河北省2017中考数学复习第三单元函数第14讲二次函数的综合应用试题

第14讲 二次函数的综合应用

1．(20142河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( A )

A．6厘米 B．12厘米 C．24厘米 D．36厘米

2．(20152石家庄模拟)如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为( B )

A．3 m B．26 m C．32 m D．2 m

3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其中一年获得的

2

月利润y与月份n之间函数关系为y＝－n＋14n－24，则该企业一年中应停产的月份是( C ) A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月

4．(20152淄博模拟)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的面积最小．( C ) A．1 B．2 C．3 D．4

2

5．(20152潍坊模拟)心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(分)之间的关系式为y＝－0.1x＋2.6x＋43(0≤x≤30)，若要达到最强接受能力59.9，则需13分钟．

6．(20152营口)某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大．

7．(20152温州)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三

2

处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为75m.

8．(20152泉州)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：

(1)设AB＝x米(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长； (2)请你判断谁的说法正确，为什么？

1

解：(1)设AB＝x米，

可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)米． (2)小英说法正确.

2

矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)＋648, ∵72－2x＞0，∴x＜36.∴0＜x＜36. ∴当x＝18时，S取最大值． 此时x≠72－2x.

∴面积最大的不是正方形．

9．(20162河北考试说明)根据对市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1(千元)与进货量x(吨)之间的函数y1＝kx的图像如图1所示，乙种蔬菜的销售利润y2(千元)与进货量x(吨)

2

之间的函数y2＝ax＋bx的图像如图2所示．

图1 图2 (1)分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；

(2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨，写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W(千元)与t(吨)之间的函数关系式，并求出这两种蔬菜各进多少吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？

解：(1)由题意，得5k＝3，解得k＝0.6，∴y1＝0.6x.

???a＋b＝2，?a＝－0.2，?由解得? ?25a＋5b＝6，?b＝2.2.??

∴y2＝－0.2x＋2.2x.

222

(2)W＝0.6(10－t)＋(－0.2t＋2.2t)＝－0.2t＋1.6t＋6＝－0.2(t－4)＋9.2. ∴t＝4时，W最大＝9.2，此时10－t＝6.

∴甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9 200元．

10．(20162台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝1.6．

2

提示：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y＝a(t－1.1)＋h，

22

由题意，得a(t－1.1)＋h＝a(t－1－1.1)＋h， 解得t＝1.6.

故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同． 故答案为1.6.

11．(20152保定一模)如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE－ED－DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/秒．设P，Q同时出发t秒时，

2

2

△BPQ的面积为y cm.已知y与t的函数关系图像如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论： 32229

①AD＝BE＝5；②cos∠ABE＝；③当0＜t≤5时，y＝t；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP.

554其中正确的结论是( C )

A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④

2

提示：根据图2可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时，点Q到达点C，从而得到BC，BE的长度，再根据M，N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．

2

12．(20162十堰)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax＋1经过点A(4，－3)，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点(0，2)且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO. (1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；

(2)①当P点运动到A点处时，计算：PO＝5，PH＝5，由此发现，PO＝PH(填“＞”“＜”或“＝”)； ②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图2，设点C(1，－2)，问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2

2

解：(1)∵抛物线y＝ax＋1经过点A(4，－3)， 1

∴－3＝16a＋1.∴a＝－.

4

12

∴抛物线解析式为y＝－x＋1，顶点B(0，1)．

4(2)②结论：PO＝PH.

12

理由：设点P坐标为(m，－m＋1)，

41212

∵PH＝2－(－m＋1)＝m＋1，PO＝

44

2

2

2

2

121222

m＋（－m＋1）＝m＋1，∴PO＝PH.

44

2

2

(3)∵BC＝1＋3＝10，AC＝1＋3＝10，AB＝4＋4＝42，∴BC＝AC.

∵PO＝PH，又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似， ∴PH与BC，PO与AC是对应边． ∴

PHBC12

＝.∵P(m，－m＋1)， HOBA412

m＋14

10＝.解得m＝±1. 2

m＋442

∴

33

∴点P坐标为(1，)或(－1，)．

44

3

13．(20162唐山路南区二模)某公司销售的一种时令商品每件成本为20元，经过市场调查分析，5月份的日销售件1

数为－2t＋96(其中t为天数)，并且前15天，每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y1＝t＋

41

25(1≤t≤15，且t为整数)，第16天到月底每天的价格y2(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y2＝－t＋

240(16≤t≤31，且t为整数)．根据以上信息，解答下列问题： (1)5月份第10天的销售件数为76件，销售利润为570元；

(2)请通过计算预测5月份中哪一天的日销售利润W最大，最大日销售利润是多少？

(3)在实际销售的前15天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠m元利润(m＜4)给希望工程．公司通过销售记录发现，前15天中，每天扣除捐赠后的日销售利润W随t的增大而增大，求m的取值范围． 解：(2)设前15天日销售利润为W1，后15天日销售利润为W2.

11212

当1≤t≤15时，W1＝(－2t＋96)(t＋5)＝－t＋14t＋480＝－(t－14)＋578，

422∴当t＝14时，W1有最大值578元；

122

当16≤t≤31时，W2＝(－2t＋96)(－t＋20)＝t－88t＋1 920＝(t－44)－16，

2∵16≤t≤31且对称轴为直线t＝44，

∴函数W2在16≤t≤31上随t的增大而减小． ∴当t＝16时，W2有最大值为768元．

∵768＞578，故第16天时，销售利润最大，为768元． 112

(3)W3＝(－2t＋96)(t＋5－m)＝－t＋(14＋2m)t＋480－96m，

42∴对称轴为直线t＝14＋2m.

∵1≤t≤15，∴14＋2m≥15，∴m≥0.5时，W3随t的增大而增大． 又∵m＜4，∴0.5≤m＜4.

14．(20162绍兴)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

2

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m.

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m利用图3，解答下列问题：

(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；

(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

图1 图2 图3 552

解：(1)由已知得AD＝，∴S＝ m.

44

4

(2)设AB＝x m，则AD＝3－77

4x，∵3－4x＞0，

∴0＜x＜12

7

. 设窗户面积为S，由已知，得

S＝AB2AD＝x(3－7727629

4x)＝－4x＋3x＝－4(x－7)＋7.

∵0＜612

7＜7

，

∴当x＝67时，S9

最大值＝7

＞1.05.

∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大了．

5

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