高等数学上册导学案8397449

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

高等数学上册导学案 目 录

第一部分 常考题型与相关知识提要 1 第二部分 理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集（8套题） 18 01—08级高等数学(上)期末试题试题参考解答 26

第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题（5套题） 39

模拟试题参考解答 46

第四部分 09级高等数学（上）考前最后冲刺题（1套题） 57

第一部分 常考题型与相关知识提要

题型一 求极限的题型 相关知识点提要 须熟记下列极限: (1)基本的极限：

?0, q?1? 1）limqn??， 2）limna?1,(a?0)，limnn?1 1, q?1n??n??n???发散, q?1,q??1??0,n?m?anxn??a0?an 3） lim??,n?m.

x??bxm??bm0?bm???,n?m.(2) 重要极限

sin?(x)?1 2）lim[1??(x)]?(x)?e 1）lim?(x)?0?(x)?(x)?0(３) 常见的等价无穷小

?(x)sin?(x)tg?(x) e?(x)1arcsin?(x)arctg?(x).

1??(x),ln(1??(x))?(x),1?cos?(x)n?(x)22，

a?(x)?1?(x)lna， n1??(x)?1?(x) 其中(?(x)?0指对于任何极限过程) (４)x???时，无穷大量logax(a?1),x?(??0),ax(a?1)的级别依次从小到大排列.

求极限的方法:

方法1、运用四则运算法则

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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运用四则运算法则求极限时要注意运算条件：

1）所有极限存在.2）分母极限不为０；3）有限成立.

im(f)x(f)x0，方法2、运用连续函数性质：如l则limf[g(x)]?f[limg(x)].

x?x0x?x0x?x0方法3、运用定理：有界量乘无穷小量仍是无穷小量

方法4、运用两边夹法则

g(x)?f(x)?h(x),且limg(x)?limh(x)?A,则limf(x)?A 方法5 利用左右极限

方法6、利用通分、约分、有理化、同除等初等方法消去未定型因素 方法7、利用重要极限

方法8、用等价无穷小替换

要注意使用条件：只能代换极限式的分子或分母中的因子，而不能代换“项”. 方法9、用罗比塔法则 要注意条件：（1）、必须是标准型未定式 （2）、必须极限存在 技巧：使用前先用下列方法化简

（1）、使用变量代换（2）、使用无穷小代换 （3）、先将能定形的极限算出

01-08年相关考题

较基本的极限： 1．limxsinx?01? （01、一（1）、3） x2x3?12．lim3= . （05、一（1）、3）

x??x?x?1sinax23．若lim、3） ?,则a= . （02、一（1）

x?02x3sinax34．lim、3） ?,则a? . （04、一（2）

x?0sin5x4?165．数列x??n,?????????????n??10??，则limxn?______（03、一（1）、3）

?n??n?106,???????????n??106?????????????6、在x0的某去心邻域内无界是limf(x)??的_______条件. （03、一（2）、3）

x?x0137.计算lim(?).（07.二.1.6

x?11?x1?x3n?3)8.lim(kn?1)(2?6.则k? .（08一 、1、3） 2n??n可用罗比塔法则或等价无穷小替换法计算的极限：

2ln(1?3x)（01、二(2)、5） 9求limx?0ln(3?x4)10求 limarctanx（03、二（1）、5）

x??1x2ln(1?)xex?e?x?211lim（03、二（2）、5） x?01?cosx1?型的极限

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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12.lim(x??1?x2x、3） )= （05、一（2）

xx3x?3?13．极限lim?、3） __（06、一（2）???__________x??x??14．函数f(x)=lim(15.lim(x??n?xn、3） )? （04、一（3）

n??n?2x?2kx)?e2,则 k? x? . （08一 、2、3）

116. lim(1-sin2x)xx?0含有积分号的极限： 17．lim?x?0x0sintdtx2.（02、二（1）、5）

x18．求极限lim?0tarctantdtxx0x???2.（06、二（1）、6）

219．计算极限：limx?(arctant）x+122x??t2、6） dt（04、二（1）

20计算极限limx?0??edt?.（05、二（1）

、6）

0?x0te2tdt221.已知f(x)连续，求limxxf(t)dt.（08二、2 、7）

x?ax?a?a题型二 求导数的题型

相关知识点提要

求导数方法： 1）用定义

2）用四则运算法则求导法则、反函数与复合函数求导法则、隐函数与参数方程求导法则、对数求导法则、幂指函数求导法则及积分上限求导法则.

求导时要注意下列事项:

(1)当未知函数可导或分段函数的分界点当用定义求;

(2)f?[g(x)]表示f?(t)t?g(x);

(3) 幂指函数f(x)g(x)要取对数才能求导;

dyd()dydxd()2dt (4)参数方程求二阶导数时要分清求导对象:dy?dx?2dxdxdxdt(5)给定点导数应先求导再代值.

(6)对积分上限的求导公式中,被积函数中不得含有求导对象,否则要作代换使被积函数中不得含有求导对象后再用求导公式. 01-08年相关考题

求显函数的导数:

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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1y?xarcsin(lnx),求y?.（01、二（2）、5） 2．y?e?sin21x，求y?.（05、二（2）、6）

3．y?f(ex)ef(x)，其中f(x)可导，求

dy.（02、二（2）、5 dx４.arctanx?arccotx? . （08一 、4、3） 求隐函数的导数:

5.求由方程ysinx?xcos(x?y)?0所确定的隐函数y?y(x)的导数y?. （01、二（3）、5） 6.设函数y?f(x)由方程xy?ex?y确定，求dy.（05、二（3）、6）

dx7.函数y?y(x)由方程x3?y3?3axy?0确定，求dy.（06、二（3）、6） 8设函数y?f(x)由方程xy?ex?ey?0确定，求dy.（07.二.3.6）

求参数方程的导数

?x?ln(1?t2dyd2y9?，求和2（04、二（3）、6）

dxdx?y?arctant?x?arctantdyd2y（06、二、2） y?y(x)10求由参数方程?确定的函数的导数,22dxdxy?ln(1?t)??t2x?11. 设?2求??y?1?t?dyd2y.（08二、1 、7） ,dxdx2积分上限求导 12.设?(x)??bxtsint2dt,则

x 2213．设F(x)??0tf(x-t)dt，求F??(x)（04、二（8）、6）

d?

? （02、一（3）、3） dx

14.设f(x)可导，f(0)?0，F(x)??x0tn?1f(xn?tn)dt,n为正整数，证明：

F(x)1?f?(0)（07.五4）

x?0x2n2n3xdy15设y??etdt，求.（07.二2，6）

lnxdxlim16.设y(x)由方程

求微分

17．y?lnf(x),f??(x)存在, 求

xy ?yt2edt?x2y?1所确定，则0y'? . （08一 、7、3）

y??（03、二（3）、5）

18.dx2? dx（01、一（2）、3） 19.设xy?e?e=0，求dy （04、二（2）、6）

20.设y?x，（x?0），求dy.（02、二（3）、5）

21设y?f(sinx)，f可导，则dy? （07、一3.3）

题型三 关于连续与可导概念的题型

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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cosx 高等数学(上)期末复习指导 09年12月

相关知识点提要

可导?可微?连续

左右极限存在的间断点为第一类间断点, 左右极限相等的间断点为可去间断点. 左右极限存在但不相等的点为跳跃间断点，左右极限至少有一者不存在的间断点为第二类间断点

01-08年相关考题 函数的连续性:

?x?1,x?11.函数y??,当a= 时连续. （02、一（2）、5）

a?x,x?1??ex,x?02．f(x)??，若f(x)在(??,??)连续，则a= （05、一（3）、3）

a?x,x?0?3．x?1是函数f(x)=e4.使函数f(x)?1x-1的第 类间断点（04、一（4）、3）.

sin2x在x?0处连续，应补充定义 .（06、一（1）、3） 3x1x?0是f(x)?x?sin的可去间断点,则常数?的取值范围是_____5．（03、一（3））

x?x?1,??x?16.点x?1是函数y??的第一类间断点中的 间断点（07.一．2）

?3?x,??x?1（0，-2）7. 曲线y?x3上经过点的切线方程为 . （08一 、3、3）

函数的可导性:

?x2, x?18．设f(x)??为了使f(x)在x?1连续可导函数，a,b应取什么值？

ax?b,x?1?（05、三、8）

ax??e,???????????x??0??9、设f(x)??，在x?0处可导，求a,b.（03、三、5）

2??b(x?1),??x??0?????????????ln(a+x2),x>110．讨论a,b为何值时，函数f(x)??在x?1处可导.（03、一（4）、8）

?x?b,x?111.函数f(x)???x, x?0在点x?0处的导数为 （01、一（8）、3）（03、一（5））

?x, x?0?0x?0112、已知f(x)连续，?(x)??f(xt)dt,limf(x)?A.（A为常数），求（1）f(0),?(0);

x（2）?'(x);（3）讨论?'(x)在x?0处的连续性. （08五 、6）

h?013.f'(x0) 存在，则极限limf(x0?h)?f(x0?h)?________.（ 06、一（3）、3）

h14.?y?f(x??x)?f(x),dy?f′(x)?x,则?y与dy之间的关系是

题型四 求函数的单调区间、凸凹区间与拐点的题型

相关知识点提要

由f?(x)?0或f?(x)不存在得到分界点将f(x)的定义域分为若干小区间,在每个

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注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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小区间上用f?(x)的符号即可判别f(x)的单调性,从而得到函数的单调区间;

由f??(x)?0或f??(x)不存在得到分界点将f(x)的定义域分为若干小区间,在每个小区间上用f??(x)的符号即可判别f(x)的凸凹性,从而得到函数的凸凹区间; 凸凹区间的分界点即为拐点. 01-07年相关考题

单调区间的考题 1．函数y?2x3?3x2?12x?1在(?2,1)内单调 . （ 04、一（5）、3） 2．函数f?x??2x?8?x?0?的单调增加区间为 . （ 05、一（5）、3）

x凸凹区间与拐点的考题: 3.当a 时,点(1, 3)为y??33x?ax2的拐点. （ 02、一（5）、3） 24．曲线y?ln(1?x2)在区间 上是凸的，在 上是凹的，拐点是 .（ 04、一（6）、3） 5.曲线y?xe?x的拐点是______（ 06、一（5）、3）

6．曲线2x3?9x2?12x?3的拐点为 （ 05、一（6）、3） 7.设F(x)??x0(2t?x)f(t)dt,???f′(x)?0，试问点(0,0)是否是曲线y?F(x)的拐 点，为什么？（ 03、四、8） 8.曲线y?3x的拐点坐标是 （07、一、5、3） 题型五 求极值与最值的题型

相关知识点提要

1)对一元函数由f?(x)?0或f?(x)不存在得到”可疑点”,再用判别法一或判别法二(对驻点) 即可判别点是否为极值点;

2) 对一元函数由f?(x)?0或f?(x)不存在得到”可疑点”,将其值与端点处的值比较即可得到闭区间上的最值. 01-08年相关考题

1.可导函数f(x)在点x0处取得极值的必要条件是__________.（ 03、一（6）、3） 2.y?2x?6x?18x?7的极值. （ 06、二（4）、6） 3.f(x)?2x?3x在[1-4]上的最小值为 . （ 02、一（10）、3） 4.讨论f(x)?xlnx在其定义域上的最大值与最小值. （ 01、七、6）

545．求函数y?x2??x?0?在何处取得最小值（ 05、二（4）、6）

x6．求f(x)?2x3?3x2的极值.（07、二、6）

7.求函数y?2x?33x2的极值. （08三、1 、7）

题型六 求（不）定积分的计算的题型

相关知识点提要

1)主要方法:直接积分法与换元法(特别式三角代换和根式代换)和分部积分法. 2)记住16个积分公式及下列补充公式:

1x?a1x11, ?arctg?c ?ln?cdxdx22??x2?a2aax?a2ax?a3232注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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?1a2?x2dx?arcsinx122?c ,dx?ln(x?x?a)?c ?ax2?a2??lncosx?c , ?ctgxdx?lnsinx?c ? ?secxdx?lnsecx?tgx?c,?cscxdx?lncscx?ctgx?c

tgxdx3)掌握下列常见凑微分的式子:

1d(ax2?bx?c) 2dx111?dlnx, 2dx??d (ax?b)mdx?d(ax?b)m?1 xxxa(m?1)1eax?bdx?deax?b sinxdx??dcosx cosdx?dsinx

aadx?d(ax?b) (ax?b)dx? sinxcosx?1dsin2x 1dx?darcsinx??darccosx

21?x2dxdx?2dxdx?darctgx??darcctgx2 1?x x

dxx?dln(x?x2?a2) dx?dx2?a2

x2?a2x2?a2sec2xdx?dtgx

4) 掌握奇偶函数的积分方法

??0 若f(x)为奇函数??aa? f(x)dx?2???a?0f(x)dx 若f(x)为偶函数??a?2?f1(x)dx 若f(x)为非奇非偶函数??0其中f(x)?f1(x)?f2(x) f1(x)为偶函数，f2(x)为奇函数

?5) 掌握形如

?2sin0ndx的积分方法 ?n?1In?2 n?（1）In?2cosnxdx?2sinndx???00（2）

nsinxdx?2sinxdx?2In2?0?0??n(?cosnxdx?2?sinnxdx)） 00??(3)

?2?0???4?2sinnxdx?4In,n为偶数nsinxdx??0

?0,n为奇数?6)掌握分段函数的积分法:逐段积分后再相加.

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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01-08年相关考题

可以直接计算或用凑微分方法求解的积分

x2?3dxdx（ 01、二（4）1.求?、3） 2.求?2、5） ? （ 01、一（4）

nx?1xx2?lnxdx3dx（ 02、二（4）3.求e、5） 5.求?2 （ 01、三（2）、5） x1?edxxx6．求?esin(e)dx （02、三（1）、5） 7．求?（02、三（2）、5）

22(arcsinx)1?xe21dxdx （ 04、二（4）8.计算定积分?.（ 06、二（6）、6） 9.求?、6） x11-ex1?lnxdx110．计算（ 05、二（5）、6）11．计算、5） ?x21?x2（ 02、三（3）?ex?e?xdx1dx（07、二、5、6） 12．计算不定积分?1?cosx?可以用换元法求解的积分

113．

?e0x22、6） 14. I??0x4?xdx（ 04、二（6）、6） dx （ 05、二（6）

215.sinxdx（ 01、二（5）、5） 16．计算17.?x24?x2dx. （08三、2 、7）

可以用分部积分法求解的积分:

??41lnxdx.（07、二、6、6）

x1dx（ 04、二（5）、6） 19． 、5） 0xarctanxdx（ 02、三（4）2?sinx2220. ?xtanxdx（ 02、二（5）、5） 21. ?xcosxdx（ 06、二（5）、6）

18. ?22.

?12arcsinxdx. （080三、3 、7）

a奇偶函数的积分

23.设f(x)在[?a,a]连续并且为偶函数,则

??a、3） f(x)dx? （ 01、一（3）

a24．设函数f(x)在[?a,a]上连续，g(x)?f(x)?f(?x)，则??ag(x)dx?（04、一（7））

x3sin2x25．?4、3） dx?_________.（ 05、一（7）2x?2x?1?532xsinx?126.用奇偶性计算定积分?、3） dx?_______________.（ 06、一（6）2?11?x1527.

?1?212arcsinx1?x211dx? . （ 02、一（7）、3）28.??1(1?x)dx （ 01、三（1）、5）

29.求

a??1（6）、5）30． ?x(x?1)dx（07.二、7、6） (1?sinx)1?x2dx（02、二、

?1231.?(x?a2?x2)dx(a?0为常数）? . （08一 、6、3）

-a注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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与积分概念有关的积分

32.使公式kf(x)dx?kf(x)dx成立的常数k应满足的条件是 . （ 03、一（7）、3）

33.设cosx是f(x)的一个原函数,则f'(x)= （ 02、一（6）、3） 34.设物体以速度v(t)做直线运动, 则[0,T]上物体经过的路程是__（ 03、一（8）、3）

ax1??e,???????????x??0??35.设f(x)??，在x?0处可导，求?f(x)dx.（03、三）、3）

2?1??b(x?1),??x??0??????????????36．定积分

?204?x2dx? （07、一、4、3）

37．设sinx是f(x)的一个原函数，则xf?(x)dx? （07、一、6、3） 38. 已知f(x)的一个原函数为ln(x?x2?1)，则xf'(x)dx? . （08一 、5、3）

??题型七 求广义积分的题型

相关知识点提要

与正常积分的计算方法类似,但要注意到中间有瑕点时要在瑕点处分开计算. 01-08年相关考题 1．

??1、3） ?1?x2dx= . （ 05、一（8）0dxx(lnx)ka2．当k 时，反常积分?0收敛. （ 04、一（8）、3）

3.计算反常积分

???0、3） xe?xdx=__________________.（ 06、一（7）题型八 级数敛散性的判别的题型

相关知识点提要

常数项级数敛散性的判别方法是利用下列常见的级数的敛散性及判别程序进行判别.

常见的级数的敛散性：

?a?等比级数 ?aqn?1??1?qn?1?发散??q?1q?1

p-级数 ??1?收敛??pnn?1?发散?p?1p?1?p?0?

调和级数

1111?1???????是发散的. ?23nn?1n

级数收敛的判敛程序：

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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?un?1?n任 是 limun?0n???un?1?n用正 发散 ?un?1?n用莱氏 收敛 ?un?1?n

意项级数 项级数判别法 准则 条件收敛 否 收敛 发散

?un?1?n发散

?un?1?n绝对收敛

?un?1?n发散

其中：1）、正项级数

?un?1?n的判敛程序：

是 ??1

比较法 比值法 limun?0极限形式及等根值法 n?? 价无穷小判别 法 ??1 ??1 否 比较法 一般形式 ?un?1?n发散 ?un?1?n收敛 ?un?1?n发散 ?其中特别要优先使用等价无穷小判别法：如xnyn,xn?0,yn?0,则?xn的敛散性与

n?1?yn?1?n的敛散性一样.

2）、交错级数判敛法

莱氏准则： 若交错级数满足条件limun?0，un?un?1(n = 1,2,…),则级数收敛，

n??且和S?u1，余项rn的绝对值rn?un?1. 01-08年相关考题： 1、判别级数

??n?1?1n?13的敛散性（ 01、三（3）、5）

2、级数

1当p 时发散.（ 02、一（9）、3） ?p(n?1)n?13n?1、3） ?????????的敛散性为______________（ 06、一（10）

2n?3、级数2?n24、判断级数?的收敛性. （ 02、六、5）

n?1n!注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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(a) L1//L2?m1n1p1 ??m2n2p2(b) L1?L2?m1m2?n1n2?p1p2?0 (c) L1与L2之间的夹角??arccos3）空间曲面方程 (1) 旋转曲面的方程

将yoz面上的曲线f(y,z)?0绕y轴（或z轴）旋转一周所生成的旋转曲面方程为fy,?m1m2?n1n2?p1p2m?n?p212121m?n?p222222. ?x2?z2?0（或f?x2?z2,z?0）

??? (2) 二次曲面的方程

（1）球面 ?x?x0???y?y0???z?z0??R2 其中?x0,y0,z0?为球心，

222R为半径.

x2y2z2（2）椭球面 2?2?2?1 ?a,b,c?0?

abc（3）园柱面 x2?y2?R2 （4）抛物柱面 x2?2py?0

（5）椭园抛物面 z?px?qy ?p,q?0?

22（6）锥面 z2?（px2?y2）?p?0? 4 空间曲线方程

?F?x,y,z??0(1) 一般式方程 ?

??Gx,y,z?0??x?x?t??(2) 参数式方程 ?y?y?t?

?z?z?t??(3) 空间曲线在三坐标面上的投影方程 设空间曲线?：??F?x,y,z??0， 从该方程组中消去z，得到一个母线平行于

???Gx,y,z?0z轴的柱面方程H?x,y??0，将H?x,y??0与z = 0联立，即得?在xoy平

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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面上的投影方程 ??H?x,y??0

?z?001-08年相关考题

1.过点M1(3,?2,1)和M2(?1,0,2)的直线方程是 （ 01、一（5）、3） 2.过点(3,0,-1)且与向量a?3i?7j?5k垂直的平面方程为 （ 04、一（10）、3）

????x?2y?3z?4??的参数方程并求此直线与平面2x?y?z?6?0的112交点. （ 01、二（8）、6）

x?3yz?1??4.过点（4，-1，3）且平行于直线的直线方程是_（ 06、一（9）、3） 2153.写出直线

?x?2y?4z?7?0垂直的平面方程. （ 01、五、7）

?3x?5y?2z?1?06.一直线过点（0，2，4）且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行，求直线方程. （ 02、

5.求过点P(2,0,-3)且与直线L:?五、9）

7.求过点(0,2,4)且与两平面x?2z?1,y?3z?2平行的直线方程. （ 04、二（7）、6） 8.求??x?y?1?0的对称式方程. （ 03、二（7）、5）

?x?y?z?1?09.求到x?2y?2z?0的距离为1的动点轨迹. （ 03、二（8）、5）

10、求过点P(1,??2,??4)且与两平面2x?y?3，y?4z?2平行的直线方程.

（07、二、8、6）

11经过点(0,3,0)且与平面y?0垂直的直线方程是 . （08一 、9、3） 12、xoz面上的曲线：z?x绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 （07、一、8、3）

??y?2?0,13．（1）求过点M(0,?1,1)且与直线L:?垂直的平面方程. x?2z?7?0??（2）求点M到直线L的距离. （08四、1 、9）

题型十二 证明题题型

相关知识点提要

1）证明不定式的方法：若x?x0时，f?(x)?0,且f(x0)?0,则f(x)?0，若

2?0 x?x0时，f?(x)?0,且f(x0)?0,则f(x) 2）方程根的存在性与唯一性的证明方法：由零点存在定理或罗尔定理先证明根

的存在性，再由单调性证明根的唯一性. 01-08年相关考题

证明不等式的题型

x1.证明：当x?1时e?ex（ 02、八、4）

2.证明：当x?1时，不等式e?ex成立. （ 06、二（7）、3）

3.设f??(x)?0,f(0)?0，证明：对于任意x1?0,x2?0有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) （ 05、六、4）

方程根的存在性与唯一性的证明

x注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

17

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

4.设f(x)在区间I上可导，证明在f(x)的任意两个零点之间必有方程f(x)?xf?(x)?0的实根. （ 04、五、5） 5.设F(x)??xa试证：方程?f(t)dt??f(t)dt 在 (x)?0，f(t)dt????F(b)?0???且F′axxxb(a,b)内有且只有一根.（6分）（ 03、六、6）

6.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)?1，证明2x??f(t)dt?1 在区间（0，1）

0内仅有唯一实根.（06、五、4）

第二部分 昆明理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集

2001级高等数学（上）期末试卷

一、填空题（每小题3分、共24分）

1? ;

x?0x2、dx2? dx;

1、limxsin3、设f(x)在[?a,a]连续并且为偶函数,则4、

?a?af(x)dx? ;

? ;

x5、过点M1(3,?2,1)和M2(?1,0,2)的直线方程是 ; n?dx6、已知级数?un?S,则级数?(un?un?1)的和是 ;

*??n?1n?17*、.曲线y?x2?lnx在x?1点处的曲率是 ; ?x, x?08、函数f(x)??在点x?0处的导数为 ;

??x, x?0二、计算下列各题(每小题5分,共25分)

ln(1?3x2)1、lim 2、y?xarcsin(lnx)求y?.

x?0ln(3?x4)3、求由方程ysinx?xcos(x?y)?0所确定的隐函数y?y(x)的导数y?.

x2?3dx 5、?sinxdx 4、?2x?1三、计算下列各题(每小题5分,共25分)

1、

?1?1(1?x)dx 2、?32?dx 1?ex?3、判别级数?n?12nxn的敛散性 4、求幂级数?2的收敛区间 3n?1n?1n?115、设点A,B,C的坐标分别为A(2,3,-1),B(1,1,1)及C(0,4,-3)求

AB,AC,3AB?2AC 及

AB?AC.

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

18

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

x2n?1四、(7分)求幂级数?(?1)的收敛区间,并求和函数.

2n?1n?1?x?2y?4z?7?0五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线L:?垂直的平面方程.

3x?5y?2z?1?0?六、(6分)求由曲线y?lnx,y?lnb及x?0(b?0)所围图形的面积. 七、(6分)讨论f(x)?xlnx在其定义域上的最大值与最小值.

?n?12002级高等数学（上）期末试题

一、填空题（3分×10=30分）

sinax2?,则a= . x??2x3?x?1,x?12、函数y??,当a= 时连续.

a?x,x?1?d?b2? . 3、设?(x)??xtsintdt,则dx

?x?sint?4、曲线?在t?处的法线方程为 . 4?y?cos2t3325、当a 时,点(1, 3)为y??x?ax的拐点.

26、设cosx是f(x)的一个原函数,则f'(x)= .

1、若lim7、

?1?212arcsinx1?x?2dx? .

8、设a?i?3j?5k,b?i?2j?k，则a?b? .

9、级数?*1当p 时发散. pn?1(n?1)3210、f(x)?2x?3x在[1-4]上的最小值为 . 二、试解下列各题（5分×3=15分）

?1、limx?0x0sintdtx2.

f(x)2、设y?f(e)ecosxx，其中f(x)可导，求

dy. dx3、设y?x，（x?0），求dy. 三、求积分（5分×4=20分）

xx1、esin(e)dx 2、

??(arcsinx)?10dx21?x2 3、

?xdx21?x2 4、

xarctanxdx

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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高等数学(上)期末复习指导 09年12月

四*、[9分]设平面图由y?x2,y?1及x=2所围成，求： x1）平面图形的面积A（要求作草图）; 2）平面图形绕x轴旋转的体积Vx.

五、[9分]一直线过点（0，2，4）且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行，求直线方

程.

n2六、[5分]判断级数?的收敛性.

n?1n!x3x5x7七、[8分]设幂级数x??????

357?1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域.

x八、[4分]证明：当x?1时e?ex

2003级高等数学（上）期末试卷

一、填空题：（共10题，每题3分）

?1,?????????????n??106???1、数列xn??n，则limxn?___________________________.

n???106,???????????n??106?????????????2、f(x)在x0的某去心邻域内无界是limf(x)??的___________________条件.

x?x03、x?0是f(x)?x?sin____________________.

1的可去间断点,则常数?的取值范围是x4、f(x)可导, limf(1)?f(1?x)??1, 则曲线y?f(x)在点[1,f(1)]处的切线

x?02x斜率是____________________.

(x)?x,则?y与dy之间的关系是5、?y?f(x??x)?f(x),dy?f′________________________.

6、可导函数f(x)在点x0处取得极值的必要条件是___________________________. 7、使公式?kf(x)dx?k?f(x)dx成立的常数k应满足的条件是 . 8、设物体以速度v(t)做直线运动, 则[0,T]上物体经过的路程是

___________________.

9、投影Prjba?2,b?3, 则a?b?______________________.

10、a?b与a?b平行的充要条件是________________________.

二.计算题（共8题，每题5分）

arctanxex?e?x?21、求 lim 2、求 lim

x??x?011?cosxx2ln(1?)x3、y?lnf(x),f??(x)存在, 求

y?? 4、求?e20

x2?lnxdx

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

5、求xtanxdx 6、求

?2?1?1(1?sinx)1?x2dx

?x?y?1?0的对称式方程.

?x?y?z?1?08、求到x?2y?2z?0的距离为1的动点轨迹.

7、求?ax?1?e,???????????x??0??三、设f(x)??，在x?0处可导，求?f(x)dx.（8分）

2?1??b(x?1),??x??0????????????四、设F(x)??x0(2t?x)f(t)dt,???f′(x)?0，试问点(0,0)是否是曲线y?F(x)的

拐点，为什么？（8分）

五*、设抛物线y?ax2?bx?0?????(0?x?1),?试确定a,b之值，使抛物线与直线

?x?1,y?0所围面积为?，并且绕x轴旋转的体积最小.（8分）

?六、设F(x)??xa(x)?0，试证：方程?f(t)dt??f(t)dt f(t)dt????F(b)?0???且F′axxb在(a,b)内有且只有一根.（6分）

2004级高等数学（上）期末试卷

一、填空题（每题3分，共30分）

x?11,x?0,x?1,则f[]= . 1、设f(x)=xf(x)sinax3?,则a? . 2、若limx?0sin5x4n?xn)? . 3、函数f(x)=lim(n??n?24、x?1是函数f(x)=e1x-1的第 类间断点.

5、函数y?2x3?3x2?12x?1在(?2,1)内单调 . 6、曲线y?ln(1?x2)在区间 上是凸的，在 上是凹的， 拐点是 . 7、设函数f(x)在[?a,a]上连续，g(x)?f(x)?f(?x)，则??ag(x)dx8、当k 时，反常积分?0aa? . dxx(lnx)k收敛.

????????1，，3)c?(1，?2，，0)则(a?b)(b?c)? . 9、a?(2,?3,1),b?(1，????10、过点(3,0,-1)且与向量a?3i?7j?5k垂直的平面方程为 . 二、计算下列各题（每题6分，共48分）

x2(arctant）?1、计算极限：limx??0x2+1dt 2、设xy?ex?ey =0，求dy

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

21

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

?x?ln(1?t2）dyd2y1dx 3、设?，求和2 4、求 ?xdx1-edx?y?arctant22xI?4?x2dx dx 5、求 ? 6、计算定积分?0x2sinx7、求过点(0,2,4) 且与两平面x?2z?1,y?3z?2平行直线方程.

x 228、设F(x)??0tf(x-t)dt，求F??(x)

三、（9分）设有位于曲线y?ex的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之

间的图形：（1）求切线方程；（2）求平面图形的面积；（3）求此平面图形围绕x轴

旋转的旋转体的体积.

?ln(a+x2),x>1四、（8分）讨论a,b为何值时，函数f(x)??在x?1处可导.

?x?b,x?1五、（5分）设f(x)在区间I上可导，证明在f(x)的任意两个零点之间必有方程

?(x?f(x)?xf)的实根0.

2005级高等数学（上）期末试卷

一、填空题(每题3分,共30分)

2x3?11、lim3= .

x??x?x?11?x2x)= .

x??x?ex,x?03、f(x)??，若f(x)在(??,??)连续，则a= .

a?x,x?0?2的切线方程为___________________. 4、曲线y?sinx在点?2、lim(5、函数f?x??2x?8?x?0?的单调增加区间为 .

x6、曲线2x3?9x2?12x?3的拐点为 . (,)42x3sin2x7、?4dx?_________. 2x?2x?1?5??58、

??9、设a??3,?1,?2?，b??1,2,?1?，则(?2a)?3b?_______.

10、当a_______时，级数?*1?1?x2dx= . 01(a?0)收敛. n1?an?1?二、计算下列各题（每题6分，共42分）

1、计算极限

??edt?limxt20x?02?x0tedt2t2. 2、y?e?sin21x，求y?.

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

22

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

3、设函数y?f(x)由方程xy?ex?y确定，求dy.

dx4、问函数y?x2?54?x?0?在何处取得最小值. x115、计算 6、计算exdx dx?ex?e?x?07、过点P(0,2,4)且与两平面x?2z?1,y?3z?2垂直的平面方程.

2三、（8分）设 f(x)??x, x?1为了使f(x)在x?1连续可导函数，a,b应取什

??ax?b, x?1n?1么值？

四、（8分）求幂级数?(?1)n?1?x2n?1的收敛域,并求和函数. 2n?1五、(8分)由直线y?x及抛物线y?x2围成一个平面图形

1．求平面图形的面积A.

2．求平面图形绕x轴旋转的旋转体体积Vx.

六、(4分)设f??(x)?0,f(0)?0，证明：对于任意x1?0,x2?0有 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)

2006级高等数学（上）试卷

一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、使函数f(x)?2、极限lim?sin2x在x?0处连续，应补充定义 . 3xx3?x?3?__. ??__________x??x??f(x0?h)?f(x0?h)?________3、f'(x0) 存在，则极限lim.

h?0h4、线y?ex在点（1，e）处的切线方程为 .

5、线y?xe?x的拐点是________________.

x3sin2x?1dx?_______________. 6、用奇偶性计算定积分?2?11?x17、计算反常积分

???0xe?xdx=__________________.

a?b，则数??____. 8、向量a?(2,1,?2),b?(1,?,2),且满足9、过点（4，-1，3）且平行于直线

x?3yz?1??的直线方程是_____________. 215注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

23

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

2n二、 计算下列各题：（每小题6分，共42分）

10、级数2?3?????n?1????的敛散性为______________. x?1、求极限limx???0tarctantdt2x?x?arctantdyd2y,2. 2、求由参数方程?确定的函数y?y(x)的导数2dxdx?y?ln(1?t)3、设函数y?y(x)由方程x3?y3?3axy?0确定，求dy. 4、y?2x3?6x2?18x?7的极值. 25、计算不定积分xcosxdx. .

?dx?1x1?lnx. x7、证明：当x?1时，不等式e?ex成立.

x?2y?3z?4??8、写出直线的参数方程并求此直线与平面2x?y?z?6?0的1126、计算定积分

e2交点.

三、（8分）求幂级数?(?1)n?1?n?1xn的收敛半径、收敛区间与收敛域，并求其和函数. n四、（8分）由曲线y?1与直线y?x,x?2及x轴围成一个平面图形， x1、求此平面图形的面积A；

2、求此平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积Vx. 五、（4分）设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)?1，证明2x?区间（0，1）内仅有唯一实根.

?x0f(t)dt?1 在

2007级高等数学（上）试卷

一、填空题：（每小题3分，共30分）

x?2kx)?e2,则 k? 1、lim(x??x?x?1,??x?12、点x?1是函数y??的第一类间断点中的 间断点

?3?x,??x?13、设y?f(sinx)，f可导，则dy?

4、定积分

?204?x2dx?

5、曲线y?3x的拐点坐标是 6、设sinx是f(x)的一个原函数，则xf?(x)dx?

7、设a?2i?j?2k,??b?4i?j?10k,??c?b??a,??c?a，则?? 8、xoz面上的曲线：z?x绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

24

2? 高等数学(上)期末复习指导 09年12月

9、正项级数??1的敛散性为 2n?1n?n?(x?1)n10、幂级数?的收敛区间为

nn?1二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）

13?).

x?11?x1?x3x3dy2、设y??etdt，求.

lnxdx3、设函数y?f(x)由方程xy?ex?ey?0确定，求dy.

1、计算极限lim(4、求f(x)?2x3?3x2的极值. 5、计算不定积分

1?1?cosxdx.

?7、计算?6、计算

*412lnxdx. x(x?1)dx.

?18、求过点P(1,??2,??4)且与两平面2x?y?3，y?4z?2平行的直线方程. 三 (9分)、(1)、求曲线y?x3在点(2,??8)处的切线方程；

(2)、求曲线y?x3 与直线x?2,??y?0所围成平面图形A的面积； (3)、求（2）中的平面图形A绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

*四 (9分)、利用ex幂级数的展开式： (2)、写出e的无穷级数展开式；

n2(3)、再利用数e的无穷级数的展开式，求数项级数?的和.

n?1n!?五（4分）、设f(x)可导，f(0)?0，F(x)?明：lim?x0tn?1f(xn?tn)dt,n为正整数，证

F(x)1?f?(0).

x?0x2n2n 2008级高等数学（上）试卷

一、填空题（每题3分，共30分） 1.lim(kn?1)(2n?3)?6.则k? . n??n2? .

1２. lim(1-sin2x)xx?0（0，-2）３. 曲线y?x3上经过点的切线方程为 . ４.arctanx?arccotx? . ５. 已知f(x)的一个原函数为ln(x?x2?1)，则

?xf(x)dx? .

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

25

'

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

６.?(x?a2?x2)dx(a?0为常数）? .

-aa7.设y(x)由方程8. 设向量

?yt2edt?x2y?1所确定，则y'0? . a?(3,5,x),b?(2,1,4),且2a?b与z轴垂直，则x? .

9.经过点(0,3,0)且与平面y?0垂直的直线方程是 .

10*. 设u?lnx2?y2，则du? . 二、计算下列各题（每题7分，共14分）

2?tdyd2yx?x?1. 设?2求,2. 2.已知f(x)连续，求limx?ax?adxdx?y?1?t??af(t)dt.

x三、计算下列各题（每题7分，共28分）

1.求函数y?2x?33x2的极值. 2.?x24?x2dx. 3.

12arcsinxdx. 4*.设z0??z?2z. ?uv,u?e,v?x?y.求,?x?x?y232x22四、计算下列各题（每题9分，共18分）

??y?2?0,1．（1）求过点M(0,?1,1)且与直线L:?垂直的平面方程， x?2z?7?0??（2）求点M到直线L的距离. *2.将已知正数a分解为三个正数之和，并使它们的倒数之和为最小. 五、（6分）已知f(x)连续，?(x)?求（1）

'?01f(xt)dt,limx?0f(x)?A.（A为常数） x'f(0),?(0);（2）?(x);（3）讨论?(x)在x?0处的连续性.

? 六、（4分）设f(x)在??0,1?上可微，且f(1)?2?12xf0(x)dx. 证明：存在??(0,1)，使

得f(?)??f'(?)?0.

试题参考解答

2001级高等数学（上）期末试卷解答

一、填空题（每小题3分、共24分） 1.0; 2.2x; 3. 2a?1x?1yz?2nnn??x； 5.； f(x)dx; 4.

4?2?1n?1?06.2S；7.略； 8.不存在.

二. 计算下列各题(每小题5分,共25分)

ln(1?3x2)01、[解]：lim??0.

x?0ln(3?x4)ln31112、[解]：y??arcsin(lnx)?x? . ??arcsin(lnx)?22x1?lnx1?lnx3、[解]：y?sinx?ycosx?cos(x?y)?xsin(x?y)(1?y?)?0

26

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

y??cos(x?y)?xsin(x?y)?ycosx.

xsin(x?y)?sinxx2?3dx?x?2arctanx?c. 4、[解]：?2x?15、 [解]：令x?t，?sinxdx?2?tsintdt??2?tdcost??2(tcost??costdt)

??2(tcost?sint)??2(xcosx?sinx)?c.

三.计算下列各题(每小题5分,共25分) 1、[解]：

?1?132(1?x)dx?2?2?xdx?1.

01?x3dx?1)e?2?13d(e?x???2?x??ln(e?1)?ln?32、[解]：?. x21?ee?1e?1?1113、[解]：故收敛. ,?333n?1n?1n2n?12n?1111(n?1)2?1?2,?R?(?,). 4、[解]：??lim，收敛区间为nn??2222n2?15、[解]AB?{?1,?2,2},AC?{?2,1,?2},3AB?2AC?{1,?8,10}，AB?AC??4

四、解：令S(x)?x?(?1)n?1?n?1?x2n?11， ,S?(x)??(?1)n?1x2n?2?22n?11?xn?1?S(x)??1dx?arctanx，收敛区间为（-1，1）. 21?x0五、解：平面?1:x?2y?4z?7?0,法向量n1??1,?2,4?，

平面?2:3x?5y?2z?1?0,法向量n2??3,5,?2?

i ..取所求平面的法向量 n?s?n1?n2?1jk?24???24,14,11?

35?2z?3)?0....由点法式方程可得所求平面方程为 ?24(x?2)?14(y?0)?11(,即24x?14y?11z?81?0.

六、解：曲线y?lnx,y?lnb及x?0(b?0)所围图形为无界区域，其面积为

S??(lnb?lnx)dx?blnb?xlnx??b?b.

00bbx)n?lx1?0,?七、解：f(x)?xlnx的定义域为x?0，令f?(时，f?(x)?lnx?1?0,当x?得驻点x?11，当x? ee1时，f?(x)?lnx?1?0,故f(x)?xlnx在其定e注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

27

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

义域上的最小值为f(x)?111ln??，无最大值. eee2002级高等数学（上）期末试卷解答

一、填空题（每小题3分、共24分）

49122 ；2．1；3．?xsinx；4．y?(x?)；5．；6．?cosx；7．0；322228．12；9．≤1；10．f(?1)??5

1．

二、试解下列各题(每小题5分,共15分)

1．解：原式?lim2．解：

sinx1?.

x?02x2dy?[f(ex)]'ef(x)?f(ex)[ef(x)]? dxxxf(x) ?ef'(e)e?f'(x)f(ex)ef(x).

3．解：取对数 lny?cosxlnx，两边关于x求导得

1dycosx??sinxlnx? .， ydxxcosxcosx)dx. 故 dy?x(?sinxlnx?x三、求积分(每小题5分,共20分)

xx1、解：原式?sin(e)de??cos(ex)?c.

?1d(arcsinx)???c. ?(arcsinx)2arcsinx3、解：令x?sint,dx?costdt,

2、解：原式=

1?x2costdt??ctgt?c??原式???c.

sin2tcostx1x2x211dx14、解：原式??0arctanxd()?[arctanx]??x2. 2002221?x11?111?1)dx??[x?arctanx] ?.??(1?2002421?x82?1??1 ?????.

828422217132四、解：1）A??(x?)dx?[x?lnx]??ln2.

11x332）Vx???211x51257(x?2)dx??[?]??.

x5x11004五、解：设求直线的方向向量为s,由于s??1,0,2?且s??0,1,?3?，则

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

28

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

i j kx?0y?2z?4??. s?1 0 2??2 i?3 j? k,故直线方程为

?2310 1 -3Un?1(n?1)2六、解:用比值法 lim?lim?0?1,故原级数收敛.

n??Un??(n?1)n2n1七、解：1）一般项为an?.

2n?1a12n?12）??limn?1?lim?1，收敛半径R??1,当x?1时，幂

n??an??2(n?1)?1?n?1?1级数为?发散,x??1时，幂级数为?发散,故收敛域为（-1，1）.

n?12n?1n?12n?1八、证明：设f(x)?ex?ex，f'(x)?ex?e，故当x?1时f'(x)?0，即x?1时f(x)

x单增，故当x?1时，f(x)?f(1)?0，从而x?1，e?ex.

2003级高等数学（上）期末试卷解答

?一、填空题（每小题3分、共30分）

61、10 ； 2、必要； 3、a?0； 4、?2 ； 5、?y?dy??(?x)

6、f?(x0)?0 ； 7、k?0； 8、二、计算题（共8题，每题5分） 1、因为arctanx??T0?(t)dt； 9、6； 10、a//b.

?2arctanx?0 （5分） 故原式=limx??xex?e?x2、原式=lim （2分）

x?0sinxex?e?x?2 （5分） = limx?0cosxf?(x)?3、y? （2分）

f(x)f(x)f??(x)?f?2(x) y??? （5分）

f2(x)x4、原式 = ?exdx （2分）

2,ln(1?11)~ （2分） xx1x2= e?c （5分） 225、原式 = ?xsecxdx??xdx （2分）

x2?c （5分） = xtanx?lncosx?2注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

29

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

6、因为

?1?11sinx?1?x2dx?0 （2分） 1?xdx?2?1?xdxx?sint2?2cos2tdt?00?21?2?2?1 （4分）

227、直线过点(?1,0,0) （2分）

故原式?0???? （5分）

i?????j?????k?其方向向量 s?1???????????????{1,?1,?2} （4分）

1????????????1 （5分） 28、解法一：由于动点平行于平面x?2y?2z?0，故可设所求的

故所求的对称式方程为 x?1??y??动点轨迹方程为

x?2y?2z?D?0 （2分） 又x?2y?2z?0过点(0,0,0)，故有 （3分）

D?1?D??3?动点轨迹方程为 221?2?2x?2y?2z?3?0 （5分） 解法二：动点(x,y,z)到平面x?2y?2z?0，即 x?2y?2z?1 （3分） 221?2?2故动点轨迹方程为 x?2y?2z?3?0 （5分） 三、解：lim?f(x)?lim?f(x)?b?1 （2分）

x?0x?0?2x??e,?????x?0?? （4分） f??(0)?f??(0)?a??2，f(x)??2??(x?1),???x?0????1?1f(x)dx??e?2xdx??(x?1)2dx （6分）

?100111?e2? （8分） 26四、解：F(x)??x02tf(t)dt?x?f(t)dt （2分）

0x0xF?(x)?xf(x)??f(t)dt （4分）

F??(x)?xf?(x) （6分）

x?0?F??(x)?0?F(x)凹，x?0?F??(x)?0?F(x)凸，故(0,0)是y?F(x)的拐点. (8分)

11ab22五、解：??(ax+bx)dx???b?(1?a) （4分）

30323注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

30

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

111V???(ax2+bx)2dx??(a2?ab?b2) （6分）

0523?555?(2a2?5a?20),令V??0?a??,V??()?0,所以V()最小.故 13544453a??,b?. （8分）

421六、证明：存在性：令G(x)?ba?xaf(t)dt-?f(t)dt，则G(a)???f(t)dt=-F(b)，

xabbG(b)??f(t)dt=F(b)，G(a)?G(b)??F2(b)?0，由零点存在定理，G(x)在

(a,b)内有存在零点; （3分）

唯一性：如若G(x)在(a,b)内必有两个零点?1,?2，由罗尔定理，存在??(?1,?2),使得G?(?)?2f(?)?2F?(?)?0,此与题设矛盾.因此G(x)在(a,b)内仅有一零

点. （3分）

2004级高等数学（上）期末试卷解答

一、填空题（每小题3分、共30分）

115x?21.; 2.; 3.e; 4. 二; 5.减少;

x4（-?，-1）（1，+?），（-1，+1），（?1,ln2）6.; 7. 0 ; 8.>1 9.30; 10.3x?7y?5z-4?0.

二、计算下列各题（每题6分，共48分）

2(arctanx）?2?21．原式=lim. ?()?x??x24x2+1ex?ydx. 2.ydx?xdy?edx?edy?0，所以dy?ye?x1d2y11?t21?t2dy1?t21??3 3.??； 2??22tdx2t2t4tdx2t21?t1?ex?exd(1-ex)xdx?x??x?ln1?e?c 4.原式=?xx?1?e1?e5.原式=???xdctgx??xctgx??ctgxdx??xctgx?lnsinx?c

xy6令x=2sint .dx=2costdt,当x?0,t?0;x?2,t=???2，

I=?024sint?4costdt=16?02sin2t(1?sin2t)dt

13?1?=16?02(sin2t?sin4t)dt=16(?)???.

24?22?22注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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高等数学(上)期末复习指导 09年12月

i7.取s?n1?n2?1?????j0?k???2??2i?3j?k,所求直线方程为

01?3xy?2z?4??. ?23112228.令u?x?t.du??2tdt.?dt??du,当t?0?u?x,当t=x?u=0,

2t011x21?F(x)??2t?f(u)(?)du??f(u)du,?F?(x)?f(x2)?2x?xf(x2).

x2t202x三、解：.(1)、y??ex,设p(x0,y0)为切点,切线方程为:y?ex0=e0(x?x0),切线过原点(0,0)得:x0?1,y0?e, ?切线方程为: y?e=e(x?1),即y?ex.

11e21exx1??x?(2)、面积A??edx??exdx=?e?????0?2. ????022x232????e?ex?e. ?????????00236四、解：由连续性f(1)?1?b=f(1+)?ln(1?a),?b?ln(1?a)-1，又

f(x)?f(1)x?b?1?bf?'(1)?lim?lim?1,

x?1?x?1?x?1x?12x22f(x)?f(1)ln(a+x)-(1+b)2'a?x f?(1)?lim?lim?lim?x?1+x?1?x?1?x?1x?11a?12''?1,?a?1,b?ln2?1. 由f?(1)?f?(1)?a?1五、证明：令F(x)?xf(x)，设x1,x2为f(x)的任意两个零点.即f(x1)?0,f(x2)?0,(3)、体积Vx??1(e)dx???(ex)dx=x212?1?1?则F(x) 在?x1,x2?上连续，在?x1,x2?内可导，且F(x1)?F(x2)?0,由Rolle定理可知至少存在一点??(x1,x2)使得F?(?)?0，即F?(?)??F?(?)?0，因此，在

f(x)的任意两个零点之间必须有方程f(x)?xf?(x)?0的实根.

2005级高等数学（上）期末试卷解答

一、填空题（每小题3分、共30分）

321．2; 2. e 3. 1 ; 4. y?2?2(x??), 5．x?2; 6.;

2224?7.0; 8. ;9. ?18; 10.a?1.

2二、计算下列各题（每题6分，共42分）

???1.解：原式?lim2x20etdtex2x22x?0xe?limx?02?etdx0x2xex2?limx?02ex22ex?2x2ex2=lim2?2.

x?01?2x2注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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高等数学(上)期末复习指导 09年12月

2.解：y??e?sin21x2?sin2x 111 1?(?2sin)?(cos)?(?2)?2sinexxxxxx?y13.解：两边对x求导得 y?xy??ey?ex?y (1?y?) ,解得y'?x?ye?x34.解：y'?2x?54?2(x?27)，令y??0 得驻点x??3,当x??3时

22xxy'?0，当

?3?x?0时y'?0，故x??3为极小点,极小值为y(?3)?27.

xx1dee5.解：===arctanex?c dxdx?ex?e?x?e2x?1?1?(ex)26.解：令

x?t,dx?2tdt

1t0???7.解：所求直线的方向向量s垂直于两已知平面的法向量n1,n2 ,故取

原式：=?2tedt=2(te0t10??1t=2e?2etedt)01=2.

???s?n1?n2?10所求直线方程为：

?i?j?k2=?2i?3j?1k

???01?3xy?2z?4 . ???231三．（8分）解：f(1)?1 ，f(1?0)?limax?b?a?b, 故当 a?b?1 时，f(x)

x?1? 在 x?1 处连续.又

2 f?'(0)?limx?1?limx?1?2

x?1?x?1x?1?1f?'(0)?lim?x?1ax?b?1ax?(1?a)?1?lim?a ?x?1x?1x?1故当a?2时，f?'(1)?f?'(1)?f'(1)存在,即当 a?2,b??1 时，f(x)在 x处连续可导.

四．（8分）解： ??limun?1n???un当

2?1

122(n?1)?12? limx?x n???12n?1x?1,即?1?x?1时原级数收敛，当x2?1,即x??1或x?1时原级数发散,故收敛半径R?1，当x??1原级数为收敛的交错级数，收敛域为[?1,1].

设

s(x)??(?1)n?1?n?1x2n?1 2n?1注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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高等数学(上)期末复习指导 09年12月

2n?1?? s?(x)?(?1)n?1(x)?=(?1)n?1x2n?2

??2n?1n?1n?1?1?x2?x4?x6故 s(x)?s?(x)dx=

?0x?11 ?221?(?x)1?x1?1?x2dx=arctanx. 01x五．(8分)解：求交点得(0,0),(1,1)

23??xx1. 21．A=(x?x)dx=????23?0??0635??xx2?. 242．V??(x?x)dx????x?3??50??015111六．(4分)证明：不妨设0?x1?x2，分别在区间[0,x1],[x1,x1?x2]上使用拉格朗

日中值定理存在?1?(0,x1),?2?(x1,x1?x2)使：

f(x1)f(x1)?f(0)??f'(?1) x1x1?0f(x1?x2)?f(x2)f(x1?x2)?f(x2)??f'(?2)

x1?x2?x2x2因为?1??2,又f\x)?0,故f'(x)单调减，所以f'(?1)?f'(?2),故

f(x1)f(x1?x2)?f(x2)??f(x1)?f(x1?x2)?f(x2) x1x1即 f(x1)?f(x2)?f(x1?x2).

2006级高等数学（上）期末试题答案及评分细则

一、填空题：（每小题3分，共30分）

1. 2/3; 2. e; 3. 2f'(x0); 4. y?ex; 5. (2, 6.

2)2; ex?4y?1z?3???; 7. 1; 8. 2; 9. ; 10. 发散. 2152xarctanxarctanx?........(4')?lim?......(2')

x???2x24二、计算下列各题：（每小题6分，共48分） 1、解:原式=limx???注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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高等数学(上)期末复习指导 09年12月

2t2dyd2y21?t??2t.......(4');.....2??2(1?t2)....(2')112、解: dx dx221?t1?t3、解:在方程两端求微分得:3x2dx?3y2dy?3a(ydx?xdy)?0......(4')， ay?x2dy?2dx......(2'). y?ax2'), 4、解:令y'?6(x2?2x?3)?6(x?1)(x?3)?0得x??1,x?3......(2'), y''?12(x?1),y''(?1)?0,y''(3)?0......(2'). 极大值y(?1)?17,极小值y(3)??47......(225、解:原式?xdsinx?xsinx?2xsinxdx.......(3') ???x2sinx??2xdcosx?x2sinx?2xcosx?2?cosxdx

?x2sinx?2xcosx?2sinx?c.......(3') e2d(1?lnx)e2.........(3')?21?lnx1?2(3?1).......(3') 6、解:原式=?11?lnxxx7.证明：令f(x)?e?ex,f'(x)?e?e?0(x?1) ……(4’) f(x)单调增加, 当x?1时, f(x)?f(1)?0成立 …..(2’)

x即当x?1时，不等式e?ex成立.

?x?2?t?8、解：直线的参数方程为?y?3?t ........(4')

?z?4?2t?代入平面方程解出 t??1......(2')， 所求交点为（1，2，2） (2’).

?? 三、解: liman?1n?lim?1,收敛半径R?1,收敛区间为(-1,1) (3’)；

n??an??n?1n???1n?11 x??1时,原级数为?,发散, x?1时,原级数为?(?1)收敛,故

n!n?1n?1n?1n?1n?1收敛域为??1,1?….. (2’)；由级数?(?1)x两端积分得: ?1?xn?1x1xn ?(?1)??dx?ln(1?x)为所求的和函数 (3’).

0n1?xn?11211四、解:(1) A??xdx??dx??ln2......(4')；

01x212125?2......(4'). (2) Vx??x?dx???()dx?01x6?n?1五、证明：令F(x)?2x??x0f(t)dt?1，则F(x)在区间[0，1]上连续，

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注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

F(0)??1?0,F(1)?2??f(t)dt?1?1?f(?)?0，由零

01点定理知存在x0?(0,1),使F(x0)?0……. (2’) 又F'(x)?2?f(x)?0，F(x)在区间[0，1]上是严格单调增加的，从而零点唯一.

(2’).

2007级高等数学（上）期末试题答案

二、填空题：（每小题3分，共30分）

?1． ?1 ； 2． 跳跃 ； 3．f(sinx)cosxdx； 4． ?； 5．(0,??0)；

22z?x?yxcosx?sinx?C36．； 7． ； 8．； 9． 收敛 ；10．(0,??2)；

二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）

1?x?x2?3?(x?2)?lim??1 1、[解]：原式=lim32x?1x?11?x1?x?x2、[解]：

33dy1?ex?(x3)??elnx()?3x2ex?1 dxxex?yex?y???dy?ydx 3、[解]：两边对x求导得y?xy??e?ey??0???y??ye?xe?xxy4、[解]：f?(x)?6x2?6x?6x(x?1)，f??(x)?12x?6?6(2x?1)

由f?(0)?0得驻点x?0,??1，f??(0)??6?0，f??(1)?6?0，所以 极大值：f(0)?0，极小值f(1)??1 5、[解]：法一：

11x2xdx?dx?secdx?tan?C ?1?cosx?2x?222cos21?cosx1cosx1dx?dx?dx??cotx??C ?1?cos2x?sin2x?sin2xsinx法二：原积分?6、[解]：原式=

414113xlnx??xdx?4ln2?

121x220222x3x20x3x227、[解]：原式=??(x?x)dx??(x?x)dx??(?)?(?)

?1032?1320?4629? 568、[解]:所求直线的方向向量s垂直于已知平面的法向量n1,??n2，所以：

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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高等数学(上)期末复习指导 09年12月

i??????j???????s?n1??n2?2?????????????????4i????j??????//?{?2,?4,1?}

0??????????????所求直线的方程为：

x?1y?2z?4?? ?241三、（9分）[解]:（1）y??3x2，k?12，则切线方程为：y?8?12(x?2)

x42即：y?12x?16?0； （2）S??xdx??4；

00423（3）Vy???2?8??2?80864?35 ydy?32???y3?055?23?xn1四、（9分）[解]: （1）e??，所以：e??；

n?0n!n?0n!x??n2?n?1?1?111（2）????????2??2e

n?0n!n?1(n?1)!n?2(n?2)!n?1(n?1)!k?0k!?101xn五、（4分）[证明]: 记x?t?u,?????F(x)???nf(u)du??f(u)du，

nxn0nn1nn?1f(x)nxnF(x)F?(x)11f(x)n lim2n?lim?lim?lim2n?1nx?0xx?02nx2n?1x?0x?02nx2nxxn?t1f(t)?f(0)1lim?f?(0) t?02nt?02n 2008级高等数学（上）期末试题答案

一、填空题(每题3分)

1.k?3；2.e-2；3.y?3x?2?0.；4.

x2?1??2xyxdx?ydy??x?0 6.a2；7.y'?2；8. x??2；9. ?；10.du?2 22yx?y2z?0??e?x?；5.2x?ln(x?x2?1)?c；

二、1解：

dy1??, 4分 dxtdy?12dydtt21??? 7分 dx2dxtt3dtx2.解：原式=lim(?f(t)dt?xf(x)) 5分

x?aa注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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高等数学(上)期末复习指导 09年12月

?af(a) 7分

三、1. 解： y'?1?2?2x3 3分

得驻点x?1及x?0为不可导点 5分 y(0)?0(极大值) （y1）=-1（极小值） 7分 2. 解：令x?2sint

原式=4sin22tdt 2分

1?2t?sin4t?c 6分

2x1x ?2arcsin?sin4arcsin?c 7分

22211x2?2 3. 解：原式?[xarcsinx]0?01?x2dx 4分 1??322??[1?x]0???1 7分 12122?z4x4. 解：?e(4(x2?y2)3?6x(x2?y2)2) 4分

?x?=4?sin22tdt??(1?cos4t)2dt 5分

?2z?e4x(24y(x2?y2)2?24xy(x2?y2)) 7分 ?x?y?24ye4x(x2?y2)(x2?y2?x)ijk四、 1. 解：（1）直线L的方向向量s?010 2分

102?(2,0,?1) 4分

过点M(0,?1,1)且与直线L垂直的平面方程为：

2(x?0)?0(y?1)?1(z?1)?0?2x?z?1?0 5分

?y?2?0,?（2）联立?x?2z?7?0得垂足N(1,?2,3) 7分

?2x?z?1?0?所以，d?MN?1?1?4?6 9分

2.解：设x?y?z?a,(x,y,z?0)

111?? xyz F(x,y,z)?f(x,y,z)??(x?y?z?a) 4分

f(x,y,z)??F???x?2?0?x?2??Fy???y?0 7分 ??2?Fz???z?0???x?y?z?a注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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高等数学(上)期末复习指导 09年12月

a 9分 3f(x)五、解：由已知及lim?A得f(0)?0,?(0)?0 2分

x?0x得x?y?z??(x)??f(xt)dt??010xf(u)du?'(x)?'xf(x)??xxxx202xf(u)du(x?0) 4分

(x?0) 5分

f(u)duA?0?(0)?lim?x?02A 故?(x)连续 6分

x?02 六、证明：设?(x)?xf(x) 1分

1则?(1)?f(1)??1f(?1)??(?1)?1?(0,) 3分

2 故在[?1,1]上由罗尔定理得至少有一点?使?'(?)?0??(?1,1)?(0,1)

即存在??(0,1)使得f(?)??f'(?)?0. 4分

又lim?'(x)?第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题

模拟练习题一

一、填空题(每题3分,共30分)

sinax2?,则a= . x?02x3x2、f(x)?arcsin有第 类间断点x= . x1、若lim3、设?(x)?4、曲线??bx2tsint2dt,则

d?

? . dx

?x?sint?在t?处的法线方程为 . 4?y?cos2t3325、当a 时,点(1, 3)为y??x?ax的拐点.

26、设cosx是f(x)的一个原函数,则f'(x)= .

7、y?2x3?9x2?12x?3的凸区间是 . 8、直线

x?2y?3z?4??与平面2x?y?z?6?0的交点为 . 1129、幂级数

33210、函数f(x)?2x?3x在[-1,4]上的最小值为 . n?1?2??n?1tg?n?的收敛性是 .

二、试解下列各题（(每题6分,共42分)

1、设f(x)具有二阶导数,且f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)?2，求limx?0f(x)?x. x2注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

39

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

2、求极限limx?0sinx

1?x?1?xdy dx?tg?y0确定y?y(x),求

3、设y?f(ex)ef(x)，其中f(x)可导，求4、设方程(arxc)?(slyi)n?ne2xdyx?0(0?y?1?2).

5、(x?4?x)dx

?11?0226、arctan???xdx

7、

?te0?2tdt

?xn三、[7分]求幂级数?的和函数.

??nn?1n?1四、[7分]一直线过点（0，2，4）且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行，求该直线

方程.

?1,x?0x?2?1?e五、[7分]设 f(x)??, 求?f(x?1)dx.

0?1,x?0??1?x六、[7分]证明：

x1）x?1时e?ex；

2）设函数f(x)在[0,?]上可导,且0?f(x)?1(x?[0,]),在[0,]内

444???f?(x)?sec2x,证明在[0,]内有且仅有一个x,使f(x)?tgx.

4模拟练习题二

一、填空题(10×3分=30分)

lnsinax? (a?0,b?0).

x?0lntanbx1?x?,x?1?2、函数y??，当a= 时连续. 2??a?x,x?1xsin(t2?1)d?? . dt,则3、设?(x)??te0dx1、lim?注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

40

高等数学(上)期末复习指导 09年12月

?x?sint?在t?处的切线方程是 . 4?y?cos2t9235、当a= 时点(1,3)为曲线y?ax?x的拐点.

26、设lnx是f(x)的一个原函数,则f`(x)= ,

4、曲线?7、

?10(x10ex)?dx? .

?8、.设a?3i?i?2k,b?i?2j?k,则(?2a)?(3b)? . 9、设

?a收敛?an?0?，则?2nn?1an收敛性是 . n?1n?10、函数f(x)?1?(x?2)在[0,3]上的最大值为 . 二、试解下列各题(3×5分=15分) 1、lim23?x0(arctant)2dtx?1xa2x???. xdy. dxy?3、设函数y?y(x)由方程f(arctan)?xy所确定,其中f(x)可导且f'()?2求

x42、设函数y?a?x?x(a?0),求

dyx?1.

y?1三、试解下列各题(4×5分=20分) 1、

?e01x?dx. 2、?2?1?cosxdx.

?2?11?x23、

???2xedx. 4、?(1?x2)3dx.

x(lnx)2四、[9分] 求幂级数

2n?12nx的和函数 ?n!n?14展开为x的幂级数，并指出收敛区间. 2x?2x?3?五、[9分]一平面过点(1,0,-1)且平行向量a??2,1,1?和b??1,?1,0?，求这平面方程. 六、[5分] 将函数f?x??l?kx , 0?x??x?2七、[8分] 设f?x???，求??x???f?t?dt.

0?c , l?x?l?2?注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

41

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八、[4分]设f(x)在[0,1]上可微,且满足f(1)?2至少存在一点c,使

?120xf(x)dx?0， 证明:在(0,1)内

f'(c)??f(cc)

模拟练习题三

一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、为使函数f(x)?2、求极限lim?sin2x在x?0连续，应补充定义f(0)?______________. xx2?x?2?__. ??__________x???x?f(x0?h)?f(x0)?____________. 3、若f?(x0) 存在，则极限limh?0h4、曲线y?lnx在点（1，0）处的切线方程为 .

5、曲线y?xe?x在区间____________是凸的,在区间_____________是凹的.

x3sin2xdx?_______________. 6、计算定积分?4?3x?x2?1??1dx=________________. 7、计算反常积分?01?x28、两向量a?(1,?1,?2),b?(?2,2,?)互相平行，则??________. x?3yz?1??9、过点（2，-1，3）且垂直于直线的平面方程是 . 13?1?xn10、函数幂级数?的收敛域为. ..

nn?13二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）

?1、求极限limx?0x0tcostdtx2?x?ln(1?t)2dydy?2确定的函数y?y(x)的导数,2、求由参数方程?. t2dxdx?y?1?2?y3、设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，求dy. 4、求函数y?2x?3x的极值. 5、计算不定积分xcosxdx. 6、计算定积分

32.

??1?14dxxn. 7、证明：当x?0时，不等式x?ln(1?x)成立. 8、求幂级数

?(?1)n?1?nxn的和函数.

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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三、 （9分）写出直线

x?2y?1z?3??的参数方程并求此直线与平面 112x?y?2z?1?0的交点.

??sinx , 0?x??12????四、（9分）设f?x??? ，求fx???dx. ?2??2?????4???x???1 , ?x???2?2??五、（4分）设f(x)在区间[ab,]上连续，且f(x)?0，证明方程

xx1 在区间(a,b)内仅有一个根. f(tdt)??a?bf(t)dt?0模拟练习题四

一、填空题(10?3?30分)

?a?bx2,?????x?0?1、设f(x)??sinbx在x?0处连续，则常数a,?b应满足关系

,??????x?0??x1sinx? 2、极限lim2lnx?0xxx?ax)?9，则a? 3、已知极限lim(x??x?a4、设f(x)是连续函数，且

?x3?15、设函数y?f(x)由方程20xyf(t)dt?x，则f(7)?

x?0?x?y确定，.则dy? t??x?esin2t6、曲线?在点(0,??1)处的法线方程为 t??y?ecost7、定积分8、幂级数

?b??n?1a?f?(2x)dx?

n?1?n的收敛性是 ?9、曲线y?ln(1?x2)的凹区间为 ?x??t?2?10、过点M?1,2,?1?且与直线?y?3t?4垂直的平面方程是

?z?t?1?二、计算题(8?6?48分)

1??g(x)sin??????x?01、已知函数f(x)??，且g?(0)?g(0)?0，求f?(0) x??0?????????????????????x?0?2n2、判别级数?3sinn的敛散性

4n?1注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

43

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3、计算积分

?3212dxx?x2. 1??f(x)dx

?4x?y?z?25、求过点A?2,?3,?0?且和直线l:?平行的直线方程，并说明它的位置.

?x?y?z?5?xdx. 6、计算积分?201?cosx?1?xsin2x,????????????x?0?7、设f?x???ex?sinx?1，求limf?x?.

x?0,????x?0?x?ln(1?()2)?2x2x2x28、求级数 ?????? 的收敛域及和函数. 22n221?x1?x1?x4、已知xf(x)dx?arcsinx?C，求积分

????三、设f?x?=?2?1???x?，其中??x?在x?0处连续，求f??0?.（8分）

x四、设函数f(x)连续，且

（8分）

?x0tf(2x?t)dt?21arctanx2，已知f(1)?1，求?f(x)dx.

12五、设p,q是大于1的常数，且

（6分）

1111??1，证明：对于任意x?0有xp??x.pqpq模拟练习题五

一、填空题(10?3?30分)

ax1、已知当x?0时，cos2x?1与xe?x是等价无穷小，则常数a?

11?x)?

x?0xe?11?xarctan,????x?0?3、已知函数f(x)??在x?0处有第一类可去间断点，则常数kx??k,???????????????????x?02、极限lim(应满足条件为 4、已知f?(3)?2，则lim5、定积分

f(3?h)?f(3)? h?02h?102x?x2dx?

x??6、若f(t)?limt(1?12tx)，则f?(t)? x注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

44

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1)dt的单调递减区间为 ?1t8、设函数y?f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y?f(x)在点(1,???1)处

7、已知x?0，则函数F(x)?x(2?的切线方程为

?na?9、设级数???（a?1)收敛，则a

n?1?n?1?二、计算题(6?8?48分)

?n10、已知向量a?{1,4,5}和b?{1,1,2}，且??0，若(a??b)?(a??b)，则??

x2?bx?c?5，求b、c的值. 1、已知limx?11?x1?arcsinx?2、lim?1??.

x?0sin2xx??arctanxdx. 3、计算积分?x2t21d2y2. 4、设x??tlntdt,y??2tlntdt，求21tdx?2x?4y?z?1l25、求过点??1,?4,3?，并且与下面两直线l1:??x?3y??5的直线方程..

?x?2?4t?:?y??1?t都垂直?z??3?2t?6、讨论f(x)?e2x(x?2)2在???,???上的最大值与最小值.

ex?e7、将f?x??展成x?1处的泰勒级数

x?1?8、设?(n)??40tgnxdx,求?(n)??(n?2). (n?2).

?x,x?01?三、设f?x???，求f??0?.（8分）

1?ex?x?0?0, ?sinx四、设f(x)有一个原函数，求??xf?(x)dx. （8分）

x2五、设f(x)在区间[a,??b]上连续，且单调增加，证明：（6分）

?baa?bbxf(x)dx?f(x)dx.

2?a模拟练习题参考解答

模拟练习题一参考解答

一、填空题 (每题3分,共30分)

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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491234; 2．一, 0; 3．?2xsinx; 4．y?(x?); 5．; 322226．?cosx; 7．(1,2); 8．(1,2,2); 9．收敛; 10．y(?1)??5.

1．

二、试解下列各题（(每题6分,共42分)

f(x)?xf?(x)?1?lim1、[解]:x?0x?0x22x (2分)

1f?(x)?f(0)1?f??(0)?1 (4分) ?limx?02x?02sinxx2、[解]:-lim (2分) ?limx?01?x?1?xx?01?x?1?xlim?limx?0x1?x?1?x?1 (4分)

2xdy?[f(ex)]'ef(x)?f(ex)[ef(x)]? (2分) dx ?exf'(ex)ef(x)?f'(x)f(ex)ef(x) (4分)

3、[解]：

4、[解]：原式两边关于x求导得 y??2e2x?sec2y?y??0 （3分） y1?x2??将x?0,y?代入得y??2?ln， (2分)

441lny?arcsinx?（2?ln）dx (1分) x?0?4122 故 dy1?5、[解]:原式??12(x?4?x)dx?(2x4?x?4)dx （3分） ???1?8 (3分)

16、[解]：令x?t，原式=2?tarctantdt??010t2arctantd() (2分)

2t2112dt?[arctant]1?t. (2分) 02?0221?t11?111?1?.??(1?)dt ??[t?arctant]202421?t082?1??1 ????? (2分)

82842??????117、[解]：?te?2tdt??te?2t??e?2tdt （3分）

020201? （3分） 4注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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xn三、[解]：设 s?x??? ?x?1?， s?0??0

n?1n?n?1??上式两边乘x得：

?xn?1 xs?x???n?1n?n?1??'两边求导：?xs?x??'??xn?1?xn????n?n?1?????n （2分） n?1?n?1?再求导：?xs?x???''??xn????n?1?n?x??12n?1??1?x?x????x ?x?1? ??1?xn?1?'两边积分：?xs?x???'1?01?xdx??ln?1?x?

?xdx

01?xx再积分：xs?x???x0x?ln?1?x?dx??xln?1?x?0?? ??xln?1?x??x?ln?1?x???1?x?ln?1?x??x （2分） ∴ 当x?0时 s?x??1?1?xln?1?x? xx?0时 s?x??0 ?x?1? （2分）

四、[解]:设求直线的方向向量为s,则s??1,0,2?且s??0,1,?3?， （2分）

i j k0 1 -3x?0y?2z?4??. （2分） ?231210111dt?五、[解]：令x?1?t, 有?f(x?1)dx??f(t)dt???01?tdt 0?1?11?et011et1t?ln(1?et)?|0??(1?)dt??d(1?t)???1?ln1?t|0?ln(e?1). t???101?t1?e故所求直线方程为六、[证明]：

1）设f(x)?e?ex， f'(x)?e?e， 当x?1时f'(x)?0， 即x?1时f(x)单增， （1分）

x 故当x?1时，f(x)?f(1)?0， 从而x?1，e?ex. （2分）

故s?1 0 2??2 i?3 j? k （3分）

xx2) 设F(x)?f(x)?tgx,x?[0,?4],由于

注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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F（0）?f(0)?0,F（）?f()?1?0，

44故在[0,???4]内有x,使F（x)=0,即f(x)?tgx （2分）

（0，）反证:若有x1,x2?,使F （0，1）（x1)=0，（Fx2)=0,由罗尔定理知存在??

?4使F（?)=0,即f?(?)?sec2??0与f?(x)?sec2x矛盾!得证. (2分)

模拟练习题二参考解答

一、填空题:(每题3分,共30分) 1. 1; 2. 6.?2332; 3.xeSin(x?1); 4.y??22(x?); 5.? 2221; 7.e; 8.-18; 9. 收敛; 10.f(2)?1 2x二、试解下列各题（(每题5分,共15分)

?2(arctanx)21、[解]:原式?lim ?().

x???x2x2?1dy?(ax)'?(xa)'?(exlnx)'?axlna?axa?1?xx(lnx?1). dxyy3、[解]:方程两边求微分 f?(arctan)d(arctan)?ydx?xdy

xxy(f??x2?y2)yx2(xdy?ydx)dx f`(arctan).2?ydx?xdy，?dy?2222x(f??x?y)x(x?y)x2、[解]:

f?()?24故dyx?1?dx ?y?1f?()?24三、试解下列各题（(每题5分,共20分) 1、[解]:2、[解]:

??eo1xdx令x?t2?2tedt?2[te]o1tt1o?2?et?2e?2[et]10?2.

o1???221?cosxdx?2?01?cosxdx

?2?? =2?20?xxx2Sindx?42?02Sind()

2222?x22?42(?cos)?42(1?).

20211dxdx??bbdlnx?lim[?] ?lim3、[解]:?2?lim22222??b???b???b???ln2lnbx(lnx)x(lnx)(lnx)注：01、一（1）、3表示此题为01年第一

大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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?1. ln24、[解]:原式x?tanttant?e?Sec3t?1sectSec2tdt

?11?x2??e?costsintdt??e?cost?c?e四、[解]: 设 s?x????c.

2n?12nx 两边积分： ?n!n?1

?s?x?dx???0n?1?x?x0?2n?12nx2n?1 xdx??n!n!n?1n?2x22?x2nx2?x?x??????? ?x?n!2!n!n?1????????222n????2xx2? ?x?1?x????????1??xex?1 ???2!n!????????????x两边求导：s?x??xe?12????'?ex2x2?1?1

2?即

2n?12nx2x?e2x2?1?1 ???,??? ?n!n?1???五、[解]:设平面的法代向量为n,则n?a,n?b

i j k1 1?i?j?3k 取n?a?b?2 1 ?1 0故所求的平面方程为：(x?1)?y?3(z?1)?0 即x?y?3z?4?0 六、[解]: 由题知将

4展或x的幂级数 2x?2x?3f?x??441111??????1?x3x2?2x?3?x?1??x?3?x?13?x1x1?3

∵

1?1?x?x2???xn?? ?1?x?1 1?x2nxx?x??x??1???????????? ?1??1 即 ?3?x?3 x33?3??3?1?31注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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?41?xx2x32n?∴ 2 ??1?x?x???x????1?????23??3?33x?2x?33??????1?n?1?n?1??1??1?2 ????1???2?1?x???3?1?x????n?1?1?x??

?3??3??3??3??????1?n?1?n ???n?1?1?x，收敛区间??1,1?

n?0?3?xl12七、[解]:当0?x?时，??x???ktdt?kx

022lxxl1l??当?x?l时，??x???f?t?dt??2ktdt??lcdt?kl2?c?x??

00282??2l?12kx , 0?x??2?2故??x???

1ll??kl2?c??x?? , ?x?l?2?2??81八、[解]:f(x)在[0，1]上可微，据积分中值定理，在[0,]必存在一点?，使

211122?f(1)?? f(?)，令)?2x)d?x, 00xf(?0xf(x)dx?2?f(?)，又f(1?h(x)?xf(,x)则h(x)在[0,1] 上连续可导,h(?)?? f(?),h(1)?f(1),故由Rolle定理，在(?,1)上至少有一点c使h'(c)?0，即cf'(c)?f(c)?0，故

f(c)f'(c)?（0

c模拟练习题三参考解答

?一、填空题:(每题3分,共30分) 1. 2; 2. e; 3. ?f'(x0); 4. y?x?1; 5. 在区间???,2?是凸的,

?在区间?2,???是凹的; 6. 0; 7. ; 8. 4; 9. x?3y?z?4?0;

210. ??1,1?.

二、试解下列各题（(每题6分,共42分)

xcosxcosx1? . ?limx?0x?02x222dyt??t?t 2、[解]：

dx11?td2y1?2t?(1?2t)(1?t) 2?1dx1?t1、[解]:原式=lim注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.

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