2017年常州市中考数学试题含答案解析

2017年常州市中考数学试题含答案解析

一、选择题(每小题3分，共10小题，合计30分) 1.-2的相反数是( ). A．-

1 2

B．

1 2

C．±2 D．2

答案：D.

解析：数a的相反数是-a,所以-2的相反数是2，故选D． 2.下列运算正确的是( ). A．m·m=2m C．(m2)3=m6 答案：C.

解析：m·m=2m2, (mn)3=m3n3, (m2)3=m6, m6÷a3=a4,故正确的是C，故选C．

B．(mn)3=mn3 D．m6÷a3=a3

3.右图是某个几何体的三视图，则该几何体是( ). A．圆锥 C．圆柱 答案：B.

解析：由三视图确定几何体，从三视图可以确定此几何体为三棱柱，故选B． 4.计算:

B．三棱柱 D．三棱锥

x?11+的结果是( ). xx 1

A．

x?2 x1 2 B．

2 x

C． D．1

答案：D.

解析：本题考查分式的加法，同分母分式，分子相加减，原式=x?1?1=1，故选D． x5.若3x>-3y,则下列不等式中一定成立的是( ). A．x+y>0 B．x-y>0

C．x+y<0

D．x-y<0

答案：A.

解析：不等式的两边都除以3得x>-y,移项得x+y>0,故选A．

6.如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD, ∠1＝60°,则∠2的度数是(

A．100° B．110°

C．120°

D．130°

答案：C.

解析：∵AB∥CD, ∠1＝60°,∴∠3＝∠1＝60°,所以∠2＝180°-60°=120°,故选C

．

7.如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6, AD：

2

).

AB=3:1, 则点C的坐标是( ). A．(2,7) C．(3,8) 答案：A.

解析：作BE⊥x轴于E，由题意知△ABE∽△DAO，因为OD=2OA=6,所以OA=3,由勾股定理得AD=35,因为AD：AB=3：1,所以AB=5，所以BE=1,AE=2,由矩形的性质知，将点D向上平移一个单位，向右平移2个单位得到点C，所以点C的坐标为(2,7),故选A．

B．(3,7) D．(4,8)

8.如图，已知□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接

AC，若EF=2,FG=GC=5,则AC的长是( ). A．12

B．13

C．65 答案：B.

D．83 解析：作AM⊥CH交CH的延长线于H，因为四条内角平分线围成的四边形EFGH为矩形，所以

3

AM=FG=5,MH=AE=CG=5,所以CM=12,由勾股定理得AC=13，故选B． 二、填空题：(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 9.计算：|-2|+(-2)0= . 答案：3.

解析：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0,非零数的零次方都等于1,依此规则原式=2+1=3．

10.若二次根式x?2有意义，则实数x的取值范围是 . 答案：x≥2.

解析：二次根式有意义需要满足被开方数为非负数，所以x-2≥0,解得x≥2． 11.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm,则数据0.0007用科学计数法表示为 . 答案：7×10-4.

解析：用科学记数法表示较小的数，0.0007=7×10-4． 12.分解因式：ax2-ay2= . 答案：a(x+y)(x-y).

解析：原式=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y)．

13.已知x=1是关于x的方程ax2-2x+3=0的一个根，则a= . 答案：-1.

解析：将x=1代入方程ax2-2x+3=0得a-2+3=0,解得a=-1．

14.已知圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,则圆锥的侧面积是 . 答案：3π.

解析：圆锥的侧面积=

11×扇形半径×扇形弧长=×l×(2πr)=πrl=π×1×3=3π．设圆锥的母线长为l，设圆锥的底面半径为r，221×扇形半径×扇形弧长2则展开后的扇形半径为l，弧长为圆锥底面周长(2πR)．我们已经知道，扇形的面积公式为：S=

4

=

1×l×(2πr)=πrl．即圆锥的侧面积等于底面半径与母线和π的乘积.π×1×3=3π. 215．(2017常州，15，2分)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于 点D，若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是 .

答案：15.

解析：因为DE垂直平分BC，所以DB=DC，所以△ABD的周长=AD+AB+BD=AB+AD+CD=AB+AC=6+9=15． 16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点.若∠DAB＝40°,则∠ABC＝ °.

答案：70°.

解析：连接AC，OC，因为C是弧BD的中点，∠DAB＝40°,所以∠CAB＝20°,所以∠COB＝40°,由三角形内角和得∠B＝70°.

17.已知二次函数y= ax2+bx-3自变量x的部分取值和对应函数值y如下表： X y 则在实数范围内能使得y-5>0成立的x的取值范围是 . 答案：x>4或x<-2.

… … -2 5 -1 0 0 -3 1 -4 2 -3 3 0 … … 5

解析：将点(-1,0)和(1,-4)代入y= ax2+bx-3得??0?a?b?3?a?1，解得：?，所以该二次函数的解析式为y= x2-2x-3,

??4?a?b?3?b??2若y>5,则x2-2x-3>5, x2-2x-8>0,解一元二次方程x2-2x-8=0，得x=4或x=-2.根据函数图象判断y-5>0成立的x的取值范围是x>4或x<-2．

18.如图，已知点A是一次函数y=

1x(x≥0)图像上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的2右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y?面积是 .

k

(k)0)的图像过点B、C，若△OAB的面积为6,则△ABC的x

答案：18.

析：设点A(4a,2a),B(4a,2b),则C点的横坐标为4a+(3a-b)(a-b)=0,解得：a=b(舍去) 或b=3a. S△ABC=

1(2b-2a) , C点的坐标为(3a+b, a+b)．所以4a·2b=(3a+b)(a+b), 21(2b-2a)·4a=8a2=6,k=4a·2b =24a2=18. 2三、解答题：(本大题共6个小题，满分60分) 19.(6分)先化简，再求值：(x+2) (x-2)-x (x-1),其中x=-2. 思路分析：先化简，再代入求值.

解：原式=x2-4-x2+x=x-4,当x=-2时，原式=-2-4=-6.

20.(8分)解方程和不等式组： (1)

2x?53x?3=-3 x?2x?2 6

(2)???2x?6

?4x?1?5思路分析：(1)解分式方程，检验方程的解是否为增根； (2)分别解两个不等式再确定不等式组的解集.

解：(1)去分母得2x-5=3x-3-3(x-2),去括号移项合并同类项得，2x=-8,解得x=-4,经检验x=4是原方程的根，所以原方程的根是x=4；

(2)解不等式①得x≥-3，解不等式②得x＜1，所以不等式组的解集是-3≤x＜1.

21.(8分)为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”“打球”“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况(每个学生必须选一项且只能选一项)，并根据调查结果绘制了如下统计图：

根据统计图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查中的样本容量是 . (2)补全条形统计图；

(3)该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数. 思路分析：(1)利用爱好阅读的人数与占样本的百分比计算，30÷30%=100； (2)其他100×10%=10人，打球100-30-20-10=40人； (3)利用样本中的数据估计总体数据. 解：(1)100；

(2)其他10人，打球40人； (3)2000×

7

40=800,所以估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生为数为800人. 10022.(8分)一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3、4. (1)搅匀后从中任意摸出1个球，求摸出的乒乓球球面上数字为1的概率；

(2)搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球，求2次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率.

思路分析：(1)列举法求概率； (2)画树状图法求概率.

解：(1)从4个球中摸出一个球，摸出的球面数字为1的概率是(2)用画树状图法求解，画树状图如下：

1； 4第一个球第二个球数字之和1234423134124123534356457567

从树状图分析两次摸球共出现12种可能情况，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率为：

41=． 12323.(8分)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.

(1)求证：AC=CD；

(2)若AC=AE，求∠DEC的度数. 思路分析：(1)证明△ABC≌△DEC； (2)由∠EAC=45°通过等腰三角形的性质求解.

解：(1)证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠ACB=∠DCE， 又∵∠BAC=∠D，BC=CE，∴△ABC≌△DEC，∴AC=CD. (2)∵∠ACD=90°，AC=CD，∴∠EAC=45°，

8

∵AE=AC∴∠AEC=∠ACE=

1×(180°-45°)=67.5°， 2∴∠DEC=180°-67.5°=112.5°.

24.(8分)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元.

(1)求每个篮球和每个足球的售价；

(2)如果学校计划购买这两种共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？

思路分析：(1)根据等量关系列方程组求解；

(2)根据不等关系列不等式求解.

解：(1)解设每个篮球售价x元，每个足球售价y元，根据题意得：

?2x?y?320?x?100，解得： ???3x?2y?540?y?120答：每个篮球售价100元，每个足球售价120元. (2)设学校最多可购买a个足球，根据题意得 100(50-a)+120a≤5500,解得：a≤25. 答：学校最多可购买25个足球.

25.(8分)如图，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点A，与反比例函数y=作BC⊥x轴于点C，点D(3-3n,1)是该反比例函数图像上一点.

m(x<0)的图像交于点B(-2,n)，过点Bx

(1)求m的值；

(2)若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式.

思路分析：(1)将点B、D坐标代入反比例函数解析式求解m的值；

(2)先求BD的解析式，再由线段垂直平分线的性质求得点A坐标，最后求AB的解析式.

9

解：(1)把B(-2,n),D(3-3n,1)代入反比例函数y=

m得, x?m??6??2n?m解得：，所以m的值为-6. ??n?33?3n?m??(2)由(1)知B、D两点坐标分别为B(-2,3),D(-6,1)，

1?p???2p?q?3?设BD的解析式为y=px+q,所以?，解得?2

??6p?q?1??q?4所以一次函数的解析式为y=

1x+4,与x轴的交点为E(-8,0) 2延长BD交x轴于E，∵∠DBC=∠ABC，BC⊥AC，∴BC垂直平分AC， ∴CE=6, ∴点A(4,0),将A、B点坐标代入y=kx+b得

1?k????2k?b?31?，解得，所以一次函数的表达式为y=-x+2. 2??2?4k?b?0??b?2

26.(10分)如图1,在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形.

(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形(填写图形名称)；

②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还需要满足 时，四边形MNPQ是正方形；

⑵如图2,已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D为平面内一点.

② 若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABCD的面积是 ；

②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由.

10

思路分析：(1)①矩形是对角线相等的四边形；

②四边形的中点四边形是平行四边形，等角线四边形的中点四边形是菱形，当对角线AC、BD互相垂直时四边形MNPQ是正方形；

⑵①根据题意画出图形，根据图形分析确定DF垂直平分AB，从而计算面积SABED=S△ABD+S△BCD；

②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，进而求得四边形ABED面积的最大值. 解：(1)①矩形；②AC⊥BD；

⑵①∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，∴BD=AC=5, 作DF⊥AB于F，∵AD=BD，∴DF垂直平分AB，

∴BF=2,由勾股定理得DF=21， 由题意知SABED=S△ABD+S△BCD=

1111×AB×DF+×BC×BF=×4×21+×3×2=221+3； 2222

②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE为斜边的直角三角形的直角顶点，所以AE=6,DO=3,在△ABC中，由面积公式得点B到AC的距离为

12，所以四边形ABED面积的最大值= 5S△AED+S△ABE=

1211×6×3+×6×=16.2.

522

11

27.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=-(1)求二次函数的表达式；

12

x+bx的图像过点A(4,0),顶点为B，连接AB、BO. 2(2)若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CP的对称点为B′，当△OCB′为等边三角形时，求BQ的长度；

(3)若点D在线段BO上，OD=2BD，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标.

思路分析：(1)将A点坐标代入y=-

12

x+bx求得二次函数的表达式； 2(2)根据题意画出图形，根据图形分析，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，由∠B=90°,根据特殊三角函数值求得BQ的长；

(3)按点F在OB上和点B在OA上进行讨论确定点E的位置，当点F在BA上，点E与点A重合时△DOF与△DEF全等；当F在OA上，DE∥AB时△DOF与△DEF全等，点O关于DF的对称点落在AB上时△DOF与△DEF全等.

解：(1)将A(4,0)代入y=-

1212

x+bx得，-×4+b×4=0,解得b=2, 2212

x+2x； 2所以二次函数的表达式为y=-

12

(2)根据题意画出图形，二次函数y=-

12

x+2x的顶点坐标为B(2,2)，与两坐标轴的交点坐标为O(0,0)、A(4,0).此时2OB=2

2,BC=,所以2，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，因为∠B=90°

tan∠QCB=QB:CB=3,所以QB=6；

(3) ①当点F在OB上时，如图，当且仅当DE∥OA，即点E与点A重合时△DOF≌△FED，此时点E的坐标为E(4,0)；

②点F在OA时，如图DF⊥OA，当OF=EF时△DOF≌△DEF，由于OD=2BD，所以点D坐标为(

44，)，点F坐33标为(

48，0)，点E坐标为(，0)； 33

点F在OA时，如图,点O关于DF的对称点落在AB上时，△DOF≌△DEF，此时OD=DE=2BD=

13

432，BE=

236，作BH⊥OA于H，EG⊥OA于G，由相似三角形的性质求得HG=

233，所以点E坐标为(2+

233，2-

233)．

综上满足条件的点E的坐标为(4,0)、(

82，0)、(2+333，2-

233)．

28.(10分)如图，已知一次函数y=-(1)求线段AB的长度；

4x+4的图像是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B. 3(2)设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N. ①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E.直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.

思路分析：(1) 求A、B两点坐标，由勾股定理求得AB的长度；

(2)①根据题意画出图形，根据△AOB∽△NHA，△HAN≌△FMA计算出线段FM与OF的长；

②分点P位于y轴负半轴上和点P位于y轴正半轴上两种情况进行分析，借助于相似三角形的对应线段比等于相似比列方程求得交点Q坐标，再将点Q坐标代入AB及NP解析式求得交点P的坐标. 解：(1)函数y=-

4x+4中，令x=0得y=4,令y=0得，x=3, 所以A(0,4),B(3,0).AB=32?42=5. 3(2)①由图1知,当⊙N与x轴相切于点E时，作NH⊥y轴于H，则四边形NHOE为矩形，HO=EN=AM=AN，

14

∵∠HAN+∠OAB=90°，∠HNA+∠HAN=90°,∴∠OAB=∠HAN，因为AM⊥AN，所以△AOB∽△NHA， 图1 ∴

AHHNAN==，设AH=3x，则HN=4x,AN=NE=OH=5x, ∵OH=OA+AH,∴3x+4=5x, ∴x=2, OBAOAB∴AH=6,HN=8,AN=AM=10. ∵AM=AN，∠OAB=∠HAN，∴Rt△HAN≌Rt△FMA, ∴FM=6,AF=8,OF=4, ∴M(6,-4).

?k?1?b?4?②当点P位于y轴负半轴上时，设直线AN的解析式为y=kx+b，将A(0,4),N(8,10)代入得?，解得?3，

b??8k?b?10??4所以直线AN的解析式为y=

163x+4.所以点C坐标为(-，0),过D 34

作x轴的垂线可得点D(16，16).设点P坐标为(0,-p),N(8，10)则直线NP解析式为y=

10?px-p,作EF⊥CD于F，8CE=

1640202080+8=,AC=，CD=+20=,由相似三角形性质可得EF=8,△CDE∽△APQ，则

333334?p点Q横坐标绝对值（34?p）?，解得点Q的横坐标绝对值为，将点Q横坐标绝对值代入AB及NP解析式得80108310?p（34?p）（34?p）4·-p=·(-)+4，解得p1=-4(舍去),p2=6,所以P(0,-6). 810103 15

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