意义量，但是在求最小二乘估值XLS上可以说，最小二乘估计实际上并没有考虑参数的随机性质．正因为如此，当不知道参数的先验

期望和先验方差，或者参数是非随机量时，可以应用上述最小二乘估计求其估值．

本节是以间接平差的函数模型为例，说明了最小二乘估计的准则．至于其他的各种经典平差法(如条件平差、附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差)，尽管它们各具自己的函数模

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型，但它们所依据的估计准则不变，其差别仅在于：在不同的函数模型下，它们的具体求解方法有所不同．因此可以说，各种经典平差方法，都是依据最小二乘估计准则VTPV?min，去求未

?． ?和观测值L的平差值L知参数X的最小二乘估值XLS2.5极大验后估计

如1-3节中所述，极大似然估计是以“f?xl??max”为准则的估计方法，而极大验后估计则是以

f?xl??max (1-5-1) 为准则的估计方法·这里f?xl?是随机参数向量X在观测向量L?l的条件下的条件概率密度

t?1n?1n?1l仍然表示L的观测值．这个准则的含义在直观上是较明显的．它的含义是：给定了L的一组子样?，其中最佳估值的条件概率密度观测值l，由这组l可以按一定的概率取得参数X的不同估值X?或X?(L)表示由极大验后估计得到的最佳估值，称之为极大验f?xl?应为极大值．一般用XMAMA?应满足 后估值，显然，XMA?lnf?xl?

?x此方程称为验后方程． 因为

?x?XMA?0 (1-5-2)

f?xl??f?l,x? f2?l?lnf?xl??lnf?l,x??lnf2?l?

将上式对x求导，则有

?lnf?xl??lnf?x,l??

?x?x由此可知，极大验后估计的准则(1-5-1)式等价于 f?x,l??max

2.6最小方差估计

最小方差估计是一种以估计误差的方差为最小作为准则的估计方法，即根据观测向量L求得

参数X的估值，如果它的误差方差比任何其他估值的方差小，就认为这个估值是最优估值．记X

?或X?(L)． 的最小方差估值为XMVMV

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?，其估计误差为??X?X?，而误差方差阵为 设任一估值为X?X D?X??E?????X?X????X?X??

T?????????????x?x??f?x,l?dxdl ?x?xTT???????x?x??????x?x?f?xl?dxf2?l?dl (1-6-1)

???当D?X?取最小值时的X就是最小方差估值XMV.因(1-6-1)式表示的方差阵是一个非负定对称

???阵，所以，为了求得使D?X?取得最小值的XMV，只需要求下式的最小值，即得：

???=?由上式可写为

????x?x???x?x??Tf?xl?dx (1-6-2)

?=??????? ?x?E?Xl??xT??f?xl?dx ?x?E?Xl??E?Xl??x=

??x?E?Xl???x?E?Xl??f?xl?dx?

??T?T???E?Xl??x???E?Xl??x????f?xl?dx?

T??因为

?????? (x?E?Xl?)f?xl?dx?E?Xl??x????????E?Xl??x(x?E?Xl?)Tf?xl?dx

??所以

?=??????f?xl?dx?1

??????(x?E?Xl?)f?xl?dx??xf?xl?dx??E?Xl?f?xl?dx

?E?Xl??E?Xl??0

????(x?E?Xl?)(x?E?Xl?)Tf?xl?dx?

?)?E?Xl??x?? (1-6-3) (E?Xl??xT?)E?Xl??x?由于(E?Xl??x??T总是一个非负定阵，所以

?=?

????x?E?Xl???x?E?Xl??f?xl?dx (1-6-4)

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欲使?取得最小值，就应使上式取等号，此时应使

??0 E?Xl??x即得参数的最小方差估值为

??E?Xl? (1-6-5) XMV?的误差方差阵为 而最小方差估值XMV D?X??MV??????EX?E?Xl??X?E?Xl???????T?

T2???x?E?Xl???x?E?Xl??f?xl?dx??f?l?dl

?MV即 D?X???????D?Xl?f2?l?dl (1-6-6)

它是估计误差的最小方差阵．

又因为

? EXMV???????????E?Xl?f2?l?dl

???2????????xf?xl?dx?f?l?dlx??f?x,l?dl?dx???

考虑到

即得

?? E(XMV)??xf1?x?dx?E?X? (1-6-7)

??????f?x,l?dl?f1(x)

?是X的无偏估计量． 可见，XMV?，? 可以看到，当X和L都是正态随机向量时，X的最小方差估值XMV和它的极大验后估值XMA?就不一定等于X?了． 是相等的．然而，当X和L不都是正态随机向量时，XMAMV2.7线性最小方差估计

前面所述的极大似然估计、极大验后估计和最小方差估计，均要求知道观测向量L和未知参

?可以是L的任意函数．而最小数向量X的条件概率密度或联合概率密度。它们所得到的估计量X二乘估计可以不需要知道任何统计性质，所得到的估计量x。是￡的线性函数，所以说最小二乘估

计是一种线性估计．本节的线性最小方差估计则是放宽对概率密度的要求，只要求已知L和X的数学期望和方差、协方差，以及限定所求的估计量是观测向量L的线性函数，再以估计量的均方误差达到极小为求最优估计量的准则．这样得到的估计量称为线性最小方差估计量，并记为以

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?(L)或X?。 XLL 设已知观测向量L的数学期望和方差为?L和DL，参数向量X的先验期望和方差为?x和Dxn?1n?nt?1t?t?是L的线性函数 和X的协方差为DLX，又设估计量Xn?t?????L (1-7-1) X?的误差向量是 式中a和?是非随机常数向量和系数矩阵．此时，Xt?1t?n? ?X??X?X?X????L (1-7-2)

则?X?的数学期望和方差分别为

E?X???x?????L (1-7-3)

TT D?X??DX??DL??DXL???DLX (1-7-4)

????而?X?的均方误差阵为 E?X??X??E 即得

E?X??X??E?X?E?X??T????E???T?X?X??E??X???E??X????E??X???E??X???X????

TT?E??X?X????E??X??T????T?E??X??E??X??

???????D??X??

T ? E?X?E?X?将上式配方，则有

E?X??X??E?X?E?X?????T?DX??DL?T??DLX

T?T??????1????DXLDL?DL???DXLDL?1??DX?DXLDL?1DLX

(1-7-5)

上式右边第一、二项都是非负定阵，而第三、四项均与?,?无关．显然，为使(1-7-5)式中的

TE??X??X??达到极小，唯一的解就是选取?,?，使(1-7-5)式右边的第一、二项等于零，亦即使

? E?X??EX?X?0 (1-7-6)

?1 ??DXLDL (1-7-7)

????将(1-7-6)和(1-7-7)两式代入(1-7-3)式可得：

?1 ???X?DXLDL?L (1-7-8)

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再将(1-7-7)和(1-7-8)两式代入(1-7-1)式，即得线性最小方差估计量

????DD?1?L??? (1-7-9) XLXXLLL 因为E?X??0，所以，?X?可由(1-7-5)式得出 ?的方差D?XT?1 D?X??E?X??X??DX?DXLDLDLX (1-7-10)

TT 如果把线性最小方差估计的E?X??X?)达到最小，??X?达到最小的准则，改为其迹tr(E?X????????????即

trE?X??X???T???E??T?X?X???E?X????L??T?X????L???min (1-7-11)

则可按求极值的方法求定?,?．

将(1-7-11)式分别对?,?求导数，并令其为零，可得：

E?X????L??0 (1-7-12)

E??X????L?LT??0 (1-7-13)

由（1-7-12）式可得：

???x???L

代人(1-7-13)式得：

E?E即有

??X??xx???L??L???L??L??L?TT?

TL??X???L???L???????E?L????L????

LLLDXL??DL?0

所以也可得

?1 (1-7-14) ??DXLDL?1???x?DXLDL?L (1-7-15)

此即(1-7-7)、(1-7-8)式，由此可知,这种以方差阵之迹达到最小的准则，与前面以方差阵达到最

小的准则所得到的结果完全相同。有时也称这种以方差阵之迹达到最小为准则的估计方法称之为最小方差迹估计

不难看到，线性最小方差估计量童。具有以下性质：

(1) 由(1-7-9)式可得：

????DD?1?E?L?????? EXLxXLLLx?? 19

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?是X的无偏估计，即X?具有无偏性． 所以，XLL?的误差方差取得最小值．这是显然的．因为有E???0，其误差 (2)盖具有有效性，即XLX方差等于其方差阵．

(3)因为估计误差可表为

?1?X???X??x??DXLDL?L??L?

??所以?X?与观测向量L的协方差阵为

?1cov??X?,L??DXL?DXLDLDL?0

可见，估计误差向量?X?与观测向量L是不相关的；从几何的角度看，可以将此性质叫做?X?与L

?后，即与L正交．X与L本来不是正交的，但从Y中减去一个由L的线性函数构成的随机向量XL?是X在L上的投影． 正交．因此可以说，XL (4)当X，L的联合概率密度是正态时，因为

?1E?XL???x?DXLDL?L??L?

?也等于其极大验后估计量X? 所以，此时X的线性最小方差估计量x。就等于最小方差估计量XMAMV2.8贝叶斯估计

在1-5节和l-6节中介绍的极大验后估计和最小方差估计，可以说是贝叶斯(Bayes)估计的两

种形式，因此有必要介绍一些关于贝叶斯估计的概念．

?(L)是根据L给出的X的一个估计量，其 仍设X是被估计的未知参数向量，L是观测向量，X?估计误差为?X??X?X(L)．

设有估计误差?X?的一个标量值函数：

? C?X??CX?X?L? (1-8-1)

如果它具有性质： ?1?当?X?2??????X?时，C?X?1 ???C????0；2?X1 ?2?当?X?=0时，C?X?=0； ?3?C-?X?=C?X?．

T12?其中?X则称C?X?=(?X??X?)?为估计量X(L)对X的损失函数(或代价函数)，并称其数学期

???????? 20

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?(L)的贝叶斯风险，记为 望为X ??X?=EC?X???L??? (1-8-2) ???????E?C?X?X 上述C?X?的第一个性质说明它是原点到?X?的距离的非减函数；第二个性质的含义是，当估计精确时，估计的损失为零；第三个特性说明C?X?对称于原点：

?????(L)， 所谓贝叶斯估计，就是根据使贝叶斯风险达到最小的准则来求定未知参数的估计量X也?(L)满足 就是使X ??EC?X??????????C??X??f?x,l?dxdl?min (1-8-3)

???? 可以看到，选择不同形式的损失函数，就可得到不同的贝叶斯估计方法和结果．下面来说明极大验后估计和最小方差估计是贝叶斯估计的两种形式

2.8.1极大验后估计

设选择的损失函数是

?C??X???CX?X?L????0,?X???2???1 (1-8-4) ?,?X???2???的贝叶斯风险为 上式的损失函数称为均匀损失函数，此时，X??EC??X????上式可写为

??????X??1???2f?x,l?dxdl (1-8-5)

??1???????f?xl?dx?f2?l?d

???????X???2????1????1??f?xl?dx?f2?l?dl ????????X???2???，因 若设X的贝叶斯估计量为XB?等价于

??X?XB?min

?X???2?f?xl?dxX?max ??X?B 21

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当?足够小(??0)时，这又等价于

f?xl???X?XB?max (1-8-6)

?又是石的极大验后估计量X?。也就是说，当损失函数是(1-8-4)式．且?足够小所以，此时XBMA时，贝叶斯估计就是极大验后估计．

2.8.2最小方差估计

设选择的损失函数是

? C?X??CX?X?L???X?????s??T?S?X? （1-8-7） X?的贝叶斯风险为 式中S为任意对称非负定阵，(1-8-7)式的损失函数称为二次型损失函数．此时X ??EC??X?????????x?X????????f?x,l?dxdl （1-8-8） ?S?x?XT不难看到，上式也可写为矩阵迹的形式，即有

??????tr?S??x?X?????????x?X?T?f?x,l?dxdl??min （1-8-9）

?式中的积分就是童的误差方差阵E(?X??X?)，当取S=E时，选择二次型损失函数的贝叶斯估计，是

T?的方法因此，可以说，它就是最小方差估计． 以估计量的误差方差阵之迹达到最小为准则来求X 如果将(1-8-8)式写为

?????????x?X????????f?xl?dx??f?S?x?X?T2?l?dl?min

则它也等价于

?????x?X?????f?xl?dx?min (1-8-10) ?S?x?XT又因为

????f?xl?dx ??2?Sx?X????X??所以有

??2????f?xl?dx?Sx?X?????????X?XB?0

由于S是非负定阵，因此下式成立：

???Xfxldx??????B???xf?xl?dx

22

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亦即

???xf?xl?dx?E?Xl? (1-8-11) XB???又由于

?2??2S T?X?X??E(Xl)时，确使?具有最小值．也就是说，根据(1-8-9)式求得的X?也是X因此，当宣XBB?。 的最小方差估计量XMV2.9广义测量平差原理

测量平差的主要任务，是根据含有随机误差的观测值来确定被观测量及其函数的平差值，也

就是求定未知参数的最佳估值．前面所讨论的各种估计方法也就是广义测量平差的理论基础．为了进一步说明广义测量平差原理，下面先讨论在正态分布的情况下，上述估计方法的关系．

从前面的叙述可以看到，对于正态分布来说，极大验后估计所得到的结果，与最小方差估计、线性最小方差估计相同；而在一定的情况下，可以由极大似然估计导出最小二乘估计因此，本节主要说明极大似然估计、最小二乘估计与极大验后估计之间的关系．

由1-3节知，对于正态分布，极大似然估计的准则，f(lx)?max等价于

L?E?Lx???TD?1?Lx??L?E?Lx???min (1-9-1)

若未知参数为X~N(?X,DX)，观测误差?~N(0,D?)，D(X,?)?0，并有观测方程 L?BX?? (1-9-2) 再记

??L (1-9-3) V?BX则由l-4节知，似然方程等价于最小二乘估计准则

? VP?V?BX?LT??T?12??L?min (1-9-4) D??0BX???122?1其中P??D??0，若取?0=1，则P??D?．(1-9-3)式也就是观测值L对应的误差方程

?。应满足验后方程 又由l-5节知，极大验后估值XMA?lnf?xl??x根据贝叶斯公式可得

?x?XMA?0

f?xl??f?lx?f1?x?

f2?l?23

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因此

?lnf?xl??lnf?lx??lnf1?x??? (1-9-5)

?x?x?x考虑正态分布的概率密度，f?lx?和f1?x?可知，极大验后估计准则“f?xl??min”也等价于

?1(L?E(Lx))TD?1(Lx)(L?E(Lx))?(x??x)TDX(x??x)?min (1-9-6)

而当有观测方程(1-9-2)，且D(X,?)?0时，上式便等价于

??L)D?1(Bx???)TD?1(X???)?min (1-9-7) ??L)?(X(BX?xXx 下面根据(1-9-5)和(1-9-7)式来进行讨论

在式(1-9-6)中．其左边第一项就是极大似然估计准则的等价公式(1-9-1)的左边项.因此，当X是随机参数时，极大验后估计改善了极大似然估计或最小二乘估计.而当X的先验概率密度f1?x?为常数时，则有

?f1?x??0 (1-9-8) ?x?lnf?xl??lnf?lx?? (1-9-9)

?x?x所谓先验概率密度f1?x?为常数，也就是说在一定的范围内，参数X在验前取任何值的概率都相等，亦即工是不具有先验统计特性的非随机量 上两式表明，极大验后估计在此时便退化为极大似然

估计或最小二乘估计．

如果将(1-9-7)式中的未知参数看成非随机量，亦记为X，将此时的观测向量记为L；而将X的先验期望?x看成是与L相互独立，且方差为DX的虚拟观测值，记为Lx(??x)，相应的虚拟观测误差记为?X，则有观测方程为

***Lx?X???X? ?? (1-9-10) ?L?BX????表示X的估值，并记 若仍以X*??L?Vx?Xx? ? (1-9-11)

?V?BX?L??此式也就是误差方程．于是，(1-9-7)式可写为

T VTPV?V?xPVxx?min (1-9-12)

24

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式中

?12?12P?D?,P?D??0xX?0

2?1?1当取?0，Px?DX．它们表示权矩阵． ?1时，即有P??D? 也就是说，在上述情况下，可以对L和LX。列出误差方程(1-9-ll)，按(1-9-12)式来求非随

*?．容易看到，(1-9-l2)式是l-4节中的最小二乘估计准则的扩充，因此。机参数X的估计值X*称(1-9-12)式为广义最小二乘原理．而将按广义最小二乘原理进行平差的过程，称为广义测量平差．

? (或X?)同按广 不难理解，在上述情况下，按极大验后估计(或最小方差估计)求得的XMAMV?，?时，义最小二乘原理求得的估值X在数值上是完全相等的．同时，由于按广义最小二乘原理求X?的方差(D)也就等于其误差方差D(?)，当然它也等于X*是非随机量，因此所得到的估值X??XX?的误差方差D(??)，?的方差．但一般并不等于X在以后按广义最小二乘原理进行平差时，XMAMAXMA?)和D?． 一般不区分D(?XX 以上的讨论说明，在正态分布的情况下，极大验后估计可以转化为广义最小二乘估计．实际

上，随机参数的先验期望和先验方差的精确值一般是不可能得到的，往往只能得到它们的估计

?也值．显然，先验期望的估计值也就是X的观测值．因此，在这种情况下，按极大验后估计求XMA只能说是近似的；而将此先验期望的估计值作为方差为DX，的虚拟观测值，采用最小二乘估计将更为合理．只有在DX和?x，能够精确得到时，采用极大验后估计才是合理的．但此时，也可按广义最小二乘原理求解，得到的结果与极大验后估计一致．

如果在未知参数中除包含随机参数X外，还包含非随机参数Y，则有

f?x,yl??f?xl?

故此时只要将未知参数中的随机部分，即X的先验期望当作方差为DX的虚拟观测值，仍可按

? ?和Y(1-9-12)式表示的广义最小二乘原理求估值X 如果全部未知参数都是非随机量，则(1-9-12)式中的VxTPVxx就不存在了，也就变成1-4节中的最小二乘原理了．

上面的广义最小二乘原理(1-9-12)式，是就正态分布和线性观测方程(1-9-2)且DX??0的情况导出的对于非线性观测方程，可按泰勒级数化为线性形式；对于非正态分布，也可将它们近似

25

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地看成正态分布；而DX??0的情况亦不多见．因此，(1-9-12)式的广义最小二乘原理具有一定的普遍意义．

下面讨论DX??0的情况．仍假定X、?为正态分布，且有(1-9-2)式的线性观测方程． 根据数字期望的运算规则和协方差传播律，由(1-9-2)式可得：

??DL?BDXBT?BDX??D?XBT?D?? (1-9-13)

T?DLX?BDX?D?X?DXL?由于已知?x，DX，并可由(1-9-13)三式得到?L、DL、DLX,因X、L都是服从正态分布的，故

?L?B?x?为 可按极大验后估计(或最小方差估计和线性最小方差估计)求得X的估值X??E?Xl????DD?1?L??? XMAxXLLL??x??DXBT?DX???BDXBT?BDX??D?XBT?D??现仍从(1-9-6)式来考虑，因为 E?Lx???L?DLXDX?1?1?L??x? (1-9-14)

?X??x?

?1?B?x?(BDX?D?X)DX?X??x? ?1?BX?D?XDX?X??x?

?1?1D?Lx??DL?DLXDXDXL??BDXBT?BDX??D?XBT?D????BDX?D?X?DX?DXBT?DX??

?1? (1-9-16) ?D??D?XDXDX??D??表示满足(1-9-6)式的X的估值，并令(1-9-6)式的左端为?，将上两式代人(1-9-6)式，仍用X顾及误差方程(1-9-11)，则可得： ???V?D?XDXVx??1?T??1??V?DD?1V??VTD?1V D??XXxxXx???VTx?1?1??1DD?1D?1DD??1??DX?DXDX?D??XXXX??V?? ?1?1?1????D?D?XDXD???T根据分块求逆公式，由(1-9-6)式可得：

????V若记

Tx?DXV????D??XT?DX???Vx??V??min (1-9-17) D????? 26

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V??则(1-9-17)式即为

?DX?Vx?,P???D??V???XT?DX??2?0 (1-9-18) ?D?? VPV?min (1-9-19)

显然，(1-9-17)和(1-9-19)式与(1-9-6)式等价．也就是说，按照(1-9-17)或(1-9-19)式求得的估

?，与按(1-9-14)式求得的极大验后估值X?相同．且(1-9-19)式与普通的最小二乘原理值XMA“VTPV?min”在形式上相同，因此，它是更普遍的广义最小二乘原理．当DX??0时，它也?就变成为(1-9-14)式的广义最小二乘原理．

综合本章所述，可以认为，广义测量平差主要包含以下内容：

(1)广义平差问题包含三类：第一类是经典的平差问题，其特点是将未知参数都当作非随机参数；第二类是将所有的未知参数都看作是正态随机参数，我们将这类问题的平差方法称为“滤波”；第三类是一、二类问题的综合，即包含有随机参数，又包含有非随机参数，通常将这类问题的平差方法称为“配置”，或者叫做“拟合推估”．

(2)作为广义平差的理论基础的估计方法可分为两类，一类是对非随机参数进行估计的最小二乘估计和极大似然估计(或者说不考虑参数的先验统计性质)；另一类是对随机参数进行估计的极大验后估计或最小方差估计，线性最小方差估计．由这两类估计方法可以得到各种不同的平差方法．

(3)当未知参数x是正态随机向量时，可以将它的先验期望当作虚拟观测值，按广义最小二乘

?，其结果与极大验后估值X?相同．因此，广义最小二乘原理是广义测量平原理求参数的估值XMA差求平差值的基本准则．

第3章 广义最小二乘与卡尔曼滤波关系

3.1递推最小二乘估计

从上述诸例可看出，量测值越多，只要处理得合适，最小二乘估计的均方误差就越小。采用批处理实现的最小二乘算法，需存储所有的量测值。若量测值数量十分庞大，则计算机必须具备巨大的存储容量，这显然是不经济的。递推最小二乘估计从每次获得的最小量测值中提取出被估计量信息，用于修正上一步所得的估计。获得量测的次数越多，修正的次数也越多，估计的精读也越高。下面详细介绍该算法。

设X为确定性常值向量，前k次观测积累的量测为Zk，量测方程为

Zk?HkX?Vk

式中

27

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?Z1??H1??V1??Z??H??V?22Zk???,Hk???,Vk??2?

????????????????Zk??Hk??Vk?Zi为第i次测量，量测方程为

Zi?HiX?Vi i?1,2,?,k

则前k+1次量测为

Zk?1?Hk?1X?Vk?1

式中

?Zk??Hk??Vk?Zk?1??,H?,V?k?1???k?1??

?Zk?1??Hk?1??Vk?1?Zk?1为第k+1次量测，量测方程为

Zk?1?Hk?1X?Vk?1

根据式（2-1-10），由前k次量测确定的加权最小二乘估计为

T?Xk?HkWkHk???1HWkZk

Tk式中

?W1???W02? Wk???0????Wk??令

Pk?HWkHk则

?Tk??1 (2-1-19)

??PHTXkWkZk (2-1-20) kk由前k+1次量测确定的加权最小二乘估计为

??HTXk?1Wk?1Hk?1k?1???1HTk?1?0??Zk?TTT?WkT?Wk?1Zk?1?Pk?1?HkHk?1??????Pk?1HkWkZk?Pk?1Hk?1Wk?1Zk?1 ???0W??Z?k?1??k?1??(2-1-21)

式中

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Pk?1?Hk?1Wk?1Hk?1?T??1?TT?Wk0??Hk???????HkHk?1??????? ????0W??H??k?1??k?1?????1?由矩阵反演公式

HWkHk?Hk?1Wk?1Hk?1?1TkT??1?Pk?1?HkT?1Wk?1Hk?1?1???1 (2-1-22)

?A?1?1?1?1?1?1?A11?A11A12?A22?A21A11A12?A21A11 (2-1-23) 11?A12A22A21?令A11?Pk,A12??Hk?1,A22?Wk?1,A21?Hk?1,得

1TPk?1?Pk?PkHkT?1Wk??HPHk?1k?1k?1T?1???1Hk?1Pk (2-1-24)

再考察式（2-1-21）中的第一项，由式（2-1-20）式和（2-1-22）式，得

T?HkWkZk?Pk?1XkP?P?Hk?1Wk?1Hk?1所以该项为

?1k?1k?1T

T??PP?1?HTWHX??X??PHTW HX? Pk?1HkWkZk?Pk?1Pk?1Xkk?1kkkk?1k?1k?1k?1k?1k?1k?1k?1??因此式（2-1-21）成

??X??PHTWHX??PHTWZ? Xk?1kkk?1k?1k?1k?1k?1k?1k?1k?1??PHTWZ?HX? (2-1-25) Xkkk?1k?1k?1k?1k?1式（2-1-24）和（2-1-25）即为递推最小二乘估计的全套算法。

式（2-1-25）说明，k+1时刻的估计由对k时刻的估计作修正而获得，修正量由对k+1时刻

???的量测的估计误差Z（2-1-24）确定。

k?1?经增益阵K?Zk?1?Hk?1Xkk?1?Pk?1HkT?1Wk?1加权后确定，其中Pk?1由式

?和P,即可获得X在任式（2-1-24）和（2-1-25）确定的算法是递推的，只要给定初始值X00?和P的选取可以是任意的，一般可取X??0,P?pI,其中p为很大何时刻的最小二乘估计。X0000的正数。由于初值选取盲目，所以递推过程中，刚开始计算时，估计误差跳跃剧烈，随着量测次

数的增加，初值影响逐渐消失，估计值逐渐趋于稳定而逼近估计量。

最小二乘估计的最大优点是算法简单，特别是一般最小二乘估计，根本不必知道量测误差的统计信息。但正是这种优点又引起了使用上的局限性，主要体现在如下两点上：

（1）最小二乘算法只能估计确定性的常值向量，而无法估计随机向量的时间过程。

（2）最小二乘的最优指标只保证了量测的估计均方误差之和最小，而并未确保被估计量的估计误差达到最佳，所以估计精度不高。

第4章 卡尔曼滤波误差处理思想

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4.1连续线性系统的数学模型

4.1.1连续线性系统的状态方程和观测方程

为了说明动态系统的数学模型，我们首先举一个例子．卫星在空间飞行，在地球各地的卫星观测站对卫星的瞬时位置——角位置偏差进行观测，可以通过这些观测值来求定和预报卫星飞行轨道的偏差．由于卫星在飞行过程中受大气阻力的影响，要产生阻力加速度，其主要影响是改变卫星沿轨道切线方向的运动，使卫星轨道产生偏差，而不能按标称轨道运行．设在l时刻大气阻力引起的卫星沿轨道切线方向的角位置偏差为X1(t)，角速度偏差为X2(t)，随机阻力的角加速度为?(t)，则它们的相互关系可以用如下的线性微分方程描述：

dX1(t)???X1(t)?X2(t)??dt?

dX2(t)??X2(t)??(t)??dt?令

?(t)??X?X1(t)??X(t)??,X(t)??1? ???X2(t)??X2(t)?则上面的微分方程可写为

?(t)? X??01??0?X(t)??(t) (4-1-1) ????00??1?又设角位置偏差的观测值为L(t)，相应的观测噪声为?(t)，则观测值L(t)与X(t)有关系

?0?L(t)??10?X(t)????(t) (4-1-2)

?1?因此，求定和预报卫星轨道偏差的问题，也就是由上面的方程(4-1-1)和(4-1-2)估计随时间不断变化的随机向量X(t)．

通常称要估计的随时间不断变化的随机向量X(t)为动态系统在t时刻的“状态”向量．严格地说，动态系统的“状态”是指全面确定动态系统运动状况的最少的一组参数．一个动态系统的状态是遵循一定的物理规律而变化的，因而不同时刻对状态所作的观测也是立相联系的，对于连续时间系统，在一般情况下，状态随时间t变化的规律，是用一个具有随机初始状态的向量微分方程来描述，称为状态方程或动态方程，如(4-1-1)式．

观测向量L(t)与状态向量X(f)之间一般也存在某种函数关系，仍称为观测方程，也称为输出方程．如(4-1-2)式．

动态方程和观测方程一般可表示成

?X(t)?f(X(t),U(t),?(t))?

?L(t)?g(X(t),U(t),?(t))??

30

?

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式中f(?)和g(?)分别是已知的m维和n维向量函数，X(t)是动态系统的状态向量，L(t)是测

m?1n?1向量或输出向量，U(t)是r维控制(或输入)向量，?(t)是P维动态噪声(或干扰)向量，?(t)是

r?1p?1n?1n维观测噪声(或输出噪声)向量．状态方程和观测方程也可以称为动态系统的函数型．

通常考虑函数f、g分别是X(t)、U(t)、?(t)和X(t)U(t)的线性函数，并且观测噪声?(t)是一种可加噪声．此时可得到函数模型．

?X(t)?A(t)X(t)?C(t)U(t)?F(t)?(t)? (4-1-3)

?L(t)?B(t)X(t)?G(t)U(t)??(t)??C(t)、F(t)、B(t)和G(t)都是随时间连续变化的系数矩阵．一般称由（4-1-3)式表式中A(t)、m?mm?rm?pn?mn?r?示的动态系统为连续线性系统．

如果不考虑系统的确定性输入U(t)，即当C(t)=0和G(t)=0时，(4-1-3)式可简化为

??X(t)?A(t)X(t)?F(t)?(t) ? （4-1-4)

L(t)?B(t)X(t)??(t)??(4-1-3)式和(4-l-4)式中的系数矩阵均与时间图t无关时，则变为

???X(t)?AX(t)?CU(t)?F?(t) ? （4-1-5) L(t)?BX(t)?GU(t)??(t)???X(t)?AX(t)?F?(t)? （4-1-6)

?L(t)?BX(t)??(t)??称它们为常系数系统的函数模型．

??4.1.2状态方程的解

状态方程（4-1-3）是线性微分方程，它的一般解等于它所对应的齐次方程的通解和非齐次方程的

通解和非齐次方程的特解之和，为此，先求齐次状态方程

X(t)?A(t)X(t) （4-1-7)

设X(t0)为任意m阶向量(t?t0)，并设解的形式是

m?1?X(t)?X(t)X(t0) （4-1-8)

m?mm?1其中X(t)是未知矩阵，则有

X(t)?X(t)X(t0) （4-1-9) 将上两式代人(4-1-7)式，得

????? ?X(t)?A(t)X(t)?X(t0)?0 （4-1-10)

??

31

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因为X(t0)是任意向量，所以对所有的t?t0，仅当X(t)满足微分方程

?X(t)?A(t)X(t) (4-1-11)

时，(4-1-lO)式才能成立，而且当t?t0时，必有

X(t0)?X(t0)X(t0)

或写为

??E?X(t0)??X(t0)?0

即有

X(t0)?E (4-1-12) 显然，(4-1-12)式是(4-1-11)的初始条件．因此，齐次方程(4-1-7)的通解可写为

X(t)?X(t)X(t0)

式中X(t)应满足(4-1-10)和(4-1-12)两式．上式也就是(4-1-8)式． 下面求(4-1-3)式的特解．设求得的特解为

X(t)?X(t)Y(t) (4-1-13) 式中Y(t))是未知的m维向量．对上式求导得

m?1 X(t)?X(t)Y(t)?X(t)Y(t) (4-1-14) 将上两式代人(4-1-3)式，有

????X(t)Y(t)?X(t)Y(t)?A(t)X(t)Y(t)?C(t)U(t)?F(t)?(t)

顾及(4-1-11)式，上式可化为

X(t)Y(t)?C(t)U(t)?F(t)?(t) (4-1-15)

可以证明，X(t)是非奇异阵X?1(t)存在，所以

Y(t)?X(t)?C(t)U(t)?F(t)?(t)? (4-1-16)

?1???对上式积分得

Y(t)??tt0X?1(?)?C(?)U(?)?F(?)?(?)?d? (4-1-17)

t将(4-1-17)式代入(4-1-13)式，则得(4-1-3)式特解为

X(t)?X(t)?t0X?1(?)?C(?)U(?)?F(?)?(?)?d? (4-1-18)

将(4-l-8)与(4-1-18)式合并后，可得到一般解为

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X(t)?X(t)X(t0)?X(t)令

?(t,?)?X(t)X?1(?) (4-1-20)

称?(t,?)为系统转移矩阵．因X(t0)?E，所以

m?m?tt0X?1(?)?C(?)U(?)?F(?)?(?)?d? (4-1-19)

?(t,t0)?X(t)X?1(t0)?X(t)

故(4-1-19)式可写为

X(t)??(t,t0)X(t0)?t?t0?(t,?)?C(?)U(?)?F(?)?(?)?d?(t?t0) (4-1-21)

上式就是状态方程(4-1-3)的解．显然，对于不考虑系统的确定性输入的状态方程(4-1-4)，其解为

X(t)??(t,t0)X(t0)???(t,?)F(?)?(?)d? (4-1-22)

t0t 将（4-1-20）式对时间t求导，可得

?(t,?)?X(t)X?1(?)?A(t)X(t)X?1(?)

所以有

????(t,?)?A(t)?(t,?) (4-1-23)

对于一切t?t0，由（4-1-20）式可知

?(t,t)?X(t)X?1(t)?E (4-1-24)

再以?代换t0就可以求得?(t,?)

由状态转移矩阵的定义（4-1-20）式，还可得出它的两个重要性质： （1）对所有的t1,t2,??t0，有

?(t,t0)?A(t)?(t,t0) (4-1-25)

（2）对所有的t1,t2?t0，有

??(t2,t1)??(t2,?)?(?,t1) (4-1-26)

4.1.3连续线性系统的随机模型

在实际工作中，常见的连续线性系统是动态噪声和观测噪声均为白噪声．且它们之间完全不相关的情况．对这种白噪声情况下的连续线性系统，通常是假定它有以下随机模型：

(1)系统的动态噪声?(t)(t?0)和观测噪声?(t)(t?t0)是零均值白噪声或高斯白噪声随机向量过程，即

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E??(t)??0??? (4-1-28)

E??(t)??0??cov??(t),?(?)??D?(t)?(t??)??? (4-1-29)

cov??(t),?(?)??D?(t)?(t??)??式中D?(t)是随时间连续变化的对称非负定阵，而D?(t)是随时间连续变化的对称正定阵，?(0)是

Dirac??函数．

(2)动态噪声与观测噪声完全不相关，即

cov??(t),?(?)??0 (4-1-30)

(3)系统的初始状态X(t0)是具有某种已知分布或正态分布的随机向量，其均值与方差阵为

E?X(t0)???X(t0)?? ? (4-1-31)

var?X(t0)??DX(t0)??(4)动态噪声、观测噪声均与初始状态X(t0)不相关，即对于一切t?t0有

cov?X(t0),?(t)??0??? (4-1-32)

cov?X(t0),?(t)??0?? 上面是常见的白噪声下的连续线性系统的随机模型，如果将(4-1-28)和(4-1-30)修改为

E??(t)????(t)?? ? (4-1-33)

E??(t)????(t)??cov??(t),?(?)??D??(t)?(t??) (4-1-34)

即假定动态噪声和观测噪声的均值不为零，且它们在同2时刻是相关的，称为白噪声情况下的一

般连续线性系统．

如果动态噪声或观测噪声是有色噪声，即不同时刻的动态噪声或观测噪声是相关的，则称这种系统为有色噪声情况下的连续线性系统·

可以证明，当线性系统(4-1-3)具有(4-1-28)～(4-1-32)诸式的随机模型时，对于一切

??t?t0,有

cov?X(t),?(?)??0??? (4-1-35)

cov?L(t),?(?)??0??当?(t)与?(t)完全不相关时，对于一切?，t?t0，有

cov?X(t),?(?)??0 (4-1-36)

对于一切??t?t0，有

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cov?L(t),?(?)??0 (4-1-37)

下面对讨论状态向量X(t)(t?t0)的均值和自协方差函数

对于（4-1-4）式表示的线性系统，将状态方程之解（4-1-22）的两边取数学期望，并考虑数学期望的运算和积分运算可以交换，则状态向量的均值函数满足以下方程

?X(t)??(t,t0)?X(t0)???(t,?)F(?)??(?)d? (4-1-38)

t0t上式就是在（4-1-22）式中用均值函数代替状态向量的结果

状态向量的自协方差函数由下式确定

DX(t1,t2)?cov?X(t1),X(t2)??E?X(t1)??X(t1)??X(t2)??X(t2)?因为对于一切??t0，?(t)与X(t0)不相关，且

?T? (4-1-39)

X(t)??X(t)??(t,t0)?X(t0)??X(t0)????(t,?)F(?)??(?)???(?)?d?

t0t所以

DX(t1,t2)??(t1,t0)DX(t0)?T(t2,t0)??当?(t)是白噪声过程时，有

t1t0?t2t0?(t1,?1)F(?1)D?(?1,?2)?T(t2,?2)FT(?2)d?1d?2

(4-1-40)

DX(t1,t2)??(t1,t0)DX(t0)?(t2,t0)???(t,?)F(?)D?(?)?T(t,?)FT(?)d? (4-1-41)

t0Tt'其中t'?min(t1，t2).而当t1?t2?t时，有

DX(t)??(t,t0)DX(t0)?(t,t0)???(t,?)F(?)D?(?)?T(t,?)FT(?)d? (4-1-42)

t0Tt此时，（4-1-41）式可改写为

??(t1,t2)DX(t2),t1?t2 (4-1-43) DX(t1,t2)??T?DX(t1)?(t2,t1),t1?t24.2离散线性系统的数学模型

4.2.1离散线性系统的状态方程和观测方程

如果仅在确定的瞬间ti(i?0,1,2,?)来研究系统的性能，则把这样的系统叫做离散时间系统．一般来说，它包括两种情况：

(1)系统本身就是一个离散系统，对于这种系统．只能在离散的瞬间来研究系统的状态，而在这些时刻之间，系统的状态是没有意义的．

(2)本身是连续系统，但为了研究方便，仅在离散时间内研究其性能

一个离散线性系统，通常是用一个具有随机初始状态，并带有动态噪声的线性差分方程和离散观测方程来描述．对于上述第二种情况，可以由相应的连续线性系统的状态方程和观测方程离

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