商丘市一高2013-2014学年度第一学期期末考试高三数学（文科）试

商丘市一高2013-2014学年第一学期期终考试

高三数学（文科）试卷

命题：郭 永 审题：张志华 考试时间：120分钟 试卷满分：150分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1) 命题“?x∈Z，使x2+2x+m≤0”的否定是

A．?x∈Z，使x2+2x+m>0

( D )

B．不存在x∈Z，使x2+2x+m>0

C．对?x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对?x∈Z使x2+2x+m>0

(2) 已知M?{y?R|y?x2},N?{x?R|x2?y2?2},则M?N?（ D ）

A．{(?1,1),(1,1)} B．{1} C．[0,1] D．[0,2]

(3) 已知(1?i)?z??i ，那么复数z?z对应的点位于复平面内的（ A ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (4) 如图所示算法程序框图中，令a＝tan 315°，b＝sin 315°，c＝cos 315°，则输出结果为( D )

A.1 B.－1 C. ?22 D. 22(5) 由a1?1,d?3确定的等差数列?an?,当an?2014时，序号n等于（ B ）

A．671 B．672

C．673

D．674

(6) 函数f(x)?log2x?2x?1的零点必落在区间（ C ）

A．(,) B．(,) C．(,1) D．(1,2) (7) 下列说法中，正确的是 （ C ）

A．命题“若am2?bm2，则a?b”的逆命题是真命题.

B．在?ABC中，若acosA?bcosB,则?ABC为等腰直角三角形. C．命题“?x?R，x?x?0”的否定是：“?x?R，x?x?0”. D．为得到函数y?sin(2x?221184114212?3)的图像，只需把函数y?sin2x的图像向右平移

???????? (8) 已知a?b ，a?2,b?3，且向量3a?2b与ka?b互相垂直，则k的值为（ B ）

?个长度单位. 3

A．?333 B． C．? D．1 222(9) 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为( B )

A.3 B．23 C．22 D．4

x2y2(10) 设椭圆的方程为M为椭圆上任意一点，??1(x??5)，A,B为椭圆上两长轴上的端点，

251009则AM,BM的斜率之积kAM?kBM? ( B )

A．

4 924B．?

9C．

9 49D．?

4(11) 已知函数f(x)?x?bx的图像在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x??1??? 的前n项和为Sn，则S2014的值为 ?f(n)?y?2?0平行，若数列

（ A ）

2012 20132014 2013 A．

2014 2015B．

2013 2014C．D．

(12) 若关于x的方程

xx?4?kx2有四个不同的实数根，则k的取值范围为（ C ）

A.(0,1) B. (,1) C. (,??) D. (1,??)

第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

1414?y?1?(13) 若变量x，y满足约束条件?y?x?0，则z?x?2y的最大值为___ ___3

?x?y?2?0?(14) 直线l过定点P(?2,1)与抛物线y?4x只有一个公共点，则直线斜率k的取值集合为

21??__ .??1,0,,?

2???????e1,e2(15) 如图，设Ox,Oy是平面内相交成60的两条数轴，?y P 分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量

O x

?????????????OP?xe1?ye2,则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标.假设?????????????OP?3e1?2e2,则OP的大小为_______.19 (16) 有下列命题：

①函数y?ax?bx?c为偶函数的充要条件是b?0

②函数y?f(a?x)与函数y?f(a?x)的图像关于直线x?a对称. ③b?2ac是a,b,c成等比的必要不充分条件 .

2④若函数f(x)?x(x?c) 在x?2处有极大值，则c的值为2或6. ⑤y?sinx?1????0?x??的最小值是2. sinx?2?其中正确命题的序号是____________(1) (注：把你认为正确的命题的序号都填上). 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17) (本题满分12分)

2013年12月26日上午，日本首相安倍晋三参拜了靖国神社.这是安倍两次出任首相以来首次参拜，引起周边国家的强烈谴责，我军为了加强防范外敌入侵加强军事演习.在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为

3a的军事基地C 和D测得蓝方两只精锐部队分别2?在A处和B处，且?ADB?30，?BDC?30，

?AB?DCA?60，?ACB?45，如图所示，求蓝方这两只精

锐部队的距离.

??DC(18) (本题满分10分)

已知数列{an}是首项a1?1的等比数列，且an>0，{bn}是首项为1的等差数列，又a5＋b3＝21，a3＋b5＝13.

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； bn（Ⅱ）求数列{}的前n项和Sn.

2an

(19) (本题满分12分)

如图，已知三棱锥A?BPC中，AP?PC,AC?BC,M为AB中点，D为PB中点， 且△PMB为正三角形。 （Ⅰ）求证：DM∥平面APC； (Ⅱ)求证：平面ABC?平面APC；

(Ⅲ)若BC?4，AB?20，求三棱锥D?BCM的体积。

(20) (本题满分12分)

A

M

P

D

B

C

商丘是商部族的起源和聚居地，商人、商业的发源地和商朝最早的建都地。华商始祖王亥最早在这里,商丘是华商之都,于2006年11月10日在商丘举办首届国际华商文化节，某花卉集团根据需要欲将如图所示一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN 上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米． （Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？

（Ⅱ）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.

(21) (本题满分12分)

已知定义在正实数集上的函数f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b，其中a?0.设两曲线2y?f(x),y?g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同.

（Ⅰ）若a?1，求b的值；

（Ⅱ）用a表示b，并求b的最大值. (22) (本题满分12分)

已知圆M:x?5??2?y2?36，定点N(5,0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP?2NQ,GQ?NP?0．

（Ⅰ）求点G的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点?2,0?作斜率为k的直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，是否存在这

样的直线l，使得OA?OB??1，若存在，求出直线l的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．

商丘市一高2013-2014学年第一学期期终考试

高三数学（文）参考答案 及试卷分析

备注：评卷参考 前三题基础题，第2题易错，分清点集合数集，第4题三角算法结合题。

课本例题，习题中的原题或改编题有：5.（课本例题求第10项），7中的B为课后作业，10，椭圆的那个例题，11课后作业an?1的和，12，是2011年卓越联盟和2012南通模

n(n?1)拟的改编试题。14,15.16的（1）均为课本例题和习题。22题课后作业为背景。 一、选择题：

DDADB CCBBB AC 二、填空题：13. 3 14. ??1,0, 三、 解答题：

17解法一：在△BDC中，?DBC?180?30?105?45，

??????1?,? 15. 19 16. (1) 2?DCsin30?6?a. 所以，由正弦定理得：BC??sin454在△ADC中，?DAC?180?60?60?60，

所以，AC?DC?????3a. 2因此，在△ACB中由余弦定理得：

AB?AC2?BC2?2AC?BCcos45?

?(?3262362a)?(a)?2?a?a?24242 6a.4?解法二：设AC?BD?O，则?DOC?90， 且O是AC的中点. 于是，CO?AO?AO 13CD?a， 24BBO?CO?AB?因此，

3a， 42AO?6a. ???????104

DC分

18．(1)设数列{an}的公比为q，{bn}的公差为d，则由已知条件得：

4???q＋1＋2d＝21?d＝2?2，解之得：?.···4分 ?q＋1＋4d＝13???q＝2或q＝－2?舍去?

∴an＝2n1，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.···············6分

－

bn2n－1(2)由(1)知＝n.······························8分

2an22n－32n－1135

∴Sn＝＋2＋3＋?＋n－1＋n. ①

22222

2n－32n－1113

∴Sn＝2＋3＋?＋n＋n＋1. ②·········10分 22222112222n－1 ①－②得：Sn＝＋2＋3＋?＋n－n＋1 2222222n－11111

＝＋(＋2＋?＋n－1)－n＋1 2222211－

[1－??n1]

22n－112

＝＋－n＋1 212

1－211－2n－1＝＋1－()n1－n＋1. 222

2n＋3∴Sn＝3－n. ································12分

219. 解（1）∵M为AB中点,D为PB中点,

∴MD∥AP，又∴MD?平面APC

∴DM∥平面APC?????????????????????3分 （2）∵△PMB为正三角形,且D为PB中点， ∴MD?PB

又由（1）∴知MD?AP, ∴AP?PB

又已知AP?PC ∴AP?平面PBC， ∴AP?BC，又∵AC?BC ∴BC?平面APC,∴平面ABC?平面PAC,??????????8分 （3）∵AB?20 ∴MB?10,∴PB?10

又BC?4，PC?100?16?84?221

∴S?BDC?111S?PBC?PC?BC??4?221?221 24411又MD?AP?202?102?53 2211 S?BDC?DM??221?53?10733------------------------12分

∴VD?BCM?VM?BCD?20(1)设DN的长为x(x?0)米，则AN＝x?2 米

3(x?2)DNDC

∵＝，∴AM＝，????????2分 ANAMx3(x?2)2∴SAMPN＝AN·AM＝.

x3(x?2)2由SAMPN >32，得?32，又x?0，

x2得3x2?20x?12?0，解得：0?x?或x?6，

32即DN长的取值范围是(0,)?(6,??)． ???????6分

3(2)矩形花坛AMPN的面积为

3(x?2)23x2?12x?121212y???3x??12?23x??12?24????10分

xxxx12当且仅当3x?，即x?2时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.

x故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米. ????12分 21. 解：（Ⅰ）设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0,y0)处的切线相同

f'(x)?x?2,g'(x)?3 ???????2分 x?12x0?2x0?3lnx0?b?2?由题意知f(x0)?g(x0),f'(x0)?g'(x0) ，∴? ??4分

3?x0?2?x0??由x0?2?即有b?3得，x0?1，或x0??3（舍去） x05 ???????6分 2（Ⅱ）设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0,y0)处的切线相同

3a2 f'(x)?x?2a,g'(x)?x?122x?2ax?3alnx0?b00?2?由题意知f(x0)?g(x0),f'(x0)?g'(x0) ，∴? 23a?x0?2a??x0?3a2由x0?2a?得，x0?a，或x0??3a（舍去） ??????8分

x0125a?2a2?3a2lna?a2?3a2lna 225令h(t)?t2?3t2lnt(t?0)，则h'(t)?2t(1?3lnt)，于是

2即有b?当2t(1?3lnt)?0，即0?t?e时，h'(t)?0；

当2t(1?3lnt)?0，即t?e时，h'(t)?0 ???????11分

131332323故h(t)在(0,??)的最大值为h(e)?e，故b的最大值为e3.?????12分

2222. 解:(1)?13??NP?2NQ?Q为线段PN的中点且GQ?PN，则GQ为PN的中垂线，故

??GQ?NP?0PG?GN,?GN?GM?PM?6，故点G的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，且其长半轴长

x2y2??1………..5分 a?3，半焦距c?5?b?2?点G的轨迹C的方程是94(2)设l的方程为y?k(x?2),A(x1,y1),B(x2,y2),则OA?OB?x1x2?y1y2 ?y?k(x?2)?2222由?x2得(9k?4)x?36kx?36(k?1)?0，………..8分 y2??1?4?936k236(k2?1)?x1?x2?2,x1x2?

9k?49k2?420k22y1y2?[k(x1?2)][k(x2?2)]?k[x1x2?2(x1?x2)?4]??2………..10分

9k?416k2?364242??k???1则OA?OB?x1x2?y1y2?，解得 2559k?44242?k?故存在这样的直线l，使得OA?OB??1，此时其斜率k的取值范围是?.…..12分 55

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