教具—学具—玩具——几何画板在初中数学教学中的应用资料

教具—学具—玩具

——几何画板在初中数学教学中的应用

陆兴华

（四川省成都市武侯区棕北中学，四川 成都 610041）

内容摘要：几何画板课件能展示几何图形、函数图象的运动变化过程，形象直观，能 激发学生学习数学的兴趣.应用几何画板课件可以观察图形的变化过程中存在的规律性结论，加深学生对数学问题本质的理解，还可以积累数学活动经验，培养学生的空间观念和几何直观.几何画板图形精确、操作具有互动性，学生可以在多次试验中观察和提出猜想，促使学生作深入的推理论证，有利于培养学生的创造性和探究精神.几何画板课件制作简单，容易在数学教师中推广应用. 关键词：几何画板；初中数学；应用

一、从“任意一点”说起

数学老师都会说这样一句话:在平面上任取一点.......，但这点如果在黑板上，只能是一个固定的点，是静态的点，不能任意移动，不能成其为“任意一点”.但在几何画板里，这一点可以在平面内任意移动，成为了 真正的“任意一点”.如图1所示,点动成线、线动成面、面动成体，于是我们推开了一扇门，进入了动态数学世界.

图1

二、几何画板课件在数学教学中的作用

1.把相关内容统一成一个整体.

如图2—5，图2中的点P在圆内，用这个图来学习相交弦定理；图3中的点P在圆外，用这个图来学习割线定理；图4中的点A、点D重合，用这个图来学习切割线定理；图5中的点B、点C也重合，用这个图来学习切线长定理.由于点的位置可以移动，这组图形把四个定理统一成了一个连续变化的整体.

图2

图3

图4

图5

如图6—9，在RtΔABC中，点D是斜边AB的中点，DE⊥DF,射线DE、DF分

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别交直线AC、BC于点E、F.如图6，点E、F分别在线段AC、BC上，如图7,点E、

222F在射线CA、BC上，当AC=BC时都有DE=DF、AE?BF?EF.如图8-9,如果AC

＜BC，无论点E、F分别在线段AC、BC上，还是在射线CA、BC上，都有

AE2?BF2?EF2.如图6-9，从一个图形连续变出多个图形，把各种情况统一成

一个整体，能很好的培养学生的聚合思维和迁移能力.

2.展示动态变化过程.

如图10，这是椭圆形成的动态过程.点A、点B是定点，动点C在定圆A上运动，线段BC的垂直平分线线交AC于点P，由于PA+PB=AC，即点P到两个定点A、B的距离和始终等于定圆A的半径AC，故点P 的轨迹就是如图所示的椭圆.由于点P随着点C的运动而运动的，因而如图10就动态展示了椭圆形成的过程.加深了对椭圆概念的理解.

图10

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图8

图9

图6

图7

图11

如图11，设置动画，可以让圆B绕圆A旋转，圆C绕圆B旋转，两个运动可以同时进行，从而演示了地球围绕太阳转，月亮围绕地球转的动态运动过程.

3.方便动手操作.

几何画板课件可以很方便的设置按钮实现操作.如图12-13, 按下按钮，三角形的三个内角被裁剪下来，拼在一起就拼出一个平角，平角顶点O的位置还可以在平面内任意移动.

图12

图13

图14

变化过程除了通过按钮操作完成外，还可以手动完成.如图14、如图15，是

图15

勾股定理的无字证明.以直角三角形三边为边长作三个正方形，通过按钮或手动操作，大正方形被分成的几块，刚好可以铺满两个小正方形，即大正方形的面积刚好等于两个小正方形的面积，这就证明了勾股定理.

4.可以把抽象的内容变成形象的图形.

如图16，三角函数关系式对学生来说是抽象的，但通过几何画板可以把它

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变成了形象的图象——波形.改变a、b、Q、c的值，波形相应的发生改变，从而直观的展示各个参数对波形的影响，也即是揭示了各个参数的几何意义.

5.可以快速精确的画图.

如图17，是三角形的内切圆，这是课标明确要求掌握的一个基本作图.但在黑板上很难把它画好，用直尺、圆规画出的圆很难保证和三角形的三条边都相切.原因有二，一是因为圆规的定点脚尖，定点脚尖有两种，一种是铁钉的，还一种是吸盘的.铁钉的脚尖会把黑板扎一些小孔，小孔一多黑板就成了麻子，于是一般不会使用.另一种是吸盘的脚尖，但吸盘往往找不准圆心位置，造成较大的误差.二是粉笔比较粗，造成误差.花好一阵子才画出来的图，往往得到的是学生的一阵嘲笑.但是，用几何画板就可以快速精确画出这个图形.

4 图16

图18—20是三角形的外心图，可以任意改变三角形的形状，从而改变外心的位置.图18中三角形是锐角三角形，外心在三角形内；图19中三角形是钝角三角形，外心在三角形外；图20中三角形是直角三角形，外心在斜边的中点.

6.几何画板可以度量和计算.

几何画板是数学的专用工具，带有度量和计算功能，不同于各科都通用的工具软件，如PPt.由于可以度量和计算，用几何画板可以按照数学题目要求，先进行计算，再画出符合需要的图形.图21是通过计算后再画出的线段，组成了美丽图形.改变迭代次数n，可以形成变化的不同图形.

三、几何画板课件适合教学的内容图 21

1.几何内容：

运用几何画板可以较好地演示各种几何变换，包括图形的平移、旋转、轴对称、相似等，这些也就是初中几何的主体内容.几何画板可以展示运动变化的过程，非常形象直观. 如图22，拖动平移点，可以使ΔA'B'C'，实现平移；如图23，拖动旋转点，可以使Δ

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AB'C',实现旋转；图24展示三角形旋转90度，旋转中心可以选在三角形外、

三角形内，还可以选三角形一边上、三角形的一个顶点处，旋转过程还可以追踪顶点的轨迹.图25的三角形ABC可以在空间实现翻转变为?AB?C?.图26、27是两个三角形位似，可以改变位似中心的位置，位似中心O可以在ΔABC内，也可以在ΔABC外，也可以在ΔABC的一边上，包括在三角形的任一个顶点.图26-27是位似图形,改变线段m、n的长度可以改变位似比.改变任意一个三角形的形状,另一个三角形的形状跟着改变，但两个三角形的位似关系始终保持不变.图26是是A字形位似，图27是8字形位似.

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2.图形与坐标

几何画板上的点可以移动，在坐标系里，相应的点的坐标也跟着发生变化，可以用来观察点所在位置和坐标的关系.如图28，点A在平面内任意移动，可以观察不同象限内点的坐标符号的特点；如图29，用于观察x轴、y轴上的点的坐标符号的特点；如图30，用于观察平行于x轴、平行于y轴的直线上的点坐标符号的特点；如图31，用于观察第一三象限、第二四象限角平分线上的点的坐标符号的特点.

图30

图31

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图28

图29

图26

图27

如图32，点Ax是点A关于x轴的对称点，点Ay是点A关于y轴的对称点，点Ao是点A关于原点的对称点.改变点A的位置，点Ax 、点Ay、点Ao的位置同步改变，但原来对称性始终保持不变，这个图把三种对称统一成了一个整体.

3.函数内容：

函数是初中数学的重要内容，是变量与变量之间的一种对应关系，是用变化的观点刻划现实世界中的数量关系.初中主要学习一次函数、反比例函数、二次函数，这些函数中都含有系数，而系数就决定函数图象的性质，改变这些系数的值，函数的图象就跟着改变.利用几何画板，能较好的解决函数图象的有关问题，实现数形结合.如图33，一次函数y=kx+b系数k、b的值就决定的直线经过象限，输入不同的k、b的值,直线经过象限也就不同.当k>0时，直线经过第一三象限；当k<0时，直线经过第二四象限；当k=0时，已不是一次函数，是常数函数,图象是x轴或平行于x轴的直线.当b>0时，直线同y轴的交点在y轴的正半轴；当b<0时，直线同y轴的交点在y轴的负半轴；当b=0时，直线过原点.图形形象直观，学生记忆深刻.如图34，是反比例函数的图像，动矩形OEFC的面积始终等于│k│.二次函数y?ax2?bx?c(a?0)是初中学生学习感到难度较大的内容，在直角坐标系中设置三条有向线段a、b、c，这三条有向线段

图33

分别表示a、b、c的值，改变三条线段的大小和方向，函数图象就发生变化.几

图32

何画板课件，能让学生较好的理解参数a、b、c的几何意义.如图35，如果a>0，抛物线开口向上；如果a<0，抛物线开口向下；如果a=0，b≠0，这时已不是二次函数，是一次函数，函数图象就变成了一条直线.如果c>0，抛物线与y轴交

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于正半轴；c>0，抛物线与y轴交于负半轴；如果c=0，抛物线过原点.

几何画板课件特别适用于分段函数的教学.如图36-39，移动点P在AB边上的位置，矩形ADEF和正三角形PQH的重叠部分有四种情况.学生通过观察课件，能快速的找出本题有几种情况，并能找出分界点，做本题就不难了。

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图38

图39

图36

图37

图34

图35

4.实验探究内容

遇到一个新问题，可以利用几何画板按要求画出满足条件的图形，观察运动中的不变量与规律性的结论，从而引导学生去猜想，进一步进行计算、验证与证明.通过“实验”，可以培养探究能力和创新精神.同时，几何画板可以为严格的逻辑证明提供启示和丰实几何直观，丰富学生的表象,从而发展学生的几何直觉.图40中，三角形DEE’是等腰直角三角形，直线FG在绕直角顶点D旋转过程中，有FG=EF+GE’.如图41，有FG=GE’-EF.如图42，两个正方形有公共顶点B，旋转一个正方形，阴影部分的两个三角形形状大小都在改变，但这两个三角形始终全等，而且AC’与A’C始终保持垂直关系.

图40

图41

图4

图42

四、课件举例

1.如图43—44，是北师大版八年级下期第三章《平移旋转》的“变化的鱼”的教学内容，改变参数m、n的值，也就改变了图形上点的坐标，图形也就会作相应的平移变化.图43，横坐标加，图形向右平移；横坐标减，图形向左平移.纵坐标加，图形向上平移；纵坐标减，图形向下平移.图44，横坐标乘以-1，图形关于y轴对称；纵坐标乘以-1，图形关于x轴对称.图44中，m、n也可以输入

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其它的正数，图形在水平方向和竖直方向上做拉长和压缩变化.这个课件可以极大地丰富学生的表象，发展几何直观.这个课件便于操作，可以加深对坐标变化与图形变换关系的深刻理解.

图43

图44

2.问题：两个等腰直角三角形的位置如图45所示，交点D、E可以在AB上移动， 请探究线段AD、BE、DE的数量关系.

我们可以应用几何画板的测量功能，量出AD、BE、DE的长度，发现满足

AD2?BE2?DE2，改变三条线段的长度，它们的数量关系始终保持不变.把三角

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形CDA逆时针旋转90度得到图46，可以证明三角形CED与三角形CED?全等，从而使AD、BE、DE变到一个三角形，可以证明?D?BE?90o，也就证明了三条线段的数量关系.第二种证明方法是把三角形CBE顺时针旋转90度.第三种方法是把两个三角形CAD、CBE分别以CD、CE为对称轴，往中间翻折，也把三条线段转化到一个直角三角形里，如图47.这个课件，利用几何画板课件，先是猜想，后测量验证，再严格证明三条线段的数量，形象直观的展示了三条线段转移到一个三角形里的过程，对培养学生的空间观念有重要作用.

3.《勾股定理的应用》是八年级上期第一章第三节的内容，蚂蚁从正方体的一个顶点经过外表面到另一个顶点，怎样走路程最短？如图48，通过几何画板可以把一个面翻折起来，两点之间线段最短，用勾股定理就可以求出最短路程，空间问题也就转化成了平面问题.

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图46

图47

图45

D?

图48

五、结束语

几何画板能展示几何图形、函数图像的运动变化，形象直观，能激发学生的学习兴趣,这在黑板上是无法实现的.能够把数量和图形的紧密联系起来，能较好的发展学生数形结合的思想.应用几何画板课件可以观察图形的变化过程中存在的规律性结论，有助于学生对问题本质的深入理解，也可为学生积累数学活动经验，变抽象为形象，丰富学生的表象，培养空间观念，发展几何直观.几何画板可以把相关内容统一成一个整体，有助于形成知识网络结构.几何画板适合几何画板变换、函数（尤其是分段函数）、探究内容的学习.几何画板课件是很好的教具、特棒的学具、也是儿童喜爱的的玩具.同时几何画板图形精确、操作具有互动性，学生可以在多次试验中观察和提出猜想，促使学生作深入的推理论证，有利于培养学生的创造性和探究精神.几何画板课件制作简单，利于在数学教师中推广应用.

参考文献：

[1]几何画板教程.刘胜利.北京.科学出版社,2001.4

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qig.html