浙江省金华市十校2018-2019学年高二上学期期末联考数学试题Word版含答案

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浙江省金华市十校2018-2019学年高二上学期期末联考

数学试题

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知平面α的法向量为(2,2,4)n =-，(1,1,2)AB =--，则直线AB 与平面的位置关系为（ ）

A ．A

B α⊥ B ．AB α?

C ．AB 与α相交但不垂直

D ．//AB α

2.已知命题：“若a b <，则22ac bc <”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

3.长方体1111ABCD A BC D -，11

,2,3AB AD AA ===，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）

A D ．13 4.已知命题:p 直线l 过不同两点111222(,),(,)P x y P x y ，命题:q 直线l 的方程为

211()()y y x x --=211()()x x y y --，则命题p 是命题q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件

5.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得的弦长为4，则实数a 的值是（ ）

A ．2-

B ．4- C.6- D ．8-

6.以下关于空间几何体特征性质的描述，正确的是（ ）

A ．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥

B ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱

C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥

D ．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台

7.空间中，,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）

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A ．若//l α，//l β，则//αβ

B ．若αβ⊥，l β⊥，则//l α

C.若l α⊥，//l β，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥

8.斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）

A ．0ky 为定值

B ．OA OB ?为定值

C.点P 的轨迹为圆的一部分 D ．点Q 的轨迹是圆的一部分

9.在正方体1111ABCD A BC D -中，点Q 为对角面11A BCD 内一动点，点M N 、分别在直线

AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ）

A ．若30θ=?，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分

B ．若45θ=?，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分

C.若60θ=?，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分

D ．若75θ=?，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分

10.定义在(0,)2

π上的函数()f x ，其导函数为'()f x ，若'()0f x >和'()()tan 0f x f x x +<都恒成立，对于02

παβ<<<，下列结论中不一定成立的是（ ） A ．()cos ()cos f f αββα> B ．()cos ()cos f f ααββ<

C. ()sin ()sin f f αββα> D ．()sin ()sin f f ααββ>

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.

11.已知a 为实数，直线1:660l ax y +-=，直线2:2350l x y ++=，若12//l l ，则a = ；

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若12l l ⊥，则a = ．

12.已知抛物线2:4C x y =，则其焦点坐标为 ，直线:23l y x =+与抛物线C 交于,A B 两点，则||AB = ．

13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．

14.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++，（1）若函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为6，则实数a = ；（2）若函数在(1,3)-内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．

15.已知12,F F 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，P 是其渐近线在第一象限内的点，点Q 在双曲线上，且满足120PF PF ?=，24PF PQ =，则双曲线的离心率为 ．

16.正四面体ABCD 的棱长为2，O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ?的最小值是 ．

17.已知12,F F 为椭圆22

:143

x y C +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，12PF F ?的内心I 的轨迹方程为 ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.已知函数2()ln f x x ax x =+-.

（Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的最小值；

（Ⅱ）若函数()y f x =在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围.

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19.如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形，AC =12A A BD ==.

（Ⅰ）证明：1//BB 面AEC ；

（Ⅱ）若E 为1BD 中点，求二面角E DC A --的余弦值.

20.点P 是圆22:20C x y x +-=上一动点，点(3,0)Q .

（Ⅰ）若60PCQ ∠=?，求直线PQ 的方程；

（Ⅱ）过点Q 作直线CP 的垂线，垂足为M ，求||||MC MQ +的取值范围.

21.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC =，AP PC =，60ABC ∠=?，AP PC ⊥，直线BP 与平面ABC 成30?角，D 为AC 的中点，PQ PC λ=，(0,1)λ∈.

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（Ⅰ）若PB PC >，求证：平面ABC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若PB PC <，求直线BQ 与平面PAB 所成角的正弦值的取值范围.

22.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的长轴长为4，过点(0,2)M b 的直线交椭圆于,A B 两点，P 为AB 中点，连接PO 并延长交椭圆于点Q ，记直线AB 和OP 的斜率为分别为1k 和2k ，且12410k k +=.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当QMP ∠为直角时，求PQM ?的面积.

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高二数学试题答案

一、选择题

1-5:ACACB 6-10:DCCAD

二、填空题

11.4，-9 12. (0,1)，43，5+，33

(,3)7

-- 15.2 16. 4-2231(0)x y y +=≠ 三、解答题

18.解：（Ⅰ）1a =，则2()ln f x x x x =+-. ∴2121(21)(1)'()21x x x x f x x x x x

+--+=+-==， ∴()f x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2

+∞单调递增. ∴min 1313()()ln ln 22424

f x f ==-=+. （Ⅱ）由已知1'()20f x x a x =+-≤在[1,2]x ∈上恒成立，∴12a x x

≤-. 令1()2([1,2])g x x x x =-∈，21'()20g x x

=--≤. ∴()g x 在[1,2]上单调递减，∴min 7()(2)2

g x g ==-. ∴72

a ≤-. 19.解：（Ⅰ）设AC BD O =，连EO ，∵ABCD 是菱形，∴O 是BD 中点. 又E 是1BD 中点，∴1//OE DD ，又11//BB DD ，∴1//OE BB ， 而OE ?面AEC ，1BB ?面AEC ，∴1//BB 面AEC . （Ⅱ）过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ， ∵1DD ⊥面ABCD ，1//OE DD ，∴OE ⊥面ABCD . ∴EFO ∠是二面角E OC A --的平面角.

∵1112OE DD ==，OF =，∴EF =，cos EFO ∠=

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故二面角E DC A --的余弦值为7

. 20.解：（Ⅰ）22:(1)1C x y -+=.

∵1CP =，2CQ =，60PCQ ∠=?，∴CP PQ ⊥，PQ 是C 的切线. 设直线:(3)PQ y k x =-，即30kx y k --=，

1=，解得：k =.

∴直线PQ 的方程为：3)y x =-. （Ⅱ）∵CM MQ ⊥，∴M 在以CQ 为直径的圆上

22||||4MC MQ +=，

设||MC x =，||MQ y =，||||MC MQ t +=，

y x t =+与224(0,0)x y x y +=≥≥有交点，

∴2t ≤≤21.解：∵AB BC =，AP PC =，D 为AC 的中点，

∴BD AC ⊥，PD AC ⊥，∴AC ⊥平面PBD ，

∴直线BP 与平面ABC 所成角是PBD ∠，30PBD ∠=?.

设2AC a =，则BD =，PD a =，由余弦定理得PB a =或2a . （Ⅰ）若PB PC >，则2PB a =，∴在PBD ?中222PD DB PB +=.∴PD DB ⊥， 又PD AC ⊥，AC DB D =，∴PD ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC .

（Ⅱ）若PB PC <，∴PB a =，∵PQ PC λ=，∴PQ a =，BQ ， 设Q h 是Q 到面PAB 的距离，C h 是C 到面PAB 的距离，则Q C h h λ=，

由等体积法：211)3234C a a a h ?=??，

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∴7C h a =

，∴7Q h a =. 设直线BQ 与平面PAB 所成角为α，则

sin HQ BQ α=

=7a =

7=

. ∵(0,1)λ∈

1(0,)2

.

∴0sin α<<故直线BQ 与平面PAB

所成角的正弦值的取值范围为(0,

7. 22.解：（Ⅰ）由已知2a =，设直线1:2AB y k x b =+，联立椭圆方程消去y 可得： 222211(4)16120b k x k bx b +++=， 则222211(16)48(4)0k b b b k ?=-+>，即221430k b ->.

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，由韦达定理可得：112221212221164124k b x x b k b

x x b k -?+=?+??-?=?+?

， 点P 为AB 中点，则1022184k b x b k -=+，3022124b y b k =+，故2

214b k k =-， 由12410k k +=得21b =，所以1b =， 故椭圆方程为：2

214

x y +=. （Ⅱ）直线1

1:4PQ y x k =-，联立椭圆方程2214x y +=消去y 可得： 221211614k x k =+，

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则Q ，点(0,2)M ，

∴MQ k ==

1

. ∵QMP ∠为直角，∴11MQ k k =-，可解得21516k =. 故1||||2MPQ P Q S OM x x ?=-

=12|2?=

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