2013学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)

2013学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试

数学试卷（理）

2014年4月

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

3?i?___________． 2?i22．已知集合A?{?2,?1,0,1}，集合B?{xx?1?0,x?R}，则A?B?_______．

1．已知i为虚数单位，计算：

3．函数y?(sinx?cosx)的最小正周期是__________________． 4．(x?1)(x?1)展开式中含x项的系数是_________．

5．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方 法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽 取__________人． 6．在直角三角形ABC中，?C?90?，AC?4，则AB?AC?__________． 7．对于任意a?(0,1)?(1,??)，函数f(x)?过的定点的坐标是______________．

8251?11loga(x?1)的反函数f?1(x)的图像经

??x,0?x?1,8．已知函数f(x)??将f(x)的图像与x轴围成的封闭图形绕x

2??1?(x?1),1?x?2,轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．

?x?4t2,9．已知点P(4,m)在曲线C：?（t为参数）上，则P到曲线C的焦点F的距离

y?4t?为_______________．

10．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面

宽是____________米（精确到0.01米）． 11．设随机变量?的概率分布律如下表所示：

x

P(??x)

0 1 2

a

b

c

4，则?的方差为___________． 3其中a，b，c成等差数列，若随机变量?的的均值为

12．若不等式|x?a|?2在x?[1,2]时恒成立，则实数a的取值范围是__________． 13．设fn(x)?sin??nπ??x?（n?N*），若△ABC的内角A满足f1(A)?f2(A)?? 2??1

?f2014(A)?0，则sinA?cosA?____________．

14．定义函数f(x)?{x?{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4}?2，

{?2.3}??2．当x?(0,n]（n?N*）时，函数f(x)的值域为An，记集合An中元 ?111???????素的个数为an，则lim???________________． n??aaa2n??1

二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个选项正确，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案选项的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．运行如图所示的程序框图，则输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数??（ ）

A．y?x?1的图像上 B．y?2x的图像上 C．y?2的图像上 D．y?2x?1x开始 x?1,y?1 x?x?1,y?2y 的图像上

输出(x,y) 否

结束 16．下列说法正确的是???????????????????????????（ ）

x?5 是 A．命题“若x?1，则x?1”的否命题是“若x?1，则x?1” B．“x??1”是“x?x?2?0”的必要不充分条件

C．命题“若x?y，则sinx?siny”的逆否命题是真命题 D．“ant222x?1”是“x??4”的充分不必要条件

x2y217．设F1、F2是双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的两个焦点，P是C上一点，

ab若|PF1|?|PF2|?6a，且△PF1F2最小内角的大小为30?，则双曲线C的渐近线方程

是?????????????????????????????????（ ）

2y?0 B．2x?y?0 C．x?2y?0 D．2x?y?0 18．设函数y?f(x)的定义域为D，若对于任意x1、x2?D，当x1?x2?2a时，恒有

f(x1)?f(x2)?2b，则称点(a,b)为函数y?f(x)图像的对称中心．研究函数 f(x)?x?sin?x?3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 ?1??2??4026??4027?f? ??f?????f???f??的值为????????（ ）2014201420142014????????

A．4027 B．?4027 C．8054 D．?8054

2

A．x?三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sinA?sinC?p?sinB（p?R），且ac?（1）当p?12b． 45，b?1时，求a，c的值； 4（2）若B为锐角，求实数p的取值范围．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，

AD?DP，CD?平面ADPQ，AB?AQ?（1）求证：PQ?平面DCQ；

1DP． 2（2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．

C

B

D P

A Q 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

x2y2已知椭圆?：2?2?1（a?b?0）的右焦点为(22,0)，且椭圆?过点(3,1)．

ab（1）求椭圆?的方程；

（2）设斜率为1的直线l与椭圆?交于不同两点A、B，以线段AB为底边作等腰三角形PAB，其中顶点P的坐标为(?3,2)，求△PAB的面积．

3

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

设数列{an}，{bn}，{cn}，已知a1?4，b1?3，c1?5，an?1?an，bn?1?an?cn，2cn?1?an?bn*（n?N）． 2（1）求数列{cn?bn}的通项公式；

（2）求证：对任意n?N，bn?cn为定值；

（3）设Sn为数列{cn}的前n项和，若对任意n?N，都有p?(Sn?4n)?[1,3]，求实数p的取值范围．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

设a是实数，函数f(x)?4?|2?a|（x?R）． （1）求证：函数f(x)不是奇函数；

（2）当a?0时，求满足f(x)?a的x的取值范围； （3）求函数y?f(x)的值域（用a表示）．

4

2xx**2013学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试

数学试卷（文）

2014年4月

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

3?i?___________． 2?i22．已知集合A?{?2,?1,0,1}，集合B?{xx?1?0,x?R}，则A?B?_________．

1．已知i为虚数单位，计算：

3．函数y?(sinx?cosx)的最小正周期是__________________． 4．在(1?x)?(1?x)的展开式中，含x项的系数是_________．

5．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有30名，高二学生有40名，现用分层抽样的方 法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中应抽 取__________人．

6523????b?(1,cos?)，6．已知向量a?(sin?,1)，其中0???π，若a?b，则??____________．

7．对于任意a?(0,1)?(1,??)，函数f(x)?过的定点的坐标是______________． 8．已知函数f(x)??1?11loga(x?1)的反函数f?1(x)的图像经

?x,0?x?1,将f(x)的图像与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转

?2?x,1?x?2,一周，所得旋转体的体积为___________． 9．已知tana??3，则cos2a?________． 410．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面

宽是____________米（精确到0.01米）．

11．从集合{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，从集合{1,3,5}中随机取一个数b，则“事

件a?b”发生的概率是___________．

12．已知a?0，b?0且a?b?1，则(a?2)?(b?2)的最小值是___________． 13．若平面区域?22?|x|?|y|?2,是一个三角形，则k的取值范围是_______________．

?y?2?k(x?1)??1?(x?1)2,0?x?2,*14．已知函数f(x)??若对于正数kn（n?N），直线y?kn?x

?x?2,?f(x?2),与函数y?f(x)的图像恰有2n?1个不同交点，则lim(k1?k2???kn)?______．

n??222 5

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

1?9?2?2?1,（1）由已知得c?22，因为椭圆?过点(3,1)，所以?a ???（2分） b?a2?b2?8,?2??a?12,解得?2 ?????????????（5分）

??b?4.x2y2所以，椭圆?的方程为 ??1． ?????????????（6分）

124（2）设直线l的方程为y?x?m， ?????????????（1分）

?y?x?m,?22由?x2得4x?6mx?3m?12?0 ① ?????????????（2分） y2?1,???124因为直线l与椭圆?交于不同两点A、B，所以△?36m?16(3m?12)?0，

所以m?16． ???????????????????????（3分） 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以x1?x2??设AB的中点为E(x0,y0)，则x0?2223m， 2x1?x23mm，y0?x0?m?， ????（4分） ??244因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PE?AB，向量PE是直线l的一个法向量， 所以PE∥向量(1,?1)，即??m?3m??3,?2?∥向量(1,?1)，

4?4?所以

3mm?3??2，解得m?2． ????????????????（5分） 442此时方程①变为4x?6x?0，解得A(?3,?1)，B(0,2)，所以|AB|?32．

又P(?3,2)到直线l：x?y?2?0的距离d?所以△PAB的面积S?|?3?2?2|32?， ???（7分）

2219|AB|?d?． ???????????????（8分） 22

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

（1）因为an?1?an，a1?4，所以an?4（n?N）， ???????（１分）

11

*an?cn4?cncna?bb???2，cn?1?nn?n?2， 2222211cn?1?bn?1?(bn?cn)??(cn?bn)， ?????????????（2分）

221即数列{cn?bn}是首项为2，公比为?的等比数列， ??????????（3分）

2所以bn?1??1?所以cn?bn?2?????2?n?1． ?????????????????????（4分）

（2）解法一：bn?1?cn?1?1(bn?cn)?4， ??????????????（1分） 2因为b1?c1?8，所以b2?c2?8，b3?c3?8，

猜测：bn?cn?8（n?N）． ????????????????????（2分） 用数学归纳法证明：

①当n?1时，a1?b1?8，结论成立； ???????????????（3分） ②假设当n?k（k?N）时结论成立，即bk?ck?8，那么当n?k?1时，

**1ak?1?bk?1?(ak?bk)?4?8，即n?k?1时结论也成立． ???????（5分）

2由①，②得，当n?N时，an?bn?8恒成立，即an?bn恒为定值．????（6分）

*1(bn?cn)?4， ??????????????（1分） 2b?cn1所以bn?1?cn?1?8?n?4?(bn?cn?8)，????????????（4分）

22解法二：bn?1?cn?1?而b1?c1?8?0，所以由上述递推关系可得，当n?N时，bn?cn?8?0恒成立，即

*an?bn恒为定值．???????????????????????????（6分） ?bn?cn?8,n?11???n?1（3）由（1）、（2）知??1?，所以cn?4???2?，????（1分）

???cn?bn?2?????2???1?1????n2??1??2???4n??1?????， 所以Sn?4n?13?????2???1?????2?n2p??1??所以p?(Sn?4n)???1?????， ????????????????（2分）

3???2???n 12

n2p??1??由p?(Sn?4n)?[1,3]得1???1??????3，

3???2????1?因为1?????0，所以

?2?n1?1?1?????2??1?1?1????2?1?1?1????2?nnn?2p?33?1?1?????2?n， ????????（3分）

当n为奇数时，

1?1?1?????2?1?1?1?????2?nnn随n的增大而递增，且0?1?1?1?????2?1nn?1，

当n为偶数时，?随n的增大而递减，且

?1?1?????2??1，

所以，

1?1?1?????2?1n的最大值为

4，33?1?1?????2?n的最小值为2． ???????（4分）

由

?1?1?????2??2p?33?1?1?????2?n，得

42p??2，解得2?p?3． ????（6分） 33所以，所求实数p的取值范围是[2,3]．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

（1）假设f(x)是奇函数，那么对于一切x?R，有f(?x)??f(x)，

从而f(?0)??f(0)，即f(0)?0，但是f(0)?4?|2?a|?1?|1?a|?0，矛盾． 所以f(x)不是奇函数．（也可用f(1)?f(?1)?0等证明） ???????（4分） （2）因为2?0，4?0，所以当a?0时，f(x)?4?2?a，由f(x)?a，得

xxxx2004x?2x?a?a2，即4x?2x?a(a?1)?0，(2x?a)(2x?a?1)?0，????（2分）

因为2?a?0，所以2?a?1?0，即2??(a?1)． ?????????（3分） ①当a?1?0，即?1?a?0时，2??(a?1)恒成立，故x的取值范围是R；（4分） ②当a?1?0，即a??1时，由2??(a?1)，得x?log2[?(a?1)]，故x的取值范围是

xxxxx 13

(log2[?(a?1)],??)． ???????????????????（6分）

（3）令t?2，则t?0，原函数变成y?t?|t?a|．

①若a?0，则y?t?t?a在t?(0,??)上是增函数，值域为(?a,??)．?（2分）

2??t?t?a,0?t?a,②若a?0，则y??2 ???????????????（3分）

??t?t?a,t?a.x2211?1?对于0?t?a，有y??t???a?，当0?a?时，y是关于t的减函数，y的取值

42?2?范围是[a,a)；当a?221?111?时，ymin?a?，当?a?1时，y的取值范围是?a?,a?，

4?242???12?,a?． ????????????????（5分) 4?a当a?1时，y的取值范围是?a?1?1?对于t?a，有y?t?t?a??t???a?是关于t的增函数，

4?2?2其取值范围(a,??)． ?????????????????（7分） 综上，当a?0时，函数y?f(x)的值域是(?a,??)； 当0?a?当a?

14

212时，函数y?f(x)的值域是[a,??)； 211??时，函数y?f(x)的值域是?a?,???． ????????????（8分）

42??2013学年度长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试

数学试卷（文）参考答案与评分标准

2014年4月

注：解答题评分标准中给出的为各小题的累计分，请阅卷老师注意．

一．填空题（每小题4分，满分56分）

1．1?i 2．{?1,0,1} 3．? 4．10 5．8 6．8．

3π 7．(1,2) 42? 3??732π25? 9． 10．5.66 11． 12． 13．(??,?2)??0,32255?1 414．

二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．D 16．C 17．B 18．D

三．解答题（共5题，满分74分） 19．（本题满分12分，本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． （1）由正弦定理得，a?c?pb，所以a?c?5， ????（2分） 41?a?1,?1??a?,又ac?，所以?（少一组解扣1分） 4 ????（5分）1或?4c??4???c?1.2222（2）由余弦定理，b?a?c?2accosB?(a?c)?2ac?2accosB，??（1分）

12222即b?pb?b(1?cosB)， ????（2分）

2312所以p??cosB． ????（4分）

22?3?2由B是锐角，得cosB?(0,1)，所以p??,2?． ????（6分）

?2??6??． ????（7分） ,2由题意知p?0，所以p???2???

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）设AB?a，设棱锥Q?ABCD的体积为V1，棱锥P?DCQ的体积为V2． 由QA?AD，QA?CD，知QA是棱锥Q?ABCD的高， ????????（1分） 所以棱锥Q?ABCD的体积V1?13a． ????????????????（3分） 3 15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qib3.html